Презентация по геометрии "Правильные многогранники"

• 1 слайд

  Правильные многогранники
  

• 2 слайд

  Понятие правильного многогранника
  Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходиться одно и тоже число ребер.
  Примером правильного многогранника является куб
  

• 3 слайд

  Существует всего пять правильных многогранников:
  Тетраэдр
  Куб
  Октаэдр
  Додекаэдр
  Икосаэдр
  

• 4 слайд

  Комбинаторные свойства
  Эйлером была выведена формула, связывающая число вершин (В), граней (Г) и рёбер (Р) любого выпуклого многогранника простым соотношением:
  В + Г = Р + 2.
  Отношение количества вершин правильного многогранника к количеству рёбер одной его грани равно отношению количества граней этого же многогранника к количеству рёбер, выходящих из одной его вершины. У тетраэдра это отношение равно 4:3, у куба и октаэдра — 2:1, а у додекаэдра и икосаэдра — 4:1.
  Правильный многогранник может быть комбинаторно описан символом Шлефли {p, q}, где:
  p — число сторон каждой грани;
  q — число рёбер, сходящихся в каждой вершине.
  
  

• 5 слайд

  Другой комбинаторной характеристикой многогранника, которую можно выразить через числа p и q, является общее количество вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г). Поскольку любое ребро соединяет две вершины и лежит между двумя гранями, то выполняются соотношения: pГ = 2Р = qВ.
  
  Из этих соотношений и формулы Эйлера можно получить следующие выражения для В, Р и Г:
  
  

• 6 слайд

  Геометрические свойства
  Углы
  С каждым правильным многогранником связаны определённые углы, характеризующие его свойства. Двугранный угол между смежными гранями правильного многоугольника {p, q} задается формулой:
  
  
  
  
  Иногда удобнее пользоваться выражением через тангенс:
  
  
  
  
  где h принимает значения 4, 6, 6, 10 и 10 для тетраэдра, куба, октаэдра,
  додекаэдра и икосаэдра соответственно.
  
  

• 7 слайд

  Угловой дефект при вершине многогранника – это разность между 2π и суммой
  углов между рёбрами каждой грани при этой вершине. Дефект δ при любой
  вершине правильного многогранника:
  
  
  
  
  По теореме Декарта, он равен 4π делённым на число вершин (т.е. суммарный
  дефект при всех вершинах равен 4π).
  
  Трёхмерным аналогом плоского угла является телесный угол. Телесный угол Ω
  при вершине правильного многогранника выражается через двугранный угол
  между смежными гранями этого многогранника по формуле:
  
  
  
  Телесный угол, стягиваемый гранью правильного многогранника, с вершиной в
  центре этого многогранника, равен телесному углу полной сферы
  (4π стерадиан), делённому на число граней. Он также равен угловому дефекту
  дуального к данному многогранника.
  
  
  Константа - золотое сечение.
  
  

• 8 слайд

  Радиусы, площади и объёмы
  С каждым правильным многогранником связаны три концентрические сферы:
  Описанная сфера, проходящая через вершины многогранника;
  Срединная сфера, касающаяся каждого его ребра в середине;
  Вписанная сфера, касающаяся каждой его грани в её центре.
  Радиусы описанной (R) и вписанной (r) сфер задаются формулами:
  
  
  
  
  где θ - двугранный угол между смежными гранями многогранника.
  
  Радиус срединной сферы задаётся формулой:
  
  где h – величина, описанная выше, при определении двугранных углов
  (h = 4, 6, 6, 10 или 10).
  

• 9 слайд

  Отношения описанных радиусов к вписанным радиусам симметрично
  относительно p и q:
  

• 10 слайд

  Площадь
  
  Площадь поверхности S правильного многогранника {p, q} вычисляется,
  как площадь правильного p-угольника, умноженная на число граней Г:
  
  
  
  
  
  Объем
  
  Объем правильного многогранника вычисляется, как умноженный на
  число граней объём правильной пирамиды, основанием которой служит
  правильный p-угольник, а высотой - радиус вписанной сферы r:
  

• 11 слайд

  Константы φ и ξ задаются выражениями
  
  
  
  
  Среди правильных многогранников как додекаэдр, так и
  икосаэдр представляют собой лучшее приближение к сфере.
  Икосаэдр имеет наибольшее число граней, наибольший
  двугранный угол и плотнее всего прижимается к своей вписанной
  сфере. С другой стороны, додекаэдр имеет наименьший угловой
  дефект, наибольший телесный угол при вершине и максимально
  заполняет свою описанную сферу.
  

• 12 слайд

  Правильный тетраэдр
  Составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°.
  

• 13 слайд

  Куб
  Составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трех квадратов. Следовательно, сумма сумма плоских углов при каждой вершине равна 270°.
  

• 14 слайд

  Правильный октаэдр
  Составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 240°.
  

• 15 слайд

  Правильный додекаэдр
  Составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°.
  

• 16 слайд

  Правильный икосаэдр
  Составлен из двенадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300°.