Применения производной к исследованию функций

• 1 слайд

  Применения производной к исследованию функций
  

• 2 слайд

  Оглавление
  Схема исследования функций;
  Признак возрастания (убывания) функции:
  Достаточный признак возрастания функции;
  Достаточный признак убывания функции;
  Критические точки функции:
  Необходимое условие экстремума;
  Признак максимума функции;
  Признак минимума функции.
  

• 3 слайд

  Схема исследования функций
  Найти области определения и значений данной функции f.
  Выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчающими исследование.
  Вычислить координаты точек пересечения графика с осями координат.
  Найти промежутки знакопостоянства функции f.
  Выяснить, на каких промежутках функция f возрастает, а на каких убывает.
  Найти точки и вид экстремума и вычислить значения f в этих точках.
  Исследовать поведение функции f в окрестности характерных точек, не входящих в область определения.
  
  
  

• 4 слайд

  Признак возрастания (убывания) функции
  

• 5 слайд

  Достаточный признак возрастания функции. Если f´ (x) > 0 в каждой точке интервала I, то функция возрастает на I.
  Достаточный признак убывания функции. Если f´ (х) < 0 в каждой точке интервала I, то функция убывает на I.
  

• 6 слайд

  Доказательство признака возрастания (убывания) функции
  Доказательство проводится на основании формулы Лагранжа:
  
  f´
  

• 7 слайд

  Пример нахождения промежутков возрастания (убывания) функции
  Дано:
  f (x) = -2x + sin x
  Найти:
  промежутки возрастания (убывания) функции
  Решение
  Функция определена на всей числовой прямой.
  Найдем f´ (x). f´ (x) = -2 + cos x.
  | cos x | ≤ 1 => f´ (x) < 0 для всех действительных х.
  Вывод: f (x) = -2x + sin x убывает на всей числовой прямой
  

• 8 слайд

  Критические точки функции, максимумы и минимумы
  

• 9 слайд

  Необходимое условие экстремума (теорема Ферма)
  Если точка х0 является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f´, то она равна нулю: f´(х0) = 0
  
  

• 10 слайд

  Теорема Ферма есть лишь необходимое условие экстремума. Из того, что производная в точке х0 обращается в нуль, необязательно следует, что в этой точке функция имеет экстремум.
  

• 11 слайд

  Примеры критических точек, в которых производная не существует
  

• 12 слайд

  Признак максимума функции
  Если функция f непрерывна в точке х0, а f´ (х) > 0 на интервале (а; х0) и f´ (х) < 0 на интервале (х0; b), то точка х0 является точкой максимума функции f.
  Упрощённая формулировка признака:
  Если в точке х0 производная меняет знак с плюса на минус, то х0 есть точка максимума.
  

• 13 слайд

  Признак минимума функции
  Если функция f непрерывна в точке х0, f´ (х) < 0 на интервале (а; х0) и f´ (х) > 0 на интервале (х0; b), то точка х0 является точкой минимума функции f.
  Упрощённая формулировка признака:
  Если в точке х0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х0 есть точка максимума.
  
  

• 14 слайд

  Пример нахождения точек экстремума функции
  Дано:
  f (x) = 3x – x3
  Найти:
  Точки экстремума функции
  Решение
  Найдём производную функции: f´ (x) = 3 – 3х2
  f´ (x) = 0, при х = 1 и х = -1
  f´ (x) < 0 при х < -1; f‘ (x) > 0 при -1 < х < 1, т.е. в точках -1 и 1 функция меняет знак.
  По признакам максимума и минимума точка -1 является точкой минимума, а точка 1 — точкой максимума.
  
  
  

• 15 слайд

  Проект выполняла Сергеева Вероника, ученица 11 класса,
  с использованием следующих материалов:
  Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов средней школы.