Презентация к уроку алгебры "Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение".

МАОУ «Гимназия №1», г. Пермь, 2019

Методическая разработка конспекта урока алгебры в 10 классе по теме "Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения"

Учитель Старцева Т.А.

Актуальность поставленной цели урока

Тригонометрия, как наука, имеет достаточно большой спектр применения. Она, непосредственно, являясь одним из разделов математики, широко используется и в прикладных науках – физике, химии, биологии, астрономии, картографии и др. Системное изучение ее начинается в курсе математики 10 класса. Здесь изучаются основы тригонометрии, тригонометрические функции, формулы, тригонометрические уравнения. Знание методов решения тригонометрических уравнений и умение их решать – одна из составляющих математической компетентности современного человека. Тригонометрические уравнения являются естественным продолжением линии уравнений школьного курса математики, они достаточно абстракты, логичны, красивы по своему виду и способам решения. Школьники, имеющие хорошую математическую подготовку, с удовольствием берутся их решать. Конспект этого урока – один из многих вариантов изучения формул преобразования сумм тригонометрических функций в произведения. Урок проведен с применением системно-деятельностного подхода в обучении и соответствует современным требованиям ФГОС.

Цель урока – актуализация знаний тригонометрических формул сложения аргументов синуса и косинуса десятиклассниками, проверка умений использовать их в преобразованиях тригонометрических выражений, решении тригонометрических уравнений. Создание условий для осознания «недостаточности знаний» имеющихся формул при решении уравнений. Мотивация учащихся к открытию формул преобразования сумм тригонометрических функций в произведения. Вывод новых формул. Применение полученных формул преобразования сумм тригонометрических функций в произведения для преобразования тригонометрических выражений и решения уравнений.

Задачи урока:

Образовательные задачи урока:

 - систематизировать знания учащихся формул тригонометрии, умений осуществлять преобразование тригонометрических выражений в ходе решения тригонометрических уравнений;

- осознать «недостаточность» знаний имеющихся формул для преобразования выражений;

- сформулировать цель урока – вывод новых формул;

- осуществить поиск плана вывода новых формул;

- вывести формулы преобразования сумм тригонометрических выражений в произведения;

- применить полученные формулы для преобразования выражений и решения тригонометрических уравнений.

 Развивающие задачи урока:

- развивать математическое мышление, память, внимание;

- развивать умение анализировать, сравнивать, обобщать, классифицировать, строить умозаключения, делать выводы;

- развивать коммуникативные навыки; навыки самостоятельной работы;

- развивать устную и письменную речь учащихся;

- прививать любовь к предмету, желание познать новое.

Воспитательные задачи урока:

- воспитывать культуру умственного труда;

- воспитывать культуру работы в парах и коллективной работы;

- воспитывать потребность добиваться успехов в приобретении знаний;  

-  воспитывать навыки самоконтроля и взаимоконтроля;

- развивать самостоятельность и творчество.

Формы обучения: 

- индивидуальная;

- фронтальная работа;

- парная работа;

Тип урока:

урок изучения новых знаний.

Оборудование:

Компьютер, презентация к уроку, листы с проверочной работой, доска и мел.

Методы обучения на уроке: проблемно-поисковый, репродуктивный.

-математические методы –моделирование, использование математического языка;

- методы психологии – развитие мыслительных операций: анализ и синтез, классификация и систематизация, сравнение и обобщение.

Ход урока

N	Структура и содержание	Методы и приемы	Время (мин.)
1	Организационный момент		1-2
2	Актуализация ранее изученных знаний	Беседа. Фронтальный опрос.	1-2
3	Математический диктант	Репродуктивный метод. Самоконтроль.	5-7
4	Проверочная работа	Репродуктивный и частично-поисковый методы. Прием «осознания недостаточности знаний». Проблемный метод.	8-10
5	Постановка цели урока		1-2
6	Вывод новых формул	Исследовательский метод. Коллективный поиск решения.	12-15
7	Применение новых знаний к решению заданий из проверочной работы	Репродуктивный метод	3-5
8	Обсуждение заданий	Частично-поисковый метод.	3-5
9	Подведение итогов урока, домашнее задание	Беседа, рефлексия.	2-3

Конспект урока

	Деятельность учителя	Деятельность учащихся
1	Здравствуйте, ребята. Присаживайтесь. Настраиваемся на урок алгебры.	Проверяют готовность к уроку. Садятся.
2	Скажите, что мы изучали на предыдущих уроках? Формул в тригонометрии очень много. Знание формул необходимо для решения достаточно большого количества задач, примеров, уравнений. Именно они лежат в основе их решения. Но их легко спутать. Поэтому дома Вам нужно было их выучить. До того, как мы начнем работать дальше – проверим знание изученных ранее формул. Напишем математический диктант по формулам.	Мы занимались выводом тригонометрических формул суммы и разности аргументов. Вывели формулы косинуса и синуса суммы и разности аргументов, применили их к преобразованию тригонометрических выражений, к их упрощению. Решили тригонометрические уравнения с использованием этих формул.
2	Математический диктант Запишите формулы: 1) косинус суммы аргументов _________ 2) синус двойного аргумента __________ 3) тангенс разности аргументов________ 4) косинус двойного аргумента ________ 5) тангенс двойного аргумента ___­_____ 6) косинус разности аргументов _______ 7) тангенс суммы аргументов__________ 8) синус суммы аргументов____________ 9) синус разности аргументов__________ 10) основное тригонометрическое тождество­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­__________________________ Проверьте сначала друг у друга, а затем с помощью доски. Много ли было ошибок. Какие формулы вызвали наибольшее затруднение? Что еще следует доучить?	Записывают формулы. 1)     2)  3)   4)  5)   6)  7)   8)  9)  ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­10) Обмениваются тетрадями, обсуждают, находят ошибки. Затем проверяют с помощью слайда на доске.
	Для чего применяются формулы? Проверим, как Вы сможете применить изученные формулы для решения уравнений. Вам предлагается выполнить проверочную работу (слайд). На всю работу – ровно 10 минут.	Для преобразования тригонометрических выражений, для их упрощения, для решения тригонометрических уравнений и неравенств.
3	Выполните проверочную работу: 1 вариант. 1)  Упростите выражение: ; 2)  Вычислите: 3)    Решите уравнения: а) б)  в); г) 2 вариант. 4)  Упростите выражение: ; 5)  Вычислите: 6)    Решите уравнения: а) б)  в); г)	Выполняют работу.
4	Скажите, со всей ли работой Вы справились? Какое уравнение не смогли решить? Почему? Что Вы смогли с ним сделать? Что получилось? Как Вы думаете, существуют ли такие формулы? Знаем ли мы их? Чем займемся? Сформулируйте, какая цель нашего урока сегодня? Итак, тема нашего сегодняшнего урока «Преобразование сумм тригонометрических функций». Запишите ее в тетрадь.	Нет Последнее Не знаем, как его решать. Не хватает знаний. Перенесли все в левую часть. Разность синусов в первом варианте и разность косинусов во втором варианте. Наверное, да. Нет. Выводом этих формул. Вывести формулы преобразований сумм тригонометрических функций. Записывают в тетрадь тему урока.
	С помощью каких формул мы будем получать новые, еще неизвестные нам формулы? Конечно. Рассмотрим формулы синуса суммы и синуса разности двух аргументов. Что хорошего в них можно заметить? Что можно сделать, чтобы последние слагаемые «уничтожить»? Сложим эти две формулы. Посмотрим, что при этом происходит. Как можно упростить аргументы? ; Решим систему и выразим отсюда x и у Перепишем эту формулу в обратном порядке, заменив при этом  на x и у. Получили формулу суммы синусов. Как можно получить разность синусов? Выведите по аналогии формулу разности синусов. Проверьте себя. Итак, мы получили формулы суммы и разности синусов. Какие еще формулы предстоит получить и откуда их можно вывести?	Наверное, с помощью ранее изученных формул. Рассматривают формулы. Они отличаются последним знаком. Сложить эти выражения. Или вычесть. Появилась сумма синусов, но пока с достаточно сложными аргументами. Попробуем их заменить. Заменяют и решают систему. Записывают полученную формулу. Вычесть из первой формулы вторую. Выводят формулу разности синусов. Сумму и разность косинусов. Получим из формул косинуса суммы и косинуса разности аргументов.
	Выведите формулы. Для этого рассмотрите формулы суммы и разности косинусов и постарайтесь в них увидеть закономерности. Выполните это. Проверьте себя. Итак, мы вывели формулы, которые позволяют преобразовать суммы тригонометрических функций в произведения. А именно, мы получили: формулы суммы и разности синусов и косинусов. Запишите эти формулы в тетрадь и постарайтесь их запомнить.	Если их «сложим», то получим переход к сумме косинусов. Если вычтем – к разности косинусов. Выполняют эти действия и выводят формулы суммы и разности косинусов. Записывают формулы в тетрадь.
6	Возвращаемся к нашим уравнениям из проверочной работы. 1 вариант:  ; 2 вариант: . Сможем ли мы решить эти уравнения? Решите оба уравнения. Проверьте решение друг у друга.	Да. Решают уравнения. Проверяют друг у друга.
7	Итак, мы вывели формулы суммы и разности синусов и косинусов и применили их к достаточно простым уравнениям. Чем займемся далее?	Попробуем решить более сложные уравнения, которые сводятся к применению выведенных формул.
8	Итак, посмотрим, в каких еще уравнениях можно применить эти формулы. Предлагаю проанализировать вид следующих уравнений и обсудить методы их решения. 1)  sin7x  ; 2)  3)   1+ + 4)	Рассматривают уравнения. Пытаются увидеть закономерности в их решении. Первое уравнение можно свести к разности синусов и формуле двойного угла косинусов. В обоих случаях появится  который потом вынесется за скобку. Во втором уравнении можно заметить разность синусов первого и третьего слагаемых. После применения этой формулы появится косинус двойного угла, который вместе со вторым слагаемым можно вынести за скобки. В третьем уравнении после применения формулы двойного угла косинусов,  можно вынести за скобки.  В четвертом уравнении применение формул сумм синуса и косинуса приведет к вынесению общего множителя за скобки.
9	Итак, сегодня на уроке мы познакомились с еще несколькими новыми формулами. А именно, с суммой и разностью синусов и косинусов и рассмотрели уравнения, которые непосредственно решаются с их применением. Дома Вам необходимо выучить новые формулы и решить предложенные уравнения.

Преподавание ведётся по учебнику «Алгебра и начала анализа» 10 класс. В двух частях, под ред. А.Г. Мордковича. 10-е издание, стереотипное, 2013 г.   

Краткое описание документа:

Представлен конспект урока алгебры по теме "Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения". На уроке создаются условия для понимания школьниками "недостаточности" имеющихся знаний, необходимости получения новых формул тригонометрии. Осуществляется поиск плана получения новых формул, их вывод и применение к решению уравнений.