Открытый
урок на тему:
Цели урока:
·
Обучающие:
o
обобщение и систематизация знаний и способов действий;
o
проверка, оценка и коррекция знаний и способов действий;
o
обучение самоконтролю, быстрому переключению с одного типа
заданий на другой;
o
повторить основные теоретические сведения по тригонометрии;
o
повторить формулы тригонометрии, методы преобразования
выражений;
o
рассмотреть примеры заданий С1 ЕГЭ.
·
Развивающие:
o
развитие самостоятельности, внимательности;
o
формирование умения выбирать оптимальную стратегию при решении
конкретной задачи и работы в целом;
o
развитие умения аргументировано участвовать в обсуждении
решений;
o
развитие наглядно-действенного творческого воображения;
·
Воспитательные:
o
формирование культуры математической речи;
o
содействовать воспитанию интереса к математике, активности,
мобильности;
o
воспитание коммуникативной и информативной культуры учащихся.
Тип урока:
урок-практикум.
Формы организации
урока: индивидуальная, фронтальная.
Методы обучения:
·
частично-поисковый,
·
тестовая проверка уровня знаний,
·
системные обобщения,
·
самопроверка,
·
самооценка,
·
самоконтроль,
·
работа по опорным схемам.
Оборудование:
·
интерактивная доска,
·
мультимедийный проектор,
·
компьютер,
·
бланки для записи ответов,
·
таблицы,
·
блоки тригонометрических уравнений.
К уроку подготовлена презентация. С ее
помощью проводится устная работа, повторение ранее изученного материала,
рассматриваются различные виды тригонометрических уравнений и способы их
решения.
Структура урока:
1. Организационный
момент. (1-2 мин.)
2. Первичное
повторение знаний и умений на уровне воспроизведения. (10-12 мин.)
3. Динамическая
пауза. (1-2 мин.)
4. Систематизация
и обобщение знаний и умений при выполнении заданий. (25-30 мин.)
5.
Подведение
итогов урока, определения домашнего задания и инструктажа по его выполнению.
(3-5 мин.)
Ход урока:
Какое
слово начинается с трёх букв «Г» и заканчивается тремя буквами «Я»?
(Тригонометрия)
«Три пути ведут к знанию:
путь размышления – это путь самый благородный,
путь подражания – это путь самый легкий,
и путь опыта – это путь самый горький»
Конфуций
Сегодня
от вас потребуется: и умение размышлять (при выполнении каждого задания), и
умение подражать (точное знание формул и их применение), и опыт (навык
преобразования тригонометрических выражений). И я надеюсь, что все эти пути
действительно приведут вас к знаниям, которые позволят вам в будущем успешно
сдать ЕГЭ и продолжить свое образование в Вузах.
Тема
нашего урока "Решение тригонометрических уравнений".
Сегодня
мы повторим формулы, вспомним способы решения тригонометрических уравнений и разберем
часть примеров из открытого банка заданий ЕГЭ.
И
ещё: именно тригонометрические задания вызывают затруднения при сдаче
экзаменов, такой вывод сделала комиссия, которая производила анализ ошибок по
ЕГЭ.
Итак,
начнем с устной разминки:
1 задание
1)
Какие основные тригонометрические функции вы знаете?
Иоганн
БЕРНУЛЛИ – швейцарский математик, который впервые ввел современные
обозначения синуса и косинуса знаками sin
и cos
в 1739 г. в письме к петербургскому математику Леонарду Эйлеру.
Эйлер пришел к выводу, что эти обозначения очень удобны, и стал употреблять их
в своих математических работах.
2)
Основное тригонометрическое тождество
3) Sin, tg, Cos, Sinπ
4)
Восстановите формулы
Sin2α
|
|
|
2Cos2α - 1
|
Cos
(π - α)
|
|
|
1
+ tg2α
|
tgα·ctgα
|
|
|
1
- Сos2α
|
Применим
данные формулы для решения заданий типа В3 и В7 из открытого банка заданий ЕГЭ
(самостоятельно
с последующим обсуждением и проверкой)
2 задание
Найдите значение выражения:
1)
2)
3)
4)
5)
3
задание
А
теперь нам предстоит вспомнить формулы для решения тригонометрических уравнений,
а также частные случаи:
Основной прием
решения любого уравнения - это приведение его к равносильному,
более простому уравнению. Решение произвольных тригонометрических уравнения
сводится к решению простейших уравнений вида sin x = a, cos x = a, tg х= a. При
переходе от одного уравнения к другому пользуются общими методами решения
уравнений и формулами тождественных преобразований тригонометрических выражений.
Сегодня на уроке необходимо рассмотреть на примерах применение основных методов
к решению тригонометрических уравнений.
4 задание
Найти
ошибки в решениях тригонометрических уравнений:
(±) (-1k)
(πk)
(πk)
5 задание
Решение
уравнений с взаимопроверкой:
Динамическая пауза.
Самомассаж (по
системе М.С. Норбекова)
Аутомануальный комплекс (массаж)
Разогреть ладони энергичным потиранием. Указательными пальцами осуществлять
вкручивающие движения по часовой и против часовой стрелке – 6-8 раз в каждую
сторону.
• Точка на лбу между бровями.
• По краям крыльев носа.
• В среднюю линию между нижней губой и верхним краем подбородка.
• В височной ямке (парные).
• Чуть выше роста волос под основанием черепа.
Массаж ушных раковин
Каждое упражнение выполнять 6 – 8 раз.
• Потягивание ушных раковин сверху вниз.
• Потягивание ушных раковин снизу вверх.
• Потягивание ушных раковин назад.
• • Потягивание ушных раковин в стороны.
• Круговые движения по часовой стрелке.
• Круговые движения против часовой стрелке.
Разогреть ушные раковины, чтобы они «горели» с умеренной силой.
Гимнастика для глаз
Каждое упражнение выполнять 6 – 8 раз.
• Движение глаз по горизонтальной линии вправо-влево.
• Движение глаз по вертикальной линии вверх-вниз.
• Круговые движения открытыми глазами по часовой и против часовой стрелке.
• Сведение глаз к переносице, затем смотреть в даль.
• Сведение глаз к кончику носа, затем смотреть в даль.
• Сведение глаз ко лбу, затем смотреть в даль.
• Упражнение на аккомодацию.
• Положить ладони на закрытые глаза, сделать резкий глубокий вдох через нос,
затем выполняем медленный выдох через рот, через 20-30 секунд убираем ладони и
открываем глаза.
Упражнения для шейного отдела позвоночника
Каждое упражнение выполнять 6 – 8 раз.
• Скольжение подбородком по грудине вниз.
• «Черепаха»: наклоны головы вперёд-назад.
• Наклоны головы вправо-влево.
• «Собачка»: вращение головы вокруг воображаемой оси, проходящей через нос и
затылок.
• «Сова»: поворот головы вправо-влево.
• «Тыква»: круговые движения головой в одну и другую сторону.
Упражнения для верхнего грудного отдела позвоночника
Каждое упражнение выполняем 6 – 8 раз.
• «Нахмурившийся ёжик»: плечи вперёд, подбородок к груди; плечи назад, голову
назад.
• «Весы»: левое плечо вверх, правое вниз. Поменять положение рук.
• Поднимание и опускание плеч вверх и вниз.
• Круговые движения плечами вперёд и назад.
• «Пружина»: вытягивание позвоночника, сжимание позвоночника.
• Скрутка позвоночника: поворот плеч вправо-влево
Великий физик,
математик и политик А. Эйнштейн заметил: «Мне приходиться делить время между
политикой и уравнениями. Однако, уравнения гораздо важнее. Политика существует
только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».
Если вы знаете
свойства тригонометрических функций, их значения, формулы тригонометрии, то с
решением не будет никаких трудностей.
Решение более
сложных тригонометрических уравнений состоит из двух этапов: преобразование
уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического
уравнения. Какие методы преобразования вам известны?
o Решение уравнений
методом разложения на множители.
o Приведение данного
уравнения к квадратному относительно одной тригонометрической функции с
последующей заменой переменной и подстановкой. Алгебраический метод.
o Решение
однородных уравнений первой и второй степени. Уравнение
называется однородным относительно sin и cos, если
все его члены одной и той же степени относительно sin и cos
одного и того же угла.
Рассмотрим каждый из перечисленных методов на
примерах.
1)
Решить уравнение: 2 sin x · cos 5x – cos 5x = 0.
Решение:
сos5 x (2sin x – 1) = 0 ,
1) sin x = 1/2 , 2)
cos 5x = 0 ,
х = (-1)kπ/6 +πk, k Є Z. х = π/10 +
πn/5, nЄZ
2)
Решить уравнение: 2 cos2x + 3 sin x = 0.
Решение:
т.
к. cos2x = 1 - sin2x,
2(1
- sin2x) - 3 sin x = 0,
2
sin2x - 3 sin x - 2 = 0.
sin x = t, t = -1/2, t = 2
sin
x =-1/2 или sin x = 2-решений не имеет
х = (-1)k arcsin(-1/2)+πk
x = (-1)k+1π/6 +πk,
k Є Z.
3) Решение
однородных уравнений первой и второй степени.
Однородными
называются уравнения вида a·sinx+b·cosx = 0 -
первой степени,
a·sinx+ b·sinx·cosx+c·cosx
= 0 - второй степени и т.д., где a, b, c - числа.
Однородные уравнения любой степени решаются делением на подходящую степень cosx
или sinx.
Решить
уравнение: sin x - cos x = 0.
Решение:
sin x - cos x = 0, разделим обе
части уравнения на cos x
tg x - = 0
tg x =
х
= π/3 + πn, nЄZ
Выберите среди данных уравнений однородное
уравнение первой степени и решите его:
1) сos x – sin 3x =
0; 2) cos x – 3sin x = 0;
3)
cos x – 3sin x = 2; 4) cos² x – 3sin x = 0.
cos
x – 3sin x = 0 Ответ: arctg + πn, nZ
1 уровень
Самостоятельная работа.
Решить
уравнения:
1.8
cos2x – 6 cos x – 5 = 0.
2. sin2x
+ sinx = 0.
3.
sinx – cosx = 0.
4.
sinx + cosx = .
2 уровень
Вы
освоили решение уравнений 2 уровня сложности. Целью дальнейшей вашей работы
является применение своих знаний и умений в более сложных ситуациях.
Достаточно
часто в задачах на решение тригонометрических уравнений и систем требуется
указать не общее решение, демонстрирующее бесконечное семейство корней, а
выбрать только несколько из них, которые лежат в определенном диапазоне
значений.
На этом основаны решения заданий ЕГЭ типа С1
а)
б)
Подведем итог урока.
Мне
хочется еще раз обратиться к словам Конфуция. Сегодня нам пришлось и
размышлять, и подражать, и применять свой опыт при преобразовании
тригонометрических выражений. И все эти пути, действительно, ведут к новым
знаниям.
Итак, мы повторили
основные методы решения тригонометрических уравнений. Дома
необходимо решить уравнения, разделяя их по методам решения.
Решите
уравнения:
1. 5sin2x
+ 6cosx - 6 = 0
2. 2tg2x
+ 3tgx - 2 = 0
3. 4sin2x
- 1 = 0
4. cos2x
+ cosx·sinx = 0
5. tg x + 3 = 3/cos2x
6. sin2x + sin2x
= 4cos2x
Вопрос
классу: «Оцените своё самочувствие на уроке, поставив какой-либо значок на
графике функции у = sin х, изображенной на доске. Где вы себя ощущали: на
гребне волны синусоиды или во впадине?
Хочется
закончить урок словами Я.А.Коменского: “ Считай несчастным тот день или тот
час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему
образованию ”.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.