Практическое занятие по теме "Элементы математической статистики"

Тема: Элементы математической статистики

Задание: Составить конспект темы

Фундаментальными понятиями математической статистики являются генеральная совокупность и выборка. Генеральную совокупность удобно изображать с использованием круговой диаграммы, выборку – с использованием части круговой диаграммы.

Способы образования выборочной совокупности: случайная (отбирая на удачу), механическая (отбирая через определенный интервал), типическая (случайные выборки из каждой группы), серийная (разбивается на непересекающиеся серии или группы).

Обработка собранной информации.

Статистическая информация о результатах наблюдений или экспериментов может быть представлена в различных формах.

Простейшей из них является запись в порядке их появления – запись в ряд:

…, называемый простым статистическим рядом или выборкой.

Отдельные значения, составляющие этот ряд, называют вариантами или просто данными.

Понятие объема ряда

Количество вариант в ряду n называют объемом ряда, или объемом выборки.

Варианты в ряду могут иметь как различные, так и одинаковые значения.

Понятие ранжированного ряда

Составить ранжированный ряд - это значит записать варианты в порядке их возрастания.

Характеристики числового ряда

Пример 1. Пусть студент получил в течение года следующие отметки по математике: 5, 2, 4, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5. Какую четвертную отметку поставит ему преподаватель?

Многих волнует подобная проблема, и чаще всего студенты решают ее следующим естественным образом: складывают все отметки и делят сумму оценок на их количество.

В нашем случае (5 + 2 + 4 + 4 + 5 + 5 + 4 + 4 + 5 + 5 + 5) / 10 = 4,4

Число 4,4, которое получается в результате, называется средним арифметическим. Поскольку такую оценку в журнал ставить не принято, учитель, скорее всего, округлит ее до 4.

Средним арифметическим (или выборочным средним) ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество:

Среднее арифметическое, конечно, является важной характеристикой ряда чисел, но иногда полезно рассматривать и другие средние.

Модой (Мо) называют число ряда, которое встречается в этом ряду наиболее часто.

Можно сказать, что оно в этом ряду самое «модное». В отличие от среднего арифметического, которое можно вычислить для любого числового ряда, моды может вообще не быть.

Например, пусть тот же студент получил по русскому языку следующие отметки: 4, 2, 3, 5. Каждая отметка встречается в этом ряду только один раз, и среди них нет числа, встречающегося чаще других. Значит, у этого ряда нет моды. А вот среднее арифметическое, конечно, есть:(4 + 2 + 3 + 5) : 4 = 3,5.

Такой показатель, как мода, можно использовать не только в числовых рядах. Вы уже знакомы с социологическими опросами. Если, например, опросить большую группу учеников, какой предмет вам нравится больше всего, то модой можно назвать тот предмет, который будут называть чаще остальных. Это одна из причин, по которой мода широко используется при изучении спроса. Например, при решении вопросов, в пачки какого веса фасовать масло, какие открывать авиарейсы и т. п., предварительно изучается спрос и выявляется мода — наиболее часто встречающийся заказ. И даже выборы президента, с точки зрения статистики, не более чем определение моды.

Медиана числового ряда

Медианой ряда, состоящего из нечетного количества чисел, называется число данного ряда, которое окажется посередине, если этот ряд упорядочить: ,

Медианой ряда, состоящего из четного количества чисел, называется среднее арифметическое двух стоящих посередине чисел этого ряда, если этот ряд упорядочить.,

Для того чтобы найти медиану ряда чисел, нужно сначала их упорядочить — составит ранжированный ряд (записать в порядке убывания).

Пример 2.В конце года 11 учеников 8 класса сдавали норматив по бегу на 100 метров. Были зафиксированы следующие результаты:

Ученик

Ученик	Данила	Петя	Лена	Катя	Стас	Аня	Оля	Боря	Паша	Наташа	Миша
Результат (с)	15.3	16,9	21, 8	18,4	16,1	25,1	19,9	15,5	14,7	20,2	15,4

После того как все ребята пробежали дистанцию, к преподавателю подошел Петя и спросил, какой у него результат. «Самый средний результат: 16,9 секунды», — ответил учитель. «Почему? — удивился Петя. — Ведь среднее арифметическое всех результатов — примерно 18,3 секунды, а я пробежал на секунду с лишним лучше. И вообще, результат Кати (18,4) гораздо ближе к среднему, чем мой». «Твой результат средний, потому что пять человек пробежали лучше, чем ты, и пять — хуже. То есть ты как раз посередине», — сказал учитель. На языке статистики результат Пети называется медианой исходного ряда данных.

Для того чтобы найти медиану ряда чисел, нужно сначала их упорядочить — составить ранжированный ряд. В нашем примере он выглядит так:

14,7; 15,3; 15,4; 15,5; 16,1; 16,9; 18,4; 19,9; 20,2; 21,8; 25,1.

Средним (шестым по счету) числом является 16,9: пять чисел меньше него, пять чисел больше. Значит, 16,9 — медиана.

Достоинством медианы является ее большая по сравнению со средним арифметическим «устойчивость к ошибкам».

Представим себе, что в наши наблюдения вкралась досадная оплошность: например, при записи одного из результатов соревнований мы пропустили десятичную запятую и вместо 20,2 написали 202. Тогда среднее арифметическое результатов возрастет с 18,1 секунды до 34,6 секунды, а медиана будет по-прежнему 16,9 секунды!

Медиану используют вместо средней арифметической, когда крайние варианты упорядоченного ряда (наименьшая и наибольшая) по сравнению с остальными оказываются чрезмерно большими или чрезмерно малыми.

Статистические характеристики: среднее арифметическое, мода, медиана называются средними результатами измерений.

Размах. Дисперсия. Среднеквадратичное отклонение

Средние характеристики числового ряда позволяют оценить его поведение «в среднем». Но это далеко не всегда полностью характеризует выборку.

Размах — это разность наибольшего и наименьшего значений ряда данных: …

R =

Пример 4. Температура на Меркурии колеблется от - 150 до + 350 Удобен ли климат Меркурия для жизни людей, если на планете Меркурий средняя температура +15?

Например, на планете Меркурий средняя температура +15°. Исходя из этого статистического показателя, можно подумать, что на Меркурии умеренный климат, удобный для жизни людей.

Однако на самом деле это не так. Температура на Меркурии колеблется от — 150° до +350°.

Значит, чтобы получить представление о поведении числового ряда, помимо средних характеристик надо знать характеристики разброса, показывающие, насколько значения ряда различаются между собой, как сильно они «разбросаны» вокруг средних. Простейшей такой характеристикой является размах.

Для температуры на Меркурии, например, размах равен

350° — (-150°) = 500°. Конечно, такого перепада температур человек выдержать не может.

Размах очень просто вычисляется, но не всегда несет достоверную информацию, так как на его величину может сильно повлиять какое-то одно (возможно, ошибочное) значение статистического ряда.

Выполнить задания:

1.     При переселении населения данные о возрасте (полном количестве лет) жильцов некоторого дома оказались следующими:

34, 31, 2, 8, 48, 40, 20, 15, 12, 21, 20, 0, 68, 39, 35, 16

13, 9, 4, 72, 74, 75, 45, 44, 23, 18, 88, 60, 54, 30, 32

11, 10, 5, 57, 53, 56, 24, 2, 1, 60, 59, 34, 30, 9, 7, 43

42, 19, 1, 36, 37, 14, 13, 9, 62, 58, 19, 39, 35, 12, 8, 40

25, 3, 33, 34, 8, 7, 4, 28, 0, 41, 29, 21, 1, 31, 27, 6, 3,

70, 56, 67, 25, 24, 2.

Разбить приведенные данные по классам. Составить таблицу распределения по частотам, а также гистограмму частот.

2.     Найти моду, медиану и среднее выборки:

1)    3, -2, 1, 0, 2, -1;                                 2) 7, 4, -1, 3, -3, 0

3.     Найти размах выборки

1)    15, -7, 13, -6, 8, 2, 1, -8, -2

2)    21, 12, -1, 7, -3, 20, 14, 0, 1.

1 вариант

1.     Найти размах, моду, медиану и среднее выборки:

3, -2, 1, 0, 2, -1, 6, 2, -2, 1, 0, -2

2.     При переселении населения данные о возрасте (полном количестве лет) жильцов некоторого дома оказались следующими:

34, 31, 2, 8, 48, 40, 20, 15, 12, 21, 20, 0, 68, 39, 35, 16

13, 9, 4, 72, 74, 75, 45, 44, 23, 18, 88, 60, 54, 30, 32

11, 10, 5, 57, 53, 56, 24, 2, 1, 60, 59, 34, 30, 9, 7, 43

42, 19, 1, 36, 37, 14, 13, 9, 62, 58, 19, 39, 35, 12, 8, 40

25, 3, 33, 34, 8, 7, 4, 28, 0, 41, 29, 21, 1, 31, 27, 6, 3,

70, 56, 67, 25, 24, 2.

Разбить приведенные данные по классам. Составить таблицу распределения по частотам, а также гистограмму частот.

2        вариант

1.     Найти моду, медиану и среднее выборки:

 7, 4, -1, 3, -3, 0, 3, 6, 0, -3, 7, 0, -7, 2

2.     Рост каждой из 30 гимнасток одного спортивного клуба:

148, 148, 149, 149, 149, 150, 153. 149, 149, 150, 154, 150, 151, 151, 150, 154, 152, 154, 153, 149, 152, 154, 148, 154, 150, 152. 151, 154, 149, 149.

Составить таблицу распределения по частотам и относительным частотам.  Построить полигон относительных частот значений величины Х.