Применение производной при решении практических задач

ГАПОУ СО «Энгельсский политехникум»

Урок по теме: "Применение производной в решении практических задач на наибольшее и наименьшее значение".

Преподаватель: Крупина Н.А.

Тип урока: урок совершенствования и систематизации знаний и умений, навыков.

Цель урока: систематизация навыков и умений обучающихся по применению знаний, полученных в ходе изучения темы «Производная и ее применение» к решению задач этого типа.

ХОД УРОКА

1.      Организационный момент. Здравствуйте ребята Староста группы отчитайтесь по посещаемости.

2.     Мотивация. Каждый человек рано или поздно оказывается в ситуации, когда ему нужно отыскать наилучший способ решения какой-либо задачи, и на помощь приходит математика. Среди задач математики большую роль отводят задачам на экстремумы, т. е. задачам на отыскание наибольшего и наименьшего значения, Скажите мы с вами уже решали задачи на нахождение минимального и максимального значения?? при изучении какой темы.

Ответ: При исследовании функции, да правильно, а с помощью чего мы исследовали функцию?7? (ответ: с помощью производной?) правильно. Также производная помогает решать нам задачи практического характера.

  Решение многих практических задач часто сводится к определению наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. Ведь и возникновение математического анализа явилось следствием из необходимости решать практические задачи на нахождение оптимальных значений величин, например:

- увеличение урожайности с гектара пашни;

- получение балки с наибольшим прямоугольным сечением из круглого бревна;

- ограждение земельного участка наибольшей площади изгородью заданной длины и т. д.

С такими задачами приходится работать специалистам из разных областей.

Следовательно тема нашего урока: Применение производной в решении практических задач на нахождение максимального и минимального значения.

3. Актуализация знаний. Но сначала давайте с вами вспомним тот теоретический материал, проведем математический диктант на нахождение производной функции. Вам нужно очень быстро определить функцию и назвать ее производную. За каждый ответ вы получаете балл и копите их. Пользуйтесь таблицами производных.

1. задание: Преподаватель: называют функцию, а студенты дают ответ

разминка удалась Молодцы ребята!

2. задание: исследовать функцию на монотонность и экстремумы. Что такое монотонность?

На доске  запишите пример: у=9х²-х³

При исследовании функции мы придерживаемся алгоритма: т.е определенного порядка действий. Повторение алгоритма исследования функции. Решение примера у доски поэтапное. Находим у максимальное и у минимальное.

3. задание самостоятельно исследовать функцию по графику на экстремумы и сделать вывод. Обменяться тетрадями и проверить.

4.                 Задание Практическая

Заготовлена изгородь 480 м. Огородить участок с 3 сторон. Какова  должна быть ширина и длина участка чтобы его площадь была наибольшей при заданной длины изгороди (см. Приложение 1). Составляют математическую модель решения задачи.

5.                 Подведение итогов: Итак, чем мы занимались на уроке? Давайте подведем итоги и сделаем вывод. Повторили правила нахождения производной, правила исследования функции с помощью производной и рассмотрели применение производной при решении задач прикладного характера и можно сделать вывод что задачи на нахождение наибольшего и наименьшее значение имеют прикладной характер.

В ходе урока были систематизированы навыки и умения по применению знаний о производной для решения различных типов задач, сводящихся к нахождению оптимальных значений величин;

6.     Рефлексия: что понравилось,  что нет, что вызвало трудности, что вызвало интерес?

7.     Домашнее задание: учебник Алимов Ш.А. Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс № 943-948.

Приложение 1.

ЗАДАЧА 1: Заготовлена изгородь длиной 480м. Этой изгородью надо огородить с трех сторон, примыкающий к реке, участок. Какова должна быть ширина и длина участка, чтобы его площадь была наибольшей при заданной длине изгороди?

(Параллельно с решением данной задачи, составить и записать алгоритм решения задач на нахождение max/min функции – формирование познавательной, самообразовательной и социальной компетентностей)

РЕШЕНИЕ:

S=AB·BC

Пусть АВ=х, тогда ВС= 480-2х

S(х) = х · (480 - 2х) = 480х - 2х2

D(х) = (0;240), т. к. S(х) > 0

480х – 2х2 > 0

2х · (240 – х) > 0

х1 = 0, х2 = 240

0 < х < 240

S? (x) = 480 - 4x

S? (x) = 0, 480 - 4x =0

x = 120

Т. о. Smax = S (120) = 28800м2 при АВ = 120м и ВС = 240м

Ответ: при ширине 120м и длине 240м площадь участка будет наибольшей.

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ :

- определить исследуемую функцию;

- ввести переменную;

- установить область определения функции;

- вычислить max/min функции на заданном интервале.