Презентация на тему: "Тетраэдр и параллелепипед"

Описание презентации по отдельным слайдам:

• 

  1 слайд

  Тетраэдр
  

• 

  2 слайд

  Тетраэдр, или треугольная пирамида, - простейший из многогранников, гранями которого являются четыре треугольника. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер. Слово «тетраэдр» образовано из двух греческих слов:
  tetra - «четыре» и hedra - «основание», «грань».
  Что такое «тетраэдр» ?
  

• 

  3 слайд

  Типы тетраэдров:
  Равногранный тетраэдр
  
  Ортоцентрический тетраэдр
  
  Прямоугольный тетраэдр
  
  Правильный тетраэдр
  
  Каркасный тетраэдр 
  
  Соразмерный тетраэдр
  
  Инцентрический тетраэдр
  

• 

  4 слайд

  Равногранный тетраэдр
  Тетраэдр, у которого все грани — равные между собой треугольники.
  
  

• 

  5 слайд

  Ортоцентрический тетраэдр
  Тетраэдр, у которого все высоты, опущенные из вершин на противоположные грани, пересекаются в одной точке.
  

• 

  6 слайд

  Прямоугольный тетраэдр
  Тетраэдр, у которого все ребра, прилежащие к одной из вершин, перпендикулярны между собой.
  

• 

  7 слайд

  Правильный тетраэдр
  Тетраэдр, у которого все грани — равносторонние треугольники.
  

• 

  8 слайд

  Каркасный тетраэдр
  Тетраэдр, отвечающий любому из следующих условий:
  
  существует сфера, касающаяся всех ребер,
  суммы длин скрещивающихся ребер равны,
  суммы двугранных углов при противоположных ребрах равны,
  окружности, вписанные в грани, попарно касаются,
  все четырехугольники, получающиеся на развертке тетраэдра, — описанные,
  перпендикуляры, восставленные к граням из центров вписанных в них окружностей, пересекаются в одной точке.
  

• 

  9 слайд

  Соразмерный тетраэдр
  Тетраэдр, бивысоты которого равны.
  Это определение можно заменить любым из следующих:
  
  Проекция тетраэдра на плоскость, перпендикулярную любой бимедиане, есть ромб.
  Грани описанного параллелепипеда равновелики.
  Для каждой пары противоположных ребер тетраэдра плоскости, проведенные через одно из них и середину второго, перпендикулярны.
  В описанный параллелепипед соразмерного тетраэдра можно вписать сферу.
  

• 

  10 слайд

  Инцентрический тетраэдр
  Тетраэдр, у которого отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противоположные грани, пересекаются в одной точке.
  

• 

  11 слайд

  Свойства тетраэдра:
  Параллельные плоскости, проходящие через пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра параллелепипед.
  Все медианы тетраэдра пересекаются в одной точке, которая делит их в отношении 3:1, считая от вершины (теорема Коммандино). В этой же точке пересекаются и бимедианы тетраэдра, которые делятся ею пополам.
  Плоскость, проходящая через середины двух скрещивающихся рёбер тетраэдра, делит его на две равные по объёму части.
  

• 

  12 слайд

  Тетраэдры в живой природе
  Некоторые плоды, находясь вчетвером на одной кисти, располагаются в вершинах тетраэдра, близкого к правильному. Такая конструкция обусловлена тем, что центры четырёх одинаковых шаров, касающихся друг друга, находятся в вершинах правильного тетраэдра. Поэтому похожие на шар плоды образуют подобное взаимное расположение. Например, таким образом могут располагаться грецкие орехи.
  

• 

  13 слайд

  Тетраэдры в технике
  Тетраэдр образует жёсткую, статически определимую конструкцию. Тетраэдр, выполненный из стержней, часто используется в качестве основы для пространственных несущих конструкций пролётов зданий, перекрытий, балок, ферм, мостов и т. д. Стержни испытывают только продольные нагрузки
  
  Прямоугольный тетраэдр используется в оптике. Если грани, имеющие прямой угол, покрыть светоотражающим составом или весь тетраэдр выполнить из материала с сильным светопреломлением, чтобы возникал эффект полного внутреннего отражения, то свет, направленный в грань, противоположную вершине с прямыми углами, будет отражаться в том же направлении, откуда он пришёл. Это свойство используется для создания уголковых отражателей, катафотов.
  
  Граф четверичного триггера представляет собой тетраэдр
  

• 

  14 слайд

• 

  15 слайд

  Параллелепипед
  

• 

  16 слайд

  Что такое «параллелепипед» ?
  Параллелепипед- это призма, основанием которой служит параллелограмм, или (равносильно) многогранник, у которого шесть граней и каждая из них — параллелограмм.
  

• 

  17 слайд

  Типы параллелепипедов:
  Прямоугольный параллелепипед
  
  Прямой
  параллелепипед 
  
  Наклонный
  параллелепипед 
  

• 

  18 слайд

  Прямоугольный параллелепипед
  Параллелепипед, у которого все грани — прямоугольники;
  

• 

  19 слайд

  Прямой параллелепипед
  Параллелепипед, у которого 4 боковые грани — прямоугольники;
  

• 

  20 слайд

  Наклонный параллелепипед
  Параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основаниям.
  

• 

  21 слайд

  Свойства параллелепипеда:
  

• 

  22 слайд

  Свойства параллелепипеда:
  Все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
  О
  𝐷 1 𝑂=𝑂𝐵
  𝐴 1 𝑂=𝑂𝐶
  

• 

  23 слайд

  Свойства параллелепипеда:
  Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
  

• 

  24 слайд

  Свойства параллелепипеда:
  Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.
  

• 

  25 слайд

  Параллелепипед
  в жизни
  

• 

  26 слайд

  Из параллелепипедов можно собрать один большой параллелепипед при том, что между ними не было пустот. Такая конструкция будет уже устойчивой. Не случайно, дома строят из кирпичей, имеющих форму именно параллелепипеда. Ни один строитель не станет строить дом из цилиндрических или шарообразных кирпичей. Доски тоже имеют форму параллелепипеда. Строительные блоки - тоже параллелепипеды. Когда маленькие дети играют в кубики, они убеждаются, что их можно хорошо ставить один на другой именно потому, что они имеют форму куба, т. е. того же параллелепипеда.
  В нашей жизни многие предметы имеют форму параллелепипеда. И главное его назначение - устойчивость его конструкции. В целом, параллелепипед - очень нужная форма тела. Без него трудно обойтись.
  

• 

  27 слайд

• 

  28 слайд

  Построение плоских сечений
  

• 

  29 слайд

  В стереометрии часто приходится рассматривать сечения фигур, в частности многогранников, различными плоскостями.
  

• 

  30 слайд

  Сечение выпуклого многогранника
  есть выпуклый плоский многоугольник, вершины которого в общем случае являются точками пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника, а стороны- линиями пересечения секущей плоскости с гранями.
  
  

• 

  31 слайд

• 

  32 слайд

  Для построения прямой пересечения двух плоскостей обычно находят две её точки и проводят через них прямую
  

• 

  33 слайд

• 

  34 слайд

  Для построения точки пересечения прямой и плоскости находят в плоскости прямую, пересекающую данную. Тогда искомая точка получается в пересечении найденной прямой с данной.
  

• 

  35 слайд

• 

  36 слайд

  Обобщение ранее перечисленного:
  Для построения сечения нужно найти прямые, по которым плоскость сечения пересекается с плоскостями граней многогранника.
  Для построения прямой пересечения плоскостей, как правило, находят две её точки, через них и проводят прямую пересечения.
  Точки прямой пересечения (см. выше) отыскиваются как точки пересечения известной прямой, лежащей в одной плоскости, со второй плоскостью
  Для построения такой точки пересечения (см. выше) данных прямой и плоскости в этой плоскости находят прямую, пересекающую данную,- искомая точка получается в пересечении этих прямых (на проекционном чертеже)
  

• 

  37 слайд

  Метод следов
  

• 

  38 слайд

  Алгоритм построения методом следов:
  
  Выяснить имеются ли в одной грани две точки сечения (если да, то через них можно провести сторону сечения).
  Построить след сечения на плоскости основания многогранника. Найти дополнительную точку сечения на ребре многогранника (продолжить сторону основания той грани, в которой есть точка сечения, до пересечения со следом).
  Через полученную дополнительную точку на следе и точку сечения в выбранной грани провести прямую, отметить точки пересечения её с рёбрами грани.
  

• 

  39 слайд

  Комбинированный метод
  

• 

  40 слайд

  Суть комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с аксиоматическим методом.
  

• 

  41 слайд

  Пример:
  На ребрах AB и AD пирамиды MABCD зададим соответственно точки P и Q - середины этих ребер, а на ребре MC зададим точку R. Построим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки P, Q и R.
  

• 

  42 слайд

  1) Ясно, что основным следом плоскости PQR является прямая PQ.
  
  2) Найдем точку К, в которой плоскость МАС пересекает прямую PQ. Точки К и R принадлежат и плоскости PQR, и плоскости MAC. Поэтому, проведя прямую KR, мы получим линию пересечения этих плоскостей.
  
  3) Найдем точку N=AC BD, проведем прямую MN и найдем точку F=KR MN.
  
  4) Точка F является общей точкой плоскостей PQR и MDB, то есть эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку F. Вместе с тем так как PQ - средняя линия треугольника ABD, то PQ параллельна BD, то есть прямая PQ параллельна и плоскости MDB. Тогда плоскость PQR, проходящая через прямую PQ, пересекает плоскость MDB по прямой, параллельной прямой PQ, то есть параллельной и прямой BD. Поэтому в плоскости MDB через точку F проведем прямую, параллельную прямой BD.
  
  5) Дальнейшие построения понятны из рисунка. В итоге получаем многоугольник PQD'RB' - искомое сечение.
  

• 

  43 слайд

  Сечение тетраэдра
  

• 

  44 слайд

  Секущей плоскостью тетраэдра называется любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра.
  
  Секущая плоскость пересекает тетраэдр по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением тетраэдра.
  

• 

  45 слайд

  Правило построения сечения тетраэдра:
  1) проводим прямые через точки, лежащие в одной плоскости;
  2) ищем прямые пересечения плоскости сечения с гранями многогранника, для этого:
  
  а) ищем точки пересечения прямой принадлежащей плоскости сечения с прямой, принадлежащей одной из граней (лежащие в одной плоскости);
  б) параллельные грани плоскость сечения пересекает по параллельным прямым.
  

• 

  46 слайд

• 

  47 слайд

  Сечение параллелепипеда
  

• 

  48 слайд

  Секущая плоскость
  пересекает
  противоположные грани параллелепипеда
  по параллельным
  отрезкам.
  

• 

  49 слайд

• 

  50 слайд

  Решение задач на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда.
  

• 

  51 слайд

  Примеры задач
  из учебника
  

• 

  52 слайд

  Задача №1
  На рёбрах AB, BD и CD тетраэдра ABCD отмечены точки M,N и P. Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP.
  

• 

  53 слайд

  Решение
  Построим сначала прямую, по которой плоскость MNP пересекается с плоскостью грани ABC. Точка М является общей точкой этих плоскостей. Для построения ещё одной общей точки продолжим отрезки NP и BC до их пересечения в точке Е, которая и будет второй общей точкой плоскостей MNP и ABC.
  

• 

  54 слайд

  Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой ME. Прямая ME пересекает ребро AC в некоторой точке Q. Четырёхугольник MNPQ - искомое сечение.
  

• 

  55 слайд

  Если прямые NP и BC параллельны, то прямая NP параллельна грани ABC, поэтому плоскость MNP пересекает эту грань по прямой ML, параллельной прямой NP. Точка Q, как и в первом случае, есть точка пересечения ребра AC с прямой ML.
  

• 

  56 слайд

  Задача №2
  Точка М лежит на боковой грани ADB тетраэдра DABC. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно основанию ABC.
  

• 

  57 слайд

  Решение
  Т.к. секущая плоскость параллельна плоскости ABC, то она параллельна прямым AB, BC и CA. Следовательно, секущая плоскость пересекает боковые грани
  тетраэдра по прямым, параллельным
  сторонам треугольника ABC.
  Отсюда вытекает следующий способ
  построения искомого сечения.
  Проведём через точку М прямую,
  параллельную отрезку AB.
  

• 

  58 слайд

  Обозначим буквами P и Q точки пересечения этой прямой с боковыми рёбрами DA и DB. Затем через точку P проведём прямую, параллельную отрезку AC, и обозначим буквой R точку пересечения этой прямой с ребром DC. Треугольник PQR - искомое сечение.
  
  

• 

  59 слайд

  Задача №3
  На рёбрах параллелепипеда даны три точки A, B и C. Построить сечение параллелепипеда плоскостью ABC.
  

• 

  60 слайд

  Решение
  Построение искомого сечения зависит от того, на каких рёбрах параллелепипеда лежат точки A, B и C. Когда эти точки лежат на рёбрах, выходящих из одной вершины, нужно провести отрезки AB, BC и CA, и получится искомое сечение - треугольник ABC.
  

• 

  61 слайд

  Если три данные точки A, B и C расположены так, как показано на рисунке, то сначала нужно провести отрезки AB и BC, а затем через точку A провести прямую, параллельную BC, а через точку C - прямую, параллельную AB. Пересечения этих прямых с рёбрами нижней грани дают точки E и D. Остаётся провести отрезок ED, и искомое сечение - пятиугольник ABCDE - построено.
  

• 

  62 слайд

  Более трудный случай, когда данные точки A, B C расположены так, как показано на рисунке. В этом случае сначала построим прямую, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания.
  Для этого проведём прямую AB, до пересечения с этой прямой в точке M. Далее через точку M проведём прямую, параллельную прямой BC. Это и есть прямая, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания.
  

• 

  63 слайд

  Эта прямая пересекается с рёбрами нижнего основания в точках E и F. Затем через точку E проведём прямую, параллельную прямой AB, и получим точку D. Проводим отрезки AF и CD, и искомое сечение - шестиугольник ABCDEF - построено.
  

• 

  64 слайд

  Решение задач на
  построение сечений
  

• 

  65 слайд

  Задача №1
  Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки M, N, K. Условие - MN∥AC.
  
  Доказать, что построенное сечение – трапеция.
  

• 

  66 слайд

  Решение
  L
  ПОСТРОЕНИЕ
  
  По А 2 соединим точки M и N, N и K. Через точку K проводим отрезок KL, параллельный ребру AC. После этого соединяем точки M и L по А 2 . Получаем искомое сечение- четырехугольник MNKL.
  
  ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
  
  MN∥AC по условию; KL∥ AC, следовательно MN∥KL по теореме о параллельности трёх прямых.
  Значит, четырехугольник MNKL является трапецией (по определению). Ч.т.д.
  

• 

  67 слайд

  Задача №2
  Построить сечение куба 𝑨𝑩𝑪𝑫 𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏 плоскостью, проходящей через 3 точки: 𝑨 и 𝑪−вершины куба, точка 𝑴−середина 𝑫 𝑫 𝟏 . Найдите периметр и площадь сечения, если ребро куба равно 𝒂.
  

• 

  68 слайд

  𝑨 𝟏
  M
  ПОСТРОЕНИЕ
  
  По А 2 соединяем точки A и C, A и M, M и C. Получаем искомое сечение – треугольник ACM.
  
  РАСЧЁТЫ
  

• 

  69 слайд

  Задача №3
  Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда 𝑨𝑩𝑪𝑫 𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏 плоскостью, проходящей через точку 𝑫 𝟏 и середины ребер 𝑨𝑩 и 𝑩𝑪.
  

• 

  70 слайд

  𝑨 𝟏
  По А 2 соединим точки M и L. Найдём общие точки пересечения плоскости нижнего основания с плоскостями боковых рёбер. Для этого продолжим прямые AD и BC до их пересечения с прямой ML. Через полученные точки и вершину 𝐷 1 проводим прямые. Получаем точки K и N. После этого по А 2 соединяем данные и полученные точки 𝐷 1 и K, 𝐷 1 и N, K и M, M и N. Получаем искомое сечение – пятиугольник KMLN 𝐷 1 .