Презентация на тему: "Наглядная стереометрия"

• 1 слайд

  Задание №13
  ЕГЭ по математике
  базового уровня
  Наглядная стереометрия
  

• 2 слайд

  В 13 задании ЕГЭ базового уровня мы будем иметь дело с задачами по стереометрии, но не абстрактными, а наглядными примерами. Это могут быть задачи на уровень жидкости в сосудах, или же задачи на модификации фигуры — например, у которой отрезали вершины и другие.
  Нужно быть готовым к решению простых задач по стереометрии — они обычно сводятся сразу к задачам на плоскости, необходимо только правильно посмотреть на чертеж.
  

• 3 слайд

  1. Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне h = 80 см. На каком уровне окажется вода, если ее перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания в 4 раза больше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.
  

• 4 слайд

  Алгоритм выполнения:
  Записать формулу объема цилиндра.
  Подставить значения для цилиндра с жидкостью в первом и во втором случае.
  Объем жидкости не изменялся, следовательно, можно приравнять объемы.
  Полученное уравнение решить относительно второй высоты h2.
  Подставить данные и вычислить искомую величину.
  
  
  
  

• 5 слайд

  РЕШЕНИЕ
  
  Запишем формулу объема цилиндра V = π • r2 • h
  Подставим значения для цилиндра с жидкостью в первом и во втором случае. V1 = π r1 2 h1  V2 = π r2 2h2
  Объем жидкости не изменялся, следовательно, можно приравнять объемы.
  V1 = V2 , значит π r1 2 h1 = π r2 2 h2
  Полученное уравнение решим относительно второй высоты h2.
  h2 – неизвестный множитель. Чтобы найти неизвестный множитель нужно произведение разделить на известный множитель.
  h2 =( π r1 2 h1)/ π r2 2
  По условию площадь основания стала в 4 раза больше, то есть r2 = 4 r1 .
  Подставим r2 = 4 r1  в выражение для h1. 
  Получим: h2 =( π r1 2 h1)/ π (4 r1) 2 
  Полученную дробь сократим на π, получим h2=( r1 2 h1)/ 16 r1 2 
  Полученную дробь сократим на r1, получим h2 = h1/ 16.
  Подставим известные данные: h2 = 80/ 16 = 5 см
  
  Ответ: 5
  
  
  

• 6 слайд

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  .
  2. Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 2 и 6, а второго – 6 и 4.
  Во сколько раз объем второго цилиндра больше объема первого?
  
  
  
  
  
  
  
  

• 7 слайд

  Алгоритм выполнения
  Записываем формулу для вычисления объема цилиндра.
  Вводим обозначения для радиуса основания и высоты 1-го цилиндра. Выражаем подобным образом аналогичные параметры 2-го цилиндра.
  Формируем формулы для объема 1-го и 2-го цилиндров.
  Вычисляем отношение объемов.
  

• 8 слайд

  Решение:
  Объем цилиндра равен: V=πR2H.
  Обозначим радиус основания 1-го цилиндра через R1, а его высоту – через Н1. Соответственно, радиус основания 2-го цилиндра обозначим через R2, а высоту – через Н2.
  Получим: V1=πR12H1, V2=πR22H2.
  Запишем отношение объемов:
  V1=πR12 · H1 /V2=πR22 · H2
  Подставляем в полученное отношение числовые данные: V1=π22 · 6 /V2=π62 · 4
  Вывод: объем 2-го цилиндра больше объема 1-го в 6 раз.
  Ответ: 6
  

• 9 слайд

  3. Высота бака цилиндрической формы равна 60 см, а площадь его основания 150 квадратных сантиметров. Чему равен объем этого бака (в литрах)?
  В одном литре 1000 кубических сантиметров.
  
  
  
  
  
  
  

• 10 слайд

  Решение
  Так как бак имеет цилиндрическую форму, для решения данной задачи необходимо знать формулу для нахождения объема цилиндра:
  V = h · Sосн
  Тогда объем бака равен:
  
  V = h · Sосн = 60 · 150 = 9000 см3
  
  Переведём объем бака из сантиметров кубических в литры (в одном литре 1000 кубических сантиметров):
  V = 9000 см3 : 1000 = 9 литров
  Ответ: 9
  
  

• 11 слайд

  4. В бак цилиндрической формы, площадь основания которого 90 квадратных сантиметров, налита жидкость. Чтобы измерить объем детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объем детали, если после её погружения уровень жидкости в баке поднялся на 10 см. Ответ дайте в кубических сантиметрах.
  
  
  
  
  
  
  
  

• 12 слайд

  Решение
  Так как бак имеет цилиндрическую форму, для решения данной задачи необходимо знать формулу для нахождения объема цилиндра:
  
  V = h · Sосн
  
  Объем детали равен объему поднятой жидкости
  
  V = h · Sосн = 10 · 90 = 900 квадратных сантиметров
  
  Ответ: 900
  

• 13 слайд

  5. В бак, имеющий форму правильной четырехугольной прямой  призмы со стороной основания, равной 30 см, налита жидкость. Чтобы измерить объем детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объем детали, если после её погружения уровень жидкости в баке поднялся на 5 см. Ответ дайте в кубических сантиметрах.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 14 слайд

  Решение
  Для решения данной задачи необходимо знать формулу для нахождения объема прямой призмы:
  Объем прямой призмы равен произведению её высоты на площадь основания:
  V = h · Sосн
  Найдем площадь основания призмы:
  S = 30 ·30 = 900 см2
  
  Тогда объем детали равен объему поднятой жидкости:
  V = h · Sосн = 5 · 900 = 4500 см3
  
  Ответ: 4500
  
  

• 15 слайд

  6. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2 высоты. Объем сосуда 1080 мл. Чему равен объем налитой жидкости? Ответ дайте в миллиметрах.
  
  
  Решение:
  Меньший конус подобен большему с коэффициентом 1/2.
  Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. Поэтому объем меньшего конуса равен (1/2)³ =0,125 объема большого конуса.
  Таким образом объём налитой жидкости: 1080·0,125 = 135 мл
  
  Ответ 135
  
  

• 16 слайд

  7. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает  1/2 высоты. Объём жидкости равен 70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?
  
  
  Решение:
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Меньший конус подобен большему с коэффициентом 0,5.
  Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. Поэтому объем большего конуса в 8 раз больше объема меньшего конуса, он равен 560 мл. (70 · 8 = 560) Следовательно, необходимо долить
  560 − 70 = 490 мл жидкости.
  
  Ответ: 490.
  

• 17 слайд

  7а. В сосуде, имеющий форму конуса, уровень жидкости достигает 6/7 высоты. Объем сосуда 3430 мл. Чему равен объём налитой жидкости? Ответ дайте в миллиметрах.
  
  Решение:
  В задаче присутствуют 2 подобных конуса.
  Поскольку высота меньшего конуса составляет
  6/7 высоты большего, это число является коэффициентом подобия.
  Объемы любых двух подобных объемных фигур относятся как куб коэффициента подобия, поэтому можно составить следующее соотношение:
  Vмал.кон. / Vбол.кон. = (6/7)³
  Выразим из этого соотношения объем малого конуса и вычислим его:
  Vмал.кон. = Vбол.кон. ⋅ (6/7)³ = 3430 ⋅ 216 / 343 = 2160 мл
  
  ОТВЕТ: 2160
  
  

• 18 слайд

  8. Однородный шар диаметром 3 см имеет массу 162 грамма. Чему равна масса шара, изготовленного из того же материала, с диаметром 2 см? Ответ дайте в граммах.
  
  
  
  
  
  Решение:
  
  Масса шара прямо пропорциональна
  его объёму.
  Объёмы шаров относятся как кубы их радиусов:
  V2/V1 = r2/r1 = d2/d1 =2³/3³ = 8/27 = m2/m1
  Следовательно, масса второго, меньшего шара равна 
  162 ·8/27 = 48 грамм
  
  Ответ: 48
   
  

• 19 слайд

  9. Две кружки имеют форму цилиндра. Первая кружка в четыре с половиной раза выше  второй, а вторая в полтора шире первой. Во сколько раз объём первой кружки больше объёма второй?
  
  
  
  
  
  Решение:
  Для решения данной задачи необходимо знать формулу для нахождения объема цилиндра (так как две кружки имеют форму цилиндра):
  Объем цилиндра равен произведению его высоты на площадь основания (основание цилиндра – это круг, поэтому площадь основания равна площади круга):
  V = h · Sосн = h · π · r2 = h · π ·D2 / 4
  
  

• 20 слайд

  
  Найдем объем второй кружки (которая ниже):
  
  V2 = h · π ·D2 / 4
  
  Найдем объем первой кружки:
  
  V1 = 4,5h · π ·(2/3D)2 / 4
  Осталось найти, во сколько объём первой кружки боьше объёма второй:
  
  V1 / V2 = 4,5h · π ·(2/3D)2 / 4 : (h · π ·D2 / 4) = в 2 раза объём первой кружки больше объёма второй.
  
  Ответ: 2
  
  

• 21 слайд

  10. К правильной треугольной призме с ребром 1 приклеили правильную треугольную пирамиду с ребром 1 так, что основания совпали. Сколько рёбер у получившегося многогранника (невидимые ребра на рисунке не изображены)?
  

• 22 слайд

  Решение
  Ребро – отрезок, соединяющий
  две вершины многогранника.
  Правильная треугольная пирамида
  имеет 6 рёбер.
  У правильной треугольной призмы – 9 рёбер.
  Итого, у правильной треугольной пирамиды и призмы всего 6 + 9 = 15 рёбер.
  При приклеивании правильной треугольной пирамиды к правильной треугольной призме 3 ребра основания пирамиды и 3 ребра верхней грани призмы, к которой приклеивается пирамида, объединяются. Поэтому получившийся многогранник имеет 15 – 3 = 12 рёбер.
  Ответ: 12
  

• 23 слайд

  11. От деревянной правильной пятиугольной призмы отпилили все его вершины (см. рис.). Сколько рёбер у получившегося многогранника (невидимые ребра на рисунке не изображены)?
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 24 слайд

  Решение
  
  
  
  
  Правильная пятиугольная призма имеет 15 рёбер.
  При отпиливании одной вершины получаем ещё три ребра.
  Всего у правильной пятиугольной призмы 10 вершин. А это значит, что при отпиливании 10 вершин, получим ещё 10 ∙ 3 = 30 рёбер.
  Итого, получившийся многогранник имеет 15 + 30 = 45 рёбер
  Ответ: 45
  

• 25 слайд

  12. Пирамида Хефрена имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 210 м, а высота — 136 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна 52,5 см. Найдите высоту музейной копии. Ответ дайте в сантиметрах.
  
  
  
  
  
  
  
  

• 26 слайд

  Решение
  Сторона основания точной музейной копии пирамиды равна 52,5 см = 0,525 м.
  Найдем во сколько раз сторона основания копии меньше стороны оригинала, тем самым мы найдем и во сколько высота копии меньше высоты оригинала:
  210 : 0,525 =400
  в 400 раз высота музейной копии меньше высоты оригинала
  Осталось найти высоту музейной копии:
  136 : 400 = 0,34 м = 34 см – высота музейной копии.
  
  Ответ: 34 см
  

• 27 слайд

  13. Пирамида Хеопса имеет форму правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 230 м, а высота — 147 м. Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна 46 см. Найдите высоту музейной копии. Ответ дайте в сантиметрах.
  
  Решение
  
  
  Сторона основания точной музейной копии пирамиды равна 46 см = 0,46 м.
  Найдем во сколько раз сторона основания копии меньше стороны оригинала, тем самым мы найдем и во сколько высота копии меньше высоты оригинала:
  230 : 0,46 = 500,
  в 500 раз высота музейной копии меньше высоты оригинала
  Осталось найти высоту музейной копии:
  147 : 500 = 0,294 м = 29,4 см – высота музейной копии.
  Ответ: 29,4 см
  
  

• 28 слайд

  14. Деталь имеет форму изображенного на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины ребер в сантиметрах. Найдите объем этой детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах.
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 29 слайд

  Решение
  Для решения данной задачи будем использовать
  формулу объема прямоугольного параллелепипеда:
  
  Объем прямоугольного параллелепипеда
  равен произведению его высоты на площадь основания.
  А площадь основания равна произведению длины на ширину: 
  V = h · Socн = h · a · b.
  Разобьём данный многогранник на два прямоугольных параллелепипеда (красной пунктирной линией показано, как можно разбить). Получили большой V1 и маленький V2 параллелепипеды. Найдем их объемы отдельно, а потом сложим, тем самым найдем объем всего многогранника.
  V1 = 4 · 1 · 1 = 4 см3
  V2 = 2 · 4 · 2 = 16 см3
  V = V1 + V2 = 4 + 16 = 20 см3 – объем исходного многогранника.
  Ответ: 20
  
  

• 30 слайд

  15. Деталь имеет форму изображенного на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины ребер в сантиметрах. Найдите объем этой детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах.
  
  Решение
  Для решения данной задачи будем использовать формулу
  нахождения объема для прямоугольного параллелепипеда:
  Объем прямоугольного параллелепипеда равен
  Произведению его высоты на площадь основания.
  А площадь основания равна произведению длины на ширину: 
  V = h · Socн = h · a · b.
  Разобьём данный многогранник на два прямоугольных параллелепипеда (красной пунктирной линией показано, как можно разбить). Получили большой V1 и маленький V2параллелепипеды. Найдем их объемы отдельно, а потом сложим, тем самым найдем объем всего многогранника.
  V1 = 1 2 · 2 = 2 см3 V2 = 4 2 · 3 = 24 см3
  V = V1 + V2 = 2 + 24 = 26 см3 – объем исходного многогранника.
  Ответ: 26
  

• 31 слайд

  16. Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами 70 см х 20 см х 60 см. Сколько литров составляет объем аквариума? В одном литре 1000 кубических сантиметров.
  Решение
  Для решения данной задачи необходимо знать
  формулу для нахождения объема прямоугольного
  параллелепипеда:
  Объем прямоугольного параллелепипеда 
  равен произведению его высоты на длину и ширину:
  V = a · b · h
  Тогда объем аквариума равен:
  V = 70 · 20 · 60 = 84000 см3
  Переведём объем аквариума из сантиметров кубических в литры (в одном литре тысяча сантиметров кубических):
  V = 84000 см3: 1000 = 84 литра объем аквариума
  Ответ: 84
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

Краткое описание документа:

В 13 задании ЕГЭ базового уровня мы будем иметь дело с задачами по стереометрии, но не абстрактными, а наглядными примерами. Это могут быть задачи на уровень жидкости в сосудах, или же задачи на модификации фигуры — например, у которой отрезали вершины и другие. Нужно быть готовым к решению простых задач по стереометрии — они обычно сводятся сразу к задачам на плоскости, необходимо только правильно посмотреть на чертеж.