Показательные уравнения и неравенства

• 1 слайд

  Показательные уравнения и неравенства
  их типы и методы решения
  

• 2 слайд

  Определение:
  Показательные уравнения – уравнения, в которых переменная входит только в показатели степеней при постоянных основаниях.
  Например,
  

• 3 слайд

  монотонно убывает на R
  Ось Ох является горизонтальной асимптотой
  монотонно возрастает на R
  8. При любых действительных значениях х и у; a>0, a≠1; b>0, b≠1.
  7. Асимптота
  6. Экстремумы
  5. Монотонность
  4. Четность, нечетность
  3. Промежутки сравнения значений функции с единицей
  2. Область значений функции
  1. Область определения функции
  С в о й с т в а показательной функции
  Показательные неравенства
  их типы и методы решения
  Показательная функция экстремумов не имеет
  Функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида).
  

• 4 слайд

  Основные методы решения показательных уравнений
  1.Метод уравнивания показателей.
  2.Метод разложения на множители.
  3. Метод введения новой переменной.
  4. Функционально-графический ( он основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функции).
  

• 5 слайд

  Решить уравнения
  

• 6 слайд

  
  Решить уравнение
  
  Дробь равна 0, если числитель равен 0, а знаменатель нет.
  Получив корни, проверить входят ли они в ОДЗ. Исключим лишний корень
  

• 7 слайд

  
  Решить уравнение
  
  Простейшее тригонометрическое уравнение вида sinx=a
  
  
  

• 8 слайд

  
  Решить уравнение
  
  

• 9 слайд

  
  Решить уравнение
  
  Ограничений на область допустимых значений у уравнения нет, так как подкоренное выражение имеет смысл при любом значении x
   (показательная функция y = 94-x положительна и не равна нулю)
  

• 10 слайд

  
  Решить уравнение
  
  Найдём ОДЗ уравнения, подкоренное выражение неотрицательно
  
  
  
  
  Решений нет
  Возведём обе части уравнения в квадрат
  Данный корень удовлетворяет ОДЗ
  
  

• 11 слайд

  
  Решить уравнение
  
  Разделим каждое слагаемое на
  x=1, x=2
  

• 12 слайд

  
  Решить уравнение
  
  Рассмотрим выражение
  
  
  
  
  
  

• 13 слайд

  
  Решить уравнение
  
  Так как t > 0, то -15 посторонний корень
  

• 14 слайд

  
  Решить уравнение
  
  Так как t>0, то -8 посторонний корень
  

• 15 слайд

  Показательные неравенства
  их типы и методы решения
  ОПРЕДЕЛЕНИЕ
  простейших показательных неравенств:
  Пусть а – данное положительное, не равное единице число и b – данное действительное число. Тогда неравенства ax > b (ax ≥ b) и ax < b (ax ≤ b) называются простейшими показательными неравенствами.
  

• 16 слайд

  Показательные неравенства
  их типы и методы решения
  
  ЧТО НАЗЫВАЕТСЯ
  решением неравенства?
  
  Решением неравенства с неизвестным х называют число х0, при подстановке которого в неравенство получается верное числовое неравенство.
  

• 17 слайд

  Показательные неравенства
  их типы и методы решения
  
  ЧТО ЗНАЧИТ
  решить неравенство?
  
  Решить неравенство –
  значит, найти все его решения или показать, что их нет.
  

• 18 слайд

  Рассмотрим взаимное расположение графика
  функции y=ax, a>0, a≠1 и прямой y=b
  Показательные неравенства
  их типы и методы решения
  y
  x
  y
  x
  y=b, b<0
  y=b, b<0
  y=b, b=0
  y=b, b=0
  y=b, b>0
  y=b, b>0
  0
  1
  0
  1
  х0
  х0
  

• 19 слайд

  Показательные неравенства
  их типы и методы решения
  
  
  ВЫВОД №1:
  
  
  При b ≤ 0 прямая y=b не пересекает график функции y=ax, т.к. расположена ниже кривой y=ax, поэтому неравенства ax > b (ax ≥ b) выполняются при x R, а неравенства ax < b (ax ≤ b) не имеют решения.
  

• 20 слайд

  ВЫВОД №2:
  
  
  y
  x
  0
  х0
  х1
  y=b, b>0
  1
  Показательные неравенства
  их типы и методы решения
  Если a > 1 и b > 0,
  то для каждого x1 > x0 соответствующая
  точка графика функции y = ax находится выше прямой y = b,
  а для каждого x2 < x0 - ниже прямой y = b.
  При b > 0 прямая у = b пересекает график функции y = ax в единственной точке, абсцисса которой x0 = logab
  х2
  

• 21 слайд

  ВЫВОД №2:
  
  
  y
  x
  0
  х0
  х1
  y=b, b>0
  х2
  Показательные неравенства
  их типы и методы решения
  Если a > 1 и b > 0,
  то для каждого x1 < x0 соответствующая
  точка графика функции y = ax находится выше прямой y = b, а для каждого x2 > x0 - ниже прямой y = b.
  1
  При b > 0 прямая у = b пересекает график функции y = ax в единственной точке, абсцисса которой x0 = logab
  

• 22 слайд

  Простейшие показательные неравенства
  Показательные неравенства
  их типы и методы решения
  

• 23 слайд

  Показательные неравенства
  их типы и методы решения
  Пример №1.1
  Ответ:
  возрастает на всей области определения,
  Решение:
  

• 24 слайд

  Показательные неравенства
  их типы и методы решения
  Пример №1.2
  Решение:
  Ответ:
  убывает на всей области определения,
  

• 25 слайд

  Показательные неравенства
  их типы и методы решения
  Типы показательных неравенств и методы их решения
  1) Показательные неравенства, сводящиеся к простейшим
  
  
  
  
  
  возрастает на всей области определения
  Пример №1
  Ответ:
  Решение:
  

• 26 слайд

  Показательные неравенства
  их типы и методы решения
  Типы показательных неравенств и методы их решения
  Показательные неравенства,
  сводящиеся к простейшим
  
  
  Пример №2
  возрастает на всей области определения
  Ответ:
  Решение:
  

• 27 слайд

  Показательные неравенства
  их типы и методы решения
  Типы показательных неравенств и методы их решения
  2) Показательные неравенства,
  сводящиеся к квадратным неравенствам
  
  Пример
  Вернёмся к переменной х
  возрастает при всех х
  из области определения
  Ответ:
  Решение:
  

• 28 слайд

  Показательные неравенства
  их типы и методы решения
  Типы показательных неравенств и методы их решения
  3) Однородные показательные неравенства первой и второй степени. Однородные показательные неравенства первой степени
  Пример №1
  возрастает на всей области определения
  Ответ:
  Решение:
  

• 29 слайд

  Показательные неравенства
  их типы и методы решения
  Типы показательных неравенств и методы их решения
  3) Однородные показательные
  неравенства первой и второй степени. Однородные показательные неравенства первой степени
  Пример №2
  убывает на всей
  области определения
  Ответ:
  Решение:
  

• 30 слайд

  Показательные неравенства
  их типы и методы решения
  Типы показательных неравенств и методы их решения
  3) Однородные показательные неравенства
  первой и второй степени. Однородные показательные
  неравенства второй степени
  Пример №3
  Вернёмся к переменной х
  убывает на всей области определения
  Ответ:
  Решение:
  

• 31 слайд

  Показательные неравенства
  их типы и методы решения
  Типы показательных неравенств и методы их решения
  4) Показательные неравенства,
  сводящиеся к рациональным неравенствам
  Пример
  Вернёмся к переменной х
  возрастает на всей области определения
  Ответ:
  Решение:
  

• 32 слайд

  Показательные неравенства
  их типы и методы решения
  Типы показательных неравенств и методы их решения
  5) Показательные нестандартные неравенства
  Пример
  Решение:
  Решим каждое утверждение совокупности отдельно.
  Неравенство равносильно совокупности
  

• 33 слайд

  Показательные неравенства
  их типы и методы решения
  Типы показательных неравенств и методы их решения
  5) Показательные нестандартные неравенства
  Пример
  Ответ:
  Решение:
  Проверка
  Проверка показала, что х=1, х=3, х=1,5 являются решениями уравнения, а х=2 не является решением уравнения.
  Итак,