Презентация по математике на тему "Наибольшее и наименьшее значение функции"

• 1 слайд

  За каждой задачей скрывается приключение мысли.
  Решить задачу – значить пережить приключение
  

• 2 слайд

  1) Назвать критические точки функции.
  2) Все ли они являются точками экстремума?
  3) В каких точках производная равна 0? Почему?
  4) Назвать промежутки возрастания и убывания функции.
  5) Назвать промежутки, где f´(х)<0, f´(х)>0.
  
  

• 3 слайд

  Критические точки функции:
  2
  4
  1 критическая точка
  2 критическая точка
  3 критическая точка
  4 критическая точка
  5 критическая точка
  

• 4 слайд

  Критическая точка функции – это внутренняя точка области определения, в которой производная обращается в нуль или не существует
  Роль критических точек – только они могут быть точками экстремума функции
  х2
  х1
  у
  Х
  Х
  у
  х2
  х1
  у
  Х
  х1
  f(x1)=0
  f(x2)=0
  f(x1)=0
  

• 5 слайд

  Экстремумы функции:
  2
  4
  1 точка экстремума
  2 точка экстремума
  3 точка экстремума
  Седловая точка
  4 точка экстремума
  

• 6 слайд

  Точки из области определения функции, в которых f`(х)=0 называются стационарными точками этой функции.
  
  
  х2
  х1
  у
  Х
  f(x1)=max
  f(x2)=min
  у
  Х
  х1
  f(x1)=0
  Экстремумы
  Не является экстремумом
  Стационарные точки
  Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума
  

• 7 слайд

  Производная равна 0 в точках:
  2
  4
  В точке х=1 f`(x)=0
  В точке х=2 f`(x)=0
  В точке х=4 f`(x)=0
  В точке х=6 f`(x)=0
  В точке х=8 f`(x)=0
  

• 8 слайд

  В стационарной точке скорость изменения функции равна нулю, то есть функция «на мгновение» перестает меняться
  Касательная в стационарных точках горизонтальна, то есть образует нулевой угол с осью Х.
  Поэтому f` (x)=0
  

• 9 слайд

  Промежутки возрастания:
  1
  2
  4
  8
  (-2; 1), (2; 4), (8;11)
  

• 10 слайд

  Промежутки убывания:
  1
  2
  4
  8
  (1; 2), (4; 8)
  

• 11 слайд

  1
  2
  4
  8
  Производная f´(х)<0, f´(х)>0.
  

• 12 слайд

  1
  2
  4
  8
  Производная f´(х)>0 в промежутках
  (-2; 1)
  (2; 4)
  (8; 11)
  

• 13 слайд

  Признак возрастания функции
  Если производная положительна f´(х)>0 на некотором промежутке, то функция возрастает на этом промежутке
  

• 14 слайд

  1
  2
  4
  8
  Производная f´(х)<0 в промежутках
  (1; 2)
  (4; 8)
  

• 15 слайд

  Признак убывания функции
  Если производная отрицательна f´(х)<0 на некотором промежутке, то функция убывает на этом промежутке
  

• 16 слайд

• 17 слайд

  Блиц – опрос
  Получи допуск к работе
  
  

• 18 слайд

  Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a; b) и
  f ' (х) > 0 для всех х Є (a; b) , то функция __________ на
  интервале (a; b)
  
  Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a; b) и
  f '(х) __ 0 для всех х Є (a; b) , то функция возрастает на интервале (a; b)
  
  Пусть функция f(x) дифференцируема на интервале (a; b) , х0 Є (a; b) , и f '(х0 ) = 0. Тогда если при переходе через стационарную точку х0 функции f(х) ее производная меняет знак с “+” на “–”, то точка х0 – точка _________ функции f(x)
  
  возрастает
  >
  максимума
  

• 19 слайд

  Если функция у = f(х) непрерывна в точке х0 и производная в этой точке меняет знак с “___” на “___”, то х0 - точка минимума
  Если х0 - точка экстремума функции у = f(х), то производная в этой точке равна ___.
  
  Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a; b) и
  f '(х) ___0 для всех х Є (a; b) , то функция убывает на интервале (a; b)
  
  -
  0
  <
  +
  

• 20 слайд

  Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a; b) и
  f '(х) < 0 для всех х Є (a; b) , то функция ___________ на
  интервале (a; b)
  Пусть функция f(x) дифференцируема на интервале (a; b) ,
  х0 Є (a; b) , и f '(х0) = 0. Тогда если при переходе через стационарную точку х0 функции f(х) ее производная меняет знак с “–” на “+”, то точка х0 – точка ____________ функции f(x)
  
  Если функция у = f(х) непрерывна в точке х0 и производная в этой точке меняет знак с “___” на “___”, то х0 - точка максимума.
  
  минимума
  +
  убывает
  -
  

• 21 слайд

  Точки, в которых производная функции равна 0, называются ______________
  стационарными
  

• 22 слайд

• 23 слайд

  Наибольшее и наименьшее значение функции
  
  Цель:
  Научиться находить наибольшее и наименьшее
  значение функции
  2. Составить алгоритм нахождения
  наибольшего и наименьшего значения функции
  Тема:
  

• 24 слайд

• 25 слайд

  Парабола на области определения имеет только наименьшее значение. Наибольшего значения нет, ветви уходят в бесконечность.
  

• 26 слайд

  На отрезке есть и наибольшее и наименьшее значения.
  

• 27 слайд

  Кубическая парабола на области определения имеет два экстремума, но наименьшего и наибольшего значений не достигает.
  

• 28 слайд

  Здесь на отрезке наибольшее значение достигается в точке максимума, а наименьшее в краевой точке отрезка.
  

• 29 слайд

  Здесь на отрезке наибольшее значение достигается в точке максимума, а наименьшее в краевой точке отрезка.
  

• 30 слайд

  Функция может достигать своих
  наибольших и наименьших значений
  либо на внутренних точках промежутка,
  либо на его границах.
  Вывод:
  

• 31 слайд

  Работаем по учебнику самостоятельно!
  Упражнение 281, стр. 119
  

• 32 слайд

• 33 слайд

  Определите наибольшее и наименьшее значение функции
  

• 34 слайд

  Функция достигает своего наибольшего значения на левой границе промежутка в точке х = а , а своего наименьшего значения на правой границе промежутка в точке х = в
  Функция достигает своего наибольшего значения в точке х = х0 (это точка максимума) , а своего наименьшего значения на правой границе промежутка в точке х = в .
  Функция достигает своего наибольшего значения на левой границе промежутка в точке х = а , а своего наименьшего значения в точке х = х0 (это точка минимума).
  

• 35 слайд

  Функция постоянна на промежутке, т.е. она достигает своего минимального и максимального значения в любой точке промежутка, причем минимальное и максимальное значения равны между собой.
  Функция достигает своего наибольшего значения в точке х = в , а своего наименьшего значения точке х = а (несмотря на то, что функция имеет на этом промежутке как максимум, так и минимум).
  Функция достигает своего наибольшего значения в точке х = х0 (это точка максимума), а своего наименьшего значения в точке х = х1 (это точка минимума).
  

• 36 слайд

  Давайте обобщим, в каких точках на отрезке функция может принимать наибольшее или наименьшее значение?
  Функция может принимать наибольшее и наименьшее значение в критических точках или на концах отрезка.
  

• 37 слайд

• 38 слайд

• 39 слайд

  Самостоятельная работа
  П л а н   р е ш е н и я:
  1) Найдите производную функции .
  2) Найдите критические точки функции.
  3) Вычислите значения функции на концах отрезка и в критических точках.
  4) Среди найденных значений функций выберите наибольшее и наименьшее.
  5) Запишите ответ
  
  
  Вариант 2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
  f(x) = 1-4x+x2 на отрезке   [0;4].
  
  
  Вариант 1. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции
  f(x) = x3 /3-x2 +1 на отрезке   [-1;1].
  
  

• 40 слайд

• 41 слайд

  На каком рисунке производная функции равна нулю в точке:
  1 вар.: х = 0?
  2 вар.: х = 1?
  

• 42 слайд

  Какая функция определена, а её производная нет при:
  1 вар.: х = 0;
  2 вар.: х = 1.
  
  

• 43 слайд

  На каком рисунке график функции имеет ровно две критические точки на интервале
  1 вар.: [-2;2]?
  2 вар.: [-2;0]?
  
  

• 44 слайд

  На каком рисунке график функции имеет точку
  1 вар.: максимума при х=-1?
  2 вар.: минимума при х = 0?
  1
  2
  3
  4
  

• 45 слайд

  Для какой функции на интервале
  1вар.: [1; 2] производная отрицательна?
  2 вар.: [-1; 0] производная отрицательна?
  1
  2
  3
  4
  

• 46 слайд

• 47 слайд

  1. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нем и своего наибольшего, и своего наименьшего значений.
  2. Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него.
  3. Если наибольшее (или наименьшее) значение достигается внутри отрезка, то только в стационарной или критической точке.
  ВЕРНО ЛИ УТВЕРЖДЕНИЕ?
  

• 48 слайд

• 49 слайд

  Задача. Самый тяжелый брус.
  Из цилиндрического бревна нужно выпилить брус наибольшего веса. Как это сделать?
  §3, стр 115 – 119, упражнение № 282
  ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
  

• 50 слайд

  Ребята, заполните пожалуйста
  лист самооценки
  и передайте мне!
  

• 51 слайд

  БЛАГОДАРЮ ЗА УЧАСТИЕ И ВНИМАНИЕ!
  УСПЕХОВ В УЧЕБЕ
  И БУДЬТЕ ЗДОРОВЫ!!!
  

• 52 слайд