Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Независимые события.
Подготовила:
учитель математики
МБОУ Г.ГОРЛОВКИ «ШКОЛА № 42»
Рыбина М.В.
2 слайд
Бывают события, которые не зависят друг от друга. Например, при бросании двух костей результат бросания первой кости не влияет на число очков, выпавших на второй кости. Про такие события говорят, что они независимы.
Разумно считать, что события А и В независимы, если наступление одного из них не влияет на вероятность другого.
Если вероятности событий А и В больше нуля, то независимость событий А и В можно выразить равенствами
Р(А|В) = Р(А) и Р(В|А) = Р(В).
Но тогда из известных нам формул получается равенство
Р(А В) = Р(А) Р(В).
Определение. Два события А и В называются независимыми, если вероятность их пересечения равна произведению их вероятностей:
Р(А В) = Р(А) Р(В).
3 слайд
Пример 1
Рассмотрим двукратное бросание игральной кости и два события: событие А «в первый раз выпало более трёх очков» и событие В «во второй раз выпало менее трёх очков». Будут ли события А и В независимыми? Элементарные события, благоприятствующие событиям А, В и А В, представлены в таблицах
4 слайд
Пример 2
Наудачу выбираем число из ряда 1, 2, 3, 4, ..., 100. Пусть событие А состоит в том, что это число чётное; событие В – что это число делится на 5. Тогда событие А В состоит в том, что выбранное число делится и на 2, и на 5. Это значит, что выбранное число делится на 10.
Покажем, что события А и В независимы. Нужно найти вероятности Р(А), Р(В), Р(А В) и убедиться в том, что выполняется равенство
Р(А В) = Р(А) Р(В),
Среди 100 первых натуральных чисел всего 100 : 2 = 50 чётных. Поэтому Р(А) = 50 100 = 0,5.
Среди 100 первых натуральных чисел на 5 делятся числа 5, 10, 15, 20, …, 95, 100 – всего 100 : 5 = 20 чисел. Поэтому Р(В) = 20 100 = 0,2.
Среди первых 100 натуральных чисел всего 100 : 10 = 10 чисел, кратных 10. Следовательно,
Р(А В) = 10 100 = 0,1.
Таким образом, Р(А В) = 0,1 и Р(А) Р(В) = 0,5 0,2 = 0,1.
Получаем, что Р(А В) = Р(А) Р(В).
Следовательно, события А и В независимы.
5 слайд
Пример 3
6 слайд
Пример 4
Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания для первого — 0,6, для второго — 0,8. Чему равны вероятности следующих событий:
C = «оба стрелка попадут в мишень»;
D = «хотя бы один из них попадёт»;
E = «оба стрелка промахнутся»;
F = «хотя бы один из них промахнётся»?
Решение
Из условий нашего опыта следует, что события A и B можно считать независимыми: каждый из стрелков не может повлиять своим выстрелом на результат другого. Поэтому вероятность события C можно вычислить по правилу умножения для независимых событий:
P(C) = P(A B) = P(A) · P(B) = 0,6 · 0,8 = 0,48.
2. Событие D является объединением событий A и B, поэтому для вычисления вероятности P(D) нужно использовать правило суммы. При этом события A и B могут произойти одновременно, т. е. пересекаются, поэтому используем правило суммы для пересекающихся (совместных) событий:
P(D) = P(AB) = P(A) + P(B) – P(A B) = 0,6 + 0,8 – 0,48 = 0,92.
Или: P(D) = Р(А)*Р( В ) + Р( А )*Р(В) + Р(А)*Р(В) = 0,6*(1-0,8) +(1-0,6)*0,8+0,6*0,8 = 0,92
7 слайд
Пример 4 (продолжение)
E = «оба стрелка промахнутся»
F = «хотя бы один из них промахнётся»?
Решение
3. Вероятность события E можно найти двумя способами.
P(E) = P( А В ) = P( А ) · P( В ) = (1 – P(A))(1 – P(B)) = 0,4 · 0,2 = 0,08.
Или: E = 𝐷 , поэтому P(E) = P( 𝐷 )= 1 – P(D) = 1 – 0,92 = 0,08.
P(F) = P( 𝐶 )= 1 – P(C) = 1 – 0,48 = 0,52.
Или P(F) = Р(А)*Р( В ) + Р( А )*Р(В) + Р( А )* Р( В ) =
= 0,6*(1-0,8)+(1-0,6)*0,8 + (1-0,6)*(1-0,8) = 0,52
8 слайд
Пример 5
Из колоды в 36 карт вытягивают одну карту. Будут ли независимыми события A = «вытянут пику» и B = «вытянут даму»?
Для этого нужно найти три вероятности — P(A), P(B), P(A B) — и проверить выполнение равенства P(A B) = P(A) · P(B).
Всего карт в колоде — 36, дам — 4, пик — 9, пиковая дама — одна.
Поэтому по классическому определению вероятности получаем:
P(A) = 9 36 = 1 4
P(B) = 4 36 = 1 9
P(A B) = 1 36
Подставляем найденные вероятности в равенство, которое нужно проверить:
P(A B) = P(A) · P(B) = 1 4 * 1 9 = 1 36
Равенство выполнено, поэтому события A и B независимы.
9 слайд
Задание 1
10 слайд
Задания 2 - 3
№ 2. События U, V и W независимы. Найдите вероятность события U V W, если:
а) Р(U) = 0,4, Р(V) = 0,6, P(W) = 0,5;
б) Р(U) = 0,4, Р(V) = 0,3, P(W) = 0,1.
№ 3. События К, L и М независимы. Найдите вероятность события К, если:
а) Р(L) = 0,8, Р(М) = 0,6, Р(К L М) = 0,096;
б) Р(L М) = 0,1, Р(К L М) = 0,06.
11 слайд
Задание 4
Случайным образом выбираем натуральное число от 1 до 24. Событие С – «число чётное». Являются ли события С и D независимыми, если событие D состоит в том, что:
а) выбранное число делится на 3;
б) выбранное число делится на 5?
12 слайд
Задание 5
Про случайные события A и B известно, что они независимые и что P(A) = 0,3, P(B) = 0,4.
Найдите вероятности событий Р( А ), Р( В ), Р(A B), P(A B).
13 слайд
Задание 6
В ящике лежит 6 красных и 12 синих шаров. Из него один за другим вынимают 2 шара. С какой вероятностью:
а) оба шара будут красными;
б) оба шара будут синими;
в) шары будут одного цвета;
г) шары будут разных цветов?
14 слайд
Домашнее задание:
№ 1. События U и V независимы. Найдите вероятность события U V, если:
а) Р(U) = 0,4, Р(V) = 0,6; б) Р(U) = 0,1, P(V) = 0,8.
№ 2. События К и L независимы. Найдите вероятность события К, если:
а) Р(L) = 0,8, Р(К L) = 0,48; б) Р(L) = 0,2, Р(К L) = 0,08.
№ 3. Бросают одну игральную кость. Событие А – «выпадет чётное число очков». Являются ли независимыми события А и В, если событие В состоит в том, что:
а) выпадет число очков, кратное 3;
б) выпадет число очков, кратное 5?
№ 4. коробке лежат 10 фломастеров, из которых 3 уже закончились, а 7 продолжают писать. Фломастеры вытаскивают из коробки один за другим наугад. С какой вероятностью фломастер, который не пишет, появится первый раз третьим по счёту?
№ 5. В корзине 10 красных и 5 зелёных яблок. Из неё наугад извлекают 2 яблока. Какова вероятность, что они разного цвета?
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 672 030 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Рыбина Марина Васильевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материалВаша скидка на курсы
40%Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.