Презентация для участия в научно-практической конференции по математике 8 кл.

• 1 слайд

  Работу выполнила ученица 8 «а» класса
  МКОУ Тогучинского района
  «Тогучинская средняя школа № 5»
  Дударева Дарья
  

• 2 слайд

  
  Признаки
  делимости
  

• 3 слайд

  Актуальность
  
  При решении задач на факультативных уроках, рассматривали задачи на применение признаков делимость на 11, 15 и т. д., со слов учителя математики выпускники, решая экзаменационные работы на базовом уровне, встретились с более сложными задачами на применение признаков делимости. Чтобы подготовить себя, я решила более углубленно изучить признаки делимости.
  

• 4 слайд

  Гипотеза
  Если в школьном курсе математики изучаются признаки делимости натуральных чисел на 2,3,5,9, 10, то должны существовать и другие признаки делимости, по которым можно определить делимость натуральных чисел на другие числа
  Цель
  Изучить признаки делимости не изучаемые в школе и рассмотреть их применение при решении задач
  

• 5 слайд

  ЗАДАЧИ
  Изучить литературу по теме.
  Провести анкетирование учеников 6-ых, 9,11 классов на знание признаков делимости.
  Рассмотреть признаки делимости, изучаемые в школе.
  Исследовать самостоятельно признаки делимости на 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 25, 30, 37, 41, 50, 59, 79, 99, 100 и 1000.
  Рассмотреть применение признаков делимости при решении задач.
  Оформить работу в виде реферата и презентации.
  
  
  
  

• 6 слайд

  Немного истории
  

• 7 слайд

  Блез Паскаль— французский математик, механик, физик, литератор и философ. Он вывел общий признак делимости чисел, из которого следуют все частные признаки.
  Признак Паскаля:
  Натуральное число a разделить на другое
  натуральное число b только в том случае,
  Если сумма произведений цифр числа a на
  соответствующие остатки, получаемые при
  Делении разрядных единиц на число b, делится на это число.
  2814 делится на 7, т.к. 2*6+8*2+1*3+4=35,
  35:7=5 (где 6 – остаток от деления 1000 на 7;
  2 – остаток от деления 100 на 7;
  3 – остаток деления 10 на 7)
  

• 8 слайд

  
  Признаки делимости
  
  
  
  Признак делимости — алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному. При изучении признаков делимости я обратила внимание, что признаки делимости можно разбить на три группы:
  - делимость по последним цифрам числа;
  - делимость по сумме цифр числа;
  - делимость составных чисел.
  
  

• 9 слайд

  Признаки делимости по последним цифрам числа
  Признак делимости на 4:
  Число делится на 4, когда две последние цифры нули или составляют число, делящееся на 4.
  Пример: Число 14676 делится на 4, т.к. число 76 делится на 4.
  Признак делимости на 25:
  Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 25.
  Пример: Число 9 450 делится на 25,т.к. его последние цифры 50 делятся на 25.
  Признак делимости на125:
  Число делится на 125,если три последние цифры образуют число делящееся на 125.
  Пример: на 125 делится 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875.
  
  

• 10 слайд

  Признаки делимости чисел по сумме цифр чисел
  Признак делимости на 11:
  Число делится на 11, если разность между суммой его цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, делится на 11.
  Пример: Число 9 163 627 делится на 11, т.к. (9+6+6+7)-(1+3+2)=22 – делится на 11.
  Признак делимости на 13:
  Число делится на 13, когда сумма числа десятков с учетверенной цифрой в разряде единиц делится на 13.
  Пример: Число 845 делится на 13, т.к. 84+5 4=104 и 10+4 4=26 – делится на 13.
  Признак делимости на 19:
  Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенной цифрой в разряде единиц, делится на 19.
  Пример: Число 646 делится на 19,т.к. 64+2 6=76 и 7+6 2=19 – делится на
  
  
  

• 11 слайд

  Признаки делимости составных чисел
  
  Признаки делимости составных чисел строятся на признаках делимости простых чисел, на которые можно разложить любое составное число.
  Правила делимости чисел:
  •Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.
  •Если в произведении хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.
  Признак делимости на 6:
  Число делится на 6, если оно делится и на 2, и на 3. Т.е. число должно быть чётным, и сумма цифр в нем должна делится на 3.
  Пример: Число 126 делится на 6, т.к. оно делится на 2 и на 3.
  
  
  

• 12 слайд

  Признак делимости на 12:
  Признак 1 :Число делится на 12, когда оно делится на 3 и на 4.
  Пример: Число 636 делится на 12, т.к. оно делится на 3 и на 4.
  Признак 2: Число делится на 12, когда разность  удвоенного числа десятков и числа единиц делится на 12.
  Пример: Число 504 делится на 12, так как 50 2 – 4 = 96.
  Признак делимости на 14:
  Число делится на 14, если оно делится и на 2, и на 7.
  Пример: Число 826 делится 14, так как оно делится на 2 и на 7.
  Признак делимости на 15:
  Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.
  Пример: Число 32 445 делится на 15, так как оно делится и на 3 и на 5.
  
  

• 13 слайд

  Практическая часть
  
  Делимость составных чисел
  Задача 1.
  Если из задуманного трехзначного числа вычесть 7, то полученная разность разделится на 7, если вычесть 8, то полученная разность разделится на 8; если вычесть 9, то полученная разность разделится на 9. Какое наименьшее из возможных чисел задумано?
  Решение:
  Задуманное число делится на 7, 8, 9. Наименьшим числом, делящимся на 7, 8 и 9, есть число 7 8 9 = 504.
  Ответ: 504.
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 14 слайд

  Делимость по сумме цифр числа
  Задача 2.
  Готовясь к занятию кружка, ребята нашли такие 2 натуральных последовательных числа, наименьшие из возможных, что сумма цифр каждого из них делится на 17. Какие числа нашли ребята?
  Решение:
  Наименьшее число, отличное от нуля, делящееся на 17, есть число 17, следующее за ним 34. Нас это не удовлетворят. Чтобы число было наименьшим, оно должно быть возможно меньшей значимости, а значит, цифры в его записи наибольшими из возможных. Рассмотрим число 8899. Сумма его цифр 8 + 8 + 9 + 9 =34 (делится на 17). Следующее за ним число 8900 имеет сумму цифр 8 + 9 = 17, тоже делится на 17, что удовлетворяет условию.
  Ответ: 8899 и 8900.
  

• 15 слайд

  Делимость по последним цифрам числа
  Задача 3.
  Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число.
  Затем из первого числа вычли второе и получили 2277.
  Приведите ровно один пример такого числа.
  Ответ: 8195
  
  

• 16 слайд

  Задачи базового уровня ЕГЭ
  
  Задача 1.
  Приведите пример пятизначного числа кратного 12, произведение цифр которого равно 40. В ответе укажите ровно одно такое число.
  Решение:
  Разложим число 40 на простые множители. 40=2 2 2 5.
  Таких множителей всего четыре, цифр недостаточно для пятизначного числа, но в произведение всегда можно добавить единицу, результат от этого не изменится.
  40=5 2 2 2 1
  Таким образом, число в ответе можно составить только из этих цифр: 1,2,2,2,5.
  Чтобы число было кратным 12(то же самое, что делилось на 12 без остатка) оно должно удовлетворять признакам делимости на 3 и 4, так как 12=3 4.
  Проверим сумму цифр 1+2+2+2+5=12. Она делится на 3, поэтому наше число будет делиться на 3 при любых перестановках цифр.
  А чтобы оно делилось на 4, в конце нужно поставить две цифры так, чтобы образованное ими число делилось на 4.
  Очевидно, что последней цифрой должна быть 2-ка, другие – нечётные. Проверим варианты 12, 22, 52.
  12:4=3, 22:4=11:2-не делится нацело; 52:4=13.
  Вывод: число должно быть составлено так, чтобы в конце было 12 или 52, а в начале любые перестановки из оставшихся трёх цифр.
  Возможные ответы: 12252, 21252, 22152, 22512, 25212, 52212. В ответ пишем один из них. Например,
  Ответ: 21252.
  
  

• 17 слайд

  Задача 2.
  Приведите пример трёхзначного числа кратного 15, произведение цифр которого равно 30. В ответе укажите ровно одно такое число.
  Решение:
  Разложим число 30 на простые множители. 30=2 *3* 5.
  Таких множителей три, нам нужно составить трёхзначное число, которое делится на 15, т.е. удовлетворяет признакам делимости на 3 и на 5, так как 15=3 *5.
  Чтобы число делилось на 5, оно должно оканчиваться цифрой 5.
  Проверим сумму цифр 2+3+5=10. Сумма цифр не делится на 3, поэтому наше число не будет делиться на 3 при любых перестановках цифр.
  Вспоминаем, что в качестве сомножителей можно добавить любое количество единиц и результат не изменится.
  Представим 30 как 2* 3* 5* 1.
  Теперь возможных цифр для составления трёхзначного числа больше, чем нужно.
  Поэтому сгруппируем некоторые простые сомножители в составе: 2* 5=10 и
  3* 5=15 это не цифры, а двухзначные числа. 2 3=6. Число 6 обозначается цифрой 6.
  Представим 30 как 6* 5* 1.
  Проверим сумму цифр 6+5+1=12. Делится на 3. Таким образом, число в ответе можно составить из цифр: 6, 5, 1. Последней цифрой должна быть 5-ка.
  Возможные ответы: 615, 165.
  
  

• 18 слайд

  ТСОШ
  № 1
  ТСОШ
  № 5
  

• 19 слайд

  Результаты анкетирования
  ТСОШ № 5
  ТСОШ № 1
  

• 20 слайд

• 21 слайд

• 22 слайд

  Выводы
  Выполняя свою практическую работу, я убедилась в том, что существуют много признаков делимости которые не изучаются в школьной программе. Анализируя экзаменационный материал по математике, убедилась, что действительно признаки делимости применяются при решении задания № 19 ЕГЭ.
  Изучая и анализируя признаки делимости, я пришла к выводу, что обязательно нужно рассматривать тему «Признаки делимости». Мой материал можно использовать на факультативных или кружковых занятиях
  В дальнейшем я хочу работать над материалом классификация задач ЕГЭ по признакам делимости.