Особенности решения текстовых задач с экономическим содержанием

Окружной конкурс творческих работ учащихся

«Интеллект, творчество, фантазия»

                                                     Секция: математика

ТЕМА: «Особенности решения текстовых задач

с экономическим содержанием»

                                                              Выполнила: Давыдова  Елена Петровна,

                                                                    ученица 10 класса

                                                                    ГБОУ лицея (экономического) с. Исаклы

                                                                    Научный руководитель:

                                                 Кузаева Валентина Николаевна,

                                                              учитель  математики высшей категории

                                                              Исаклы

                                                                2017

Содержание

I.    Введение;

II.  Основная часть

     Глава 1. Задачи по кредитованию;

     Глава 2. «Банковские» задачи;

     Глава 3. Задачи на оптимизацию;

III. Заключение;

IV.  Список использованной литературы.

                                    I. Введение

    Появление в заданиях ЕГЭ по математике профильного уровня новой практико-ориентированной задачи №17 обуславливает актуальность выбранной темы. В данных задачах учащимся предлагается ознакомиться с разными банковскими операциями: кредитование, вклады. Также есть задачи, связанные с оптимальным выбором, которые требуют решения по определенным структурам.  

   Теоретическая значимость проведённого исследования состоит в том, что оно поможет выпускникам научиться решать экономические задачи.

   Практическая значимость работы определяется тем, что результаты исследования могут быть использованы учащимися при решении задач профильного уровня на ЕГЭ.

   Проблема: Ученики, сдающие ЕГЭ по профильной математике, при анализе задачи №17(экономические задачи) испытывают трудности или вовсе не могут ее решить.

   Статистика решающих задачу № 17

по региону за 2016 год

                           

Статистика решающих задачу № 17

 по лицею за 2016 год

   

    Гипотеза: приобретение практических навыков при решении экономических задач профильного уровня позволит мне успешно сдать ЕГЭ по математике, а также поможет в профессиональном становлении личности.

    Цель исследования – научиться решать экономические задачи и поделиться своим опытом с одноклассниками.

     Задачи:

·       классифицировать экономические задачи по типам и видам;

·       изучить алгоритм решения экономических задач;

·       научиться решать экономические задачи, относящиеся к разным типам и видам;

·       создать сборник экономических задач с решениями.

      Методы исследования:

·       сбор конкретной информации (изучение литературы);

·       анализ полученной информации;

·       систематизация полученной информации.

     Результаты исследования:

·       проект;

·       слайдовая презентация;

·       сборник задач.

    Объект исследования – экономические задачи.

    Предмет исследования – особенности решения экономических задач.

                  .

                                                     II. Основная часть

                               Глава 1. Задачи по кредитованию

    Кредит – это ссуда, предоставленная банком заемщику под определенные проценты за пользование деньгами. Как известно, существует два вида платежей по кредиту: дифференцированный и аннуитетный.

Аннуитетный платеж – представляет собой равные ежемесячные транши, растянутые на весь срок кредитования. В сумму транша включены: часть ссудной задолженности, начисленный процент, дополнительные комиссии и сборы банка (при наличии). При этом, в первые месяцы (или годы) кредита большую часть транша составляют проценты, а меньшую – погашаемая часть основного долга. Ближе к концу кредитования пропорция меняется: большая часть транша идет на погашение «тела» кредита, меньшая – на проценты. При этом общий размер транша всегда остается одинаковым.

Дифференцированный платеж – представляет собой неравные ежемесячные транши, пропорционально уменьшающиеся в течение срока кредитования. Наибольшие платежи – в первой четверти срока, наименьшие – в четвертой четверти. «Срединные» платежи обычно сравнимы с аннуитетом. Ежемесячно тело кредита уменьшается на равную долю, процент же насчитывается на остаток задолженности. Поэтому сумма транша меняется от выплаты к выплате.

Такие виды платежей рассматриваются в КИМах по математике ЕГЭ 2015-2017 года. Но кроме этих известных схем осуществления платежей по кредиту существуют и индивидуальные схемы расчета платежей по кредиту. Эти схемы представлены в задании №17 по математике профильного уровня.

Решение задач о кредитах в настоящее время очень актуально, так как жизнь современного человека тесно связана с экономическими отношениями, в частности, с операциями в банке.

1.           31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

 Решение:    Кредит А =  9 930 000рублей;

         срок – 3 года;

         начисление 10% – увеличение в 1,1 раза(k=1,1);

               выплаты – х рублей ежегодно.

	1	2	3
долг
выплаты
остаток

                                                      

                                             

                                                

                                             

                                      

 Ответ: 3 993 000 рублей.                                              

2.            Иван хочет взять в кредит  1 млн. рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней ) после начисления процентов. Процентная ставка 10% годовых. На какое минимальное количество лет Иван может взять кредит, чтобы ежегодные выплаты не превышали 250 тысяч рублей?

Решение:

Год	Долг Ивана до начисления процентов	Долг Ивана банку  после начисления процентов	Долг Ивана банку после внесения им суммы ежегодного платежа
1	1 000 000	1 100 000	850 000
2	850 000	935 000	685 000
3	685 000	753 500	503 500
4	503 500	533 850	303 850
5	303 850	334 235	84 235
6	Меньше 100 000	Меньше 110 000	0

   В последней строчке применятся метод оценки, чтобы не считать 10% от 84 235. Мы строго показали, что 5 лет Ивану не хватит для возвращения кредита, а 6 лет-хватит.                       

Ответ: 6 лет.

3.                 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплат кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк x рублей. Какой должна быть сумма x, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)? Ответ: 2 296 350.

4.               31 декабря 2014 года Ярослав взял в банке некоторую сумму в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга ( то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Ярослав переводит в банк 2 132 325 рублей. Какую сумму взял Ярослав в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)? Ответ: 6 409 000.

5.            Оля хочет взять в кредит 100 000 рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10 % годовых. На какое минимальное количество лет может Оля взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 24000 рублей? Ответ: 6.

6.           1 января 2015 года Павел Витальевич взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Павел Витальевич переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Павел Витальевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 125 тыс. рублей? Ответ: 9.

Глава 2. «Банковские» задачи»

1.                 Миша и Маша положили в один и тот же банк одинаковые суммы под 10% годовых. Через год сразу после начисления процентов Миша снял со своего счета 5000 рублей, а еще через год снова внес 5000 рублей. Маша, наоборот, через год доложила на свой счет 5000 рублей, а еще через год сразу после начисления процентов сняла со счета 5000 рублей. Кто через три года со времени первоначального вложения получит большую сумму и на сколько рублей?

Решение:  Пусть для определенноcти  Миша и Маша 15.01.12 положили в банк x рублей. Подготовим выписки из лицевых счетов Маши и Миши.

                                 Выписка из лицевого счета Маши.

Дата операции	Произведенная операция и на какую сумму		Остаток на счете клиента (руб.)
	Наименование операции	На какую сумму (руб.)/ размер в %
15.01.12	Принято от клиента	x	x
15.01.13	Начислено на остаток	10%	1,1x
15.01.13	Принято от клиента	5000	1,1x + 5000
15.01.14	Начислено на остаток	10%
15.01.14	Выдано клиенту	5000
15.01.15	Начислено на остаток	10%
15.01.15	Выдано клиенту		0

Дата операции	Произведенная операция и на какую сумму		Остаток на счете клиента (руб.)
	Наименование операции	На какую сумму (руб.)/ размер в %
15.01.12	Принято от клиента	x	x
15.01.13	Начислено на остаток	10%	1,1x
15.01.13	Выдано клиенту	5000	1,1x - 5000
15.01.14	Начислено на остаток	10%
15.01.14	Принято от клиента	5000
15.01.15	Начислено на остаток	10%
15.01.15	Выдано клиенту		0

                            Выписка из лицевого счета Миши.

                                              

                                               на 1 100 рублей       

  Итак, Маша по­лу­чи­ла на 1100 руб. боль­ше, чем Миша.

Ответ: Маша; на 1 100 рублей

2.             Алексей приобрел ценную бумагу за 7 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 2 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счет. Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на 10%. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через тридцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счете была наибольшей?

Решение (на основе логического мышления):

    Продать ценную бумагу нужно в том момент, когда 10% от стоимости станут составлять не менее 2 тыс. рублей, что возможно при стоимости бумаги не менее 20 тыс. рублей.

   Это произойдет через семь лет после покупки ценной бумаги, когда ее стоимость будет равна 21 тыс. рублей (7 000 + 2000 * 7=21 000). И в этот момент 10% от стоимости этой бумаги будут равны 2100 рублей (21 000 * 0,10=2 100) то есть больше, чем 2000 р. Значит, надо продать бумагу, а вырученные деньги положить на счет в банке.

   Таким образом, ценную бумагу нужно продать в течение восьмого года.

Ответ: 8.                               

3.             Владимир поместил в банк 3600 тысяч рублей под 10% годовых. В конце каждого из первых двух лет хранения после начисления процентов он дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу третьего года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 48,5%. Какую сумму Владимир ежегодно добавлял к вкладу? Ответ: 251.  

4.             Василий кладет в банк 1 000 000 рублей под 10% годовых на 4 года (проценты начисляются один раз после истечения года) с правом докладывать три раза (в конце каждого года) на счет фиксированную сумму 133 000 рублей. Какая сумма будет на счете у Василия через 4 года? Ответ: 1 948 353.

5.             В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после начисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%. Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу? Ответ: 1197.

6.          Алексей приобрёл ценную бумагу за 8 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год    возрастает на 1 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 8%. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через двадцать пять лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей? Ответ: 6.                     

                      Глава 3.  Задачи на оптимизацию

    Большую часть своих усилий человек тратит на поиск наилучшего, т.е. оптимального решения поставленной задачи. Задачи подобного рода носят общее название – экономические задачи на оптимизацию или экстремальные задачи. Эти задачи тесно связаны с практической деятельностью человека. Как добиваться наиболее высокого жизненного уровня, наивысшей производительности труда, наименьших потерь, максимальной прибыли, минимальной затраты времени – так ставятся вопросы, над которыми приходится думать каждому члену общества. Экстремальные задачи с достаточной полнотой закладывают в сознание учащихся понимание того, как человек ищет, постоянно добивается решения жизненных задач, чтобы получающиеся результаты его деятельности были как можно лучшими. Решая задачи указанного типа, учащиеся видят, с одной стороны, абстрактный характер математических понятий, с другой – большую и эффективную их применимость к решению практических, жизненных задач. Такая постановка экстремальных задач способствует расширению сферы приложений учебного материала, повышает роль этих задач в осуществлении глубокой цели математического образования школьников – обучать приложению математики в различных областях человеческой деятельности. Экстремальные задачи помогают школьнику ознакомиться с некоторыми идеями и прикладными методами курса математики, которые часто применяются в трудовой деятельности, в познании окружающей действительности. Решение экстремальных задач способствует углублению и обогащению математических знаний учащихся. Через задачи они знакомятся с экстремальными свойствами изучаемых функций.

1.             Два велосипедиста равномерно движутся по взаимно перпендикулярным дорогам по направлению к перекрестку этих дорог. Один из них движется со скоростью 40 км/ч и находится на расстоянии 5 км от перекрестка, второй движется со скоростью 30 км/ч и находится на расстоянии 3 км от перекрестка. Через сколько минут расстояние между велосипедистами станет наименьшим? Каково будет это наименьшее расстояние?

Решение: Обозначим буквой t время, прошедшее после так называемого начального времени. Поскольку каждый велосипедист движется по взаимно перпендикулярным дорогам, говоря иначе по катетам некоторого прямоугольного треугольника, то расстояние между ними будет меняться по гипотенузе этого же прямоугольного треугольника, длина которого вычисляется по теореме Пифагора. Если f(t) — квадрат длины гипотенузы в каждый момент времени, то будем иметь:

Итак,  У данной квадратичной функции есть наименьшее значение, которое достигается при . 

Ответ: 6,96 ч; 0,6 км.

2.           На каждом из двух комбинатов работают по 100 человек. На первом комбинате один рабочий изготавливает за смену 3 детали А или 1 деталь В. На втором комбинате для изготовления t деталей ( и А, и В) требуется t2 человеко-смен. Оба эти комбината поставляют детали на комбинат , из которых собирают изделие , для изготовления которого нужна 1 деталь А и 3 детали В. При этом комбинаты договариваются изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий может собрать комбинат при таких условиях?

Решение: Пусть на первом комбинате х человек изготавливают деталь А, по 3 штуки за смену. Значит, всего 3х деталей А. Тогда (100 –х) человек изготавливают деталь В, по 1 штуке за смену. Всего (100-х) деталей В.

Пусть на втором комбинате изготавливают a деталей А и b деталей В. Тогда на изготовление деталей А требуется  человеко-смен, а для изготовления детали В  человеко-смен. По условию , так как в одну смену трудятся все 100 рабочих второго комбината. Сведем все данные в таблицу:

Комбинат	Кол-во деталей А	Кол-во деталей В
1-ый комбинат	3x	100-x
2-ой комбинат	a	b
Всего	3x+a	100-x+b

Чтобы собрать наибольшее количество изделий, нужно соблюдать условие:

1 деталь А и 3 детали В. В противном случае лишние детали будут залеживаться, из них нельзя будет собрать изделие, пока не будет готова другая деталь. Значит, 3(3х +a) = 100 – х +b; 10х= 100 + b – 3a. (1)

В каждом изделии содержится 1 деталь А и 3 детали В. Значит, общее количество изделий равно числу изделий А.

Так как a и b – целые числа и , то возможны следующие случаи:

1) a=0, b=10. Тогда из равенства (1) х=11 и 3х +a=3∙11 +0=33.

2) a=10, b=0. Тогда из равенства (1) х=7 и 3х +a=3∙7 +10=31.

3) a=6, b=8. Тогда х=9 и 3х +a=33.

4) a=8, b=6. Тогда х=8,2 – не является целым числом.

Значит, наибольшее количество изделий равно 33.

Ответ: 33.

3.              У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 400 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором — 400 ц/га. Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 11 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер? Ответ: 84 млн.

4.              Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 21 квадратный метр и номера «люкс» площадью 49 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 1099 квадратных метров. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» 4500 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своем отеле предприниматель? Ответ: 125 000.

III. Заключение

      Перед началом работы я выдвинула гипотезу, что приобретенные практические навыки при решении экономических задач профильного уровня позволят мне успешно сдать ЕГЭ по математике.

         Я считаю, что поставленную перед собой цель достигла: 

1.                 В ходе исследования я выделила 3 вида экономических задач:

 - по кредитованию;

 - на оптимизацию;

 - «банковские задачи»;

2.                 Изучила данную тему более углубленно, чем в школьном курсе;

3.                 Создала сборник текстовых задач с экономическим содержанием.

     Мой сборник может быть использован другими учащимися при подготовке

к экзаменам. Он издан в печатном и в электронном варианте.

                        IV. Список использованной литературы

     1.   «Математика. Профильный уровень. Типовые задания. ЕГЭ 2017», авт.

 И.В. Ященко, Москва, изд. «Экзамен»;

2.   Учебное пособие «Тренировочные материалы для подготовки к ЕГЭ по математике 2017», авт. А. А. Максютин, С. В. Богатырев, Самара, изд. СИПКРО;

3.  «Практико-ориентированные задачи в заданиях ЕГЭ по математике: сборник экономических задач и задач на оптимизацию по математике», авт. Г. М. Конева, Улан-Удэ, изд. Бурятского гос. Университета, 2017.

4.  Алгебра и начала математического анализа 10 класс (углубленный уровень), авт. Н. Я. Виленкин , О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд, Москва, изд. «Мнемозина», 2014;

5.   Алгебра 9 класс (углубленный уровень), авт. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк и др., Москва, «Мнемозина», 2013.

Интернет- ресурсы:

1.                      https://ege.sdamgia.ru

2.                      www.fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-ege

3.                      www.fipi.ru

4.                      http://nic-snail.ru

5.                      http://easyen.ru – Современный учительский портал

6.                      http://www.uchportal.ru – Учительский портал

7.                      https://math-ege.sdamgia.ru /

8.                      http://base.mathege.ru/