Презентация на тему Перпендикулярность прямых и плоскостей

• 1 слайд

  Перпендикулярность
  
  прямых и плоскостей
  

• 2 слайд

  Определение. Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.
  Теорема 3.1 Если две пересекающие
  прямые параллельны соответственно
  двум перпендикулярным прямым,
  то они тоже перпендикулярны.
  a
  b
  a1
  b1
  
  
  C
  C1
  A
  A1
  B
  B1
  

• 3 слайд

  Задача № 3 (П 14). Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны. Найдите отрезок CD, если АВ = 3 см, ВС = 7 см, АD = 1,5 см.
  А
  В
  С
  D
  Дано: АВ АС, АВ АD, AD AC.
  АВ = 3 см, ВС = 7 см, АD = 1,5 см.
  3 см
  7 см
  1,5 см
  Найти CD.
  ?
  Решение: 1) АВС – прямоугольный,
  по теореме Пифагора АС2 = ВС2 – АВ2 = 49 – 9 = 40, АС = см.
  2) АСD – также прямоугольный,
  по теореме Пифагора СD2 = AC2 + AD2 =
  = 40 + 2,25 = 42,25. CD = cм = 6,5 см.
  Ответ: CD = 6,5 см.
  

• 4 слайд

  Задача № 3 2) (П 14). Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны. Найдите отрезок CD, если ВD = 9 см, ВС = 16 см, АD = 5 см.
  А
  В
  С
  D
  Дано: АВ АС, АВ АD, AD AC.
  BD = 9 см, ВС = 16 см, АD = 5 см.
  16 см
  5 см
  Найти CD.
  ?
  Решение: 1) АВD – прямоугольный,
  по теореме Пифагора АB2 = ВD2 – АD2 = 81 – 25 = 56, АС = см.
  2) АСB – также прямоугольный,
  по теореме Пифагора AC2 = BC2 - AB2 =
  = 256 - 56 = 200. AC = cм.
  Ответ: CD = 15 см.
  9 см
  3) ACD – прямоугольный, CD2 = AC2 +AD2= = 200 + 25 = 225, CD = 15 см.
  

• 5 слайд

  Перпендикулярность прямой и плоскости.
  Определение. Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения данной прямой и плоскости
  
  

• 6 слайд

  Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
  Теорема 3.2 Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.
  a
  
  
  b
  c
  x
  C
  X
  B
  A
  A1
  A2
  

• 7 слайд

  Свойства перпендикулярных прямой и плоскости.
  Теорема 3.3 Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
  a1
  a2
  A1
  A2
  x2
  x1
  

• 8 слайд

  Теорема 3.4 Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.
  а
  b
  • С
  b1
  В
  В1
  

• 9 слайд

  Перпендикуляр и наклонная.
  А
  В
  С
  АВ - перпендикуляр, расстояние от точки до плоскости.
  В – основание перпендикуляра.
  АС – наклонная, С- основание наклонной.
  ВС – проекция наклонной
  

• 10 слайд

  Задача Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 15 см и 20 см. Разность проекций этих наклонных равна 7 см. Найдите проекции наклонных.
  А
  В
  20 см
  С
  15 см
  7 см
  О
  Дано: АВ и АС – наклонные к плоскости
  
  АО , АВ = 20 см, АС = 15 см, ВС = 7 см.
  Найти: ВО и СО.
  Решение:
  1) Найдём площадь АВС по формуле Герона: .
  p = (a+b+c)/2 = (20+15+7)/2 = 21 см.
  = 7·6 = 42 см2.
  2)
  , АО = 2·42/7 = 84/7 = 12 см.
  12 см
  АOС – прямоугольный, по теореме Пифагора ОС2 = АС2 – АО2 = 225 – 144 = 81,
  
  ОС = 9 см.
  4) ОВ = ВС + ОС = 7 + 9 = 16 см.
  Ответ: 9 см и 16 см.
  9 см
  

• 11 слайд

  Задача 24 2) Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины наклонных, если наклонные относятся как 1:2, а проекции наклонных равны 1 см и 7 см.
  А
  В
  2 х
  С
  1 х
  7 см
  О
  Дано: АВ и АС – наклонные к плоскости
  
  АО , АВ : АС = 2 : 1, ВО = 7 см, СО = 1 см.
  Найти: АВ и АС.
  Решение:
  
  
  
  Ответ: 4 см и 8 см.
  1 см
  Пусть АВ = 2х см, АС = х. В АВО АО2 = АВ2 – ОВ2 = 4х2 – 49,
  В АСО АО2 = АС2 – СО2 = х2 – 1.
  Т. к. левые части этих равенств равны, то
  равны и правые: 4х2 – 49 = х2 – 1, 3х2 = 48, х2 = 16, х = 4.
  Таким образом, АС = 4 см, АВ = 8 см.
  

• 12 слайд

  Задача 23 Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 10 см и 17 см. Разность проекций этих наклонных равна 9 см. Найдите проекции наклонных.
  А
  В
  17 см
  С
  10 см
  9 см
  О
  Дано: АВ и АС – наклонные к плоскости
  
  АО , АВ = 17 см, АС = 10 см, ВС = 9 см.
  Найти: ВО и СО.
  Решение:
  1) Найдём площадь АВС по формуле Герона: .
  p = (a+b+c)/2 = (17+10+9)/2 = 18 см.
  = 9·4 = 36 см2.
  2)
  , АО = 2·36/9 = 72/9 = 8 см.
  8 см
  АВС – прямоугольный, по теореме Пифагора ОС2 = АС2 – АО2 = 100 – 64 = 36,
  
  ОС = 6 см.
  4) ОВ = ВС + ОС = 9 + 6 = 15 см.
  Ответ: 6 см и 15 см.
  6 см
  

• 13 слайд

  Задача 24 1) Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины наклонных, если одна из них на 26 см больше другой, а проекции наклонных равны 12 см и 40 см.
  А
  В
  (х + 26 )см
  С
  х см
  40 см
  О
  Дано: АВ и АС – наклонные к плоскости
  АО , АС = х см, АВ = х+26 см, СО = 12 см, ОВ = 40 см.
  Найти: АВ и АС.
  Решение:
  
  
  
  Ответ: 15 см и 41 см.
  12см
  Пусть АС = х см, АВ = (х+26) см. В АВО АО2 = АВ2 – ОВ2 = (х+26)2 – 402,
  В АСО АО2 = АС2 – СО2 = х2 – 122.
  Т. к. левые части этих равенств равны, то
  равны и правые: (х+26)2 – 402 = х2 – 122, х2 +52х+676 – 1600 = х2 -144, 52х = 780, х = 15 см.
  Таким образом, АС = 15 см, АВ = 41 см.
  

• 14 слайд

  Теорема о трёх перпендикулярах.
  Теорема 3.5 Если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна наклонной.
  Обратная теорема
  Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.
  А
  В
  С
  А1
  с
  

• 15 слайд

  Задача № 48. Из вершины равностороннего треугольника АВС восставлен перпендикуляр AD к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до стороны ВС, если AD = 13 см, ВС = 6 см.
  А
  В
  С
  D
  F
  6 см
  6 см
  6 см
  13 см
  Дано: АВС – равносторонний, АВ=ВС=АС= 6 см, АD (АВС), АD=13 см.
  Найдите: (D; BC).
  Решение: Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведённого из данной точки до прямой. Поэтому, из точки D опустим перпендикуляр DF на прямую ВС.
  По теореме о трёх перпендикулярах AF BC,
  т.к. треугольник АВС- равносторонний, то АF –медиана, т.е. BF=FC= 3 см.
  АFC – прямоугольный. По теореме Пифагора AF2 = AC2 – CF2 = 36 – 9 = 27, AF = см.
  ADF – прямоугольный, DF2 = AD2 + AF2 = 169 + 27 = 196, следовательно DF = 14 см.
  Ответ: 14 см.
  

• 16 слайд

  Задача . Стороны треугольника 15 см, 26 см и 37 см. Через вершину среднего по величине угла проведён перпендикуляр в его плоскости, равный 9 см. Найдите расстояние от концов этого перпендикуляра до противоположной стороны.
  А
  В
  С
  D
  15 см
  37 см
  26 см
  9 см
  
  Решение: Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведённого из данной точки до прямой. Поэтому, из точки В опустим перпендикуляр ВF на прямую ВС.
  
  F
  По теореме о трёх перпендикулярах DF AC.
  BF найдём из треугольника АВС.
  Найдём площадь треугольника АВС по формуле Герона.
  p = (a+b+c)/2 = (15+26+37)/2 = 39,
  S =
  
  
  = 13·3·4 = 156 (см2).
  S= AC·BF,
  BF = 2·S/AC= 2·156 / 26 = 12 см.
  12 см
  Треугольник DFB – прямоугольный.
  По теореме Пифагора DF2 = DB2 + BF2 ,
  DF2 = 81 + 144 = 225, DF = 15 см.
  Ответ: 12 см и 15 см.
  

• 17 слайд

  Задание на дом: П. 19,
  Задача . Из вершины треугольника АВС
  восставлен перпендикуляр ВD к
  плоскости треугольника. Найдите
  расстояние от точки D до стороны АС,
  если ВD = 9 см, АВ = 15 см, ВС = 20 см, АС = 7 см.
  
  

• 18 слайд

  Задача . Из вершины треугольника АВС восставлен перпендикуляр ВD к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до стороны АС, если ВD = 9 см, АВ = 15 см, ВС = 20 см, АС = 7 см.
  А
  В
  С
  D
  15 см
  20 см
  7 см
  9 см
  
  Решение: Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведённого из данной точки до прямой. Поэтому, из точки D опустим перпендикуляр DF на прямую АС.
  
  F
  По теореме о трёх перпендикулярах BF AC.
  BF найдём из треугольника АВС.
  Вычислим площадь треугольника АВС по формуле Герона.
  p = (a+b+c)/2 = (15+20+7)/2 = 21,
  S =
  
  =
  =
  =
  7·6 = 42 (см2).
  S= AC·BF,
  BF = 2·S/AC= 2·42 / 7 = 12 см.
  12 см
  Треугольник DFB – прямоугольный.
  По теореме Пифагора DF2 = DB2 + BF2 ,
  DF 2 = 81 + 144 = 225, DF = 15 см.
  Ответ: 15 см.
  15 см
  

• 19 слайд

  Перпендикулярность плоскостей.
  Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей пересекает их по перпендикулярным прямым.
  с
  a
  b
  

• 20 слайд

  Признак перпендикулярности плоскостей.
  Теорема 3.6 Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
  b
  c
  a
  

• 21 слайд

  Задача № 59 1) Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если: АС = 6 м, ВD = 7 м, СD = 6 м.
  •
  А
  •
  В
  С
  D
  Дано: , А , В , АС CD, BD CD
  АС = 6 м, ВD = 7 м, СD = 6 м.
  Найти: АВ.
  6 м
  7 м
  6 м
  ?
  Решение: BCD – прямоугольный,
  900
  по теореме Пифагора ВС2 = СD2 + BD2,
  ВС2 = 36 +49 = 85, ВС = м.
  АВС – прямоугольный,
  900
  по теореме Пифагора АВ2 = АС2 + ВС2,
  АВ2 = 36 + 85 = 121, АВ = 11 м.
  Ответ : 11 м.
  

• 22 слайд

  Задача Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если: АС = м, ВD = 5 м, СD = 7 м.
  •
  А
  •
  В
  С
  D
  Дано: , А , В , АС CD, BD CD
  АС = м, ВD = 5 м, СD = 7 м.
  Найти: АВ.
  м
  5 м
  7 м
  ?
  900
  
  900
  

• 23 слайд

  Задача. Из меньшего угла треугольника со сторонами 9 см, 10 см и 17 см восставлен перпендикуляр к его плоскости, равный 15 см. Найдите расстояния от концов этого перпендикуляра до прямой, содержащей противолежащую сторону.
  А
  В
  С
  D
  9 см
  10 см
  17 см
  Решение:
  1) Т.к. АВС - тупоугольный, то перпендикуляр, проведённый из точки В, мы должны провести на продолжение стороны АС.
  F
  2) Найдём площадь АВС по формуле Герона:
  p=(a + b + c): 2= (9 + 10 + 17): 2 = 18 (см),
  = 9·4 = 36 см2.
  3)
  , ВF = (2·S) : АС = (2· 36) : 9 = 8 (см).
  4)
  DF AC по теореме о трёх перпендикулярах.
  DBF – прямоугольный, поэтому
  DF 2 = BD 2 + BF 2 = 15 2 + 8 2 = 225 + 64 = 289,
  DF = 17 см.
  Ответ: 8 см и 17 см.
  8 см
  15 см
  17 см
  

• 24 слайд

  Задание на дом: П 20,
  задачи № № 25, 59 3),
  

• 25 слайд

  К задаче № 25
  А
  В
  О
  С
  33 см
  23 см
  3х
  2х
  Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 23 см и 33 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости, если проекции наклонных относятся как 2:3.
  ?
  

• 26 слайд

  СПАСИБО
  ЗА СОВМЕСТНУЮ
  РАБОТУ.
  
  До свидания.