Презентация по алгебре на тему"Производная и исследование функций"

• 1 слайд

  Применение производной к исследованию функций в задачах ЕГЭ
  Стус Валентина Дмитриевна
  учитель математики
  МБОУ «Новоселовская школа»
  Симферополь 29.03.2018
  

• 2 слайд

  Как определить знак производной?
  1-й способ
  Если точка принадлежит промежутку возрастания функции, то значение производной в этой точке положительно, а если промежутку убывания, то значение производной отрицательно.
  2-й способ
  Рассмотрим угол между касательной к графику функции в некоторой точке и осью абсцисс (этот угол, отсчитываемый в положительном направлении – против часовой стрелки- от положительного направления оси Ох до касательной). Если угол острый, то значение производной в этой точке положительно, а если угол тупой, то значение производной в этой точке положительно, а если угол тупой, то значение производной в этой точке отрицательно.
  3-й способ
  Возьмем координаты произвольной точки касательной ( х 1 , у 1 ). Теперь рассмотрим любую точку касательной, абсцисса которой х 2 больше, чем абсцисса первой точки. Если при этом и ее ордината у 2 больше у 1 , то производная положительна, если меньше – производная отрицательна.
  

• 3 слайд

  Задача № 1
  На рисунке 1 изображен график функции у = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке х 0 .
  рис.1
  

• 4 слайд

  Решение.
  
  По графику функции видно, что функция – убывающая, поэтому знак производной в точке касания – «минус». Выберем две точки касательной. Например: (-2;-9) и (-5;-3). Модуль разности их абсцисс Δх=3, Модуль разности ординат Δу=6. Делим Δу на Δх , получаем 6:3=2, ставим знак «-».
  
  Ответ: -2.
  

• 5 слайд

  Задача № 2
  Прямая у = -4х+15 является касательной к графику функции у = х 3 +3 х 3 - 4х + 11. Найдите абсциссу точки касания.
  Решение.
  
  Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания. Угловой коэффициент касательной у = -4х+15 равен -4. Получим у ′ (х)=-4, где у ′ (х)= ( х 3 +3 х 3 −4х+11) ′ = 3 х 2 +6х-4.
  3 х 2 +6х-4= -4; 3 х 2 +6х=0; 3х(х+2)=0, следовательно х=0, либо х=-2.
  

• 6 слайд

  Мы получили два возможных значения для абсциссы точки касания. Выбрать одно из них можно, подставив найденное значение х в формулу функции и касательной. В точке касания значения функции и прямой должны совпасть.
  Проверим при х=0: у = х 3 +3 х 2 −4х+11= 0 3 +3∗0−4∗0+11=11;
  у кас = -4х +15= -4*0+15=15.
  У(0)=11, у кас (0)=15.
  Так как значения функции и касательной при х=0 разные, абсцисса х=0 нам не подходит.
  Проверим при х = -2: у = х 3 +3 х 2 −4х+11= (-2)3+3*(-2)2-4*(-2)+11=23,
  у кас = -4х +15=-4(-2)+15=23.
  Значения функции и касательной при х=-2 равны, значит, абсцисса точки касания х=-2.
  
  Ответ: -2
  

• 7 слайд

  Задача №3
  
  На рисунке 2 изображён график функции 𝑓(𝑥), определённой на интервале (−9;8). В какой точке отрезка [−8;−4]𝑓(𝑥) принимает наибольшее значение?
  
  Решение.
  Определяем на графике точку, у которой абсцисса 𝑥 лежит на отрезке [−8;−4], а ордината 𝑦 наибольшая из возможных, то есть «самая высокая». Для данного графика это точка (−6;5). Значит, 𝑓(𝑥)принимает наибольшее значение в точке 𝑥=−6.
  
  Ответ: -6.
  рис.2
  

• 8 слайд

  Задача №4
  
  На рисунке 2 изображён график функции 𝑦=𝑓 𝑥 , определённой на интервале (−9;8). Найдите количество точек на отрезке [−8;3], в которых касательная к графику функции параллельна прямой 𝑦=3.
  рис.2
  рис.3
  Решение.
  
  Нарисуем прямую 𝑦=3 (см. рис. 3). Посчитаем количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой 𝑦=3. По рисунку видно, что число таких точек равно 6.
  
  Ответ: 6.
  

• 9 слайд

  Задача№5
  
  На рисунке 4 изображён график функции𝑦=𝑓(𝑥), определенной на интервале (-2;10). Найдите сумму точек экстремума функции 𝑦=𝑓 𝑥 .
  рис.4
  Решение.
  
  На рисунке 4 изображён график функции𝑦=𝑓(𝑥),
  Говоря образно, точки экстремума – это те значения 𝑥, при которых на графике видны «горбики» и «впадинки». Видим, что точками экстремума даннной функции являются точки 𝑥=−1, 𝑥=0, 𝑥=3, 𝑥=4, 𝑥=6, 𝑥=7 и 𝑥=9. Сумма точек экстремума функции𝑦=𝑓(𝑥)равна -1 + 0 + 3 + 4 + 6 + 7 + 9 = 28.
  Ответ: 28.
  

• 10 слайд

  Задача №6
  
  На рисунке 5 изображён график производной функции𝑦=𝑓′(𝑥), определённой на интервале (−7,5;7). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции𝑦=𝑓(𝑥)параллельна прямой 𝑦=𝑥+1 или совпадает с ней.
  рис.5
  

• 11 слайд

  Решение.
  
  Касательная к графику функции 𝑦=𝑓(𝑥) параллельна прямой
  𝑦=𝑥+1 или совпадает с ней, если её угловой коэффициент 𝑘=1. Но значение углового коэффициента касательной равно значению производной в точке касания, то есть нам нужно найти точки, в которых производная 𝑓 ′ 𝑥 =1. Построим прямую 𝑦=1, параллельную оси 𝑂𝑥 (см. рис. 6). Видим, что прямая и график функции имеют 4 общие точки. Это и значит, что 𝑓 ′ 𝑥 =1 в этих четырёх точках, и в них касательная к графику функции 𝑦=𝑓(𝑥) параллельная прямой 𝑦=𝑥+1 или совпадает с ней.
  рис.6
  Ответ: 4.
  

• 12 слайд

  Задача №7
  
  На рисунке 5 изображён график производной функции𝑦=𝑓′(𝑥), определённой на интервале (−7,5;7). Найдите промежутки возрастания функции. В ответе запишите количество целых точек, входящих в эти промежутки.
  
  Решение.
  рис.5
  Функция возрастает на промежутках, в которых её производная положительна. Найдём те целые точки на графике, в которых производная положительна (лежит выше оси абсцисс 𝑂𝑥). Видим, что эти точки лежат в интервале от -7,5 до 2. Целых среди них 9.
  Ответ: 9.
  

• 13 слайд

  рис.5
  Задача №8
  
  На рисунке 5 изображён график производной функции𝑦=𝑓′(𝑥), определённой на интервале (−7,5;7). В какой точке отрезка [−5;−2] функция𝑓(𝑥)принимает наименьшее значение?
  Решение.
  На отрезке [−5;−2] производная функции𝑦=𝑓′(𝑥)положительна, следовательно, 𝑓(𝑥) на этом отрезке возрастает и принимает наименьшее значение на левом конце отрезка (или, другими словами, при наименьшем значении 𝑥). В данном случае это 𝑥=−5.
  
  Ответ: -5.
  

• 14 слайд

  Задача №9
  
  На рисунке 7 изображён график производной функции𝑦=𝑓′(𝑥), определённой на интервале (−5;5). Найдите количество точек экстремума функции𝑓(𝑥)на интервале (−4;3).
  рис.7
  

• 15 слайд

  Решение.
  
  Точка является точкой экстремума непрерывной функции, если при прохождении через эту точку производная меняет знак, то есть график производной пересекает ось абсцисс 𝑂𝑥. Производная функции𝑦= 𝑓 ′ 𝑥 на интервале(−4;3). меняет знак три раза, потому количество точек экстремума функции 𝑦=𝑓(𝑥) на данном промежутке равно 2.
  
  
  Ответ: 2.
  

• 16 слайд

  Задача №10
  
  На рисунке 8 изображен график производной функции y=f’(x), определенной на интервале (-5;5). Найдите точку максимума функции y=f(x) на интервале (-3;3).
  рис.8
  

• 17 слайд

  рис.9
  Решение.
  
  Точка является точкой экстремума непрерывной функции, если при прохождении через нее знак производной меняется, то есть график производной пересекает ось абсцисс Ох. Таких точек на интервале
  (-3;3) две: х=-1,6 и х=2.
  Точка является точкой максимума непрерывной функции, если при прохождении через эту точку знак производной меняется с «+» на «-». В данном случае точкой максимума является точка х=-1,6 (см. рис. 9).
  Ответ: -1,6.
  

• 18 слайд

  рис.8
  Задача №11.
  
  На рисунке 8 изображен график функции y=f΄(x), определенной на интервале (-5;5). Найдите промежутки возрастания функции y=f(x). В ответ укажите сумму целых точек, входящих в этот промежуток.
  

• 19 слайд

  рис.9
  Решение.
  
  Расставим знаки производной (см. рис. 9) и выбираем промежутки, где производная положительная (на них функция возрастает). К точкам возрастания функции относятся также концы этих промежутков.
  Видим, что целые точки, входящие в промежутки возрастания, - это – 3, -2, 2 и 3. Их сумма равна 0.
  
  Ответ: 0.
  

• 20 слайд

  Задача №12.
  
  На рисунке 10 изображен график производной функции y=f’(x), определенной на интервале (-2;16). Найдите промежутки убывания функции y=f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
  рис. 10
  

• 21 слайд

  Решение.
  
  Расставим знаки производной (см. рис. 11) и выберем промежутки, где производная отрицательна (на них функция убывает). Это и будет промежутки убывания: [-1;2], [6;13], [15;16). Длина наибольшего из них равна 13–6=7.
  рис.11
  Ответ:7
  

• 22 слайд

  Задача №13
  
  На рисунке 12 изображен график функции y=f’(x) и отмечены точки -1, 1, 2, 4, 6. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответ укажите эту точку.
  рис.12
  

• 23 слайд

  Решение.
  
  Значение производной в точке х0 равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой Хо. f’(x) наименьшее в точке, в которой касательная образует самый маленький тупо угол с осью Ох («горка» в этом месте на вид «самая крутая»).
  рис.13
  Проведем касательные в заданных точках (см. рис. 13). Тупые углы (а значит, f’(x) <0) в точках х= -1 и х=4. a<B, значит, наименьшая производная в точке 4.
  Ответ: 4