Презентация "Формулы сокращённого умножения".

• 1 слайд

  Разложение многочленов на множители.
  Обобщающий урок по теме «Разложение на множители»
  
  

• 2 слайд

  Немного теории
  
  Разложить многочлен на множители значит представить его в виде произведения более простых многочленов.
  Существует несколько способов разложения:
  
  
  Вынесение общего множителя за скобки
  Способ группировки
  С помощью формул сокращенного умножения
  

• 3 слайд

  Сначала убедимся в том что разложение на множители –вещь полезная.
  Вам предлагают решить уравнение 2х2+х-6=0.
  Для таких уравнений имеется специальное правило решения, но вы его пока еще не знаете.
  Как быть?
  
  
  
  
  

• 4 слайд

  Воспользуемся разложением многочлена на множители: 2х2+х –6=(2х-3)(х+2)
  Тогда заданное уравнение можно переписать в виде:
  (2х-3) (х+2)=0
  Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Значит,
  либо 2х-3=0,
  либо х+2=0.
  Из первого уравнения х=1,5, а из второго уравнения х=-2.
  Уравнение решено, оно имеет два корня: 1,5 и –2.
  

• 5 слайд

  Рассмотрим другую ситуацию
  Пусть нужно найти значение числового выражения
  532-472
  612-392
  Самое эффективное решение – дважды воспользоваться формулой разности квадратов:
  532-472 = (53-47)(53+47) = 6•100 = 6 = 3
  612-392 (61-39)(61+39) 22•100 22 11
  Разложение на множители позволило нам сократить дробь. Позднее мы оценим это и при выполнении действий с алгебраическими дробями.
  

• 6 слайд

  Таким образом, разложение многочлена на множители используется для решения уравнений, для преобразования числовых и алгебраических выражений. Применяется оно и в других ситуациях, как, скажем, в следующем довольно трудном, но красивом примере, где ключ к успеху опять-таки в разложении на множители.
  

• 7 слайд

  ПРИМЕР
  Доказать, что для любого натурального числа n выражение n3+3n2+2n делится без остатка на 6.
  
  Попробуйте его решить
  

• 8 слайд

  Посмотрите, как легко это можно сделать
  Пусть p(n) = n3+3n2+2n.
  Если n=1, то p(1)=1+3+2=6. Значит, p(1) делится на 6 без остатка.
  Если n=2, то p(2)=23+3·22+2·2=8+12+4=24. Следовательно, и p(2) делится на 6 без остатка.
  Если n=3, то p(3)=33+3·32+2·3=27+27+6=60. Поэтому и p(3) делится на 6 без остатка.
  Но вы же понимаете, что перебрать так все натуральные числа нам не удастся. Как быть? На помощь приходят алгебраические методы.
  Имеем: n3+3n2+2n=n(n+1)(n+2).
  В самом деле n(n+1)= n2+ n, а (n2+n)(n+2)=n3+2n2+n2+2n=n3+3n2+2n.
  Итак, p(n) = n(n+1)(n+2), т.е. p(n) есть произведение трех идущих подряд натуральных чисел n, n+1, n+2. Но из трех таких чисел одно обязательно делится на 3, значит и их произведение делится на 3. Кроме того, по крайней мере одно из этих чисел – четное, т.е. делится на 2. Итак, p(n) делится и на 2, и на 3, т.е. делится на 6.
  Все прекрасно, скажите вы, но как догадаться, что n3+3n2+2n= n(n+1)(n+2)? Ответ очевиден: надо учиться разложению многочленов на множители.
  
  К этому и перейдем.
  

• 9 слайд

  Вынесение общего множителя за скобки
  Алгоритм отыскания общего множителя нескольких одночленов
  Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, - он и будет общим числовым множителем (разумеется, это относится только к случаю целочисленных коэффициентов).
  Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена, и выбрать для каждой из них наименьший (из имеющихся) показатель степени.
  Произведение коэффициента, найденного на первом шаге, является общим множителем, который целесообразно вынести за скобки.
  

• 10 слайд

  Пример
  Разложить на множители:
  -x4y3-2x3y2+5x2.
  Воспользуемся сформулированным алгоритмом.
  Наибольший общий делитель коэффициентов –1, -2 и 5 равен 1.
  Переменная x входит во все члены многочлена с показателями соответственно 4, 3, 2; следовательно, можно вынести за скобки x2.
  Переменная y входит не во все члены многочлена; значит, ее нельзя вынести за скобки.
  Вывод: за скобки можно вынести x2. Правда, в данном случае целесообразнее вынести -x2. Получим:
  -x4y3-2x3y2+5x2=-x2(x2y3+2xy2-5).
  
  

• 11 слайд

  Способ группировки
  Для уяснения сути способа группировки рассмотрим следующий пример:
  разложить на множители многочлен xy-6+3y-2y
  Первый способ группировки:
  xy-6+3y-2y=(xy-6)+(3x-2y).
  Группировка неудачна.
  Второй способ группировки:
  xy-6+3y-2y=(xy+3x)+(-6-2y)=x(y+3)-2(y+3)=(y+3)(x-2).
  Третий способ группировки:
  xy-6+3y-2y=(xy-2y)+(-6+3x)=y(x-2)+3(x-2)=(x-2)(y+3).
  Ответ: xy-6+3y-2y=(x-2)(y+3).
  Как видите, не всегда с первого раза группировка оказывается удачной. Если группировка оказалась неудачной, откажитесь от нее, ищите иной способ. По мере приобретения опыта, вы будете быстро находить удачную группировку.
  

• 12 слайд

  Разложение многочлена на множители с помощью формул сокращенного умножения
  Вспомните эти формулы:
  a2-b2=(a-b)(a+b);
  a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2);
  a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);
  a2+2ab+b2=(a+b)2;
  a2-2ab+b2=(a-b)2.
  Первую из этих формул можно применять к выражению, представляющему собой разность квадратов (безразлично чего – чисел, одночленов, многочленов), вторую и третью – к выражению, представляющему собой разность (или сумму) кубов; последние две формулы применяются к трехчлену, представляющему собой полный квадрат, т.е. содержащему сумму квадратов двух выражений и удвоенное произведение тех же выражений.
  

• 13 слайд

  Примеры
  Разложить на множители:
  1) x6-4a4. Воспользуемся первой формулой (разность квадратов):
  x6-4a4=(x3)2-(2a2)2=(x2-2a2)(x3+2a2).
  2) a6+27b3. Воспользуемся третьей формулой (сумма кубов):
  a6+27b3=(a2)3+(3b)3=(a2+3b)((a2)2-a2·3b+(3b)2)=
  =(a2+3b)(a4-3a2b+9b4).
  3) a2-4ab+4b2. В этом примере дан трехчлен, для его разложения на множители будем пользоваться пятой формулой, если, конечно, убедимся в том, что трехчлен является полным квадратом:
  a2-4ab+4b2=a2+(2b)2-2·a·2b=(a-2b)2.
  Мы убедились, что трехчлен содержит сумму квадратов одночленов a и 2b, а также удвоенное произведение этих одночленов. Значит, это полный квадрат, причем квадрат разности.
  

• 14 слайд

  Разложение многочлена
  на множители с помощью комбинации различных приемов
  В математике не так часто бывает, чтобы при решении примера применялся только один прием, чаще встречаются комбинированные примеры, где сначала используется один прием, затем другой и т.д. Чтобы успешно решать такие примеры, мало знать сами приемы, надо еще уметь выработать план их последовательного применения. Иными словами, здесь нужны не только знания, но и опыт. Вот такие комбинированные примеры мы и рассмотрим.
  

• 15 слайд

  Пример 1
  Разложить на множители многочлен
  36a6b3-96a4b4+64a2b5
  1) Сначала займемся вынесением общего множителя за скобки. Рассмотрим коэффициенты 36, 96, 64. Все они делятся на 4, причем это – наибольший общий делитель, вынесем его за скобки. Во все члены многочлена входит переменная a (соответственно a6, a4, a2), поэтому за скобки можно вынести a2. Точно так же во все члены многочлена входит переменная b (соответственно b3, b4, b5) – за скобки можно вынести b3.
  Итак, за скобки вынесем 4a2b3. Тогда получим:
  36a6b3-96a4b4+64a2b5=4a2b3(9a4-24a2b+16b2).
  2) Рассмотрим трехчлен в скобках: 9a4-24a2b+16b2. Выясним, не является ли он полным квадратом. Имеем:
  9a4-24a2b+16b2=(3a2)2+(4b)2-2·3a2·4b.
  Все условия полного квадрата соблюдены, следовательно,
  9a4-24a2b+16b2=(3a2-4b)2.
  3) Комбинируя два приема (вынесение общего множителя за скобки и использование формул сокращенного умножения), получаем окончательный результат:
  36a6b3-96a4b4+64a2b5=4a2b3(3a2-4b)2.
  
  

• 16 слайд

  Пример 2
  Разложить на множители
  x4+x2a2+a4
  Применим метод выделения полного квадрата. Для этого представим x2a2 в виде 2x2a2-x2a2. Получим:
  x4+x2a2+a4=x4+2x2a2-x2a2+a4=
  =(x4+2x2a2+a4)-x2a2=
  =(x2+a2)2-(xa)2=(x2+a2+xa).
  

• 17 слайд

  Сначала воспользуемся тем, что n можно вынести за скобки: n(n2+3n+2). Теперь к трехчлену n2+3n+2 применим способ группировки, предварительно представив 3n в виде 2n+n. Получим:
  n2+3n+2=n2+2n+n+2=(n2+2n)+(n+2)=
  =n(n+2)+(n+2)=(n+2)(n+1).
  Окончательно получаем:
  n2+3n+2=n(n+1)(n+2).
  Пример 3
  Разложить на множители
  n3+3n2+2n
  

• 18 слайд

  Первый способ. Представим –6x в виде суммы –x-5x, а затем применим способ группировки:
  x2-6x+5=x2-5x+5=(x2-x)+(-5x+5)=x(x-1)-5(x-1)=(x-1)(x-5).
  Тогда заданное уравнение примет вид:
  (x-1)(x-5)=0,
  откуда находим, что либо x=1, либо x=5.
  
  Второй способ. Применим метод выделения полного квадрата, для чего представим слагаемое 5 в виде 9-4. Получим:
  x2-6x+5=x2-6x+9-4=(x2-6x+9)-4=
  =(x-3)2-22=(x-3-2)(x-3+2)=(x-5)(x-1).
  Снова пришли к уравнению (x-1)(x-5)=0, имеющему корни 1 и 5.
  Ответ: 1, 5.
  Пример 4
  Решить уравнение
  x2-6x+5=0
  

• 19 слайд

  Сокращение
  алгебраических дробей
  Алгебраической дробью называется отношение двух многочленов P и Q. При этом используют запись P
  Q
  

• 20 слайд

  Тождества
  a2-b2=(a-b)(a+b);
  x2-4x+4=(x-2)2;
  (a+b)c=ac+bc.
  Написанные равенства верны при любых значениях входящих в их состав переменных. Такие равенства называют тождествами. Левую и правую часть тождества называют выражениями, тождественно равными. Замену одного выражения другим, тождественным ему, называют тождественным преобразованием выражения.
  
  Определение. Тождество – это равенство, верное при любых допустимых значениях входящих в его состав переменных.
  

• 21 слайд

  ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
  Мы ввели новые (для вас) понятия математического языка:
  разложение многочлена на множители;
  алгебраическая дробь, сокращение алгебраической дроби;
  тождество, тождественно равные выражения, тождественное преобразование выражения.
  Вы познакомились со следующими приемами разложения многочлена на множители:
  вынесение общего множителя за скобки;
  группировка;
  использование формул сокращенного умножения;
  выделение полного квадрата.
  

• 22 слайд

  На этом мы и закончим
  наш сегодняшний урок
  

Краткое описание документа:

Формулы сокращённого умножения, или, как принято сокращать ФСУ, проходят в разных вариациях через весь курс школьной математики. Знание этих формул, умение их применять при решении различных задач - это то, чем должен овладеть каждый выпускник базовой и средней школы. Формулы находят своё применение в самых различных задачах алгебры, геометрии, тригонометрии и их уверенно можно отнести к основным знаниям учащегося.