Тема урока: Арифметическая прогрессия. Формула
суммы n первых членов арифметической прогрессии»
Эпиграф к уроку
«Задачи решаются в школе ради
их решения в жизни»
американский психолог Эдвард
Торндайк
Цели урока: Вывести формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии,
выработать навыки непосредственного применения данной формулы.
Задачи урока:
·
Учебная: познакомить учащихся с формулой суммы n-первых
членов арифметической прогрессии. Выработать
навыки применения формулы суммы п- первых членов арифметической
прогрессии при решении заданий по данной теме.
·
Развивающая: развивать мыслительную деятельность учащихся, самостоятельность при
решении заданий по теме. любознательность и
вычислительные навыки.
·
Воспитательная: воспитывать
интерес к предмету, внимательность.
Тип
урока: Урок изучения новой темы и
целевого применения изученного.
Оборудование: учебник, интерактивная доска, презентационные слайды с
использованием мультимедий.
Ход урока:
1.
Орг. момент.
В начале урока приветствие ребят и
учителя.
Учитель: Ребята! Сейчас вы
стоите на пороге выбора профиля обучения , а кто-то выбора и профессии. Вам
предстоит сделать этот серьезный шаг, от которого зависит все благополучие
вашей будущей жизни. И как нельзя, кстати слова американского психолога
Эдварда Торндайка которые я взяла эпиграфом к нашему уроку . «Задачи
решаются в школе ради их решения в жизни»
Я хочу чтобы вы прочитали слова
А.С.Пушкина
«О, сколько нам открытий чудных….
Готовит просвещенья дух,
И опыт, - сын ошибок трудных,
И гений, - парадоксов друг» и настроились
на новые знания и открытия.
Я хочу, чтобы наша встреча сегодня
принесла много открытий, опыта и хорошего настроения.
«Тему сегодняшнего
урока мы узнаем, разгадав кроссворд:»
1. Как называется
график квадратичной функции?
2. Математическое
предложение, справедливость которого доказывается.
3. Упорядоченная
пара чисел, задающая положение точки на плоскости.
4. Наука,
возникшая в глубокой древности в Вавилоне и Египте, а учащиеся начинают её
изучать с 7 класса.
5. Линия на
плоскости, задаваемая уравнением у=кх+b.
6. Числовой
промежуток.
7. Предложение,
принимаемое без доказательства.
8. Результат
сложения
9. Название второй
координаты на плоскости.
10. Французский
математик 19 века, «отец» алгебры, юрист, разгадал шифр,
применяемый испанцами в войне с французами, а нам помог в быстром
решении квадратных уравнений.
Итак,
тема урока «Прогрессии». Термин «прогрессия» имеет
латинское происхождение (progression,
что означает «движение вперёд») и был введён римским автором Боэцием (VI
в.), и понимался
как бесконечная числовая
последовательность.
С одной из
них вы познакомились. Это одна из самых интересных тем в математике .И как
называется эта числовая последовательность? Вместе с вами мы
будем двигаться только вперёд, т.к. слово «Прогрессио» в переводе с греческого
языка означает движение вперёд.
Надеюсь что наш урок будет плодотворным и прогрессивным.
Я предлагаю вам прочитать некоторые мысли,
выбрать наиболее подходящие для нашей работы и можно будет их дополнить.
1. Умение
применять формулы …
2. Умение
грамотно говорить …
3. Умение
обобщать, систематизировать …
4. Умение
логически мыслить …
5. Умение
пересказывать …
6. Умение
молчать …
7. Умение
рассуждать и доказывать…….
Молодцы, если все обобщить, то мы получим
цели нашего урока.
Обобщить
теоретические знания по теме;
совершенствовать навыки нахождения
п-го члена и изучить новые формулы
Развивать
познавательный интерес учащихся, учить их видеть связь между математикой и
окружающей жизнью;
развивать грамотную математическую
речь;
Воспитывать
волю и настойчивость для достижения конечных результатов;
Ø Постановка цели урока. : Совершенствование навыков решения
задач с применением формулы п-го члена арифметической прогрессии и изучение
новых формул -формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии, выработка
навыки непосредственного применения данной формулы.
Ø Развитие навыков применения основных формул в
ходе решения задач; подготовка к ОГЭ в ходе решения задач
У вас у каждого
есть маршрутный лист изучения этой темы. Некоторые задания маршрутного листа мы
уже решали.Сегодня продолжим эту работу .К последнему уроку по теме вы должны
научиться решать и остальные.
3.Устный
опрос
1.Определение
арифметической прогрессии.
2.Что называют
разностью арифметической прогрессии? Как обозначают?
3.Формула n-ого
члена арифметической прогрессии.
4.В чем
заключается свойство арифметической прогрессии?
5.Назовите формулу
суммы n-первых членов арифметической прогрессии.
6.Какие бывают
арифметические прогрессии?
Запишите
формулы в таблицу
Проверка
домашнего задания
v «Проверь себя!»
Какие
из последовательностей являются арифметическими прогрессиями?
3,
6, 9, 12,…..
5,
12, 18, 24, 30,…..
7,
14, 28, 35, 49,….
5,
15, 25,….,95….
1000,
1001, 1002, 1003,….
1,
2, 4, 7, 9, 11…..
5,
4, 3, 2, 1, 0, -1, -2,….
v «Вычисли устно»
Найти
разность арифметической прогрессии:
1;
5; 9………
105;
100….
-13;
-15; -17……
11;
? ; 19,….
v «Реши задачу»
Между
числами 6 и 21 вставьте 4 числа так, чтобы вместе с данными числами они
образовали арифметическую прогрессию.
Решение:
= 6, = 21,
d = (21
– 6)/ (6 – 1)= 3,
6,
9, 12, 15, 18, 21.
v «Занимательное свойство арифметической прогрессии».
Дана
“стайка девяти чисел”:
3,
5, 7, 9, 11, 13, 15,17, 19.
Она
представляет собой арифметическую прогрессию. Кроме того, данная стайка чисел
привлекательна способностью разместиться в девяти клетках квадрата 3х3 так, что
образуется магический квадрат с константой, равной 33.
Знаете
ли вы, что такое магический квадрат? Квадрат, состоящий из 9 клеток, в него
вписывают числа, так чтобы сумма чисел по вертикали, горизонтали диагонали была
одним и тем же числом- constanta.
Замечание
об арифметической прогрессии само по себе очень интересно. Дело в том, что из
каждых девяти последовательных членов любой арифметической прогрессии
натуральных чисел можно составить магический квадрат.
1. Математический
диктант по вариантам. Двое учащихся работают на оборотной стороне
доски. Взаимопроверка диктанта
|
|
Вариант1
|
Вариант2
|
|
1
|
Найти 5-й член числовой последовательности заданной
формулой 
Ответ: 25.
|
Найти 4-й член числовой последовательности заданной
формулой 
Ответ: 
|
|
2
|
Чему равна разность арифметической прогрессии: 1; 4; 7; …
Ответ: 3
|
Чему равна разность арифметической прогрессии: 3; 0; -3; -6; …
Ответ: -3
|
|
3
|
Найдите пятый член арифметической прогрессии: 3; 7; 11; …
Ответ: 19
|
Найдите шестой член арифметической прогрессии; если 
Ответ: 20
|
|
4
|
Найти 10-й член арифметической прогрессии если 
Ответ: 46
|
Найти 5-й член арифметической прогрессии если 
Ответ: 21
|
5.Подготовка
к объяснению новой темы. При
свободном падении тело прошло в первую секунду 5м, а в каждую следующую на 10м
больше. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло его дна через
5 с. после начала падения.
Решение:
Составим
математическую модель задачи:
в первую
секунду 5м,
во вторую
секунду 15м,
в третью
секунду 25м,
в
четвертую секунду 35м,
в пятую
секунду 45м.
Всего за пять секунд
5+15+25+35+45=125(м). Предлагаю вам решить еще одну задачу.
Задача. Садовнику
нужно изготовить лестницу для сбора яблок из 13 ступеней так, чтобы длина
каждой следующей ступени была меньше предыдущей на 2 см. Какой длины брусок
нужно взять садовнику для этих перекладин, если первая снизу длиной 50 см?
На слайде демонстрируется
садовая лестница.
Создана проблемная
ситуация.
- Что нужно знать, чтобы ответить
на вопрос задачи?
Для ответа на вопрос задачи
необходимо найти сумму 13-ти слагаемых, а сначала сами слагаемые: 50, 48, 46,
44, … – последовательность, которая является арифметической прогрессией по
определению. Это долго и нерационально. Поэтому надо бы вывести формулу
для вычисления суммы n первых членов арифметической прогрессии.
6. Объяснение
нового материала.
Записываем в тетрадях тему урока:
Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии.
Сформулируйте цель нашего
сегодняшнего урока! - Дети формулируют, учитель координирует.
1.
Учитель:
найдите сумму всех натуральных чисел от единицы до ста. Кто
быстрее? Я предложила вам задачу, которую Гаусс решил в шестилетнем возрасте
Эпизод из жизни немецкого математика К. Ф. Гаусса (1777 – 1855). Когда
ему было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников других классов, задал
на уроке следующую задачу: «Сосчитать сумму натуральных чисел от 1 до 100
включительно: 1 + 2 + 3 + …98+99 +100. Каково же было удивление учителя, когда
один из учеников (это был Гаусс) через минуту воскликнул: «Я уже решил…»
Большинство учеников после долгих подсчетов получили неверный результат. В
тетради Гаусса было написано одно число и притом верное: 5050
Учитель: Попытаемся найти ответ на данный вопрос. Кто увидел
закономерность?
Ответ: Второе
слагаемое на единицу больше первого, а предпоследнее на единицу меньше
последнего, так что сумма должна быть такой же. То же будет происходить и с
каждой новой парой чисел. Таких сумм 50, так как всего чисел 100 и все они
разделены на пары. Значит, вся сумма равна числу 101 умноженному на 50. Другой
способ оформления решения той же задачи.
Учителю следует
поинтересоваться, какая величина появилась в решении задачи без всякого
обоснования? Число 50. Чтобы избежать этого необоснованного появления учитель
предлагает оформить решение таким образом:
1, 2, 3, 4, 5, 6, . . ., 95,
96, 97, 98, 99, 100.
100, 99, 98, 97, 96, 95, . . ., 6, 5, 4, 3, 2, 1.
Сложим попарно числа
стоящие в записи одно под другим. Каждая сумма равна 101. Таких сумм ровно
100. 101 х 100 = 10100. Учитывая, что по ходу решения мы
складывали все натуральные числа от 1 до 100 дважды, необходимо разделить
полученную величину на 2.
Учитель: Что
собой представляет последовательность чисел
1;2;3;…;98;99;100?
Ответ:
арифметическую прогрессию, первый член которой 1, а разность арифметической
прогрессии 1.
Учитель:
Что собой представляет сумма: 1+2+3+4+…+99+100?
Ответ:
Сумму арифметической прогрессии.
Учитель:
тема урока : формулы суммы п- первых членов арифметической
прогрессии.
Пусть
сумма первых n членов арифметической прогрессии равна Sn тогда:
Складывая
эти равенства почленно, получим:
Отсюда
имеем формулу:
Теорема
Сумма
первых n членов арифметической прогрессии равна полусумме крайних членов,
умноженной на число членов.
Тренировочные
упражнения: Задача 1: При свободном падении тело проходит в первую секунду 5
м, а в каждую следующую на 10 м больше. Найдите глубину шахты, если свободно
падающее тело достигло ее дна через 5 с после начала падения.
Дано:
(аn) – арифм.прогрессия
а1=5, d = 10
Найти: S5 - ?
Решение:
Ответ: 125
м
Задача2. Садовнику нужно изготовить лестницу для сбора яблок из 13
ступеней так, чтобы длина каждой следующей ступени была меньше предыдущей на 2
см. Какой длины брусок нужно взять садовнику для этих перекладин, если первая
снизу длиной 50 см?
Учитель: При решении таких задач можно
воспользоваться второй формулой для нахождения Sn.
Если
учесть, что
то
получим формулу
1. Закрепление
темы.
Работа по учебнику. Выполнить
самостоятельно, с последующей проверкой с помощью интерактивной доски.
1
вариант - № 371(а), №372 (а).
2
вариант - № 371(б), №372 (б).
Задача .
При хранении бревен строевого леса их
укладывают так, как показано на рисунке.
Сколько бревен находится в одной кладке,
если в ее основание положить 12 бревен?
Ответ: 78 бревен
Задача «Наследство».
Джентльмен получил наследство. Первый
месяц он истратил 1000$, а каждый следующий месяц он тратил на 500$ больше, чем
в предыдущий. Сколько $ он истратил за второй месяц? За третий? Каков размер
наследства, если денег хватило на год такой безбедной жизни?
Решение:
Применив формулу 
, получаем:
Применив формулу: 
, получим:
1. Ребята даже в литературе
мы встречаемся с математическими понятиями. Над мини проектом по данной теме
работала Ира. О некоторых результатах своей работы она сейчас нам расскажет.
2. вспомним
строки из "Евгения Онегина".
...Не мог он ямба от хорея,
Как мы не бились отличить...
Давайте
вспомним,что же такое ямб и хорей.
Ямб
- это стихотворный размер с ударением на чётных слогах
2; 4; 6; 8... Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым
членом 2 и разностью прогрессии 2.
Ямб
«Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил...»
Прогрессия:
2; 4; 6; 8...
Хорей
-
это стихотворный размер с ударением на нечётных слогах стиха. Номера ударных
слогов образуют арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7... С первым членом 1 и
разностью прогрессии 2.
«Бу-ря
мгло-ю не-бо кро-ет» Номера ударных слогов
также образуют арифметическую прогрессию, но ее первый член равен единице, а
разность по-прежнему равна двум: 1; 3; 5; 7; …
Хорей
«Я пропАл, как звЕрь в загОне» (Пастернак)
Прогрессия:
1; 3 ;5; 7...
Классический
хорей:
Листья
падают в саду…
В
этот старый сад, бывало,
Ранним
утром я уйду
И
блуждаю, где попало. (И.Бунин)
Вот
ещё хорей (тоже из Бунина):
Яблони
и сизые дорожки,
Изумрудно-яркая
трава
На
берёзах — серые серёжки
И
ветвей плакучих кружева.
Но
прогрессия встречается не только в литературе, но в других дисциплинах.
посмотрите внимательно на слайд. Какие задачи можно составить по этим условиям.
(В
биологии:)
Высота
саженца 60 см, первые полгода она увеличивается ежемесячно в среднем на 4
см.
(В
физике: )
Брошенное
с некоторой высоты тело в первую секунду падает на 5
м, а в каждую следующую на 9,8 м больше, чем в предыдущую.
(В
химии:)
Заряды
ядер атомов элементов, расположенных в таблице Менделеева друг за другом,
отличаются на +1. Заряд ядра атома водорода (№1) равен +1.
3.
Давайте
подведем итог нашей проделанной работы по изучению арифметической прогрессии и
напишем небольшую дифференцированную работу.
1.
Это
интересно:
1
ученик: (презентация). Информация
о задаче, которую решил шестилетний Колмогоров.
Когда
шестилетний Колмогоров нашёл, что сумма первых нечётных чисел равна п2,
он вероятно рассуждал так: « Возьмем число 1, 1 = 12. Представим это геометрически,
как один квадратик. Теперь прибавим к единице число 3. К нашему квадратику
прибавим ещё тир квадратика. Затем прибавим число 5, добавим ещё 5 квадратиков
– 2 сверху. 2 справа и один в углу. Получится квадратик 3 на 3. Девять. Каждый
раз мы будем прибавлять к квадрату п на п новый
уголок, состоящий из п квадратиков сверху, п квадратиков
справа и одного в углу. Вот и будет получаться новый квадрат со стороной п +
1. Значит, прибавляя последовательные нечётные числа, мы всегда будем получать
квадрат их количества».
Рисунок 1
Рефлексия.
Каждому
учащемуся предлагается закончить одно из следующих предложений:
|
1.
|
Я
сегодня на уроке узнал о…
|
|
2.
|
Мне
понравились на уроке моменты…
|
|
3.
|
Я
чувствую себя…
|
|
4.
|
Мне
не понравилось…
|
|
5.
|
У
меня сейчас настроение…
|
|
6.
|
Я
узнал на уроке новое о…
|
|
7.
|
По
данной теме мне хотелось бы узнать еще о…
|
|
8.
|
Мне
было сегодня на уроке…
|
|
9.
|
Мое
состояние сейчас я оцениваю, как……
|
|
10.
|
Я
хотел бы изучить подробнее по данной теме следующие вопросы…
|
|
11.
|
Данная
тема была для меня…
|
|
12.
|
Урок
был…
|
Подведение
итогов :
Как, выполнили мы поставленные задачи. Совместное обсуждение результатов
работы.
Выставление оценок.
Рефлексия
Я вам сей час расскажу притчу, а
вы, прослушав, подумайте, как бы вы ответили на вопрос мудреца
о своей работе на уроке.
Притча
Шел мудрец, а навстречу ему 3
человека, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями для
строительства. Мудрец остановился и задал каждому по вопросу. У первого он
спросил: «Что ты делал целый день?» И тот с ухмылкой ответил, что целый день
возил проклятые камни. У второго мудрец спросил: «А что ты делал целый день?»,
и тот ответил: «А я добросовестно выполнял свою работу». А третий улыбнулся,
его лицо засветилось радостью и удовольствием: «А я принимал участие в
строительстве храма!»
Кто ответил бы также как первый
человек? (поднимают красную карточку)
Кто ответил бы также как второй
человек? (поднимают желтую карточку )
Кто ответил бы также как третий
человек? (поднимают зеленую карточку)
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.