Нестандартные способы решения уравнений

• 1 слайд

  
  
  Нестандартные методы
  решения уравнений
  
  
  
  Выполнила
  Белобородова Дарья,
  МБОУ «Онохойская СОШ № 2»
  10 класс
   
  
  

• 2 слайд

  Актуальность
  Актуальность моей работы заключается в том, что систематизация знаний по теме, написание алгоритма к каждому способу решения уравнений позволяют углубить знания по предмету, способствуют лучшему запоминанию, формируют навыки выбора оптимального способа решения для конкретного уравнения.
  Полученные знания и составленный мною тренажер помогут ученикам подготовиться к ЕГЭ, уверенно решать уравнения и неравенства.
  

• 3 слайд

   План
  
  1  Методы решения уравнений и неравенств.
  1.2.1 Метод разложения на множители.
  1.2.2 Метод замены переменной.
  1.2.3 Метод решения уравнений с помощью теоремы Виета.
  1.2.4 Метод интервалов.        
  2. Нестандартные методы решения алгебраических уравнений и неравенств.
  2.1 Метод рационализации.
  2.2 Учёт ОДЗ.
  2.3 Метод мажорант (оценки).
  2.4 Использование свойств функций.
  2.4.1 Использование ОДЗ.
  2.4.2 Использование монотонности функции.
  2.4.3 Использование графиков.
  2.5 Некоторые искусственные способы решения алгебраических уравнений.
  2.5.1 Угадывание корня уравнения.
  
  

• 4 слайд

  ЦЕЛЬ ПРОЕКТА:
  
  изучить новые методы решения уравнений, разработать тренажер для практической отработки этих методов.
  
  

• 5 слайд

  ЦЕЛЬ ПРОЕКТА:
  - Изучить всевозможные источники информации по данной теме, структурировать собранную информацию;
  
  - Провести опрос;
  
  - Разработать алгоритмы решения уравнений и
  неравенств определенным (нестандартным)
  способом;
  
  - Анализ имеющихся тренажёров, подобрать
  задания, решаемые нестандартным способом;
  
  - Создать тренажёр
  
  
  

• 6 слайд

  Метод разложения на множители
  Для разложения на множители используют формулы сокращённого умножения (ФСУ), вынесение общего множителя за скобку, способ группировки, деление многочлена на многочлен.
  Суть данного метода в том, чтобы путем равносильных преобразований представить левую часть исходного уравнения, содержащую неизвестную величину в какой-либо степени, в виде произведения двух выражений, содержащих неизвестную величину в меньшей степени. При этом справа от знака равенства должен оказаться ноль.
  

• 7 слайд

  
  Метод замены переменной
  
  Суть данного метода в том, чтобы удачным образом заменить сложное выражение, содержащее неизвестную величину, новой переменной, в результате чего уравнение принимает более простой вид.
  Далее полученное уравнение решается относительно новой переменной, после чего происходит возврат к исходной переменной.
  

• 8 слайд

  Метод решения уравнений с помощью теоремы Виета
  Важно!!! Не ко всем квадратным уравнениям имеет смысл использовать эту теорему. Применять теорему Виета имеет смысл только к приведённым квадратным уравнениям.
  Теорема Виета для приведённых квадратных уравнений «x2 + px + q = 0» гласит что справедливо следующее:
  x1 + x2 = −p,
  x1 · x2 = q, где x1 и x2 — корни этого уравнения.
  
  

• 9 слайд

  Метод рационализации
  Приведем алгоритм решения уравнений и неравенств методом рационализации:
  Нахождение ОДЗ уравнения/неравенства
  Привести данное неравенство к стандартному виду: слева дробь (или произведение), справа – ноль.
  Заменить выражения левой части на более простые, эквивалентные им по знаку.
  Решить полученное неравенство, например, методом интервалов.
  
  

• 10 слайд

  Учёт ОДЗ
  Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение (или неравенство) не имеет решений, а иногда позволяет найти решение уравнения (или неравенства) непосредственно подстановкой чисел из ОДЗ.
  Приведём алгоритм решения уравнений и неравенств методом учёта ОДЗ:
  Найти ОДЗ уравнения/неравенства.
  Подставить значение ОДЗ в исходное уравнение/неравенство, чтобы проверить, является ли оно корнем.
  

• 11 слайд

  Метод мажорант (оценки)
  Этим методом можно решать нестандартные уравнения; уравнения повышенной сложности, например, уравнения в левой и правой части которой находятся функции, имеющие различную природу; уравнения или системы уравнений, в которых количество переменных превышает количество уравнений; задачи с параметром.
  Метод мажорант также называют методом оценки левой и правой частей, входящих в уравнения и неравенства.
  Мажорантой данной функции f(х) на множестве Р, называется такое число М, что либо f(х) ≤ М для всех х ϵ Р, либо f(х) ≥ М для всех х ϵ Р.
  Мажоранты многих элементарных функции известны. Их нетрудно указать, зная область значений функции.
  Приведём алгоритм решения уравнений и неравенств методом использования монотонности функции:
  Определить монотонность и область определения функции (ООФ).
  Методом подбора найти корень уравнения/неравенства.
  Исходя из монотонности функции делаем вывод о количестве корней.
  

• 12 слайд

  Использование графиков
  При решении уравнений и неравенств иногда полезно рассмотреть эскиз графиков их правой и левой частей. Тогда этот эскиз графиков поможет выяснить, на какие множества надо разбить числовую ось, чтобы на каждом из них решение уравнения (или неравенства) было очевидно.
  Приведём алгоритм решения уравнений и неравенств с помощью использования графиков:
  Определить ОДЗ уравнения/неравенства.
  Представить левую и правую части уравнения/неравенства как функции и построить их графики.
  По графику определить решение уравнения/неравенства.
  Доказать справедливость ответа.
  

• 13 слайд

  
  Угадывание корня уравнения
  
  Иногда внешний вид уравнения подсказывает, какое число является корнем уравнения.
  
  Приведём алгоритм решения уравнений методом угадывания корня:
  
  Методом подбора определить корень уравнения
  
  Найти ОДЗ уравнения.
  
  Привести многочлен к стандартному виду.
  Определить остальные корни уравнения.
  

• 14 слайд

• 15 слайд

• 16 слайд

• 17 слайд

• 18 слайд

• 19 слайд

  Создание контента тренажёра
  В процессе размышления над идеей контента тренажёра было принято решение представить продукт, представив теорию в форме презентации, а практическую часть в виде тренажера в формате эксель.
  Презентация. Основная задача презентации заключается в наглядном представлении способов и алгоритмов решения уравнений/неравенств, примеров решения, а также в размещении ссылок на онлайн-тренажёры для каждого метода.
  Тренажёр. Для каждого метода решения уравнений/неравенств создано несколько тренажёров (упражнений): на проработку выбора метода решения и алгоритма, проработку ключевых формул (если такие имеются) и на тренировку самого решения.
  

• 20 слайд

  Описание созданного продукта
  Созданный продукт, презентация – тренажер, отвечает следующим критериям:
  - Понятность информации, представленной в тренажёре
  - Удобный интерфейс
  - Эффективность упражнений для выбора методов решения уравнений и неравенств, алгоритма и проверки правильности ответов.
  - Тиражируемость (возможность распространения и использования)
  

• 21 слайд

  
  Теорема о корне.
  
  Пусть функция f возрастает (или убывает) на промежутке I, число а - любое из значений, принимаемых f на этом промежутке. Тогда уравнение f(x)=a имеет единственный корень на этом промежутке I.
  Доказательство. Рассмотрим возрастающую функцию f (в случае, если f - убывающая функция, рассуждения аналогичны). По условию в промежутке I существует такое число b, что f(b)=a. Надо показать, что b - единственный корень уравнения f(x)=a.  
  Допустим, что на промежутке I есть еще число c ≠ b, такое, что f(c)=a. Тогда или c < b или c > b. Но функция f возрастает на промежутке I, поэтому соответственно либо f(c) < f(b), либо f(c) > f(b). Это противоречит равенству f(c)=f(b)=a. Следовательно, сделанное предположение неверно и кроме числа b, других корней на промежутке I у уравнения f(x)=a нет.
  
  
  
  
  
  

• 22 слайд

  Решите уравнение.
  
  Пример 1
  
  +
  +
  =9
  Решение. Заметим, что левая часть уравнения — возрастающая функция. Но это значит, что больше одного корня такое уравнение иметь не может. Итак, х=1 -единственный корень.
  Ответ:1
  

• 23 слайд

  f(f(x))=x <=> f(x)=x
  Если функция f(x) возрастающая ,то уравнение f(f(x))=x равносильно уравнению f(x)=x.
  
  Доказательство. Всякий корень уравнения f(x)=x есть корень уравнения f(f(x))=x. Пусть х0 -корень уравнения f(f(x))=x, причем .Тогда либо ,но при этом f(f(x0))= , противоречие; либо , но в этом случае х 0 =f(f ,т.е. х 0 <f(х 0 ),что также невозможно. Утверждение доказано.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 24 слайд

  
  Пример 2
  
  Решите уравнение
  =х
  
  Пусть f(x)= .Наше уравнение имеет вид
  f(f(x))=x
  Чтобы завершить решение, достаточно решить уравнение
  х=.
  
  Ответ:
  
  
  
  
  .
  .
  .
  

• 25 слайд

  ОДЗ
  Пример 3
  Решите уравнение:
  
  +
  Решение:
  4-
  х-2
  х+7
  4х+1
  x=2
  В области определения данного уравнения должны одновременно выполняться неравенства 4- и ,что возможно только при х=2.Проверкой убеждаемся ,что 2 -корень.
  Ответ:2.
  
  
  
  
  -
  =
  
  

• 26 слайд

  Пример 4
  Решите уравнение.
  
  Решение:
  Домножим левую и правую части уравнения на сумму радикалов стоящих в левой части. Получается уравнение:
  
  равносильное такому:
  
  откуда либо х= , либо
  
  Последнее уравнение решим уже рассмотренным способом: пусть
  
  Тогда приходим к уравнению :
  
  Откуда t= , а х=
  
  Ответ: ,
  
  
  –
  = 2x-1
  2(2х-1)=(2х-1)(
  +
  )
  (2х-1)(2-(
  +
  ))=0
  ,
  +
  =2.
  t=
  
  .
  = 2-t
  ,
  :
  ;
  
  

• 27 слайд

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  В основе рассматриваемого способа лежит формула :
  ( - ) ( + ) =a-b
  Выражения - и + мы будем называть
  сопряженными.Иногда использование этой формулы
  облегчает решение.
  
  Умножение на сопряженное
  
  

• 28 слайд

   
  Пример 5
  
  Решите уравнение.
  + - = 5+2х
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Решение. Перепишем уравнение:
  
  +
  =
  5+2х
  +
  Пусть t=
  Тогда
  Наибольшее значение подкоренного выражения достигается при x=-1(в вершине параболы y=15-2x- ).При этом t2 =16.Отсюда следует, что 4.Наименьшее значение правой части исходного уравнения достигается также при х=-1 и тоже равно 4.При левая часть(когда она существует) меньше правой.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  +
  = 8+2
  
  
  

• 29 слайд

• 30 слайд

• 31 слайд

• 32 слайд

  Заключение
  В процессе работы над темой «Нестандартные методы решения иррациональных уравнений» я узнала новые теоремы , научилась применять свойства функций к решению иррациональных уравнений .
  Данные методы значительно облегчают решение уравнений.
  Работа над проектом будет продолжена, .планирую разработать тренажер для большего количества заданий, чтобы им могли пользоваться и ученики для подготовки к экзаменам, и учителя применять в своей работе.