Презентация защиты проекта МАН "Искатель" "Пифагоровы триады и шумерская тригонометричекая окружность"

• 1 слайд

  Министерство образования, науки и молодежи Республики Крым
  Малая академия наук «Искатель»
  ПИФАГОРОВЫ ТРИАДЫ И ШУМЕРСКАЯ
  ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ОКРУЖНОСТЬ
  Научный руководитель:
  Глухов Виктор Владимирович
  МБОУ «Новопокровская школа»
  Работу выполнил:
  Джеббаров Ферат,
  обучающийся 9 класса
  МБОУ «Новопокровская школа»
  Красногвардейского района
  Республика Крым, Симферополь 2016
  

• 2 слайд

  Проблема:
  нахождение целочисленных решение пифагорова уравнения (поиск пифагоровых триад) и изучение их свойств, моделирование тригонометрической окружности аналогичную той, которой пользовались древневавилонские математики .
  
  Цели:
  рассмотреть способы и формулы нахождения целочисленных решений для уравнения Пифагора ;
  найти закономерности в образовании пифагоровых триад, изучить их свойства;
  создать программу для вычисления множества приближённых значений 𝟐 и 𝟑 геометрическим способом, исследовать это множество триад;
  создать программу для вычисления множества триад, соответствующих введённому углу;
  исследовать закономерности расположения рациональных пар, соответствующих пифагоровой триаде на единичной окружности;
  

• 3 слайд

  Классическая картинка из учебника истории, нас впервые знакомит с пифагоровыми тройками и их практическим применением для построения прямого угла древними землемерами Египта . Она заставляет задуматься , а много ли существует таких троек?
  Учителя школы утверждают, что в задачниках на свойство теоремы Пифагора применяются от силы десять – двадцать таких троек.
  А учителя истории рассказывают, что археологи доказали, что Пирамиды фараона Снофру (XXVI век до н. э.) построены с использованием треугольников со сторонами 20, 21 и 29, а также 18, 24 и 30 десятков египетских локтей. 
  А ещё они утверждают, что древние математики задолго до Пифагора умели составлять эти тройки и использовать их в строительстве.
  
  

• 4 слайд

  В Интернете нам попалась картинка с большими числами пифагоровой триады да ещё и с информацией , что вычислили её более 4000 тысяч лет назад, и применяли эти тройки для астрономических измерений… границы нашего любопытства не было предела.
  Постепенно на кружке программирования мы познавали свойства пифагоровых троек и накапливали материал и вычисления для этого проекта.
  

• 5 слайд

  Простейшей программой с циклами было вычислено множество всех пифагоровых триад в порядке возрастания её большего члена m и не превышающего заданного числа.
  Оказалось, что для m = 5000, число пифагоровых троек равно 5681.
  Для m = 1000, число пифагоровых троек равно 881.
  
  Большое количество триад.
  Но таким способом древние математики не могли вычислять. Да и алгоритм вычислений не рациональный.
  
  

• 6 слайд

• 7 слайд

• 8 слайд

• 9 слайд

  «Дерево примитивных пифагоровых троек  » впервые открыто в 1934 году  шведским математиком Берггреном. В 1963 году установлено, что при умножении справа любой из трёх матриц
  
  на  вектор-столбец, компоненты которого составляют примитивную пифагорову тройку, результатом будет вектор-столбец, компоненты которого составляют другую примитивную пифагорову тройку.
  

• 10 слайд

  Мы исследовали это дерево и обнаружили такую же хаотичность, как и в предыдущем примере.
  

• 11 слайд

  Предыдущие исследования позволили нам найти логику построения пифагоровых триад .
  Написанная нами программа при постоянном числе b и растущем числе a позволила заметить нам чёткую закономерность убывания точки от угла близкого к 90 градусам к углу близкому к нулю с уменьшением шага убывания.
  Написанная программа позволила каждой триаде и соответствующей ей рациональной точке вычислять градусную меру угла поворота
  

• 12 слайд

  Вычисление градусной меры , соответствующей рациональной точке триады, позволило нам разработать методику вычисления приближённого значения иррационального числа 𝟐 . Это мы делаем двумя специализированными программами.
  

• 13 слайд

  Для нахождения приближённого значения 𝟑 в программе использовалось свойство, что больший катет прямоугольного треугольника с углом 60 градусов в 𝟑 раз больше меньшего катета.
  Очень интересно было наблюдать рост плотности точек при уменьшении угла.
  Через триаду
  (4069919635; 7049405748; 8139924277),
  соответствующую 60 градусам ,
  𝟑  1,7320749253566
  с точностью 2,4 *10-5.
  
  А через триаду
  (26308740415; 15189415032; 30378745057),
  соответствующую 30 градусам,
  𝟑  1,73204434532696 с точностью
  6,4 *10-6, на порядок выше,
  чем через угол 60 градусов.
  
  

• 14 слайд

  Написанные мною программы позволяют вычислять миллионы значений 𝟐 и 𝟑 с разной точностью, причём, с приближением к максимальной погрешности , которую может позволить компьютер – с точность до 16 знака после запятой . Погрешность вычисления 𝟐 по сравнению со значением 𝟐 вычисленном на компьютере равна НУЛЮ.
  Я применил идею древних математиков, которые каждому углу ставили в соответствие вычисленную триаду.
  Интересный факт , эта же программа может вычислить миллионы триад, соответствующих углу 45 градусов.
  Поэтому в ходе работы над проектом возникла идея написать следущую программу, приближающую мой проект к созданию тригонометрической окружности.
  

• 15 слайд

  Так для угла 5 градусов
  a = 22, b = 1; (483 ; 44 ; 485 ) погрешн =0.00358
  a = 45, b = 2; (2021 ; 180 ; 2029 ) погрешн =0.00156
  a = 68, b = 3; (4615 ; 408 ; 4633 ) погрешн =0.000911
  a = 91, b = 4; (8265 ; 728 ; 8297 ) погрешн =0.000589
  a = 114, b = 5; (12971 ; 1140 ; 13021 ) погрешн =0.000397
  a = 137, b = 6; (18733 ; 1644 ; 18805 ) погрешн =0.000268
  a = 160, b = 7; (25551 ; 2240 ; 25649 ) погрешн =0.000178
  a = 183, b = 8; (33425 ; 2928 ; 33553 ) погрешн =0.000109
  a = 206, b = 9; (42355 ; 3708 ; 42517 ) погрешн =5.66 E-05
  a = 229, b = 10; (52341 ; 4580 ; 52541 ) погрешн =1.43 Е-05
  a= 710,b = 31;(503139 ; 44020 ; 505061) погрешн =2.05 E-06
  a= 1191,b = 52;(1415777 ; 123864 ; 1421185) погрешн =3.07 E-07
  a= 3092,b = 135;(9542239 ; 834840 ; 9578689) погрешн =2.35 E-07
  
  Написанная мною программа позволяет для любого острого угла вычислять множество триад с различной и очень высокой погрешностью приближения к введённому значению угла.
  

• 16 слайд

  Мои исследования триад показали такой богатое множество триад, с такими интересными свойствами, что впору задать вопрос где использовать их?
  криптография. Такое разнообразие триад, соответствующих одной точке, поможет создать мощный способ шифрования данных, не подверженных взлому;
  в дизайнерских и математических программах с использованием окружности и делением её на части;
  в тригонометрических и гармонических вычисления в математике;
  в радиотехнике при расчёте и конструировании синусоидальных генераторов и цифровых фильтров.