Практическая работа по высшей математике на тему: "Парабола. Решение задач"

Дисциплина – «Элементы высшей математики»

Практическая работа

Тема: «Кривые второго порядка. Парабола»

  Цель: формирование  умений составлять уравнения параболы, исследовать форму и расположение параболы;

  формирование общих компетенций, включающими в себя способность:

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 6. Работать в коллективе и в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

Методические указания и теоретические сведения к практической работе

  Парабола — геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой  директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).

Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Она может быть определена как коническое сечение с единичным  эксцентриситетом.

Точка параболы, ближайшая к её директрисе, называется вершиной этой параболы. Вершина является серединой перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису.

  Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:

 (или , если поменять местами оси).

Число p называется фокальным параметром, оно равно расстоянию от фокуса до директрисы. Поскольку каждая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы, то и вершина — тоже, поэтому она лежит между фокусом и директрисой на расстоянии  от обоих.

  Парабола, заданная квадратичной функцией

Квадратичная функция  при  также является уравнением параболы и графически изображается той же параболой, что и  но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке A, координаты которой вычисляются по формулам:

 где  — дискриминант квадратного трёхчлена.

  Общее уравнение параболы

В общем случае парабола не обязана иметь ось симметрии, параллельную одной из координатных осей. Однако, как и любое другое коническое сечение, парабола является кривой второго порядка и, следовательно, её уравнение на плоскости в декартовой системе координат может быть записано в виде квадратного многочлена:

Если кривая второго порядка, заданная в таком виде, является параболой, то составленный из коэффициентов при старших членах дискриминант  равен нулю.

  Пример 1. Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, заданной уравнением .

Решение. Из данного канонического уравнения параболы следует, что , т.е. ,откуда .Значит, точка  - фокус параболы, а   — уравнение ее директрисы.

  Пример 2. Составить каноническое уравнение параболы и уравнение ее директрисы, если известно, что вершина параболы лежит в начале координат, а фокус имеет координаты  .

Решение. Согласно условию, фокус параболы расположен на отрицательной полуоси  , т.е. ее уравнение имеет вид: x²= - 2py

Так как , то , откуда .Итак, уравнение параболы есть , а уравнение ее директрисы .

  Пример 3. Составить уравнение параболы, имеющей вершину в начале координат, симметричной оси Ох   и проходящей через точку  .

Решение. Из условия заключаем, что уравнение параболы следует искать в виде .

Так как точка  принадлежит параболе , то ее координаты удовлетворяют этому уравнению:   36= - 2р*(-3);     2р=12.

Итак, уравнение параболы имеет вид .

  Пример 4. Парабола симметрична относительно оси Ox, проходит через точку 

A(4, -1), а вершина ее лежит в начале координат. Составить ее уравнение.

Решение.Так как парабола проходит через точку A(4, -1) с положительной абсциссой, а ее осью служит ось Ox, то уравнение параболы следует искать в виде y² = 2px. Подставляя в это уравнение координаты точки A, будем иметь

искомым уравнением будет

Эскиз этой параболы показан на рисунке

  Пример 5. Парабола y² = 2px проходит через точку A(2, 4). Определить ее параметр p.

Решение. Подставляем в уравнение параболы вместо текущих координат координаты точки A (2, 4). Получаем

4² = 2p*2; 16 = 4p; p = 4.

  Пример 6. Привести к каноническому (простейшему) виду уравнение параболы 

y = 2x² + 4x + 5 и найти координаты ее вершины.

Решение. Уравнение y = 2x² + 4x + 5 преобразуем, выделив в правой части полный квадрат:

y = 2(x² + 2x) + 5,

y = 2[(x + 1)² - 1] + 5,

y = 2(x + 1)² + 3,

y - 3 = 2(x + 1)²;

пусть теперь x₁ = x + 1, y₁ = y - 3. Из сравнения с формулами

координаты нового начала: x₀ = -1; y₀ = 3. Уравнение параболы примет вид 

Эскиз параболы показан на рисунке.

Пример 7. Упростить уравнение параболы y = x² - 7x + 12, найти координаты ее вершины и начертить эскиз кривой.

Решение. Выделим в правой части уравнения y = x² - 7x + 12 полный квадрат по способу, указанному выше в задаче, и получим

или

Положим

Отсюда из сравнения с формулами

координаты нового начала, т. е. вершины параболы, будут . После переноса начала координат в точку уравнение параболы примет наиболее простой вид . Эскиз кривой представлен на рисунке.

  Пример 8. Составить уравнение параболы и ее директрисы, если парабола проходит через точки пересечения прямой  и окружности  и симметрична относительно оси  .

Решение. Найдем точки пересечения заданных линий, решив совместно их уравнения:

В результате получим два решения  и  . Точки пересечения  и  . Так как парабола проходит через точку  и симметрична относительно оси  , то в этой точке будет находиться вершина параболы. Поэтому уравнение параболы имеет вид  . Так как парабола проходит через точку  , то координаты этой точки удовлетворяют уравнению параболы:  ,  , 

Итак, уравнением параболы будет  , уравнение директрисы  или  , откуда 

Ответ.  ; 

  Пример 9. Мостовая арка имеет форму параболы. Определить параметр  этой параболы, зная, что пролет арки равен , а высота 

Решение. Выберем прямоугольную систему координат так, чтобы вершина параболы (мостовой арки) находилась в начале координат, а ось симметрии совпадала с отрицательным направлением оси  . В таком случае каноническое уравнение параболы имеет вид  , а концы хорды арки  и  . Подставив координаты одного из концов хорды (например,  ) в уравнение параболы и решив полученное уравнение относительно  , получим 

Ответ. 

Задание 1.

а) Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, заданной уравнением у²=16р. 

б) Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, заданной уравнением

 у²= -18р. 

Задание 2.

а)  Составить каноническое уравнение параболы и уравнение ее директрисы, если известно, что вершина параболы лежит в начале координат, а фокус имеет координаты  (0; -7).

б) Составить каноническое уравнение параболы и уравнение ее директрисы, если известно, что вершина параболы лежит в начале координат, а фокус имеет координаты  (0; 4).

Задание 3.

а) Составить уравнение параболы, имеющей вершину в начале координат, симметричной относительно  оси Ох  и проходящей через точку  А (-2; - 4). Начертить эскиз  данной кривой.

б) Составить уравнение параболы, имеющей вершину в начале координат, симметричной относительно оси Ох   и проходящей через точку  А (3; - 5). Начертить эскиз  данной кривой.

Задание 4.

а) Парабола y² = 2px проходит через точку A(4; 8). Определить ее параметр p.

б) Парабола y² = -2px проходит через точку A(-4; -8). Определить ее параметр p.

Задание 5.

а) Привести к каноническому (простейшему) виду уравнение параболы y = 2x² + 8x + 5 и найти координаты ее вершины. Начертить эскиз  данной кривой.

б) Привести к каноническому (простейшему) виду уравнение параболы y = 4x² + 16x +10 и найти координаты ее вершины. Начертить эскиз  данной кривой.

Задание 6.  а) Составить уравнение параболы и ее директрисы, если парабола проходит через точки пересечения прямой 2х + 2у=0  и окружности х²+у² – 4х=0  и симметрична относительно оси Оу.

б) Составить уравнение параболы и ее директрисы, если парабола проходит через точки пересечения прямой 3х + 3у=0  и окружности 2х² + 2у² - 8х=0 и симметрична относительно оси Ох.

Задание 7. а) Арка здания имеет форму параболы. Определить параметр р этой параболы, зная, что пролет арки равен 12 м, а высота 4 м.

б) Арка дома имеет форму параболы. Определить параметр р этой параболы, зная, что пролет арки равен 14 м, а высота 6 м.

Отчет о практической работе

Тема практической работы

1.      Цель практической работы

2.      Умения

В ходе выполнения практической работы я научился (закрепил умения) вычислять…

Я получил (совершенствовал) практические навыки…

3.      Знания

o   В ходе практической работы я получил новые знания. Узнал, что …

4.      Выводы

Мне было сложно выполнять…, потому, что…

Мне было несложно выполнять…, потому, что…

Краткое описание документа:

Практическая работа по высшей математике на тему: "Парабола. Решение задач". В работе представлены краткие теоретические сведения и методические указания для выполнения практической работы. Работа предназначена студентам 2 курса СПО. Может быть использована для аудиторной и внеаудиторной самостоятельной работы студентов 2 курса СПО.