Презентация по теме "Определение производной" (11 класс, 1 курс СПО(

• 1 слайд

  Определение
  производной
  

• 2 слайд

  Задача о вычислении мгновенной скорости
  s ( t ) = 4 t² - закон движения материальной точки по прямой
  s - путь, пройденный за время t (t ≥ 0)
  Вычислим v ср - среднюю скорость точки за промежуток времени от t 1 = 2 до t 2 = 5
  s (2) =
  4 · 2² =
  16;
  s (5) =
  4 · 5² =
  100;
  s (5) ̶ s (2) =
  100 – 16 = 84;
  t 2 - t 1 =
  5 – 2.
  

• 3 слайд

  Пусть точка движется вдоль прямой по закону S(t).
  Тогда за промежуток времени t точка проходит расстояние S(t).
  Пусть ∆t – малый промежуток времени. Путь, пройденный за время t+ ∆t, равен S(t+ ∆t ).
  Тогда средняя скорость
  
  
  ∆t
  t0
  t
  t+∆t
  

• 4 слайд

  Задача о вычислении мгновенной скорости
  s ( t ) = 4 t ²
  Вычислим v ср
  s (t) = 4 t ²;
  s (t + Δ t) =
  4 (t + Δ t)² ;
  Δ s = s (t + Δ t) ̶ s (t) – путь, пройденный точкой за промежуток времени от t до t + Δ t
  за промежуток времени от t до t + Δ t
  Δ s = 4 (t + Δ t)² - 4 t ² =
  (8 t + 4Δ t) Δ t ;
  

• 5 слайд

  Общий случай:
  точка движется по прямой по закону s(t) = f (t)
  Тогда её мгновенной скоростью v в момент времени t называют предел (если он существует), к которому стремится её средняя скорость на промежутке времени [t; t + Δt] при Δ t → 0 :
  Величина Δ t – приращение времени
  Величина Δ f = f(t + Δt) – f(t) - приращение пути
  v = lim v ср =
  Δ t → 0
  lim
  Δ t → 0
  v = lim
  Δ t → 0
  

• 6 слайд

  
  В
  
  у
  х
  0
  Повторение: вычисление тангенса угла наклона прямой к оси Ох
  А
  С
  y = k x
  у
  х
  Очевидно – при параллельном переносе прямой, тангенс угла наклона остаётся равен угловому коэффициенту прямой
  

• 7 слайд

  у = f(x)
  С
  ●
  
  В
  
  касательная
  
  Касательной к графику функции f(x) в точке
  А( х; f (х) ) называется прямая, представляющая предельное положение секущей АС, (если оно существует) когда точка С стремится к точке А.
  
  секущая
  у
  х
  0
  Дадим определение касательной к графику функции
  A
  ●
  α
  k сек. = tg β
  

• 8 слайд

  х
  y
  0
  
  
  
  
  Секущая стремится занять положение касательной.
  То есть, касательная есть предельное положение секущей.
  Касательная
  Секущая
  Задача о вычислении тангенса угла наклона касательной к графику функции
  При Δ х → 0 угловой коэффициент секущей (kсек. ) стремится к угловому коэффициенту касательной (kкас. )
  Δ х → 0
  kкас. = lim kсек. = lim lim tg β = tg α
  Δ х → 0
  Δ х → 0
  Δ х → 0
  = k сек.
  y = kx + b
  

• 9 слайд

  v = lim
  Δ t → 0
  Задача о вычислении мгновенной скорости
  Задача о вычислении тангенса угла наклона касательной к графику функции
  tg α = lim
  Δх→ 0
  kкас.
  В каждой из задач надо было найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю
  

• 10 слайд

  Историческая справка
  

• 11 слайд

  Тайны планетных орбит.
  Древнегреческие учёные умели решать немногие задачи кинематики – рассчитать либо равномерное прямолинейное движение, либо равномерное вращение вокруг оси.
  А планеты на небосводе двигались по самым замысловатым кривым . Свести эти движения планет к простым древним учёным не удавалось.
  Лишь в 17 веке немецкому учёному Иоганну Кеплеру удалось сформулировать законы движения планет. Оказалось, что планеты движутся по эллипсам, и притом неравномерно. Объяснить, почему это так, Кеплер не смог.
  
  

• 12 слайд

  В конце 17 века Исаак Ньютон открыл законы динамики, сформулировал закон всемирного тяготения и развил математические методы, позволявшие сводить неравномерное к равномерному, неоднородное к однородному, криволинейное к прямолинейному.
  В основе лежала простая идея – движение любого тела за малый промежуток времени можно приближённо рассматривать как прямолинейное и равномерное.
  Одновременно с Ньютоном немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц изучал, как проводить касательные к произвольным кривым.
  
  

• 13 слайд

  Он также развил новое исчисление, которое оказалось по сути дела тождественным построенному Ньютоном. Обозначения, введённые Лейбницем, оказались настолько удачными, что сохранились и по сей день.
  Новая математика Ньютона и Лейбница состояла из двух больших частей – дифференциального и интегрального исчислений.
  В первом из них говорилось, как, изучая малую часть явления, сводить неравномерное к равномерному.
  Во второй – как из малых равномерных частей конструировать сложное неравномерное явление.
  
  

• 14 слайд

  Итак, идём по стопам Ньютона и Лейбница!
  Рассмотрим график функции вблизи точки М(1;1),
  изображённый в разных масштабах.
  

• 15 слайд

  Как изменилась конфигурация графика?
  

• 16 слайд

  Определите радиус окрестности точки х = 1
  Как изменилась конфигурация графика?
  

• 17 слайд

  Основные выводы
  1. Чем крупнее масштаб, тем меньше график функции будет отличаться от некоторой прямой, проходящей через точку М(1;1).
  2. То же самое будет происходить с графиком функции вблизи любой другой точки.
  3. Этим свойством обладают и многие другие кривые: окружность, гипербола, синусоида и т. д.
  Такое свойство функций называют «линейность в малом»
  

• 18 слайд

  Очевидно, если ∆t 0, то Vср. Vмгн.
  Значит,
  

• 19 слайд

  х
  х0
  Изменим x0 на величину ∆x.
  ∆x - называется приращением аргумента.
  x0 +∆x+ ∆x
  x0 - ∆x
  x – новое значение аргумента
  

• 20 слайд

  Величина y(x) – y(x0) называется приращением функции в точке x0 и обозначается ∆y(x0) .
  

• 21 слайд

  Таким образом, чтобы вычислить приращение функции f(x) при переходе от точки x0 к точке x = x0 + Δx , нужно:
  1. найти значение функции f(x0);
  2. найти значение функции f(x0 + Δx)
  3. найти разность f(x0 + Δx) – f(x0)
  

• 22 слайд

  В математике операция нахождения предела отношения приращения функции Δ f к приращению аргумента Δ x , при условии, что приращение Δ x → 0 называется -
  дифференцирование функции
  Результат выполнения называют
  производной
  и обозначают:
  f '(x)= lim
  Δ х → 0
  

• 23 слайд

  Определение производной
  Производной функции в точке x называется предел отношения приращения функции в этой точке (∆f) к соответствующему приращению аргумента (∆x), когда приращение аргумента стремится к нулю
  

• 24 слайд

  Определение производной
  

• 25 слайд

  Чтобы найти производную функции в точке, надо:
  найти приращение функции в точке Х0 ;
  найти отношение приращения функции к приращению аргумента;
  вычислить предел полученного отношения при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.
  

• 26 слайд

  Пример нахождения производной
  Решение
  

• 27 слайд

  Механический смысл производной
  Механический смысл производной состоит в том, что производная пути по времени равна мгновенной скорости в момент времени t0:
  
  S'(t)= Vмг(t)
  vмг. (t) = lim
  Δ t → 0
  

• 28 слайд

  Геометрический смысл производной.
  Производная функции в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции  y = f(x) в этой точке.
  

Краткое описание документа:

Студент должен иметь представление о мгновенной скорости неравномерного прямолинейного двмжения, о скорости изменения функции.

Знать: определение производной, ее геометрический и физический смысл; алгоритм нахождения производной в общем виде.

Уметь: находить сумму бесконечно-убывающей геометрической прогрессии; вычмслять производные, применяяя правила вычисления производных.

Отвечать на вопросы:

1. Перечислите основные свойства предела последовательности.

2. Сформулируйте правила вычисления предела последовательности.

3. Что назыывается мгновенной скоростью изменения функции?

4. Дайте определение производной функции.

5. Сформулируйте общие правило (алгоритм) нахождения призводной функции.

6. объясните геометрический смысл производной.

Цели:

Образовательные: изучить задачи, приводящие к понятию производной; определить новую математическую модель; добиться понимания геометрического и физического аспектов вопроса

Воспитательные: продолжить воспитывать познавательную активность, самостоятельность, диалоговую культуру, интерес к предмету, поисково-познавательную деятельность.

Развивающие: развивать умение интегрировать знания из курсов математики и физики и применять их на практике; продолжить развивать логическое мышление, коммуникативные навыки, математическую логику и речь, внимание и кругозор учащихся.

Оборудование: мультимедиа проектор, учебник Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин и др. «Алгебра и начала математического анализа» 10-11 класс (базовый уровень)

Методы обучения: частично – поисковый, объяснительно – иллюстративный.

Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная.