Лекция по дисциплине Математика на тему "Производная функции"

Лекция № ____. Производная функции

План:

1. Производная.

2. Производная степенной функции.

3. Правила дифференцирования.

Содержание лекции:

Фронтальный опрос

1. Постойте график функции: а) б) .

2. Найдите значение функций и для значений аргументов, которые равны 0; 1; 2; -1; -2.

3. Сделайте вывод про поведение функций и при .

Рассмотрим построенные на доске графики функций и
и обратим внимание на то, что значения приближается к числу 4, если x приближается к числу 2 слева и справа. С помощью символов это записывают так:, или .
Найдём значение функции при . В отличие от предыдущей функции, в точке функция не определена. Однако из графика видим, что при соответствующие значения функции приближаются к числу 4. Считают, что число 4 является границей функции в точке , тоесть .

Таким образом, число А граница функции при .
При приближении как угодно близко значения к значению значения функции как угодно близко приближаются к числу А.
Рассмотрим функцию

Построим график (рис.1) и рассмотрим поведение функции при В этом случае граница функции не существует, поскольку нет единого числа, к которому приближается при Если слева, то если справа, то .

Основные теоремы про границы

Если , , то

;

Пример. Найти границу функции в точке:

а) ; б) ; в) . (Ответ: а) ; б) 5; в) 1.)

Рассмотрим две задачи.

1. Камень кинули с высоты 100 м. Определите скорость его движения через 2с. Какова скорость его движения в момент удара об землю?

2. Масса соли, которая растворилась в воде за время от до любого момента времени t, определяется по некоторому закону . Какова скорость растворения в отрезок времени ?

Следовательно, мы видим, что первая задача по физике, а вторая – по химии. Подумайте, что их объединяет. Способ решения задач, в которых говориться про скорость смены значений функции относительно смены её аргумента, универсальный. Сегодня вы познакомитесь с понятием, которое и делает этот способ универсальным.

Пусть материальная точка движется вдоль прямой по закону . В отрезок времени точка прошла путь. Пусть от отрезка времени до эта точка переместилась на расстояние и заняла положение , то есть за интервал времени прошла путь . Тогда .

Чем меньше интервал времени , тем точнее можно указать скорость движения в отрезок времени .

Скорость движения материальной точки в отрезок времени называют мгновенной скоростью движения точки.

Следовательно, .

и называют соответственно приростом времени и приростов пути. То есть мгновенная скорость точки, которая движется прямолинейно, граница отношения прироста пути к приросту времени , когда прирост времени приближается к нулю.

Пусть в проводнике за время t через поперечное сечение проходит электрический заряд q, который со временем изменяется по формуле .

Пусть за время изменился на . Тогда средняя сила тока за время находиться по формуле .

Следовательно, сила тока в отрезок времени будет равна . Это число и называется силой тока в данный отрезок времени.

Рассмотрим функцию . Пусть её графиком является некоторая кривая (см. рисунок), точки А и В принадлежат её графику. Прямая АВ секущая. Зафиксируем точку В. Пусть точка А, двигаясь по кривой , приближается к точке В. При этом секущая АВ, вращаясь вокруг точки В, будет приближаться до граничного положения прямой ВМ. Эту прямую называют касательной к данной кривой в точке В.

Найдём угловой коэффициент касательной:

.

Назовем приростом аргумента, а приростом функции.

Определение производной функции

Поскольку широко используется не только в задачах, рассмотренных на предыдущем уроке, а и в ряду других (в частности в задачах про нахождение плотности неоднородного стержня, теплоёмкости тел в случае нагревания и т.д.), то есть смысл изучать свойства этой границы и определять способы её вычисления. Допустим.

Дадим определение производной функции в точке . Пусть функция задана на некотором промежутке P.

1. Пусть . Предоставим прирост и получим: .

2. Вычислим в точке : .

3. Найдём отношения: .

4. Найдём: .

Производная функции в точке называется граница отношения прироста функции в точке к приросту аргумента по условию, что прирост аргумента приближается к нулю, а граница существует.

.

Следовательно, производная функции , если она существует в каждой точке интервала P, также есть функцией аргумента x. Тогда ей обозначают , и по определению .

Механический состав производной

На предыдущем занятии мы рассмотрели задачу про нахождение мгновенной скорости прямолинейного движения материальной точки. Теперь, зная определение производной, можно сказать, что когда точка движется по закону , то скорость её движения в период времени t равняется производной , то есть .

Геометрическое содержание производной

На предыдущем занятии мы рассмотрели задачу про нахождение углового коэффициента касательной. Зная определение производной, можно сделать вывод: угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой равно значению производной функции в точке (см. рисунок).

Уравнение касательной с графиком функции в точке с абсциссой имеет вид .

Функция в точке называется дифференцированной, если в этой точке она имеет производную .

Если функция дифференцированная в каждой точке некоторого промежутка P, то она называется дифференцированной на этом промежутке. Операцию нахождения производной функции называют дифференцировки функции.

Правила дифференцирования

Человек всегда стремиться к комфорту и быстрому получения результата. Не поедете вы с Харькова, например, в Москву на велосипеде, не так ли? Это долго и не удобно. Быстрее всего, доберётесь поездом, машиной или самолётом. Отметим, что производную каждой из функции , , , или намного легче вычислять не по определениям, а по формулам, поэтому попробуем сегодня выучить таблицу элементарных функций и правила дифференцирования.

Рассмотрим таблицу производных элементарных функций (учитель раздаёт таблицы на каждую парту).

Ознакомимся с примерами нахождения производной функции:

а) ; в) ; д)

б) ; г) ; е) .

А теперь запишем в тетради правила нахождения производной суммы, разности, произведение и доли функции. В записи примем значение функции f и g и их производных в точке x: ;g’.

Правила дифференцирования

1. постоянный множитель можно выносить за знак производной.

2. производная суммы (разности) дифференцированных функций равна сумме (разнице) их производных.

3. .

4.

Пример 1. Найти производную функцию:

а) ; б) .

Пример 2. Найти значение производной функции в точке (Ответ: .)

Пример 3. Найти производную функцию: а) ; б) .

(Ответ: а) ; б) .)

Рефлексия «Закончить предложение»

1. Моя работа в составе группы была…

2. Самым сложным для меня было задание…

3. Чтобы избавится от пробелов в знаниях, я должен…

5