Презентация и документ по математике "Применение производной" (10-11 классы)

МУНИЦИПАЛЬНОЕ КАЗЁННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ОТДЕЛ ОБРАЗОВАНИЯ ИСПОЛНИТЕЛЬНОГО КОМИТЕТА

АПАСТОВСКОГО МУНИЦИПАЛЬНОГО РАЙОНА РЕСПУБЛИКИ ТАТАРСТАН»

Конкурс проектов среди  учащихся «Время открытий»

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ

(Номинация: Метапредметные)

Новосёлова Диана Анатольевна,

ученица 10 класса,

МБОУ «Староюмралинская СОШ»

Руководитель: Сабирова Гульфира Гумеровна,

учитель математики МБОУ «Староюмралинская СОШ»

Старые Юмралы – 2019

Содержание:                                                                              стр.

1.      Вступительная часть: обоснование актуальности проблемы……….........3

2.      Теоретические основания данной темы........................................................3

3.      Проблема проекта...........................................................................................3

4.      Цель проекта………………………………………………………...............3

5.      Задачи проекта………………………………………………...............…… 4

6.      Ожидаемые результаты проекта...................................................................4

7.       Методы и средства реализации проекта…….............................................4

8.      Целевая группа проекта…………………………………...............………. 5

9.      Срок реализации проекта……………………………................……….. …5

10.  Место реализации проекта………………………................…………… …5

11.  Планирование проекта………………………......................……………….5

12.  Основная часть

       12.1.  Применение производной в различных областях науки

 12.2.  Производная в алгебре………………………………………………6-7

 12.3.  Производная в физике………………………………………………8

 12.4.  Производная в химии…………………………………………….…8

 12.5.  Производная в биологии……………………………………..……..8

 12.6. Производная в географии………………………………………..….8

 12.7. Производная в электротехнике…………………………………..…9

 12.8. Производная в экономике………………………………………..….9

13.  Практическая часть проекта.........................................................................9-11

14.  Литература …………………………………………………………............11

15.  Приложение ……………………………………………………………..... 11-18

1.      Вступительная часть: обоснование актуальности проблемы.

           Тема «Производная» - это один из важнейших разделов курса математического анализа, так как это понятие является основным в дифференциальном исчислении и служит исходной базой при построении интегрального исчисления. Но часто,  сталкиваясь с этим понятием в первый раз, мы не понимаем для чего нужно его изучать. Мы не видим практического применения этой темы. Поэтому данный проект «Применение производной» направлен на то, чтобы  выяснить, зачем нужно изучать производную, где можно использовать знания, связанные с производной в жизни, а также в других предметах. Для успешной сдачи ЕГЭ по математике необходимо умение решать задачи, связанные с производной, т.к. на экзамене встречается достаточное количество таких задач.

2.      Теоретические основания данной темы.

            Характерной особенностью КИМов по предмету: «Математика» является наличие задач связанные с производной. Данные задания  являются типовыми для математики; поскольку для решения данных задач необходим  математический аппарат (интерпретация графиков, работа с диаграммами, понимание прикладного значения производной). Следует стремиться выдерживать общий дидактический принцип, основанный на идее посильности каждой задачи в общей цепи упражнений, постепенном нарастании трудности, взаимосвязи нового и пройденного материала. 

Объектом изучения стал процесс подготовки к ЕГЭ по математике.  Изучены документы, связанные с результатами ЕГЭ прошлых лет по математике, и проанализированы их итоги.

Итоги ЕГЭ прошлых лет выявляют ключевые проблемы, определяющие недостаточное число выпускников с уровнем подготовки, подходящим для успешного продолжения образования в профильных вузах:

1.      Неинформированность базовой логической культуры;

2.      Слабые геометрические знания, графическая культура;

3.   Неумение проводить анализ условия, искать пути решения, применять известные алгоритмы в измененной ситуации;

4.      Неразвитость регулятивных умений: находить и исправлять собственные ошибки.

Как видно из проделанного анализа типичных и массовых неверных ответов, самой большой проблемой является неверное понимание, неполное или невнимательное чтение условия. На ступени основной и средней (полной) общей школы при изучении математики приобретают еще большую актуальность следующие направления:

1.                  Математика, необходимая для успешной жизни в современном обществе;

2.                  Математика, необходимая для прикладного использования в дальнейшей учебе и профессиональной деятельности.

3.      Проблема проекта

 Используя знания по теме производный,  оптимизировать подготовку к ЕГЭ  для каждого ученика на своем уровне.

4.      Цель проекта

           Показать значимость производной не только в математике, но и в других науках, её важность в современной жизни, формирование предметной компетентности - самостоятельной познавательной активности, навыков работы с большими объемами информации, умений видеть проблему и наметить пути ее решения, применять базовые знания для решения конкретной проблемы, развитие креативных способностей, логического мышления.

5.           Задачи проекта

          Сформировать  осознанное понятие производной функции; научиться обрабатывать и обобщать полученную информацию в результате проведенных вычислений и экспериментов, научиться кратко излагать свои мысли устно и письменно.

           Сформировать навыки проектной деятельности.

           Показать как используется производная на практике? Как используется производная при решении физических, геометрических, экономических, географических задач? В каких задачах ЕГЭ по математике применяется производная?  

           Подготовить презентацию.

6.      Ожидаемые результаты проекта

1. Формирование познавательных интересов и мотивов, направленных на изучение математики.

2. Развитие интеллектуальных умений (доказывать, строить рассуждения, анализировать, сравнивать, делать выводы).

3. Выступить с докладом, презентацией.

4. Овладение навыками проектной деятельностью.

5.Развивать умение работать с разными источниками информации.

6.Умения работать в сети Интернет, в программах Microsoft Office.

7.Выявить сферы применения производной.

8.Умение самостоятельно находить, изучать и обобщать учебный материал.

9.Умение применять полученные знания в нестандартных и жизненных ситуациях.

10.Научиться составлять и решать задачи с применением производной.

7.      Методы и средства реализации проекта

Методы:

1. Диагностики

2. Изучения

3. Описания

4. Анализа

Средства:

1. Уроки

2. Консультации

3. Компьютер

4. Интернет – ресурсы

5. Кружки

8. Целевая группа проекта: Учащиеся 10- 11 классов

9. Срок разработки и реализации проекта: 2018-2020гг.

    10.  Место реализации проекта: МБОУ «Староюмралинская СОШ»

11.   Планирование проекта

     Человеку постоянно приходится решать задачи на управление различными процессами. Много задач выдвигают экономика, различные науки и повседневная жизнь. Каждый раз, когда такая задача встает перед человеком, он старается из всех возможных решений выбрать наилучшее, т.е. оптимальное. В этих поисках и помогает математика. Задачи на экстремумы-оптимумы разнообразны по своему содержанию, форме и приемам решения, но, несмотря на это разнообразие, их объединяет одна особенность – поиск наиболее выгодного в определенных отношениях, наиболее экономичного, наименее трудоемкого, наиболее производительного. Этот поиск можно кратко назвать поиском наилучшего.

           Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной функции. Первое, с чем мы столкнёмся в институте при изучении высшей математики, будет дифференциальное исчисление. Поэтому мне хотелось бы, чтобы  все полученные  знания по этой теме обрели систему. И, конечно же, это нам пригодится при сдаче выпускных экзаменов.

           Дифференциальное исчисление – это описание окружающего нас мира, выполненное на математическом языке. Производная помогает нам успешно решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки и техники.

             Производная функции используется всюду, где есть неравномерное протекание процесса: это и неравномерное механическое движение, и переменный ток, и химические реакции и радиоактивный распад вещества и т.д.

Я решила написать работу на тему «Применение производной», потому что считаю эту тему очень интересной, полезной и актуальной.

            В своей работе я расскажу о применении дифференцирования в различных областях      науки, таких как химия, физика, биология, география и т. д. Ведь все науки неразрывно связаны между собой, что очень хорошо видно на примере рассматриваемой мною темы.

Применение производной в различных областях науки

           Из курса алгебры 10 класс мы уже знаем, что производная - это предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует.

Действие нахождения производной называется её дифференцированием, а функцию, имеющую производную в точке х, называют дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая в каждой точке промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.

            Честь открытия основных законов математического анализа принадлежит английскому физику и математику Исааку Ньютону и немецкому математику, физику, философу Лейбницу.

           Ньютон ввел понятие производной, изучая законы механики, тем самым раскрыл её механический смысл.

            Физический смысл производной: производная функции y=f(x) в точке x₀ – это скорость изменения функции f(x) в точке x₀.

            Лейбниц пришёл к понятию производной, решая задачу проведения касательной к производной линии, объяснив этим ее геометрический смысл. Геометрический смысл производной состоит в том, что производная функция в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x₀.

Термин производная и современные обозначения y' , f ' ввёл Ж.Лагранж в 1797г.

             Российский математик 19 века Панфутий Львович Чебышев говорил, что «особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека, например, как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды».

С такими задачами в наше время приходится иметь дело представителям самых разных специальностей:

·         Инженеры технологи стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции;

·         Конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей;

·         Экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными.

              При изучении любой темы у нас возникает вопрос: «Зачем нам это надо?» Если ответ удовлетворит любопытство, то можно говорить о всеобщей заинтересованности . Ответ для темы «Производная» можно получить, зная, где используются производные функций.

             Чтобы ответить на этот вопрос, можно перечислить некоторые дисциплины и их разделы, в которых применяются производные.

             Производная в алгебре:

1. Касательная к графику функции 

Касательная к графику функции f, дифференцируемой в точке x_о, - это прямая, проходящая через точку (x_о; f(x_о)) и имеющая угловой коэффициент f ′(x_о). 

 y = f(x_о) + f ′(x_о) (x – x_о)

2. Поиск промежутков возрастания и убывания функции

Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых  и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых  и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

3. Поиск точек экстремума функции

Точку  называют точкой максимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке максимума называют максимумом функции и обозначают .

Точку  называют точкой минимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают .

              Под окрестностью точки  понимают интервал , где  - достаточно малое положительное число.

Точки минимума и максимума называют точками экстремума, а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции.

4. Поиск промежутков выпуклости и вогнутости функции

График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале выпуклым, если график этой функции в пределах интервала  лежит не выше любой своей касательной (рис. 1).

График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале вогнутым, если график этой функции в пределах интервала  лежит не ниже любой своей касательной (рис. 2).

Точкой перегиба графика функции  называется точка , разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости.

5. Поиск точек изгиба функции

     Производная в физике:

1. Скорость как производная пути 

2. Ускорение как производная скорости a = 

3. Скорость распада радиоактивных элементов  = - λN

А так же в физике производную применяют для вычисления:

Скорости материальной точки 

Мгновенной скорости как физический смысл производной

Мгновенное значение силы переменного тока

Мгновенное значение ЭДС электромагнитной индукции 

Максимальную мощность 

             Производная в химии: и в химии нашло широкое применение дифференциальное исчисление для построения математических моделей химических реакций и последующего описания их свойств. Производную в химии используют для определения очень важной вещи – скорости химической реакции, одного из решающих факторов, который нужно учитывать во многих областях научно-производственной деятельности. 

V (t) = p ‘(t) - Количество вещества в момент времени t₀

∆t = t– t₀ - Приращение аргумента Изменение количества вещества

∆p= p(t₀+ ∆ t ) – p(t0)Приращение функции  средняя скорость химической реакции

∆p/∆t - Отношение приращения функции к приращению аргумента

              Производная в биологии: популяция – это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой и частично или полностью изолированных от других популяций, а также является элементарной единицей эволюции.

Р = х‘ (t)

               Производная в географии: производная помогает рассчитать:

1. Некоторые значения в сейсмографии

2. Особенности электромагнитного поля земли

3. Радиоактивность ядерно- геофизических показателей

4.Многие значения в экономической географии

5.Вывести формулу для вычисления численности населения на территории в момент времени t. у’= к у

Идея социологической модели Томаса Мальтуса состоит в том, что прирост населения пропорционально числу населения в данный момент времени t через N(t) .Модель Мальтуса неплохо действовала для описания численности населения США с 1790 по 1860 годы.

             Производная в электротехнике: в наших домах, на транспорте, на заводах : всюду работает электрический ток. Под электрическим током понимают направленное движение свободных электрически заряженных частиц.

Количественной характеристикой электрического тока является сила тока.

В  цепи электрического тока электрический заряд меняется с течением времени по закону q=q (t). Сила тока I есть производная заряда q по времени.

В электротехнике в основном используется работа переменного тока.

Электрический ток, изменяющийся со временем, называют переменным. Цепь переменного тока может содержать различные элементы: нагревательные приборы, катушки, конденсаторы.

Получение переменного электрического тока основано на законе электромагнитной индукции, формулировка которого содержит производную магнитного потока.

Производная в экономике: экономика – основа жизни, а в ней важное место занимает дифференциальное исчисление – аппарат для экономического анализа. Базовая задача экономического анализа – изучение связей экономических величин в виде функций.

Производная в экономике решает важные вопросы:

1. В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении таможенных пошлин?

2. Увеличится или уменьшится выручка фирмы при увеличение цены на её продукцию?

Для решения этих вопросов нужно построить функции связи входящих переменных, которые затем изучаются методами дифференциального исчисления.

Также с помощью экстремума функции (производной) в экономике можно найти наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск и минимальные издержки.

1.      Практическая часть проекта

·         Определение производной

·         Физический смысл производной

·         Геометрический смысл производной

·         Н значение производной в данной точке

·         Дать определение критических точек

·         Виды критических точек

·         Начертить, как ведет себя график функции в каждой из этих точек

·         Почему крайнюю точку области определения нельзя считать критической

·         При каком условии функция возрастает(убывает) (функция возрастает (убывает), если ее производная принимает значения больше(меньше) нуля и конечное число раз принимает значение, равное нулю)

·         Изображен график производной функции. По графику ответить на вопросы: а) количество точек максимума;

б) количество точек минимума;

в) число промежутков возрастания;

г) число промежутков убывания;

д) точки перегиба.

По графику производной можно проследить, как ведет себя сама функция.

Производная может применяться для:

        1) Нахождения уравнения касательной к графику функции;

Алгоритм нахождения:

1) Найти значение функции в заданной точке;

2) Найти производную функции;

3) Найти значение производной в заданной точке;

4) Написать уравнение касательной к графику функции.

         2) Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке;

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции y=f(x) на отрезке [a,b]

1) Найти производную функции;

2) Найти стационарные и критические точки, лежащие внутри отрезка [a,b];

3) Вычислить значение функции y=f(x) в точках, отобранных на втором шаге, в точках a и b, выбрать среди них наибольшее и наименьшее значение функции

         3) Исследование на монотонность, нахождение экстремумов функции.

Алгоритм исследование на монотонность, нахождение экстремумов функции

1) Найти производную функции;

2) Найти стационарные и критические точки, лежащие внутри отрезка;

3) Определить отрезки убывания, возрастания.

       Производная в ЕГЭ по математике. Базовый и профильный уровени. Темы 1.Применение производной к исследованию функции 2. Геометрический смысл производной, касательная 1. Физический смысл производной.

Производная в вариантах базового  уровня это задачи-14-----------, профильного 7,12. (примеры задач- приложение 1)

Заключение

            Я думаю, что вы поняли необходимость изучения темы «Производная » , увидели, как это может пригодиться на практике, и надеюсь, что знания, полученные в школе, пригодятся нам в жизни. Производная успешно применяется при решении различных прикладных задач в науке, технике и жизни

            Как видно из вышеперечисленного применение производной функции весьма многообразно и не только при изучении математики, но и других дисциплин. Поэтому можно сделать вывод, что изучение темы: «Производная функции» будет иметь своё применение в других темах и предметах.

              Мы убедились в важности изучения темы "Производная", ее роли в исследовании процессов науки и техники, в возможности конструирования по реальным событиям математические модели, и решать важные задачи.  При работе над данным проектом я убедилась, что производная успешно применяется при решении различных прикладных задач в науке, технике.  Для успешной сдачи ЕГЭ по математике необходимо умение решать задачи, связанные с производной, т.к. на экзамене встречается достаточное количество таких задач.

1.      Список литературы

Список используемой литературы:

1. Богомолов Н.В., Самойленко И.И. Математика. - М.: Юрайт, 2015.

2. Баврин И.И. Основы высшей математики. - М.: Высшая школа, 2013.

3. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа, 2013.

4. Богомолов Н.В. Сборник задач по математике. - М.: Дрофа, 2013.

5. Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. – М.: Издательский центр «Академия», 2016

6. Виноградов Ю.Н., Гомола А.И., Потапов В.И., Соколова Е.В. – М.:Издательский центр «Академия», 2010

7. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А, Элементы высшей математики. - М.: Академия, 2014.

 8. Рыбников К.А. История математики, «Издательство Московского университета», М, 1960.

Периодические источники:

Газеты и журналы: «Математика», «Открытый урок»

Использование ресурсов сети Интернет, электронных библиотек:

https://ru.wikipedia.org/wiki

http://dic.academic.ru/

http://urokmatem.ru

www: egetutor.ru

matematika-na5.norod.ru

Приложение 1.

Скорость изменения величин

1.На ри­сун­ке изображён гра­фик функции, к ко­то­ро­му про­ве­де­ны ка­са­тель­ные в четырёх точках.

Ниже ука­за­ны зна­че­ния про­из­вод­ной в дан­ных точках. Поль­зу­ясь графиком, по­ставь­те в со­от­вет­ствие каж­дой точке зна­че­ние про­из­вод­ной в ней.

ТОЧКИ		ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
А) K Б) L В) M Г) N		1) −4 2) 3 3)  4) −0,5

Запишите в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в порядке, со­от­вет­ству­ю­щем буквам: 

А	Б	В	Г

2.На ри­сун­ке изображён гра­фик функ­ции y = f(x). Числа a, b, c, d и e за­да­ют на оси x че­ты­ре интервала. Поль­зу­ясь графиком, по­ставь­те в соответствие каж­до­му ин­тер­ва­лу ха­рак­те­ри­сти­ку функ­ции или её производной.

Ниже ука­за­ны зна­че­ния про­из­вод­ной в дан­ных точках. Поль­зу­ясь графиком, по­ставь­те в со­от­вет­ствие каж­дой точке зна­че­ние про­из­вод­ной в ней.

ТОЧКИ		ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
А) (a; b) Б) (b; c) В) (c; d) Г) (d; e)		1) про­из­вод­ная от­ри­ца­тель­на на всём интервале 2) про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на в на­ча­ле ин­тер­ва­ла и от­ри­ца­тель­на в конце интервала 3) функ­ция от­ри­ца­тель­на в на­ча­ле ин­тер­ва­ла и по­ло­жи­тель­на в конце интервала 4) про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на на всём интервале

Запишите в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в порядке, со­от­вет­ству­ю­щем буквам: 

А	Б	В	Г

Запишите в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в порядке, со­от­вет­ству­ю­щем буквам: 

А	Б	В	Г

3.На ри­сун­ке изображён гра­фик функ­ции y = f(x) и от­ме­че­ны точки K, L, M и N на оси x. Поль­зу­ясь графиком, по­ставь­те в со­от­вет­ствие каж­дой точке ха­рак­те­ри­сти­ку функ­ции и её производной.

Ниже ука­за­ны зна­че­ния про­из­вод­ной в дан­ных точках. Поль­зу­ясь графиком, по­ставь­те в со­от­вет­ствие каж­дой точке зна­че­ние про­из­вод­ной в ней.

ТОЧКИ		ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНК­ЦИИ ИЛИ ПРОИЗВОДНОЙ
А) K Б) L В) M Г) N		1) функ­ция по­ло­жи­тель­на, про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на 2) функ­ция от­ри­ца­тель­на, про­из­вод­ная отрицательна 3) функ­ция положительна, про­из­вод­ная равна 0 4) функ­ция отрицательна, про­из­вод­ная положительна

В таб­ли­це под каж­дой бук­вой ука­жи­те со­от­вет­ству­ю­щий номер. 

А	Б	В	Г

4.На ри­сун­ке изображён гра­фик функции y = f(x) . Точки a, b, c, d и e за­да­ют на оси Ox интервалы. Поль­зу­ясь графиком, по­ставь­те в со­от­вет­ствие каждому ин­тер­ва­лу характеристику функ­ции или её производной.

ИНТЕРВАЛЫ ВРЕМЕНИ		ХАРАКТЕРИСТИКИ
А) (a; b) Б) (b; c) В) (c; d) Г) (d; e)		1) Зна­че­ния функции по­ло­жи­тель­ны в каж­дой точке интервала. 2) Зна­че­ния производной функ­ции положительны в каж­дой точке интервала. 3) Зна­че­ния функции от­ри­ца­тель­ны в каж­дой точке интервала. 4) Зна­че­ния производной функ­ции отрицательны в каж­дой точке интервала.

Запишите в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в порядке, со­от­вет­ству­ю­щем буквам: 

А	Б	В	Г

5.На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами A, B, C и D.

В правом столбце указаны значения производной функции в точках A, B, C и D. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной функции в ней.

ТОЧКИ		ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
A B C D		1) − 1,5 2) 0,5 3) 2 4) − 0,3

 Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: 

A	B	C	D

6.Установите соответствие между графиками функций и характеристиками этих функций на отрезке [−1; 1].

ГРАФИКИ

ХАРАКТЕРИСТИКИ

1) Функция принимает отрицательное значение в каждой точке отрезка [−1; 1].

2) Функция возрастает на отрезке [−1; 1].

3) Функция принимает положительное значение в каждой точке отрезка [−1; 1].

4) Функция убывает на отрезке [−1; 1].

 В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

A	Б	В	Г

Геометрический смысл производной

1. На рисунке изображен график функции y=f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 8. Найдите f '(8).

2.  На рисунке изображен график функции Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 10. Найдите 

3.  На ри­сун­ке изображён гра­фик  — про­из­вод­ной функ­ции  и шесть точек на оси абсцисс: x₁, x₂, ..., x₆. В сколь­ких из этих точек функ­ция  возрастает?

4. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 4). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

5.                                            

На рисунке изображён график  — производной функции  Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику  параллельна прямой y = 3x − 6 или совпадает с ней.

Физический смысл производной

1. Материальная точка движется прямолинейно по закону  (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 4 с.

2. Материальная точка движется прямолинейно по закону  (где x —расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 3 с.

3. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t3 - 6t2- 8t + 4, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 88 м/с?

 Исследование частных

1. Найдите точку максимума функции 

2. Найдите точку минимума функции 

3. Найдите наименьшее значение функции  на отрезке 

4. Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 

Исследование степенных и иррациональных функций

1. Найдите точку минимума функции 

2. Найдите наименьшее значение функции  на отрезке 

3. Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 

Исследование тригонометрических функций

1. Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 

2.Найдите наименьшее значение функции на отрезке 

3. Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 

4. Найдите наименьшее значение функции  на отрезке 

5. Найдите наименьшее значение функции у = (х–17)е^х–16   на отрезке [15;17].

6.Найдите точку минимума функции у = (х + 18)е^х-18   

7.Найдите точку максимума функции у = (3х² – 15х + 15)е ^7–х

 Исследование по­ка­за­тель­ных и ло­га­риф­ми­че­ских функций

1. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции  на от­рез­ке [−4,5; 0].

2.Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

3. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции 

4.Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции .

5. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции  на от­рез­ке .

6.Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции 

7.Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции

8. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции 

• 1 слайд

  
  МУНИЦИПАЛЬНОЕ КАЗЁННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
  «ОТДЕЛ ОБРАЗОВАНИЯ ИСПОЛНИТЕЛЬНОГО КОМИТЕТА
  АПАСТОВСКОГО МУНИЦИПАЛЬНОГО РАЙОНА РЕСПУБЛИКИ ТАТАРСТАН»
   
  
  
   
  
   
  Конкурс проектов среди учащихся «Время открытий»
  
   
  
  ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
  (номинация: Метапредметные)
  
   
  
   
  
  
  
  Новосёлова Диана Анатольевна,
  ученица 10 класса,
  МБОУ «Староюмралинская СОШ»
  Руководитель: Сабирова Гульфира Гумеровна,
  учитель математики
  

• 2 слайд

  
  Проблема проекта
  
  
  
  Используя знания по теме производный, оптимизировать подготовку к ЕГЭ для каждого ученика на своем уровне.
  
  

• 3 слайд

  Цель проекта
  
  Показать значимость производной не только в математике, но и в других науках, её важность в современной жизни. формирование предметной компетентности - самостоятельной познавательной активности, навыков работы с большими объемами информации, умений видеть проблему и наметить пути ее решения, применять базовые знания для решения конкретной проблемы, развитие креативных способностей, логического мышления;
  
  

• 4 слайд

  Задачи проекта
  
  Сформировать осознанное понятие производной функции; научиться обрабатывать и обобщать полученную информацию в результате проведенных вычислений и экспериментов, научиться кратко излагать свои мысли устно и письменно.
  Сформировать навыки проектной деятельности.
  Показать как используется производная на практике? Как используется производная при решении физических, геометрических, экономических, географических задач? В каких задачах ЕГЭ по математике применяется производная?  
  
  

• 5 слайд

  «Ум заключается не только в знании , но и в умении применять знания на практике»
  
  Аристотель
  

• 6 слайд

  Введение
  
  Производная-это одна из сложнейших тем в математике , при её помощи решаются задачи по физике ,химии , биологии и даже географии . Многие учащиеся затрудняются или вообще не умеют их решать . Изучение производной продиктовано ещё и тем , что многие задания ЕГЭ содержат применение производной.
  Поэтому мы решили изучить эту тему более подробно.
  
  

• 7 слайд

  Экскурс в историю
  Производная - одно из фундаментальных понятий математики , характеризующее скорость изменения функции в данной точке.
  Понятия производной возникло в XVII веке в связи с необходимостью решения задач из физики , механики и математике , но в первую очередь следующих двух : определение скорости прямолинейного движения и построения касательной к прямой.
  Независимо друг от друга Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц разработали теорию дифференциального исчисления.
  
  

• 8 слайд

  Понятие «производная»
  возникло в связи с необходимостью решения ряда задач физики , механики и математики.
  Часть открытия основных законов математического анализа принадлежит английскому учёному Ньютону и немецкому математику Лейбницу.
  Лейбниц рассматривал задачу о проведении касательной кривой.
  

• 9 слайд

  ВЫВОД:
  Производная нашла широкое применение:
  а) в алгебре и началах анализа при исследовании функции и построение графиков функции;
  б) в физике при решении задач на нахождение скорости неравномерного движения , плотности неоднородного тела и др.;
  в) в тригонометрии при вычислении тангенса угла наклона касательной кривой , а также а геометрии , астрономии , аэродинамике , химии и экономике , биологии и медицине.
  

Краткое описание документа:

Тема «Производная» - это один из важнейших разделов курса математического анализа, так как это понятие является основным в дифференциальном исчислении и служит исходной базой при построении интегрального исчисления. Но часто, сталкиваясь с этим понятием в первый раз, мы не понимаем для чего нужно его изучать. Мы не видим практического применения этой темы. Поэтому данный проект «Применение производной» направлен на то, чтобы выяснить, зачем нужно изучать производную, где можно использовать знания, связанные с производной в жизни, а также в других предметах. Для успешной сдачи ЕГЭ по математике необходимо умение решать задачи, связанные с производной, т.к. на экзамене встречается достаточное количество таких задач.