Презентация "Их величество - уравнения!"

• 1 слайд

  «Формула подчас кажется более мудрой, чем выдумавший ее человек».
  Больцано-чешский математик XIX в.
  Их величество- уравнения!
  

• 2 слайд

  Теория уравнений.
  Теория уравнений занимает ведущее место в курсе алгебры и математики в целом.
  Сила теории уравнений в том, что она не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит конкретным практическим целям. Большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений.
  Первая русская книга по математике, содержащая сведения об уравнениях, была написана Л. Ф. Магницким в 1703 г. Она сразу же стала математической энциклопедией своего времени. Следующее издание, продолжившее учение об уравнениях, было выпущено в 1752 г. Автор его военный инженер Н. Е. Муравьев.
  Высокими методическими качествами отличалось изложение материала в книге «Универсальная арифметика» Л. Эйлера, вышедший в 1769 г.
  Нужно отметить, что во всех учебниках XVIII в. и первой половины XIX в. уравнения решались на основании свойств равенств. И только позднее появляется теория решения уравнений с использованием понятия равносильности, а уж затем – теория уравнений на функциональной основе.
  Несколько поколений людей изучало этот курс по руководству А. Ю. Давыдова «Начальная алгебра» 1865 года издания. Благодаря своей полноте, ясности и точности изложения это пособие получило громадное распространение, хотя постепенно уступило свое место учебнику «Алгебры» А. П. Киселева. В силу своих достоинств он выдержал многократные переиздания, и в 1937 году заслужено был принят в качестве стабильного и основного для средней школы.
  

• 3 слайд

  Из истории уравнений.
  Квадратные уравнения умели решать еще в Древнем Вавилоне во II тысячелетии до н. э.,так как надо было находить площадь земельных участков, а так же люди начинали познавать астрономию и саму математику.Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически;например, Евклид- при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, рассматриваются во многих древних математических рукописях и трактатах.
  Задача из китайского трактат:Имеется город с границей в виде квадрата со стороной неизвестного размера, в центре каждой стороны находятся ворота. Какова сторона границы города? Решение задачи сведется к уравнению вида:х2 +34х-71000=0.
  

• 4 слайд

  Франсуа Виет ( 1540-1603 ).
  Знаменитый французский ученый был по профессии адвокатом. Свободное время он посвящал астрономии. Занятия астрономией требовали знания тригонометрии и алгебры.
  Благодаря его неустанному труду, алгебра становится общей наукой об алгебраических уравнениях, основанной на буквенном исчислении. В 1591 г. Виет впервые ввел буквенные обозначения и для неизвестных, и для коэффициентов уравнений. Благодаря этому, стало возможным выражать свойства уравнений и их корней общими формулами.
  Как ал-Хорезми и математики Древней Греции, Виет признавал только положительные числа.Чисел отрицательных, иррациональных ( ал-Хорезми ) и мнимых Виет не признавал, что было одним из самых больших недостатков его алгебры. Чтобы избежать отрицательных решений, он изменял условие задачи или применял какой-нибудь искусственный прием решения, отнимавший много сил и времени, часто запутывавший решение.
  Виет сделал много открытий, но сам он больше всего ценил зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения, которая называется «теоремой Виета».
  

• 5 слайд

  Прошло пять- шесть веков после Евклида, веков перестройки греческой математики с геометрического метода на метод алгебраический. За эти годы вопрос об уравнениях почти не продвинулся, а лишь в III в. н.э. появляется математик-Диофант, много сделавший в области развития учения об уравнениях. Диофант был последним из великих математиков в древней Греции. В «Арифметики» Диофанта есть ряд задач, решаемых при помощи составления квадратных уравнений.
  Задача: «Найти два числа, зная что их сумма равна 20, а произведение равно96».
  Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения: у2-20у+96=0. При решении уравнения получится два корня у=2 и у=-2. Решение у=-2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.
  

• 6 слайд

  В алгебраическом трактате ал- Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:
  1) «Квадраты равны корням», т. е. ax2 = bx
  
  2) «Квадраты равны числу», т. е. ax2 = c
  3) «Корни равны числу», т. е. ax =c.
  4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. ax2 + c =bx.
  5) « Квадраты и корни равны числу», т. е. ax2 +bx = c.
  6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx +c =ax2
  Трактат ал Хорезми является первой дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.
  Квадратные уравнения у ал-Хорезми.
  

• 7 слайд

  Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 449 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта ( VII в. ),изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:
  a x2 + bx = c, a>0
  В уравнении коэффициенты, кроме a, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.
  В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи ». Задачи часто облекались в стихотворную форму.
  Квадратные уравнения в Индии.
  

• 8 слайд

  Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.
  «Обезьянок резвых стая
  Всласть поевши, развлекалась,
  Их в квадрате часть восьмая
  На поляне забавлялась.
  А двенадцать по лианам...
  Стали прыгать повисая…
  Сколько ж было обезьянок,
  Ты скажи мне, в этой стае?»
  Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений .
  Соответствующее задаче уравнение:
  X2-64x =-768,
  X2 – 64x +322 = - 768 +1024,
  ( x – 32 )2 = 256,
  X1= 16 , x2 = 48.
  
  
  
  

• 9 слайд

  Квадратные уравнения в Европе XIII – XVII вв.
  Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI- XVII вв. и частично XVIII.
  Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду
  X2 + bx = c,
  При всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.
  Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитываются, помимо положительных, и отрицательные корни.
  

• 10 слайд

  Лишь в XVII в. благодаря трудам Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.
  

• 11 слайд

  Что такое квадратное уравнение.
  Квадратным уравнением называется уравнение вида ax2 +bx + c= 0, где a, b и с суть данные положительные или отрицательные числа, или же алгебраические выражения, составленные из данных количеств; a, b и с называются коэффициентами квадратного уравнения; из них c называется также свободным членом.
  Заметим, что коэффициент a мы всегда можем сделать положительным, переменив в случае надобности перед всеми членами уравнения знаки на обратные.
  Квадратное уравнение называется неполным, когда в нем нет члена, содержащего x, или нет свободного члена. Неполные квадратные уравнения могут быть только трех следующих видов:
  1) ax2 + c = 0; 2) ax2 + bx = 0; 3) ax2 = 0.
  Рассмотрим решение каждого из них.
  I. Из уравнения аx2 + c = 0 находим
  ax2= -c и x2 = - .
  
  Пример 1. 3x2 – 27 = 0.
  3x2 = 27:
  X2 = 9:
  X1= 3, x2 = -3.
  

• 12 слайд

  Чтобы решить уравнение ax2 + bx = 0, представим его так: x(ax + b) = 0. Произведение может равняться нулю тогда, когда какой – нибудь из сомножителей равен нулю; следовательно, рассматриваемое уравнение удовлетворяется, если положим, что x= 0 или
  ax + b =0.
  Второе равенство дает x = -
  
  
  Итак, уравнение ax2 + bx = 0 два корня x1 = 0,
  
  x2 = -
  
  Пример. 2x2 –7x = 0; x1 = 0, x2 =
  
  II. Наконец, квадратное уравнение ax2 = 0 имеет, очевидно, только одно решение x = 0.
  

• 13 слайд

  Приведенное квадратное уравнение.
  Уравнению ах2+bх+с=0 часто придают более простой вид, разделив все его члены на коэффициент при х2.
  Обозначив для краткости через р,
  
  а через q,получим х2+рх+q=0 – это
  
  приведенное квадратное уравнение.
  Приведенное квадратное уравнение –это уравнение вида х2+рх+q=0, формула корней имеет вид
  х1,2= - + .
  
  

• 14 слайд

  Для коэффициентов и корней квадратного уравнения выполняются соотношения:
  
  
  Эти соотношения называются теоремой Виета, по имени французского математика Ф.Виета(1540-1603). Особенно удобна эта теорема для приведенного квадратного уравнения: х1+х2=-р, х1,х2=q
  Пример: Составить квадратное уравнение, если его корни равны х1=2 х2=-5. Решение. По теореме Виета х1+х2=-3=-р, отсюда р=3, х1*х2=-10=q
  Ответ: х2+3х-10=0
  

• 15 слайд

  Исследование квадратного уравнения
  Когда корни бывают вещественные, неравные и равные, и когда они бывают мнимые. Мы видели, что корни уравнения ах2+bх+с=0 выражаются формулами
  
  
  Так как в этих формулах число а можно всегда предполагать положительным, то:
  если с-число отрицательное, то оба корня вещественные, потому что при этом условии количество b2-4ас есть положительное число;
  если с-положительное, то корни могут быть или оба вещественные(когда b2 4ас ), или оба мнимые(когда b2 4ас ). В последнем случае задача, из условий которой выведено уравнение, должна быть признана невозможной.
  Вещественные корни могут быть неравные и равные (последнее, когда b2-4ас=0), оба положительные, оба отрицательные, или один положительный, а другой отрицательный.
  
  
  
  

• 16 слайд

  Полное квадратное уравнение
  ax2 + bx+ c =0.
  Корни уравнения находятся по формуле:
  
  
  где D – дискриминант квадратного уравнения, D= b2 – 4ac .
  Если D> 0, то квадратное уравнение имеет два различных корня x1 и x2
  Если D= 0, то квадратное уравнение имеет два равных корня
  
  X1 = x2 = -
  
  
  
  Если D< 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.
  В дальнейшем под корнями уравнения будем подразумевать корни. Поэтому в случае D<0 будем говорить: «Квадратное уравнение не имеет корней».
  

• 17 слайд

  Если коэффициент b является четным числом, т. е. M = 2k, то корни квадратного уравнения целесообразно находить по формуле:
  
  
  где D1= k2 – ac.
  Замечания. Если коэффициенты квадратного уравнения таковы, что:
  1) их сумма равна нулю a + b + c = 0, то корнями такого уравнения будут числа
  
  x1=1, x2=
  
  
  2) сумма крайних коэффициентов равна среднему
  a + c = b, то корнями такого уравнения будут числа
  
  x1= -1, x2= -
  

• 18 слайд

  Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корням, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. следующим образом: «Если B+D,умноженное на А минус А2, равно BD, то А равно В и равно D».
  Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что А, как и всякая гласная буква, означала у него неизвестное (наше x), гласные же В, D – коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает:если имеет место
  (a+b)x- x2 = ab,
  X2 – (a+b)x + ab =0,
  X1 = a, x2 = b,
  Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако символика Виета еще далека от современного вида.
  
  О теореме Виета.
  

• 19 слайд

  Зависимость между коэффициентами и корнями.
  

• 20 слайд

  Уравнения, приводящиеся к квадратным.
  К квадратным уравнениям приводятся уравнения, левая и правая части которых представляют алгебраическую сумму дробей; каждая из дробей является отношением двух многочленов относительно неизвестной х. Такие уравнения называются дробно-рациональными.
  При решении дробно-рациональных уравнений следует учесть, что область определения уравнения являются те значения переменной х, при которых знаменатели дробей не обращаются в нуль.
  3х4+5х2-8=0
  Решение: данное уравнение является биквадратным. Обозначим х2=у, тогда х4=у2 и для определения у получим квадратное уравнение 3у2+5у-8=0.
  
  Отсюда у1,2= ;у1=1; у2= -
  
  
  
  Так как х2=у, то получим х2=1; х1,2= ; х2= - 8/3. Это уравнение не имеет корней, так как х2 0 ,а дробь – 8/3 <0.
  Ответ: х1=1, х2= - 1.
  К квадратному уравнению могут быть также сведены некоторые уравнения путем введения новой переменной. Например, уравнения ах4+bх2+с=0, где а 0, называемое биквадратным, с помощью замены переменной по формуле х2=у сводится к квадратному уравнению ау2+bу+с=0.
  

• 21 слайд

  Показательные уравнения.
  Приведение показательного уравнения к квадратному.К квадратному уравнению относительно новой переменной у сводятся уравнения:
  А*а2х+В*ах+С=0
  Подстановкой ах=у, при этом а2х=у2
  А*ах+В*а-х+С=0
  
  Подстановкой ах=у, при этом а-х=
  
  А*а2х+В*ах*bх+С*b2х=0
  Предварительным делением обеих частей на b2х и последующей
  подстановкой ( )Х, где
  а 1, b>0, b 1, а b.
  
  
  
  
  

• 22 слайд

  Решить уравнение:
  72х – 8* 7х + 7 = 0
  Решение.
  Пусть 7х = у, тогда 72х =у2 и для определения у получим квадратное уравнение: у2 –8у +7=0 отсюда следует, что у1 =7,
  у2=1. Имеем:
  
  1) 7х =7; 7х =71 отсюда следует, что х=1;
  2) 7х=1; 7х=70 отсюда следует, что х=0.
  Ответ: х1=1; х2=0
  
  

• 23 слайд

  Логарифмические уравнения.
  Метод приведения логарифмического уравнения к квадратному. В частности, к квадратному уравнению приводятся логарифмические уравнения вида:
  А * log2a х+В* logaх + С=0
  Подстановкой у=logaх(А 0, а>0, а 1 ) ;
  А* log2хb+ В* logхb+С=0
  
  подстановкой у= logхb(А 0).
  

• 24 слайд

  Решить уравнение:
  Lg2(х)2+lgх=1
  Решение:по свойству получаем
  2lg2х+lgх=1 ОДЗ: х>0.
  Пусть lgх=у, тогда уравнение примет вид:
  2у2+у-1=0
  Отсюда у1= -1; у2=0,5.
  1) lgх -1
  2) lgх=0,5 отсюда следует, что х=
  
  

• 25 слайд

  Тригонометрические уравнения.
  Решим уравнение, которое примет вид квадратного уравнения:
  Cos2х=sinх+1
  Заменим cos2х формулой двойного угла: cos2х=соs2х-sin2х
  сos2х-sin2х=sinх+1
  cos2х-sin2х-sinх-сos2х-sin2х=0
  -2sin2х-sinх=0
  пусть sinх=а
  -2а2-а=0
  
  -а(2а+1)=0
  а=0 или а= -0,5
  sinх=0 sinх= - 0,5
  х= n х= -( 1)n *arcsin(- ) + n
  
  
  х=-(1)n+1* + n
  

• 26 слайд

  Возвратные уравнения
  Одна из наиболее часто встречающихся замен, замена у=х+к/х. Например, с помощью такой замены к квадратному уравнению (после деления обеих частей уравнения на х2) сводится уравнение вида
  ах4+bх3+сх2+кbх+к2а=0.
  Уравнение такого вида называют возвратным или обобщенно-симметрическим.
  Пример:
  
  + =10( + )
  
  Сводится к квадратному уравнению заменой
  
  У= + (здесь + =3( + )2 – 8=3у2-8 ;
  
  3у2-10у-8=0 у1=-2/3, у2=4)
  Из уравнений: + = -2/3 и + =4
  
  Корни имеют только второе уравнение: х=2(3 ).
  
  

• 27 слайд

  Однородные уравнения.
  Уравнения вида 9х =6х+2*4х сводится к квадратному уравнению относительно у заменой у=(3/2)х и после деления обеих частей на 4х . Получим уравнение:
  
  
  у2 - у -2=0, ответ х=log2 3/2
  
  Уравнение второй степени аsin2kx+bsinkxcoskx+ccos2kx=0. Оно решается делением обеих частей на сos2kx и на sin2kx.
  2sin3x-5cos3x=0 Разделим обе части на cos3x.
  Получим: 2tg3х-5=0
  tg3x= , x= arctg5/2 + n, n – любые числа.
  

• 28 слайд

  Симметричное уравнение.
  Уравнение
  х4+(х+2)4=82,
  «симметричное» относительно х+1, сводится к биквадратному у4+6у2=40 заменой у=х+1; аналогично уравнение (х+1)(х+2)(х+4)(х+5)=40, «симметричное» относительно х+3, сводится к биквадратному уравнению (у2-1)(у2-4)=40 заменой у=х+3. Отметим, что для второго уравнения годится и замена у=х2+6х, тогда (х+1)(х+5)=у+5; (х+2)(х+4)=у+8.
  

• 29 слайд

  Практические применения математики.
  «Теория без практики мертва или бесплодна, практика без теории невозможна или пагубна».
  А.Н. Крылов.
  «Значение математических методов в таких науках, как механика, физика или астрономия, хорошо известно. Также всем известно и то, что математика необходима в практической работе инженеров и техников. Элементарные знания по геометрии или умение пользоваться буквенными формулами необходимы почти каждому мастеру или квалифицированному рабочему…
  Еще в большей степени самостоятельность и способность по-новому подойти к математической формулировке задачи необходимо тому, кто берется применять математику к решению технических проблем. Это по существу относится к работе каждого инженера, пользующегося математикой. Но так как требующиеся при этом математические знания и способности имеются не у всех, то большинство наших научно –исследовательских технических институтов и даже некоторые крупные заводы широко стали на путь привлечения специалистов- математиков для работы вместе с инженерами над техническими проблемами.»
  
  

• 30 слайд

  Вклад итальянских математиков
  В решение уравнений третьей и четвертой степеней большой вклад внесли итальянские математики XVIв.
  12 февраля 1535г. между Фиори и Н. Тартальей состоялся научный поединок, на котором Тарталья одержал блестящую победу. Он за два часа решил все предложенные Фиори 30 задач, в то время как сам Фиори не решил ни одной задачи Тартальи.
  
  
  

• 31 слайд

  Уравнение итальянских математиков.
  (3х2+х-4)2+3х2 +х=4
  
  Решение:
  (3х2+х-4)2 +(3х2 +х-4)=0
  
  (3х2+х-4)(3х2 +х-4+1)=0
  
  3х2+х-4=0
  D=49
  Х1=1, х2= - 4/3
  3х2 +х-4+1=0
  3х2+х-3=0
  D=37
  Х3= х4=
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 32 слайд

  Задача о движении тела.
  Высота над землей тела, брошенного вертикально вверх со скоростью 60 м/с, равна 100 метров.Определить время.
  Решение: по формуле Н=Vt-
  
  Получим уравнение 100=60t-5t2, преобразуем его, получаем t2-12t+20=0
  t 1=2 , t2=10
  Ответ: тело будет на высоте 100м через 2с и через 10с т.е. – один раз поднимаясь, другой раз падая.
  

• 33 слайд

  Вывод:
  При решении квадратных уравнений всех типов, надо уметь правильно использовать способы, уметь вводить новую переменную, знать правила решения неполных квадратных уравнений,теорему Виета для приведенных квадратных уравнений. Чтобы быстро решать квадратные уравнения надо использовать ранее изученный материал: квадрат числа, вычислительные навыки, арифметический квадратный корень, тождества сокращенного умножения, разложение многочлена на множители, формулы дискриминанта и корней квадратных уравнений и др. Знания и навыки решения простых тригонометрических уравнений, показательных, логарифмических.
  Вывод: