«Применение производной и её свойств в задачах ГИА»

• 1 слайд

  «Каждый человек меня в чем-то превосходит;
  и в этом смысле мне есть чему у него поучиться»
  
  Эмерсон Ральф
  Мастер-класс
  «Применение производной и её свойств в задачах ГИА»
  Мастер-классы учителей математики
  МБОУ «Лицей №9 им. К.Э. Циолковского» г. Калуги
  «Подготовка к ВПР, ГИА и ЕГЭ на уроках математики»
  

• 2 слайд

  Проблема:
  В «топ» самых частых ошибок в ЕГЭ, в частности, входит:
  неправильное чтение графиков,
  ученики не понимают условие задания,
  допускают простейшие арифметические ошибки,
  не умеют себя проверить.
  
  В 2018-2019 в МБОУ «Лицей «9 им. К.Э. Циолковского» г. Калуги
  в задании №7:
  19 – не решили всего 7- не решили (физ.-мат. класс)
  49-всего 23-(физ.-мат. класс)
  61,24% - выполнили 69,56% - выполнили
  В задании №18:
  2–решили всего 2–решили (физ.-мат. класс)
  49–всего 23- (физ.-мат. класс)
  4,08% 8,69%
  
  
  
  

• 3 слайд

  Цель при подготовке к ГИА:
  важно пройти всю программу целиком, а не только «то, что пригодится на экзамене»,
  повысить свою культуру вычислений,
  развивать умение читать графики,
  правильно использовать терминологию,
  учить формулы.
  Цель проведения мастер-класса:
  Цель 1 (теоретического) этапа: осветить авторскую программу опыта подготовки к ВПР, ЕГЭ на уроках математики: «Применение производной и её свойств в задачах ГИА»;
  Цель 2 (практического) этапа: показать формы и методы осуществления программы.
  

• 4 слайд

  Задачи:
  - продемонстрировать коллегам приемы работы с учащимися («работа с текстовой графической информацией», «работа в группах над творческим заданием» и т.д.);
  - прокомментировать эффективность применения приемов;
  - отработать приемы в деятельностном режиме;
  - представить основные результаты внедрения технологии проектирования;
  - задействовать участников в процесс;
  - сделать их активными, разбудить в них то, что скрыто даже для них самих; понять и устранить то, что ему мешает в саморазвитии, чтобы они проявили себя как творцы.
  

• 5 слайд

  
  Оборудование:
  проектор, экран;
  дидактический материал.
  
  Основные этапы мастер - класса:
  - организационный (приветствие, введение в тему мастер-класса);
  - демонстрационный (демонстрация наиболее эффективных приемов работы, комментарий, отработка приемов в деятельностном режиме);
  - заключительный (подведение итогов, рефлексия).
  

• 6 слайд

  Описание содержания, этапы МК
  
  1.Решение задач по подготовке к ВПР, ЕГЭ по математике по теме «Производная. Свойства производной в заданиях ЕГЭ» по определенным темам в 10 классе.
  
  2.Решение задач по подготовке к ВПР, ЕГЭ по математике по теме «Производная. Свойства производной в заданиях ЕГЭ» по определенным темам при повторении пройденной учебной программы в 10, 11 классах.
  

• 7 слайд

  Форма проведения занятия - интегрированное занятие
  (лекционно-практическое).
  

• 8 слайд

  
  
  Интернет-ресурсы:
  https://reshimvse.com,
  http://school.umk-spo.biz,
  http://self-edu.ru,
  https://www.uchportal.ru,
  https://znanija.com,
  http://matematikaege.ru и др. или сборникам тестов для подготовки к ЕГЭ, например, учебного пособия Математика 10-11 класс. Подготовка к ЕГЭ, Д.А. Мальцев и др. М: Народное образование, 2013.
  

• 9 слайд

  Основные приемы работы, которые будут демонстрироваться слушателям:
  1.прием «заготовки» Д/З на урок.
  2.метод проектов.
  3.метод применения ИКТ.
  4.прием опережающего обучения.
  5.методический приём «комментируемое управление».
  6.опорные схемы.
  5.прием «Д/З по задачам ЕГЭ с дальнейшей презентацией решений».
  6.метод создания заданий творческого характера.
  7.приём презентации полученных результатов на уроке путем сканирования материала, решения.
  8.приёмы обработки графической и текстовой информации.
  9. приём «Тонкие» и «Толстые» вопросы.
  10.приём «Составление краткой записи задачи».
  11. приём «Вопросы к тексту».
  12.приём «Верные и неверные утверждения».
  13.приём Задания «на дополнение информации».
  
  

• 10 слайд

  14.приём Задания «на восстановление текста».
  15.приём Задания «на соотнесение».
  16. приём взаимопроверки и взаимообучения.
  17. методика «Взаимообмен заданиями».
  18.технология групповой работы.
  19. технология развития критического мышления.
  20.приём «кластер» .
  21.метод мозгового штурма.
  22.приём «Корзина» идей, понятий, имен…
  23.приём «Фантастическая добавка».
  24.прием рефлексии «Комплимент».
  25.прием рефлексии Техника «рефлексивная мишень».
  26.прием рефлексии «А напоследок я скажу».
  27. приём «Фишбоун».
  
  
  

• 11 слайд

  Математический диктант:
  
  Верно ли, что производная от постоянной равна 1.
  Может ли производная функции 
  𝒇 𝒙 =𝟏𝟒+𝟐𝒙 принимать отрицательные значения?
  Ответы: а) да б) нет
  3. Завершите предложение, чтобы получилось истинное высказывание.
  «Значение производной функции в точке ….
  Ответы:
  1). Показывает ускорение изменения функции;
  2). Всегда равно 0;
  3). Показывает скорость изменения функции.
  

• 12 слайд

  4. Верно ли утверждение:
  « Если в точке 𝒙 𝟎 производная функции равна 0, то точка 𝒙 𝟎  является
  точкой экстремума».
  5. Равно ли нулю значение производной функции 𝒇 𝒙 =−𝟑𝒙 в точке 𝒙 𝟎 =−𝟏.
  6. Завершите предложение так, чтобы получилось истинное высказывание.
  «Если при прохождении … через точку 𝒙 𝟎 , производная функции меняет свой знак с «-» на «+», то…».
  Ответы:
  1). Значение производной в точке 𝒙 𝟎  равно 0. 2). Точка 𝒙 𝟎  является точкой максимума. 3). Точка 𝒙 𝟎  является точкой минимума.
  7. Расположи в правильной последовательности слова, чтобы получить верное высказывание:
  «Если функция монотонно возрастает на интервале и ее производная монотонно убывает, то функция на этом интервале дифференцируема, а если производная отрицательна, то функция положительна на интервале».
  

• 13 слайд

  Задача 1.10.
  Написать уравнение прямой, проходящей через указанные узловые точки.
  

• 14 слайд

  Задача 2.10. Решить задачу двумя способами:
  На рисунке изображен график функции 𝒚=𝒇 𝒙 и касательная к нему в точке с абсциссой 𝒙 𝟎 . Найти значение производной функции в точке 𝒙 𝟎 .
  
  

• 15 слайд

  Задача 3.10. На рисунке изображен график функции 𝒚=𝒇 𝒙 и касательная к нему в точке с абсциссой 𝒙 𝟎 .
  а). Чем отличаются условия задач 3.10 от 2.10?
  б). Найти значение производной функции в точке 𝒙 𝟎 .
  

• 16 слайд

  Задача 4.10. Сравнить полученные значения производных в Задачах 2.10 и 3.10 и связать знак производной (значение углового коэффициента уравнения прямой) с монотонностью функции в окрестности точки 𝒙 𝟎 .
  Прочитайте текст. 
  Какие слова встречаются в тексте наиболее часто? Сколько раз? 
  Какие слова выделены жирным шрифтом? Почему? 
  Если бы вы читали текст вслух, то, как бы вы дали понять, на что обратить внимание?
  С 2017/2018 учебного года МБОУ «Лицей №9 им. К.Э. Циолковского» г. Калуги присвоен статус региональной инновационной площадки «Формирование у обучающихся единого культурного кода России на основе продвижения передовых методик и практик в рамках реализации Концепции филологического образования».
  

• 17 слайд

  
  
  Задача 6.10. В точке 𝐴 графика функции 𝑦= 𝑥 3 +4𝑥+1 проведена касательная к нему, параллельная прямой 𝑦=4𝑥+3. Найдите сумму координат точки 𝐴.
  
  Задача 5.10. На рисунке изображён график производной дифференцируемой функции 𝑦=𝑓 𝑥 . Найдите количество точек графика функции, принадлежащих отрезку −7;7 , в которых касательная к графику функции параллельна прямой, заданной уравнением 𝑦=−3𝑥.
  
  Прочитайте текст. 
  Какие слова встречаются в тексте наиболее часто? Сколько раз? 
  Какие слова выделены жирным шрифтом? Почему? 
  Если бы вы читали текст вслух, то, как бы вы дали понять, на что обратить внимание?
  

• 18 слайд

  Задача 7.10.
  На рисунке изображены график функции и касательные, проведенные к нему в точках с абсциссами A, B, C, D.
  а). Пользуясь графиком, установить соответствие между каждой точкой и значением производной функции в ней.
  б). Проанализировать решение задачи, составить опорную схему решения задачи (в парах).
  
  

• 19 слайд

  Опорная схема решения задачи
  

• 20 слайд

  «Фишбоун»
  

• 21 слайд

  
  
  Задача 9.10. На рисунке изображён график 𝒚= 𝒇 / 𝒙 производной функции 𝒚=𝒇 𝒙 , определенной на интервале −𝟔;𝟓 . Найдите точку экстремума функции 𝒇 𝒙 , принадлежащую отрезку −𝟓;𝟒 .
  
  Задача 8.10. На рисунке изображён график 𝒚= 𝒇 / 𝒙 производной функции 𝒚=𝒇 𝒙 , определенной на интервале −𝟖;𝟒 . В какой точке отрезка −𝟕;−𝟑 функция 𝒇 𝒙 принимает наименьшее значение?
  
  Прочитайте текст. 
  Какие слова встречаются в тексте наиболее часто? Сколько раз? 
  Какие слова выделены жирным шрифтом? Почему? 
  Если бы вы читали текст вслух, то, как бы вы дали понять, на что обратить внимание?
  

• 22 слайд

  
  
  Задача 9.10. На рисунке изображён график 𝒚= 𝒇 / 𝒙 производной функции 𝒚=𝒇 𝒙 , определенной на интервале −𝟔;𝟓 . Найдите точку экстремума функции 𝒇 𝒙 , принадлежащую отрезку −𝟓;𝟒 .
  
  Задача 8.10. На рисунке изображён график 𝒚= 𝒇 / 𝒙 производной функции 𝒚=𝒇 𝒙 , определенной на интервале −𝟖;𝟒 . В какой точке отрезка −𝟕;−𝟑 функция 𝒇 𝒙 принимает наименьшее значение?
  
  

• 23 слайд

  
  
  2 вариант
  На рисунке изображён график функции 𝒚=𝒇 𝒙 , определённой на промежутке −5;6 . Найдите количество точек графика 𝒇 𝒙 , в каждой из которых касательная, проведённая к графику функции, совпадает или параллельна оси абсцисс.
  1 вариант
  На рисунке изображён график производной функции 𝒚=𝒇 𝒙 , определённой на промежутке −5;6 . Найдите количество точек графика 𝒇 𝒙 , в каждой из которых касательная, проведённая к графику функции, совпадает или параллельна оси абсцисс.
  Самостоятельная работа (Задача 10.10 и Задача 11.10).
  Задача 10.10.
  

• 24 слайд

  
  
  1 вариант
  На  рисунке  изображен  график  
  функции 𝒚=𝒇 𝒙 ,  определенной  на интервале  −3;9 . 
  Найдите промежутки возрастания 
  функции. В ответе укажите сумму
  целых точек, входящих в эти 
  промежутки.
  2 вариант
  На  рисунке  изображен  график 
  производной  функции  𝒚=𝒇 / 𝒙 , 
  определенной  на интервале  −3;9 . 
  Найдите промежутки возрастания 
  функции. В ответе укажите сумму
  целых точек, входящих в эти 
  промежутки.
  Самостоятельная работа (Задача 10.10 и Задача 11.10).
  Задача 11.10.
  

• 25 слайд

  От простого к сложному на уроках повторения
  в 11 классе.
  Задача 1.11. Перечислить все, что вам известно про касательную, проведенную к графику функции 𝒚=𝒇 𝒙 в точке 𝒙 𝟎 .
  Д/З на этот урок: Решить задачу 1) и на выбор одну из зада 2)-7).
  1). Решить уравнение 𝒙 𝟐 −𝟑𝒙+𝟐=𝒙−𝟐 тремя способами (2 балла)
  
  2). Построить график функции (2 балла)
  
  3). Построить график функции (2 балла)
  
  4). Построить график функции 𝒂 𝒙 = 𝟓−𝒙 𝒙 𝟐 , 𝟎<𝒙≪ 𝟓 𝟑 , 𝟓𝒙−𝟓 𝒙 𝟐 , 𝒙> 𝟓 𝟑 . (2 балла)
  5). Построить график функции (3 балла)
  
  
  

• 26 слайд

  6). Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
  
  
  
  на промежутке имеет 1 корень. (3 балла)
  
  
  7). Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
  
  
  на промежутке имеет более двух корней. (4 балла)
  
  
  
  1).
  

• 27 слайд

  Прием «Корзина» идей, понятий, имен…
  Задача 1.11. Перечислить все, что вам известно про касательную, проведенную к графику функции 𝒚=𝒇 𝒙 в точке 𝒙 𝟎 . (Работа в группе, представление информации на листах А4 маркером).
  Это прямая, которую можно задать, например, с помощью углового коэффициента.
  Касательную можно задать в общем виде: 𝑦=𝑓 𝑥 0 + 𝑓 / 𝑥 0 ∙ 𝑥− 𝑥 0 = 𝑓 / 𝑥 0 ∙𝑥+ 𝑓 𝑥 0 − 𝑓 / 𝑥 0 ∙ 𝑥 0 .
  Если 𝑦=𝑘𝑥+𝑏 – касательная к графику функции 𝑓 𝑥 в точке 𝑥 0 , то
  𝑓 / 𝑥 0 =𝑘, 𝑓 𝑥 0 =𝑘 𝑥 0 +𝑏.
  𝑘=𝑡𝑔𝛼= 𝑓 / 𝑥 0 .
  Если 𝑘=𝑡𝑔𝛼= 𝑓 / 𝑥 0 >0, 𝑦=𝑓 𝑥 возрастает в окрестности точки 𝑥 0 ,
  если 𝑘=𝑡𝑔𝛼= 𝑓 / 𝑥 0 <0, 𝑦=𝑓 𝑥 убывает в окрестности точки 𝑥 0 ,
  если 𝑘=𝑡𝑔𝛼= 𝑓 / 𝑥 0 =0, 𝑦=𝑓 𝑥 достигает экстремума в точке 𝑥 0 .
  

• 28 слайд

  
  
  
  
  
  
  Задача 2.11.2 .
  Прямая 𝒚=−𝟑𝒙−𝟖 является касательной к графику функции
  𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟐 +𝒃𝒙+𝟕. Найдите значение параметра 𝒂.
  
  Задача 2.11.1.
  Прямая 𝒚=−𝟑𝒙−𝟖 является касательной к графику функции
  𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 𝟐 +𝟐𝟕𝒙+𝟕. Найдите значение параметра 𝒂.
  
  Задача 1.11. Прямая 𝒚=𝟒𝒙+𝟖 параллельна касательной к графику функции 𝒚= 𝒙 𝟐 −𝟓𝒙+𝟕. Найдите абсциссу точки касания.
  
  Выработайте хотя бы три решения следующей задачи.
  Задача №3.11. При каком значении параметра а уравнение 𝒙 𝟐 = 𝒙 −𝒂 имеет единственное решение?
  

• 29 слайд

  Решение 1.
  Решение 2.
  

• 30 слайд

  Решение 3.
  

• 31 слайд

  Задача 4.11. (Еженедельная учебно-методическая газета «Математика», издательский дом «Первое сентября», №16, 2004). При каких значениях параметра а уравнение
  
  
  имеет единственное решение.
  

• 32 слайд

  1 способ. Аналитический способ. Рассмотрим два случая:
  
  1. При этом значении параметра а уравнение принимает вид
  Это единственное решение.
  2. Тогда - квадратное уравнение, дискриминант которого
  2 способ.
  
  При этом значении параметра а уравнение принимает вид
  
  Это единственный корень.
  
  2. 𝑎 𝑥 2 =𝑥−3.
  𝑓 / 𝑥 0 =𝑘, 𝑓 𝑥 0 =𝑘 𝑥 0 +𝑏, 2𝑎 𝑥 0 =1, 𝑎 𝑥 0 2 −2𝑎 𝑥 0 2 =−3, 𝑥 0 = 1 2𝑎 , 𝑎 𝑥 0 2 =3, 𝑎≠0, 𝑥 0 = 1 2𝑎 , 𝑎= 1 12 .
  Ответ: 1/12
  
  
  

• 33 слайд

  Способы(методы) реше­ния задач с параметром:
  
  Способ I (аналитический). Это способ так называемо­го прямого решения, повторяющего стандартные проце­дуры нахождения ответа в задачах без параметра.
  
  Комментарий. Аналитический способ ре­шения задач с параметром есть самый трудный способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им.
  
  Способ II (графический). В зависимости от задачи (с переменной х и параметром а) рассматриваются графи­ки или в координатной плоскости (х; у), или в координат­ной плоскости (х; а).
  

• 34 слайд

  3 способ. Задача 4.11.
  Ответ: 1/12
  Задача 5.11. (Еженедельная учебно-методическая газета «Математика», издательский дом «Первое сентября», №16, 2004) При каких значениях параметра параметра а уравнение имеет единственное решение?
  

• 35 слайд

  1 способ.
  При исходное уравнение решений не имеет.
  
  При уравнение является квадратным и примет вид:
  
  
  
  Искомые значения параметра – корни дискриминанта, который обращается в нуль:
  
  2 способ.
  При исходное уравнение решений не имеет.
  𝒂−𝟐 𝒙 𝟐 = 𝟐𝒂−𝟒 𝒙−𝟑.
  Используем геометрический смысл производной: значение производной в точке касания есть угловой коэффициент касательной.
  𝟐𝒂−𝟒= 𝟐𝒂−𝟒 𝒙,
  откуда подставим найденное значение 𝒙=𝟏 в исходное уравнение и получим, что
  
  
  Ответ:
  
  3 способ.
  
  

• 36 слайд

• 37 слайд

  Домашняя задача 6).
  Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение на промежутке
  
  имеет 1 корень.
  
  

• 38 слайд

  Домашняя задача 6).
  Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение на промежутке
  
  имеет 1 корень.
  1 способ.
  
  
  Ответ:
  
  2 способ. 1 кусок функции 𝟎<𝒙≤ 𝟓 𝟑 , 𝟓−𝒙 𝒙 𝟐 / =𝒂, 𝟓−𝒙 𝒙 𝟐 − 𝟓−𝒙 𝒙 𝟐 / ∙𝒙=−𝟐.
  2 кусок функции 𝒙> 𝟓 𝟑 , 𝟓𝒙−𝟓 𝒙 𝟐 / =𝒂, 𝟓𝒙−𝟓 𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙−𝟓 𝒙 𝟐 / ∙𝒙=−𝟐.
  

• 39 слайд

  
  
  7). Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
  
  
  на промежутке имеет более двух корней. (4 балла)
  
  
  
  Ответ:
  

• 40 слайд

  Д/З:
  1).Найдите всевозможные значения параметра 𝒂, при каждом из которых уравнение 𝟏 𝟑 𝒙 𝟑 +𝟐 𝒙 𝟐 − 𝟖𝟖 𝟑 =𝒂 𝒙+𝟖 имеет ровно одно решение.
  2). №18, Вариант 12, 23, 26 Типовые экзаменационные варианты ЕГЭ 2018,профильный уровень, под ред. И.В. Ященко.
  С/Р: Задача 7.11. 1
  Найдите все значения параметра 𝒂, при каждом из которых графики функций
  𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟐 +𝟐𝒙−𝟑 и 𝒂𝒚+𝟓𝒙+𝟔𝒂=𝟎 имеют ровно одну точку пересечения.
  

• 41 слайд

  Решение.
  1 способ. Графиком f(x ) является парабола, пересекающая ось Ox в точках x=-3 и x=1, а ось Oy в точке y=-3.
  Графиком при каждом фиксированном a является прямая:
  1). При a=0 это прямая x=0. Она имеет ровно одну точку пересечения с f(x), а именно, точку (0;-3).
  2). При a≠0 это пучок прямых ,
  проходящих через точку 0;-6.
  Графики будут иметь ровно 1 точку пересечения при тех значениях a, при которых прямая y будет касаться параболы. Условия касания:
  Ответ:
  𝑓 / 𝑥 0 =𝑘, 𝑓 𝑥 0 =𝑦 𝑥 0 , → 𝑓 / 𝑥 0 =− 5 𝑎 , 8 𝑎 2 −20𝑎−25=0, →𝑎= 5 4 1± 3 .
  𝑦=− 5 𝑎 𝑥−6
  𝑎𝑦+5𝑥+6𝑎=0
  𝑎∈ 5 4 1± 3 ;0
  

• 42 слайд

  2 способ. Выразив из уравнения 𝒙 𝟐 +𝟐𝒙−𝟑=− 𝟓𝒙 𝒂 −𝟔 параметр 𝒂 𝒙 = −𝟓𝒙 𝒙 𝟐 +𝟐𝒙+𝟑 , построим график полученной функции:
  

• 43 слайд

  Прием рефлексии «Комплимент»,
  
  прием рефлексии «А напоследок я скажу»,
  
  прием рефлексии Техника «рефлексивная мишень».