Проект "Две геометрии- один мир"

Воронежский государственный технический университет

Секция математики Всероссийский Конкурс исследовательских проектов,

выполненных школьниками при научном консультировании

Ученых Международной ассоциации строительных

Номинация 8-9 классы

Тема проекта: Две геометрии - один мир.

Протасов Никита Евгеньевич, (ученик 9«А» класса)

МБОУ Калачеевская СОШ № 6, г.Калач

[e-mail]

Руководитель: учитель математики МКОУ Калачеевская СОШ № 6 , г.Калач

Берестнева Любовь Васильевна

Научный консультант: доцент кафедры высшей математики ВГТУ,

к.ф.-м.н. Барсуков Андрей Иванович

2018

Оглавление

Введение ... .2

Предварительное исследование. .. ..3

Глава 1. Евклид, Лобачевский. Две геометрии - один мир ... ..5

Сравнение доказательств некоторых теорем геометрии Евклида и

Лобачевского. .. .. 11

Глава 2. Фигуры максимальной площади. .. ... 14

Заключение ... .. 20

Список литературы... . 21

Приложение 1. Николай Лобачевский - Коперник геометрии. .. . 22

Приложение 2. Открытие геометрии Лобачевского. .. . 24

Приложение 3. Доказательство 5- того постулата ... . 25

Приложение 4. Сравнение геометрии Лобачевского и Евклида. .. ... 26

Приложение 5. Три модели геометрии Лобачевского ... . 27

Приложение 6. Практическое применение геометрии Лобачевского ... .. 29

Приложение 7. Влияние открытия Лобачевского на развитие науки…………………………….31

1

Аннотация

исследовательской работы, представленной на Всероссийский Конкурс исследовательских проектов выполненных школьниками и студентами при научном консультировании учёных Международной ассоциации строительных вузов.

Данная исследовательская работа показывает сходства и различия евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского. На двух плоскостях рассматриваются свойства треугольника, четырёхугольника и фигуры максимальной площади, приводится элементарное доказательство теорем, описывающих площади этих фигур, устанавливается степень важности геометрии Лобачевского на современную науку.

1. «Две геометрии -один мир »

2. Объем работы: стр. 20

3.Количество приложений: 7

4. Количество иллюстраций: 15

5. Количество источников и литературы: 23

Характеристика работы

Цели работы:

1. провести эксперимент , познакомиться с биографией Лобачевского, познакомиться с историей появления новой неевклидовой геометрии, понять главные принципы данной науки, установить степень важности геометрии Лобачевского для современной науки. 2.Методы проведённых исследований: использовались информационные материалы, сравнение, статистические методы и метод визуальных данных 3. Основные результаты исследования: При написании исследовательской работы получены следующие результаты:

1.Проведены исследования, установлена степень важности геометрии Лобачевского на современную науку.

2.Показана практическая значимость геометрии Лобачевского и её применение в различных областях науки и повседневной жизни.

Подпись автора Протасов Никита Евгеньевич

АВТОР

1. Фамилия Протасов

2. Имя Никита

3. Отчество Евгеньевич

4. Школа, класс МБОУ Калачеевская СОШ № 6, 9 «А» класс

5. Телефон [phone]

6. Адрес электронной почты [e-mail]

РУКОВОДИТЕЛЬ

1. Фамилия Берестнева

2. Имя Любовь

3. Отчество Васильевна

4. Место работы МБОУ Калачеевская СОШ № 6

5. Должность учитель математики

6. Ученая степень___________________________________________

7. Ученое звание____________________________________________

8. Телефон рабочий 89042113876

9. Адрес электронной почты [e-mail]

НАУЧНЫЙ КОНСУЛЬТАНТ

1. Фамилия Барсуков

2. Имя Андрей

3. Отчество Иванович

4. Место работы кафедра высшей математики

5. Должность преподаватель

6. Ученая степень кандидат физико-математических наук

7. Ученое звание доцент

8. Телефон рабочий __________________________________________

9. Адрес электронной почты

Введение

Любая теория современной науки считается верной, пока не создана следующая. Это
своеобразный факт развития науки, который имеет подтверждение. Например: физика
Ньютона переросла в релятивистскую физику, а та - в квантовую. Алхимия (теория
Флогистона) стала химией, а самозарождение мышей из грязи обернулось биологией. Такова
судьба всех наук, и геометрия не исключение. Традиционная геометрия Евклида переросла в
геометрию Лобачевского. Именно сравнению некоторых теорем этих теорий и посвящена
данная работа.

Геометрия Лобачевского является очень удачным объектом для исследования. Это обусловлено, во-первых, наглядностью и естественностью задач, и во-вторых,

парадоксальностью ответов. В то же время геометрия Лобачевского является важной частью математики и активно используется в самых разных ее областях. Лобачевский принадлежит к числу тех великих русских математиков, труды которых являлись не только ценным вкладом в науку, но и открывали ей новые пути.

Объект исследования: Геометрия Н.И. Лобачевского и Евклида.

Предмет исследования: некоторые теоремы и доказательства «геометрии

Лобачевского.

Актуальность исследования. Новые результаты чаще всего появляются благодаря поиску аналогий различных утверждений. Зачастую аналог даже элементарной задачи геометрии Евклида оказывается далеко не тривиальным в геометрии Лобачевского. В то же время получаемые результаты оказываются красивыми и интересными.

Цель данной работы:

определить основные свойства четырёхугольника

максимальной площади в двух геометриях.

Задачи проекта:

1. Проанализировать научную и исследовательскую литературу по данной теме.

2. Систематизировать и обобщить знания о евклидовой и неевклидовой геометриях.

3. Познакомиться с биографией Н.И. Лобачевского и его научной деятельностью.

4. Рассмотреть некоторые теоремы геометрии Лобачевского, ознакомиться с
моделями неевклидовой геометрии.

5. Сделать сравнительный анализ геометрии Евклида и геометрии Лобачевского

6. Доказать некоторые теоремы двух геометрий.

7.Решить задачи о треугольнике, четырёхугольнике и фигуре максимальной
площади в геометриях Евклида и Лобачевского.

8. Выяснить практическую значимость геометрии Лобачевского.

2

9. Организовать и проанализировать результаты исследовательской деятельности.

10. Сделать выводы.

Методы исследования:

 теоретические: метод сравнительно-исторического анализа литературы, восхождение от абстрактного к конкретному ;

 эмпирические: метод опроса (анкетирование), метод причинно-следственного анализа;

 математические: статистические методы, метод визуализации данных, метод оценивания и сравнения.

Проблемы исследования: Почему возникла геометрия Лобачевского? Реальна ли геометрия Лобачевского в смысле соответствия физическому пространству? Существует ли поверхность, на которой справедлива эта геометрия? В чём заключаются различия двух геометрий? Какими будут фигуры максимальной площади в геометрии Евклида и Лобачевского?

Социальная актуальность работы:

 224 года со дня рождения Николая Ивановича Лобачевского;

 необходимость формирования другого взгляда на привычные вещи;

 необходимость развития математического и творческого мышления у
старшеклассников

Главная идея этой работы - найти сходство и различия двух геометрий, убедиться в непротиворечивости геометрии Лобачевского.

Практическое применение: данная работа и её результаты могут быть использованы в качестве дополнительного материала на уроках геометрии и алгебры, на факультативах по данным предметам и т.д. Конструкция гиперболических фигур максимальной площади является фундаментальной и может быть использована при решении изопериметрических задач геометрии Лобачевского.

Гипотеза к теоретической части: В геометрии Лобачевского и Евклида различаются только те теоремы, которые опираются на V постулат.

Гипотеза к практической части: В геометрии Лобачевского наибольшую площадь имеет гиперболический квадрат, который обладает многими свойствами аналогичными для квадрата Евклида.

3

Предварительное исследование.

Стандартный школьный курс предусматривает изучение геометрии Евклида, что в

некоторой степени ограничивает кругозор учащихся, и им, при знакомстве с неевклидовой геометрией, достаточно трудно поверить, к примеру, в то, что через точку не лежащую на данной прямой можно провести более одной прямой, не пересекающих данную.

Прежде чем приступить к исследованию, мы решили провести социологический опрос. Ученикам 9-х классов были заданы 4 вопроса:

1.Сформулируйте аксиому параллельных прямых (рис. 1).

2. Что вы знаете о геометрии Лобачевского? (рис. 2)

3. Что вы знаете о геометрии Евклида? (рис. 2)

4.Чью геометрию мы изучаем в школе? (рис. 3) Вот какие результаты мы получили:

Геометрия Евклида

Рис. 1 _{Рис. 2} Рис. 3

Анализ анкетирования, проведенного среди учащихся, показал, что не все они

знакомы с геометрией Лобачевского. По результатам опроса мы также можем сделать

вывод о том, что не все ученики не знают, что изучают. Они не знают:

• чью геометрию мы изучаем в школе;

• как формулируется аксиома параллельных прямых;

• чьи «Начала» составили целую эпоху в развитии элементарной

геометрии.

Часто на вопрос «Чем отличается геометрия Лобачевского от геометрии

Евклида?» многие отвечают, что в геометрии Лобачевского, в отличие от евклидовой, параллельные прямые пересекаются. Многие также заблуждаются относительно утверждения евклидовой аксиомы о параллельных прямых, считая, что она утверждает: «Параллельные прямые не пересекаются». На самом деле это неверно.

В данной работе попробуем провести сравнительный анализ геометрии Евклида и геометрии Лобачевского и определить область использования каждой из геометрий, постараемся найти практическое применение геометрии Лобачевского в физике и окружающем нас мире.

4

Глава 1. Евклид, Лобачевский. Две геометрии - один мир

В абсолютной части геометрия Лобачевского по существу не отличается от евклидовой. В той же части, где используется 5-й постулат, дело обстоит иначе. К ней относят следующие группы теорем: о расположении параллельных прямых; о сумме углов в треугольниках и многоугольниках; о площадях; о вписанных в окружность и описанных около нее многоугольниках; о подобии фигур; всю тригонометрию; теорему Пифагора; измерение круга и его частей.

В этих пунктах двумерная геометрия Лобачевского отличается от геометрии Евклида [3-с.148]. Лобачевский строил свою геометрию, отправляясь от основных геометрических понятий и своей аксиомы, и доказывал теоремы геометрическим методом, подобно тому, как это делается в геометрии Евклида. Основой служила теория параллельных линий. Все теоремы, не зависящие от аксиомы о параллельных прямых являются общими для обеих геометрий и образуют т. н. абсолютную геометрию. Вслед за теорией параллельных строились другие отделы, включая тригонометрию и начала аналитической и дифференциальной геометрии.

Проведя сравнительный анализ евклидовой и неевклидовой геометрий, мы получили следующую таблицу:

Геометрия Евклида Геометрия Лобачевского

Критерии

сравнения:

Параболическая Гипербол

Модель Плоскость Псевдосфера

планиметрии

Аксиома о Через точку О, не лежащую Через точку О, не лежащую на

параллельных на данной прямой а, данной прямой а, проходит

прямых (Пятый проходит не более одной

постулат) прямой, лежащей с данной

прямой в одной плоскости

и не пересекающей её.

Кривизна Кривизна = 0

Сумма внутренних Всегда равна 180є

бесконечно много прямых, не

пересекающих а и находящихся с
ней в одной плоскости; среди них
есть две крайние b, b', которые и
называются параллельными прямой

а. В моделях Клейна (Пуанкаре) они
изображаются хордами (дугами

окружностей), имеющими с хордой
(дугой) а общий конец (который по
определению модели исключается,
так что эти прямые не имеют общих
точек).

Кривизна < 0

Меньше 180 є (

5

углов

треугольника

Подобные

треугольники

Признаки

равенства

треугольников

Сумма углов

треугольника

Сумма углов

четырёхугольника
Внешний угол

треугольника

Расположение

прямых на

плоскости.

Определение

параллельных

прямых

Два треугольника

называются подобными,
если их углы

соответственно равны и
стороны одного

треугольника

пропорциональны

сходственным сторонам

другого.

Существует три признака равенства треугольников. А если углы одного треугольника

соответственно равны

углам другого

треугольника, то эти

треугольники подобны. Сумма углов треугольника всегда равна 180є.

Сумма углов треугольника всегда равна 360є.

Внешний угол

треугольника равен сумме внутренних, с ним не смежных углов.

Два случая взаимного
расположения прямых на
плоскости: прямые

пересекаются, параллельны

Параллельными

называются две прямые,
расположенные в одной
плоскости и не

встречающиеся.

сколько угодно близкой к нулю.

В геометрии Лобачевского не
существует подобных, но

неравных треугольников;

треугольники равны, если их углы
равны. Поэтому существует

абсолютная единица длины, т. е.
отрезок, выделенный по своим
свойствам, подобно тому, как
прямой угол выделен своими
свойствами. Таким отрезком может
служить, например, сторона

правильного треугольника с данной суммой углов.

В геометрии Лобачевского имеет место четвертый признак равенства треугольников: если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Сумма углов треугольника

непостоянна и всегда меньше 2d.
Сумма углов выпуклого

четырехугольника меньше 4d.
Внешний угол треугольника

больше суммы внутренних, с ним не смежных углов.

Три случая взаимного расположения двух прямых: прямые пересекаются, параллельны или расходятся

Прямые называются параллельными
прямой а, если: две прямые не
пересекают прямой а , любая прямая,
лежащая в одной паре вертикальных
углов с вершиной A и образованных
b и с пересекает а, любая прямая,
лежащая в другой паре вертикальных
углов с вершиной А и образованных
b и c и не пересекает а. В последнем
случае говорят, что прямые являются
расходящимися. К любой из них
можно восстановить

перпендикуляры, которые не

достигают другой прямой.

6

_рис.5 рис.6

Величина угла Угол между Угол между перпендикуляром и

между перпендикуляром и каждой из двух параллелей к

перпендикуляром и параллелью всегда, как прямой всегда будет меньше 90⁰.

параллелью. известно, равен 90⁰.

Более того, величина этого "угла

параллельности", как называет его
Лобачевский, не постоянна: она
меняется в зависимости от длины
перпендикуляра, опущенного из
точки на первоначальную прямую.
Когда длина перпендикуляра,
уменьшаясь, стремится к нулю,
угол параллельности, возрастая,
стремится к 90°, а когда

перпендикуляр растет до

бесконечности, угол становится равным нулю.

Прямоугольная Прямоугольная проекция Прямоугольная проекция стороны

проекция стороны стороны острого угла на

острого угла на другую его сторону -

другую сторону полуотрезок.

Прямые, Две прямые,

перпендикулярные перпендикулярные одной

одной прямой. прямой, параллельны.

острого угла на другую его сторону

есть отрезок

Две расходящиеся прямые имеют один и только один общий перпендикуляр.

Рис.7

Прямая ЕЕ', проходящая через точку
С перпендикулярно прямой CL (CL
 AB), принадлежит к числу
прямых, расходящихся с АВ, т.е. в
гиперболической плоскости две
прямые, имеющие общий

перпендикуляр, расходятся.

7

Расположение

прямой и точек на

плоскости

Вписанная в

треугольник и

описанная около
треугольника

окружности.

Длина окружности

Формулы для

нахождения

площади круга и
длины окружности.

Линии постоянной

кривизны.

Прямая дополняется только

одной бесконечно

удаленной точкой.

Около любого

треугольника можно

описать окружность и в любой треугольник можно вписать окружность.

Длина окружности прямо пропорциональна длине ее радиуса.

Площадь круга с радиусом
r равна А длина

окружности,

ограничивающей этот круг, равна 2πr.

Через три любые точки
можно провести либо
прямую, либо окружность.

Прямая в гиперболической

плоскости имеет две бесконечно
удаленные точки. Точки

ориентированной прямой CD,

параллельной прямой АВ,

неограниченно приближаются к АВ
в сторону параллельности и
неограниченно от нее удаляются в
противоположную сторону. Это
неограниченное приближение

параллели CD к АВ выражают так: параллельные прямые в сторону
параллельности асимптотически

приближаются одна к другой (рис.8)

Рис.8

Существуют треугольники, вокруг
которых нельзя описать

окружность и в которые нельзя
вписать окружность. Дело в том,
что в гиперболической плоскости
серединные перпендикуляры к
сторонам треугольника либо

пересекаются в одной точке, либо
параллельны, либо все три

перпендикулярны к одной прямой; то же имеет место и относительно биссектрисы внутренних углов треугольника.

Длина окружности не

пропорциональна радиусу, а растет быстрее.

Площадь круга с радиусом r
равна А длина

окружности, ограничивающей этот круг, равна 2πshr, где shx

(sh(x) — гиперболический синус) В плоскости Лобачевского, кроме прямой и окружности, линиями постоянной кривизны являются эквидистанта и предельная линия (орицикл).

8

Рис.9

Эквидистанта представляет собой

множество всех точек

гиперболической плоскости,

равноудаленных от данной прямой.

Она состоит из двух ветвей,

расположенных по одной в разных

полуплоскостях относительно

данной прямой, называемой базой

эквидистанты (на р.10 изображена

одна ветвь эквидистанты).

Поверхности Существуют два вида

постоянной поверхностей постоянной

кривизны. кривизны - плоскость и

сфера, которые допускают

внутреннюю геометрию,

основанную на движении

без деформации.

Геометрическое место

точек, равноудалённых от

данной прямой и лежащих

по одну сторону от неё,

есть прямая.

Теорема Пифагора a² = b² + c²

рис.10 рис.11

Предельную линию можно

представить как окружность

бесконечно большого радиуса

(рис.10,11) .

Но в пространстве Лобачевского существуют и другие поверхности, которые допускают внутреннюю
геометрию поверхности.

Лобачевский рассмотрел в

пространстве пучок параллельных
прямых и поверхности,

ортогональные прямым пучкам.
Орисферы получаются если

предельную линию вращать вокруг
одной из своих осей. Такая

поверхность может скользить по

самой себе; на ней

можно строить

внутреннюю геометрию.

Рис. 12

Орисферы обладают

замечательными

свойствами. Через каждые две точки орисферы проходит орицикл, целиком лежащий на этой

поверхности. А потому можно
рассматривать треугольники,
образованные тремя орициклами на орисфере (рис. 12).

sh² (a/2)= sh² (b/2)+sh² (с/2) (sh(x) —

гиперболический синус)

9

Эту формулу можно назвать
неевклидовой теоремой Пифагора,

т.к. она имеет тот же вид, что и в
геометрии Евклида, но с оговоркой,
что в ней присутствуют не стороны,
а гиперболические синусы от их
половин.

Площадь

треугольника

Соотношении

площадей

треугольников,
имеющих равный

угол

Теорема косинусов
Теорема косинусов

для

четырёхугольника
Теорема синусов

Площадь треугольника не

вычисляется через углы этого треугольника.

S = ab ⋅ sin γ

Площади треугольников,
имеющих равный угол,
относятся как произведения
сторон, содержащих этот
угол.

a 2 = b2 + c2-2bc cos

d²= a²+b²+c² − 2ab cos B − 2ac cos − 2bc cos C

Площадь треугольника вычисляется

через меры его углов. S=k(p-s), где
s - сумма углов треугольника.

(S(ABC) = π − α − β - γ)

Следствие. Площадь треугольника плоскости Лобачевского ограничена. Площади треугольников относятся, как их дефекты. Отношение площади треугольника к его дефекту есть величина постоянная.

c a=c b c c c - s b s c cosα

s b s cosα s c s cosα

(sh(x) — гиперболический синус, ch (x) - гиперболический косинус)

Таблица 1. Сравнение теорем геометрий Евклида и Лобачевского

Итак, чем меньше область в пространстве или на плоскости Лобачевского, тем
меньше геометрические соотношения в этой области отличаются от соотношений
евклидовой геометрии. Чем меньше треугольник, тем меньше сумма его углов отличается от
π; чем меньше окружность, тем меньше отношение её длины к радиусу отличается от 2π.
Уменьшение области формально равносильно увеличению единицы длины, поэтому при
безграничном увеличении единицы длины формулы геометрии Лобачевского переходят в
формулы евклидовой геометрии. Евклидова геометрия в этом смысле -«предельный»

случай геометрии Лобачевского. Если геометрия Евклида является только частью геометрии
Лобачевского, то выходит, что наш мир - не мир Евклида, как принято считать? Почему же
мы не замечаем разницы? В качестве примера можно привести тот факт, что видимый
звездный свод - это не что иное, как предельная плоскость. Астрономам после признания
достижений Лобачевского пришлось пересчитывать все расстояния между звездами, и
ошибки достигали значительной величины. Несмотря на все кажущиеся странности,
геометрия Лобачевского является настоящей геометрией нашего мира, и Евклидова
является только её составной частью (см. Приложение 4, 6). Но в пределах ежедневных
измерений геометрия Евклида дает ничтожно малые ошибки, и мы пользуемся именно ею.

10

Сравнение доказательств некоторых теорем геометрии Евклида и Лобачевского.

Все теоремы о треугольниках, которые в евклидовой геометрии доказывают без помощи аксиомы параллельности, имеют место также в геометрии Лобачевского. Подавляющее большинство теорем относится именно к этому типу. Но треугольники и четырехугольники на плоскости Лобачевского обладают рядом специфических свойств. Рассмотрим некоторые из них. Исследуем, прежде всего, связь постулатов Евклида и Лобачевского с вопросом о сумме углов треугольника. Покажем, что постулат Евклида равносилен предположению, что сумма углов треугольника равна двум прямым, а постулат Лобачевского - что сумма углов меньше 2-х прямых.

Геометрия Евклида Геометрия Лобачевского

Теорема о сумме углов треугольника

Рис. 14

Рис. 13

Теорема. Сумма углов любого

треугольника равна 2d.

Доказательство. Рассмотрим

произвольный треугольник ABC и докажем,
что ∠A+∠B+∠C=180°. Проведем через

вершину B прямую а, параллельную
стороне А . ∠1 и ∠4 являются накрест

лежащими углами при пересечении
параллельных прямых а и АС секущей АВ,
а ∠3 и ∠5 — накрест лежащие углы при
пересечении тех же параллельных прямых
секущей ВС. Поэтому ∠4=∠1, ∠5= ∠3.

Очевидно, сумма углов 4, 2 и 5 равна

развернутому углу с вершиной В, т. е.
∠4+∠2+∠5=180°. Отсюда, учитывая

предыдущие равенства, получаем:

∠1+∠2+∠3=180°, или ∠A+∠B+∠C=180°.

Теорема. Сумма углов любого треугольника

меньше 2d.

Доказательство. Построим доказательство от
противного. Предположим, что сумма углов
треугольника АВС равна 2 . Пусть ВАС -

наименьший угол этого треугольника (если

треугольник равносторонний, то возьмём один
из его равных углов). Проведём медиану AD к
противоположной стороне и отложим отрезок
DB₁, равный этой медиане. Из равенства
треугольников ABD и B₁DC получаем, что
∠DB₁C=∠DAB, ∠DCB₁=∠DBA. Таким

образом, в треугольнике АВ₁С (назовем его
первым выводным треугольником) сумма трех
углов равна также 2 . Из первого выводного
треугольника получаем аналогичным

построением второй выводной. В полученном втором выводном треугольнике сумма трех углов равна 2 . Продолжая, получим ряд

выводных треугольников; в n-м треугольнике сумма углов равна 2 , а сумма углов с

вершинами в концах удвоенной медианы (n-

1)-го выводного треугольника. Если взять n
достаточно большим, то можно сделать
меньше, т.е. третий угол этого треугольника
будет больше 2 ; мы получаем противоречие.

11

Теперь докажем, что сумма углов
треугольника меньше 2d. Пусть АВС -

произвольный треугольник. По теормеме

Саккери-Лежандра АВС⫹2d. Если

предположить, что АВС=2d, то окажется

спрведливым пятый постулат, что

противоречит аксиоме. Следовательно

АВС<2d.

Теорема о сумме углов четырёхугольника

Теорема. Сумма углов любого Теорема. Сумма углов выпуклого

четырехугольника равна 360°. четырёхугольника меньше 4d.

Доказательство.

Пусть ABCD данный

выпуклый

четырёхугольник.

Проведем диагональ AC и Рис. 15

разложим этот четырёхугольник на 2

треугольника ABC и ADC. Тогда

∠A+∠B+∠C+∠D= =∠ABC+∠ADC. Но

∠ABC=180° и ∠ADC=180°, поэтому

∠A+∠B+∠C+∠D=2*180°=360°.

Доказательство.

Мы построим доказательство, аналогичное евклидовому доказательству. Пусть ABCD
данный выпуклый четырёхугольник.

Проведем диагональ AC и разложим этот четырёхугольник на 2 треугольника ABC и ADC. Тогда ∠A+∠B+∠C+∠D=∠ABC+∠ADC.

Но ∠ABC<2d и ∠ADC< 2d, поэтому

∠A+∠B+∠C+∠D<2d.

Следствие. В геометрии Лобачевского нет ни прямоугольников, ни квадратов. Сумма углов n - угольника меньше 2 (n-2).

Четвертый признак равенства треугольников, или первый признак подобия

Теорема. Если два угла одного

треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники
подобны. (Первый признак подобия

треугольников)

Рис. 16

Доказательство. Пусть ABC и А₁В₁С₁ —
треугольники, у которых ∠A=∠A₁;∠B=∠B₁ ,
и, следовательно, ∠C=∠C₁ . Отложим на ВА
от точки В отрезок ВА₂, равный отрезку
A₁B₁ , и через точку А₂ проведем прямую,
параллельную прямой АС. Эта прямая
пересечет ВС в некоторой точке С₂.
Треугольники А₁В₁С₁ и А₂ВС₂ равны:
А₁В₁=А₂В по построению, ∠В=∠В₁ по

Теорема. Если три угла одного треугольника

равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. 17

Доказательство. Пусть в треугольниках ABC
и А'В'С' имеем A= A’, B= B', C=С’. Докажем,
что АВ = A’В’. Предположим, что АВ ≠А'В';
для определенности допустим, что АВ>А'В'.
На лучах АВ и АС возьмем точки В" и С" так,
чтобы АВ"=А'В' и АС"=А'С’ (рис.17). По

первому признаку равенства треугольников
имеем /\АВ"С" = /\А'В'С, поэтому ∠1=∠2. По
условию ∠2=∠3, следовательно, ∠1=∠3.

Аналогично, ∠4=∠6. По предположению

АВ>А’В’ поэтому А — В" — В, т. е. прямая
В"С" пересекает сторону АВ треугольника
ABC. Прямые В"С" и ВС не пересекаются

12

условию и ∠А₁=∠А₂ , так как ∠А₁=∠А по

условию и ∠А=∠А₂ как соответственные
углы. По определению подобных

треугольников имеем: △A₂BC₂∼△ABC , и значит, △ABC∼△A₁B₁C₁.

(т.к._ ∠1=∠3), следовательно, по аксиоме

Паша В"С" пересекает сторону АС ⍙ABC, и
значит, А—С"—С. Отсюда следует, что
BB”C”C выпуклый. Из равенств ∠1=∠3 и

∠4=∠6 следует, что сумма углов этого
четырехугольника равна 4 . Таким образом,
приходим к противоречию с предыдущей
теоремой. Значит, АВ=А’B’. По второму
признаку равенства треугольников

АВС=A'В'С'. [18]

Рис. 18

Внешний угол треугольника

Теорема. Внешний угол

треугольника равен

сумме внутренних, с
ним не смежных углов.

Доказательство

Теорема. Внешний угол треугольника больше

Рис. 19

суммы внутренних, с ним не смежных углов.

Доказательство. Действительно, пусть δ -

внешний угол треугольника, смежный с

внутренним углом α, и пусть β и γ - остальные

Из равенств ∠ 4 + ∠ 3 = 180° и ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ внутренние углы; тогда α+δ=2 , следовательно

3 = 180° (рис.19) получаем, что ∠4=∠1+∠2. δ > β + γ

Теорема о градусной мере вписанного угла, опирающегося на диаметр

Теорема. Вписанный угол измеряется

половиной дуги, на которую он опирается. Доказательство.

Рассмотрим случай,

когда луч ВО совпадает

с одной из сторон угла

АВС. Например, со

стороной ВС. В этом Рис. 20

случае дуга АС меньше полуокружности, поэтому АОС равен дуге АС. Так как ∠АОС - внешний угол равнобедренного треугольник АВО, а ∠ABO и ∠BAO при основании равнобедренного треугольника равны, то ∠ АОС = ∠ABO+∠BAO=2∠BAO . Отсюда следует, что 2∠BAO= АС или

∠АВС = 1/2 АС.

Следствие. Вписанный угол, опирающийся на диаметр прямой.

Теорема. Вписанный угол,

опирающийся на диаметр,

является острым.

Доказательство.

Пусть угол АСВ,

вписанный в окружность с

центром О, опирается на Рис. 21

диаметр АВ (рис. 14).

Проведем радиус ОС и рассмотрим два равнобедренных треугольника ОАС и ОВС. Так как ∠A = ∠АСО и ∠B = ∠BCD, то ∠A +

∠В = ∠АСО + ∠ВСО =∠АСВ.

Следовательно, d⍙ABC = ∠A + ∠В + ∠АBC=
2∠АСВ. Значит, ∠АСВ = d∠ABC . Так как

d⍙ABC < 2 , то АСВ < , т. е.  АСВ —

острый угол.

Таблица 2. Сравнение доказательств теорем геометрий Евклида и Лобачевского

13

Глава 2. Фигуры максимальной площади.

Наиболее естественным способом получения новых результатов является поиск аналогий различных утверждений из евклидовой геометрии. Зачастую аналог даже элементарной задачи геометрии Евклида оказывается далеко не тривиальным в геометрии Лобачевского. В первую очередь это относится к вопросам, связанным с площадью фигур, поскольку в геометрии Евклида площадь треугольника вычисляется через длины сторон этого треугольника, а в геометрии Лобачевского - через меры его углов (см. таблицу 1), т.е. площади в этих геометриях существенно отличаются друг от друга. [9]

Заинтересовавшись полученными результатами исследования, мы решили попробовать ответить на вопрос: каким будет треугольник максимальной площади в геометрии Лобачевского, и какой будет эта площадь? Очевидно, что в геометрии Евклида искомый треугольник будет прямоугольным. Попробуем найти соответствующий треугольник в геометрии Лобачевского.

Треугольники максимальной площади

Теорема 1. Среди треугольников ABC на плоскости Лобачевского с заданными длинами двух
сторон AB и AC максимальную площадь имеет тот, у которого угол A равен сумме углов B
и C.

Доказательство.

Обозначим через α, β, γ углы треугольника ABC. Воспользуемся моделью Пуанкаре в круге (см. приложение 2). Поместим вершину A в центр модели. Рассмотрим евклидову окружность ω и прямую, содержащие гиперболические прямые BC и AB. Они пересекаются в двух точках B и B′ (рис. 22).

Рис. 22

Докажем, что площадь гиперболического треугольника ABC равна удвоенной
величине евклидова угла AB′C, который мы обозначим через τ. Угол между хордой BC и
окружностью ω также равен τ, так как угол между хордой и касательной равен вписанному

Рис. 23

14

углу. Сумма углов евклидова треугольника ABC равна α+β+γ+2τ =π, следовательно S(ABC) =
π − (α + β + γ) = 2τ. Таким образом, треугольник ABC имеет максимальную площадь
тогда и только тогда, когда угол AB′C максимален. [11] Поскольку длины сторон AB и
AC фиксированы, а меняется лишь угол между ними, можно считать фиксированными точки
A и B; тогда точка C может перемещаться по окружности ψ с центром A. Очевидно, что угол
ABC максимален, если евклидова прямая B′C касается окружности ψ (рис. 23). Это, в свою
очередь означает, что евклидов угол ACB′ — прямой. Последнее условие равносильно тому,
что π/2 = ∠CAB′+∠CB′A = α+τ . Сопоставив это с выведенной ранее формулой S(ABC) = 2τ и
формулой S(ABC) = π − α − β − γ для площади треугольника, получаем требуемое α = β + γ.

Итак, площадь треугольника прямо пропорциональна его угловому дефекту. (Угловым дефектом треугольника ABC в плоскости Лобачевского называется разность между числом π и суммой величин всех трех его внутренних углов, т.е. = π - (А + В + С), где А, В и С - величины соответствующих углов в радианном измерении). Чем меньше размеры фигуры, тем меньше её дефект, тем меньше и площадь. Формула для
площади треугольника S=k*D, то есть площадь связана с его дефектом.
Самую большую площадь имеет треугольник с нулевыми углами, а его

стороны имеют бесконечную длину.

Рис. 24

В итоге оказывается, что треугольник максимальной площади не является

прямоугольным, но обладает многими свойствами аналогичными для прямоугольного треугольника Евклида (см. таблицу 3).

Пользуясь свойствами треугольника максимальной площади можно решить
аналог другой т.н. изопериметрической задачи: каким будет четырёхугольник
максимальной площади при заданном периметре? Изопериметрической задачей называют
задачу о нахождении фигуры наибольшей площади, ограниченной кривой заданной длины
(периметра). Соответственно, изопериметрические фигуры - фигуры, имеющие одинаковый
периметр.

Четырёхугольники максимальной площади

Из элементарной геометрии нам известна формула площади треугольника S через длины его сторон a,b и c. Она может быть представлена в следующем виде:
S²= (p − a)(p − b)(p − c)p, где p-полупериметр треугольника. (1)

Данная формула известна как формула Герона, названная так по имени
Герона Александрийского, выдающегося древнегреческого математика, жившего в I веке до

н.э. И только в 1842 году немецкий математик Карл Бретшнайдер нашёл площадь

15

произвольного четырёхугольника. Классическая теорема Бретшнайдера является общей формулой Герона и утверждает, что площадь четырёхугольника S со сторонами a,b,c,d и противолежащими углами А и С находится по формуле.

S²= (p − a)(p − b)(p − c)(p − d)−abcd cos² где p-полупериметр четырёхугольника[10] (2)

Следствие 1.1. Из формулы 1 видно, что площадь S максимальна тогда и только тогда, когда cos =0 (при этом диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны), т. е. когда ∠A+∠C=∠B+∠D=180. Формула (1) принимает вид: S²= (p − a)(p − b)(p − c)(p − d). [10] (3) Но если суммы противоположных углов выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Следствие 1.2. (ключевое) Следовательно, четырехугольник с данными сторонами имеет максимальную площадь тогда и только тогда, если он вписан в окружность. Такой четырехугольник можно построить при любом периметре.

Это следует и из теоремы косинусов для четырёхугольника: d²= a²+b²+c² − 2ab cos B − 2ac cos А− 2bc cos C (4)

Приведём ещё две теоремы, которые могут сформулировать свойства четырёхугольника максимальной площади.

Теорема 2. Описать вокруг четырехуголь окружность можно, если выполняется условие d₁d₂=(AB+CD)(BC+AD) (теорема Птолемея). (5)

Теорема 3. Диагонали четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны.

Вернёмся к геометрии Лобачевского. Четырёхугольник, как и треугольник в модели
Пуанкаре в круге состоит из дуг окружностей. Четырёхугольник составлен из двух
треугольников, значит, его площадь равна сумме площадей этих треугольников. Так как
площадь четырёхугольника в геометрии Лобачевского вычисляется через меры его углов, то
четырёхугольник ABCD будет иметь максимальную площадь тогда и только тогда,
когда он будет состоять из двух гиперболических треугольников максимальной
площади:

S (ABCD) =S (ABC) + S (ACD) = 2S(ABC) =2(π − α − β - γ). (6)

Соответственно, его тоже можно вписать в окружность. Напомним, что
гиперболический четырёхугольник с углами A, B, C и D является вписанным в окружность
тогда и только тогда, когда ∠A+∠C=∠B+∠D. Перенесём результат, полученный в

евклидовой геометрии, на гиперболический случай:

Теорема 4. Площадь S гиперболического четырёхугольника со сторонами a,b,c,d, углами A, B, C и D и полупериметром р находится по формуле:

16

sin² . (7)

Данный результат является гиперболическим аналогом формулы Бретшнайдера (2).

Следствие 2.1. Как и в евклидовой геометрии, из этой формулы видно, что площадь

S будет максимальна тогда и только тогда, если =0.

Формула (7) принимает вид:

sin² (8)

Это следствие выражает площадь описанного гиперболического четырёхугольника через стороны и сумму противолежащих углов.

Следствие 2.2. В этом случае выполняется равенство: ∠ ∠ ∠ ∠ .

Следствие 2.3. Гиперболический четырёхугольник со сторонами a, b, c и имеет максимальную площадь тогда и только тогда, когда он вписан в окружность, орицикл или в одну ветвь эквидистанты.

Замечание 1. Похожий результат был известен в некоторых других работах (Walter, R. Polygons in hyperbolic geometry 2: maximum of area / R/ Walter // arXiv: 1008/3821v1 [math. MG] - 2010, [9], [12]), однако, в цитируемых работах он доказывался либо через изопериметрические неравенства, либо с помощью исследования некоторых функций. В данной исследовательской работе приводится его элементарное доказательство, доступное школьнику.

Фигуры максимальной площади с заданным периметром

В евклидовой геометрии докажем следующее утверждение: максимальная фигура ограничена окружностью.

Доказательство.

Пусть хорда АВ делит кривую, ограничивающую максимальную фигуру Ф на две
части равной длины. Тогда она делит фигуру Ф на две части Ф' и Ф'' равной площади. Если
кривая не является окружностью, то на ней найдется точка С, для которой угол АСВ не равен
90°.Построим новую фигуру, того же периметра, но большей площади. Для этого

Рис. 25

17

рассмотрим прямоугольный треугольник А₁В₁С₁ (см. треугольники максимальной площади), у которого А₁В₁=АВ, В₁С₁=ВС, и присоединим к его катетам соответствующие части 1 и 2 исходной фигуры. Полученную фигуру Ф1 отразим симметрично относительно А1В1 и соответствующую фигуру обозначим Ф2. Фигура, состоящая из обеих частей Ф1 и Ф2, будет искомой. Таким образом, мы доказали, что в евклидовой геометрии фигура максимальной площади является кругом.

Оказывается, что в геометрии Лобачевского решением этой задачи также является

круг.

Теорема 7. В геометрии Лобачевского фигурой максимальной площади с заданным периметром является круг.[9]

Доказательство.

Мы построим доказательство аналогично евклидовому доказательству. Пусть F — искомая фигура с площадью S и периметром L . Так же, как в евклидовой геометрии докажем, что фигура F выпукла, и отрезок BC, который делит периметр фигуры F пополам, делит и ее площадь пополам. Назовем такой отрезок диаметром.

Рис. 26

Пусть теперь A — произвольная точка границы фигуры F и BC — диаметр фигуры F
(рис. 10). Докажем, что треугольник ABC имеет максимальную площадь. Предположим
противное. Рассмотрим половину фигуры F, отсекаемую диаметром BC и содержащую точку

A. Ее площадь будет состоять из площади треугольника ABC и площадей двух оставшихся
сегментов, прикрепленных к сторонам AB и AC. Если двигать стороны AB и AC, меняя угол
между ними, то половина площади F будет меняться, причем сегменты будут двигаться
вместе со сторонами, тем самым сохраняя периметр L=2. Таким образом можно добиться,
чтобы площадь треугольника ABC стала максимальной. Тогда отразим полученную фигуру
относительно диаметра BC и получим новую фигуру F периметра L и с площадью большей S
— противоречие.

Итак, для любой точки A границы фигуры F площадь треугольника ABC максимальна. По свойству теоремы 1 имеем OA = OB = OC = const, а значит, фигура F является кругом с диаметром BC.

Ключевым в данной работе является следующий результат.

18

Геометрия Евклида Геометрия Лобачевского

Треугольники максимальной площади

1) S = ab ⋅ sin γ (площадь треугольника);

2) α = β +γ =π/2 (сумма углов - 180 ); 3) центр О описанной окружности лежит в середине стороны ВС;

4) S/2 = b/2 ⋅ c/2;

5) cosα = 0 (косинус прямого угла);

6) a² = b² + c² (теорема Пифагора).

1)S(ABC)=π−α−β-γ(площадь треугольника);

2) α = β +γ <π/2 (сумма углов <180); 3) центр О описанной окружности лежит в середине стороны ВС;

4) sin(S/2) = th(b/2)⋅ th(c/2);

5)cosα = th(b/2)⋅ th(c/2) (косинус прямого угла);

6)sh²(a/2)= sh²(b/2)+sh²(с/2) (теорема Пифагора).

Четырёхугольники максимальной площади

1) (площадь

четырёхугольника);

2) S²= (p − a)(p − b)(p − c)(p − d) (площадь четырёхугольника максимальной площади через длины сторон);

3) α = β +γ =π (сумма углов - 360);
4)∠A+∠C=∠B+∠D=180 (сумма углов

противоположных сторон);

5)|AC|·|BD| = |AB|·|CD| + |BC|·|AD| (теорема Птолемея);

6) центр O описанной окружности лежит в
точке пересечения серединных

перпендикуляров к сторонам;

7) d²= a²+b²+c² − 2ab cos B − 2ac cos A − 2bc cos C (теорема косинусов)

1) S(ABCD) = 2(π − α − β - γ) (площадь

четырёхугольника максимальной площади); 2) sin²

3) α = β +γ =π (сумма углов < 360);
4) ∠A+∠C=∠B+∠D<180 (сумма углов

противоположных сторон)

5)|AC|·|BD| = |AB|·|CD| + |BC|·|AD|
6) центр O описанной окружности лежит в
точке пересечения серединных

перпендикуляров к сторонам;

7) c a=c b c c c - s b s c cosα-

s b s cosα s c s cosα

(sh(х) и ch(x)) —гиперболические синус и косинус) (теорема косинусов);

Фигуры максимальной площади с заданным периметром

1)Фигурой максимальной площади является

круг;

2) S= (площадь круга);

3) L= 2πr (длина окружности);

4) При вращении плоскости относительно центра круг переходит сам в себя.

1) Фигурой максимальной площади

является круг;

2) S= (площадь круга);

3)L=2πshr, где shx (sh(x) —

гиперболический синус) (длина

окружности);

Таблица 3. Свойства фигур максимальной площади

19

Заключение

Непреходящая слава Лобачевского в том, что он решил нам задачу, которая

оставалась нерешённой две тысячи лет .

Напряженная многолетняя деятельность Н. И. Лобачевского, вдохновленного своим

высоким идеалом ученого, дала замечательные результаты. Еще Д.И. Менделеев, оценивая
его научный подвиг, сказал, что самобытность геометрии Лобачевского явилась зарей
самостоятельного развития наук в России [2-с.127]. Идея Лобачевского о том, что

мыслима логически не одна только геометрия Евклида, получила в XIX в. подтверждение. Возникли многочисленные геометрии. Воплотились в жизнь и другие его идеи о том, что истинность геометрии проверяется лишь опытом, а расширяющийся опыт требует введения не только евклидовой геометрии. Новые геометрии могут быть построены путем видоизменений систем понятий и исходных высказываний евклидовой геометрии. [3-с.159].

Выводы исследования. Геометрия Лобачевского является стройной непротиворечивой системой. Открытие неевклидовой геометрии дало решающий толчок грандиозному развитию науки, стало необходимым аппаратом для изучения механики, физики и астрономии. Обе геометрии истинны. Но каждая из них имеет свою область приложений: нельзя пользоваться формулами сферической геометрии для плоских фигур и формулами двухмерной евклидовой геометрии для фигур на сфере. Из того что в теории относительности применяются формулы неевклидовой геометрии, не вытекает ещё необходимости сдать в архив геометрию Евклида, как это случилось с астрологией и алхимией и другими лженауками. [5-с.19]

Общие результаты исследования. Цель исследования достигнута: кратко
рассмотрели и сравнили основные положения наиболее известных теорий геометрии Н.И.
Лобачевского и Евклида, определили основные отличия. Все проблемы исследования
решены: «Воображаемая» геометрия действительно существует на поверхности с
отрицательной кривизной - гиперболическом параболоид. Гипотезы подтверждены:

«воображаемая геометрия» Лобачевского истинна и имеет такое же право на существование, как и Евклидова геометрия. Таким образом, все поставленные задачи выполнены.
Новые результаты: В геометрии Лобачевского и Евклида найдены и определены
свойства треугольника, четырёхугольника и круга максимальной площади. В данной исследовательской работе приводится элементарное доказательство теорем, описывающих площади этих фигур. Конструкция гиперболических фигур максимальной площади является фундаментальной и может быть использована при решении других экстремальных задач геометрии Лобачевского. В ряде проведённых исследований удалось доказать, что несмотря на все кажущиеся странности, геометрия Лобачевского является настоящей геометрией нашего мира, она легла в основу многих научных теорий .

20

Список литературы

1. Лаптев Б.Л. Николай Иванович Лобачевский. - изд-во Казанского университета, 1976. -
136с.

2. Рыбников К.А. История математики. - М.: изд-во Московского университета, 1994. -
496с.

3. Прасолов В.В. Геометрия Лобачевского. 3-е издание. М.: МЦНМО, 2004. - 28с.

4. Протасов В.Ю. Максимумы и минимумы геометрии. М.: МЦНМО, 2005.- 56с.

5. Смогоржевский А.С. О геометрии Лобачевского. - М.: МЦНМО, 1957. - 69с.

6. Шень А. О «математической строгости» и школьном курсе математики. - М.:
МЦНМО, 2006. - 72 с.

7. Болтянский В.Г. Элементарная геометрия. Москва, «Просвещение»,1985.- 318с.

8. Дубровский В.Н. Релятивистский мир. Библиотечка «Квант». Москва, «Наука», 1984.
- 174 стр.

9. Алексеева Е.И. Гиперболические треугольники максимальной площади с двумя
заданными сторонами, М.: МЦНМО, 2010. - 7с.

10. Понарин Я.П. Элементарная геометрия. Том 1. Планиметрия, преобразования

плоскости, М.: МЦНМО, 2004. - 512 с.

11. Скопенков А.Б. Простое доказательство изопериметрической теоремы для
плоскости Лобачевского, М.:МЦНМО, - 2010. - 2с.

12. Байгонакова Г.А. О формуле Бретшнайдера для гиперболического четырёхугольника,
Мат. заметки ЯГУ. - 2012. Т. 19, №2. - с. 12-20

13. Walter, R. Polygons in hyperbolic geometry 2: maximum of area / R/ Walter // arXiv:
1008/3821v1 [math. MG] - 2010.

14. Jane I. Alekseeva Hyperbolic triangles of the maximum area with two fixed sides //

arXiv: 0911.5319 [math.MG] - 2010.

Интернет-ресурсы

15. ttp://ru.wikipe ia.org/wiki/Геометрия_Лобачевского - история создания геометрии
Лобачевского и модели плоскости Лобачевского.

16. http://gatchina3000.ru/big/070/973_bolshaya-sovetskaya.htm - свойства геометрии
Лобачевского.

17. http://www.bestreferat.ru/referat-50364.html - значение геометрии Лобачевского.

18. http://festival.1september.ru/articles/414281/ - свойства геометрии Лобачевского.

19. http://festival.1september.ru/articles/572332/ - свойства геометрии Лобачевского.

20. http://articles.excelion.ru/science/fizika/32395330.html - геометрия Лобачевского

21. http://turboreferat.ru/mathematic/geometriya-lobachevskogo-i-ee-modeli/285397-2148698-
page4.html - некоторые теоремы геометрии Лобачевского

22. http://www.refsru.com/referat-7524-13.html

23. http://www.unn.ru/pages/general/brief/lobachevsky/vinberg.pdf - Э.Б. Винберг О
неевклидовой геометрии

21

Приложение 1. Николай Лобачевский - Коперник геометрии.

Известный английский математик Уильям Клиффорд назвал Лобачевского «Коперником геометрии».

Чем Коперник был для Птолемея, тем был Лобачевский для Евклида. Между
Коперником и Лобачевским существует поучительная параллель.
Итак, Коперник и Лобачевский — оба славяне по происхождению. Каждый из них
произвел революцию в научных идеях, и значение каждой из этих революций одинаково
велико. И Н. Коперник и Н.И. Лобачевский создали теории, противоречащие
господствующим, просуществовавшим целые тысячелетия. И каждому из них пришлось
доказывать свою правоту. Современники считали их безумцами, не принимали их
доказательств. Н. Коперник понимая, как трудно людям будет поверить в то, что Земля не

является центром Вселенной, даже в предисловии
к своей книге написал: «Принимая в соображение,
какой нелепостью должно показаться это учение,
я долго не решался напечатать мою книгу и
думал, не лучше ли будет последовать примеру
пифагорейцев и других, передававших своё учение
лишь друзьям, распространяя его только путём
предания».

Нужно иметь большую смелость, научное
бесстрашие и преданность истине, чтобы

сделать открытие, перечеркивающее учение, просуществовавшее тысячелетия. И Н. Коперник и Н.И. Лобачевский обладали такими качествами. Их теории стали колоссальным шагом вперёд и сокрушительным ударом по архаичным авторитетам.

Николай Коперник - автор гелиоцентрической картины миры.

Представления древних астрономов о строении Вселенной изложены в сочинении Птолемея «Мегале синтаксис» (“Великое построение”).

В основе системы мира Птолемея лежат четыре главных допущения (постулата):

1) Земля находится в центре Вселенной;

2) Земля неподвижна;

3) все небесные тела движутся вокруг Земли;

4) движения небесных тел происходят по
окружностям с постоянной скоростью, т.е.
равномерно.

Система мира Птолемея называется геоцентрической.
Солнце и Луна, планеты лежат внутри сферы, на
поверхности которой расположены “неподвижные” звезды.
Суточное движение всех светил объяснялось вращением
всей Вселенной как одного целого вокруг неподвижной
Земли. К началу XVI в. система Птолемея была настолько

сложна, что не могла уже удовлетворить тем требованиям, которые предъявлялись к
астрономии практической жизнью, в первую очередь мореплаванием. Нужны были более
простые методы вычисления положений планет, и такие методы были созданы благодаря
великому творению гениального польского ученого Николая Коперника, заложившему
основы новой астрономии, без которых не могла бы возникнуть и развиваться современная
астрономия.

Николай Коперник - автор гелиоцентрической системы мира, положивший начало
первой научной революции. В своем главном сочинении «Об обращении небесных сфер», он
пришёл к выводу, что не Земля, а Солнце должно быть неподвижным центром Вселенной.

22

Исходя из этого предположения, Коперник весьма просто объяснил всю кажущуюся запутанность движений планет. Эти утверждения полностью противоречили господствовавшей на тот момент геоцентрической системе, созданной Птолемеем.

Николай Лобачевский - создатель неевклидовой геометрии.

Когда Н.И. Лобачевский выступил на заседании Отделения
физико-математических наук в Казанском университете, где он
работал, 11 февраля 1826 года с докладом «Сжатое изложение

основ геометрии со строгим доказательством теоремы о
параллельных прямых», его даже не пытались понять. Особенно
нелепо звучал для математиков вывод Лобачевского о том, что в
«воображаемой геометрии» угол треугольника зависел от длины
его сторон. Нет, в 1826 году идеи Лобачевского не нашли ни
сочувствия, ни понимания у современников. Они не были
наглядны! Немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777- 1855

гг.), как выяснилось из опубликованных посмертно его записей и переписки, много раньше
получил ряд соотношений неевклидовой геометрии, но запретил своим корреспондентам
какие-либо высказывания о его взглядах. Он высоко оценил в своих письмах друзьям
геометрические работы Лобачевского. Почему Гаусс не опубликовал своих исследований по
новой геометрии? Возможно, что еще не был уверен в отсутствии противоречий в
неевклидовой геометрии или же, судя по его письмам, не хотел рисковать своим покоем.

Лобачевский не сдается. Совершенно не понятый соотечественниками, Лобачевский постарался ознакомить со своей системой западноевропейских ученых. Он пишет статьи на немецком, французском языках, популяризируя взгляды неевклидовой геометрии.

Как истинные ученые, Николай Коперник и Н.И. Лобачевский не могли ограничиться
высказыванием гипотез, а посвятили много лет своей жизни получению наиболее ясных и
убедительных доказательств своих утверждений. Используя достижения математики и
астрономии своего времени, Коперник придал своим революционным взглядам на
кинематику Солнечной системы характер строго обоснованной, убедительной теории.
Следует заметить, что в его времена астрономия еще не владела методами, позволяющими

непосредственно доказать вращение Земли вокруг Солнца
(такой метод появился почти двести лет спустя). В его книге
содержатся теоремы из планиметрии и тригонометрии,

необходимые автору для построения теории движения планет
на основе гелиоцентрической системы. Николай Коперник
очень красиво и убедительно доказывает, что Земля имеет

шарообразную форму, приводя как доводы древних ученых,

_{Кратер Коперник} так и свои собственные. Лобачевский детально разработал

свою геометрию, нашел тригонометрические соотношения
между сторонами и углами треугольника, изучил простейшие
кривые - аналоги окружностей - предельную линию

(окружность бесконечно большого радиуса) и эквидистанту
(образована точками, удаленными от прямой на постоянное
расстояние), ввел различные системы координат, нашел

^{Кратер Лобачевский} _{формулы для вычисления площадей и объемов.}

И Н. Коперник и Н.И. Лобачевский изменили представление людей об окружающем мире с помощью математических формул и расчетов. На титульном листе книги Коперника «Об обращениях небесных сфер» стоит суровое предостережение: «Да не входит никто, не знающий математики». Наблюдения и расчет—вот главные методы их работы.

23

Приложение 2. Открытие геометрии Лобачевского.

- Нет, эта геометрия не ложна!
Пусть она сложнее Эвклидовой,
но зато она гораздо шире ее:

геометрия Эвклида есть только частный
- предельный - случай этой новой геометрии.

Н.И. Лобачевский

В III веке до нашей эры греческий геометр Евклид в своей книге «Начала»

сформулировал систему постулатов, из которых последовательно, одна за другой, выводятся все основные теоремы геометрии. И никогда не получалось двух противоречащих друг другу теорем, доказательства которых равноправно вытекали бы из принятой системы постулатов. Вот эти постулаты:

1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию;

2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой.

3. Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.

4. Все прямые углы равны между собой.

5. Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону

углы, меньше двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых. (Через точку, не лежащую на прямой можно провести не более одной прямой, параллельной данной прямой).

«Начала» оставались фундаментальным математическим трудом на протяжении свыше 2000 лет. Аксиомы евклидовой геометрии являются продуктом повседневных человеческих наблюдений, кроме одной — аксиомы о параллельных прямых, называемой также пятым постулатом. Три первых постулата обеспечивают существование прямой и окружности. А сложность пятого постулата породила мысль о возможной зависимости его от других постулатов, и потому возникали попытки вывести его из остальных предпосылок геометрии. Как правило, это заканчивалось неудачей. Наконец, в 1826 году, в "сражение" с пятым постулатом вступил русский математик, профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский. Он заменил, евклидов пятый постулат более общей аксиомой параллельности, сохранив прочие аксиомы и постулаты. [1]

Аксиоматика планиметрии Лобачевского отличается от аксиоматики планиметрии
Евклида лишь одной аксиомой: аксиома параллельности заменяется ее отрицанием -

аксиомой параллельности Лобачевского: «Найдутся такая прямая a и такая не лежащая на ней точка A, что через A проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие a».
Непротиворечивость системы аксиом доказывается представлением модели, в
которой реализуются данные аксиомы.

24

Приложение 3. Доказательство 5- того постулата

Лобачевский - настоящий «светильник»

человеческого разума»

Гильберт

Воспользуемся методом от противного. Допустив, что пятый постулат Евклида не верен, а остальные аксиомы справедливы, мы рано или поздно придем к противоречию. Этим противоречием он и будет доказан. Итак, допустим, что пятый постулат неверен: через точку А, не принадлежащую прямой в, можно провести более чем одну прямую, которая не пересекается с прямой в.

1. Пусть прямые а' и а" не пересекаются с b. Тогда будем поворачивать прямую а' по
часовой стрелке. В конечном итоге найдется такая прямая с', которая является предельным
положением, до которого прямые не пересекают прямую b.

2. Отложим прямую с", симметричную с' относительно
перпендикуляра АР, опущенного на b. Все будет аналогично.
3. Лобачевский называет эти прямые параллельными прямой b, причем с' параллельна прямой b вправо.

4. Остальные прямые, проходящие через точку А и не пересекающие прямую b,

именуются расходящимися с прямой b.

Лобачевский доказывает, что две параллельные прямые неограниченно сближаются друг с другом в сторону параллельности, но в обратном направлении они неограниченно удаляются друг от друга.

Учёные о геометрии Лобачевского

Открытие Н.И. Лобачевского было встречено полным непониманием со стороны его
современников. Над ним смеялись, кто со злобой, кто с сочувствием; другие же просто
игнорировали новую теорию. Исключение составляли, разве что, венгерский математик Я.
Бояи (пришедший тремя годами позже к тем же выводам) и один из крупнейших
математиков XIX века К.Ф. Гаусс. Лишь полвека спустя математики начали осознавать суть
этого открытия. Прошло еще несколько десятилетий и стало ясно, что открытие новой
геометрии явилось едва ли не самым значительным событием в математике XIX века, оно во
многом предопределило развитие всей науки. А при помощи моделей, созданных на основе
геометрии Лобачевского другими учеными, в частности Клейном, Пуанкаре и Бельтрами,
появилась возможность более простым способом доказать некоторые теоремы евклидовой
геометрии.

25

Приложение 4. Сравнение геометрии Лобачевского и Евклида.

Остроградский - поэт, Лобачевский - философ»

студенты Казанского университета

Достаточно много говорится о философском смысле геометрии Лобачевского.

Чтобы понять, почему так происходит, продолжим сравнение евклидовой геометрии

геометрии Лобачевского по следующим критериям:

Критерий сравнения Геометрия Евклида Геометрия Лобачевского

Основные положения, Первые четыре постулата Евклида

на которых строится

Фактор, позволивший Отличие в формулировке V постулата о параллельных

выделить их в разные

и

прямых

геометрии

Применяемость

Известность

Разные модели

плоскости

Большинство геометрических

задач, как в науке, так и в

повседневной жизни.

Ей пользуются практически
все люди, получившие общие
представления о математике,
однако для большинства само
понятие «Евклидова» не
существует, ее просто считают
единственной геометрией.

нет

Некоторые области науки, в

которых геометрия Евклида
не позволяет достичь
точных результатов

О геометрии Лобачевского

знают немногие,

преимущественно

заинтересованные

математикой, а также
ученые, пользующиеся ей.

Есть модель Пуанкаре,
модель Клейна и модель

Бельтрами

_{Признанность} Обе признаны логичными и непротиворечивыми.

Таблица 4. Сравнение геометрии Лобачевского и Евклида.

В результате исследования литературных источников и сравнения евклидовой и

неевклидовой геометрии можно прийти к выводу, что философский смысл у открытия Лобачевского действительно есть. Он заключается в доказательстве того, что две противоречивые точки зрения могут существовать, совершенно не мешая друг другу. Интересно то, что такой факт, обычно характерный в области гуманитарных наук, теперь наблюдается в математике, во многом благодаря созданию действующей модели неевклидовой геометрии, свободной от противоречий.

26

Приложение 5. Три модели геометрии Лобачевского

Выделяют три различные модели геометрии Лобачевского:
 Модель Пуанкаре

 Модель Клейна

 Отображение геометрии Лобачевского на псевдосфере (интерпретация

Бельтрами)

1) Модель Пуанкаре.

В модели Пуанкаре на евклидовой плоскости E фиксируется горизонтальная прямая x.
Она носит название «абсолюта». Точками плоскости Лобачевского считаются точки

плоскости E, лежащие выше абсолюта x. Таким образом, в модели Пуанкаре плоскость Лобачевского - это полуплоскость L, лежащая выше абсолюта.

Прямыми плоскости L считаются полуокружности с центрами на абсолюте или лучи с вершинами на абсолюте и перпендикулярные ему.

Фигура на плоскости Лобачевского - это фигура полуплоскости L. Принадлежность
точки фигуре понимается так же, как и на евклидовой плоскости E. При этом отрезком
плоскости L считается дуга окружности с центром на абсолюте или отрезок прямой,
перпендикулярной абсолюту. Точка K лежит между точками C и D, значит, что K
принадлежит дуге CD. В условиях нашей модели это эквивалентно тому, что K' лежит между
C' и D', где C', K' и D' - проекции точек C, K и D соответственно на абсолют. Чтобы ввести
понятие равенства неевклидовых отрезков в модели Пуанкаре, определяют неевклидовы

движения в этой модели.

Неевклидовым движением

называется преобразование L,
которое является композицией
конечного числа инверсий с
центрами на абсолюте и осевых
симметрий плоскости E, оси

которых перпендикулярны

абсолюту. Инверсии с центром на
абсолюте и осевые симметрии

плоскости E, оси которых

перпендикулярны абсолюту, называют неевклидовыми симметриями. Два неевклидовых
отрезка называют равными, если один из них неевклидовым движением можно перевести во
второй.

2) Модель Клейна.

За плоскость принимается какой-либо круг, за точки - точки принадлежащие этому кругу, за прямые - хорды - конечно, с исключением концов, поскольку рассматривается только внутренность круга. За перемещения принимаются преобразования круга, переводящие его в себя и хорды - в хорды. Соответственно, "конгруэнтными" называются фигуры, переводимые друг в друга такими преобразованиями.

27

Очевидно, что в пределах определенной части плоскости (круга), как бы эта часть не
была велика, можно провести через данную точку С множество прямых, не пересекающих
данной прямой. Внутри круга любого конечного радиуса существует множество прямых
(т.е. хорд), проходящих через т. С и не встречающих прямой АВ (рис.21.2). Всякая теорема
планиметрии Лобачевского является в этой модели теоремой геометрии Евклида и, обратно,
всякая теорема геометрии Евклида, говорящая о фигурах внутри данного круга, является
теоремой геометрии Лобачевского. Это общее утверждение доказывается проверкой
справедливости в модели аксиом геометрии Лобачевского. Поэтому, если в геометрии
Лобачевского имеется противоречие, то это же противоречие имеется и в геометрии
Евклида.

Далее, всякая теорема геометрии Лобачевского описывает в модели Клейна некоторые факты, имеющие место внутри круга. Именно факты, если мы берем не абстрактный круг, а реальный круг и реальные хорды и интерпритируем теоремы как утверждения об этих реальных вещах, взятые, конечно, с той точностью, которая доступна для наших построений. Таким образом, геометрия Лобачевского в модели Клейна имеет вполне реальный смысл с той точностью, с какой вообще имеет смысл геометрия в применении к реальным телам.

3) Отображение геометрии Лобачевского на псевдосфере (интерпретация

Бельтрами).

Эудженио Бельтрами (1835-1900) нашел модель для неевклидовой геометрии, показав
в своей работе «Опыт интерпретации неевклидовой геометрии» (1868г.), что наряду с

плоскостями, на которых осуществляется евклидова геометрия, и сферическими поверхностями, на которые действуют формулы сферической геометрии, существуют и такие реальные поверхности, названные им псевдосферами (рис.23), на которых частично осуществляется планиметрия Лобачевского.

Известно, что сферу можно получить вращением полуокружности вокруг своего
диаметра. Подобно тому, псевдосфера образуется вращением линии FCE, называемой

трактрисой, вокруг ее оси АВ (рис.22). Итак,

псевдосфера - это поверхность в

обыкновенном реальном пространстве, на котором выполняются многие аксиомы и
теоремы неевклидовой планиметрии

Лобачевского. Например, если начертить на
псевдосфере треугольник, то легко

усмотреть, что сумма его внутренних углов

F

A D

C

E

N B

меньше 2π. Сторона треугольника - это дуги псевдосферы, дающие кратчайшее расстояние
между двумя ее точками и выполняющие ту же роль, которую выполняют прямые на
плоскости. Эти линии, называемые геодезическими, можно получить, зажав туго натянутую
и политую краской или мелом нить, в вершинах треугольника. Таким образом, для
планиметрии Лобачевского была найдена реальная модель - псевдосфера. Формулы новой
геометрии Лобачевского нашли конкретное истолкование. Ими можно было пользоваться,
например, для решения псевдосферических треугольников. Псевдосферу, которую мы
назвали «моделью», Бельтрами назвал интерпретацией (истолкованием) неевклидовой

геометрии на плоскости. Впоследствии, с развитием и введением в математику аксиоматического метода, под интерпретацией (или моделью) некоторой системы аксиом стали понимать любое множество объектов, в которых данная система аксиом находит свое реальное воплощение, то есть, любая совокупность объектов, отношение между которыми полностью совпадают с теми, которые описываются в данной системе аксиом. При этом полагают, что если для некоторой системы аксиом существует или можно построить интерпретацию (модель), то эта система аксиом непротиворечива, то есть, не только сами аксиомы, но и любые теоремы, на них логически основывающиеся никогда не могут противоречить одна другой.

28

Приложение 6. Практическое применение геометрии Лобачевского

Жить - значит чувствовать, наслаждаться жизнью,
чувствовать непременно новое, которое напоминало бы нам,

что мы живём.

Н.И. Лобачевский

Н.И. Лобачевского справедливо сравнивали с Колумбом - открывателем новых

земель, и с Коперником, преобразовавшим взгляды его современников на Вселенную,
лишившим Землю ее привилегированного неподвижного положения в центре мира [2-с.3].
Где применяется геометрия Н.И. Лобачевского? Вот вопрос, который часто
приходится слышать от учащихся. Сам Лобачевский применил свою геометрию к
вычислению определённых интегралов. В теории функций комплексного переменного
геометрия Лобачевского помогла построить теорию автоморфных функций. Связь с
геометрией Лобачевского была здесь отправным пунктом исследований Пуанкаре, который
писал, что «неевклидова геометрия - ключ к решению всей задачи». Геометрия Лобачевского
находит применение также в теории чисел, в её геометрических методах, объединённых
под названием «геометрия чисел». Была установлена тесная связь геометрии Лобачевского
с кинематикой (специальной теории относительности). Эта связь основана на том, что
равенство, выражающее закон распространения света x² + y² + z² = c²t² при делении на t², т. е.
для скорости света, даёт vx² + vy² + vz² = c² - уравнение сферы в пространстве с

координатами vx, vy, vz - составляющими скорости по осям х, у, z (в «пространстве

скоростей»). Преобразования Лоренца сохраняют эту сферу и, так как они линейны, переводят прямые пространства скоростей в прямые. Следовательно, согласно модели Клейна, в пространстве скоростей внутри сферы радиуса с, т. е. для скоростей, меньших скорости света, имеет место геометрия Лобачевского.

Замечательное приложение геометрия Лобачевского нашла в общей теории
относительности. Например, Земля создает вокруг себя искривленное пространство - время,
которое называют полем тяготения. Геометрия искривленных пространств задается не
аксиома как у Евклида, а способом определения расстояния между близкими точками,
линейным элементом s. Изменяются метрические коэффициенты - изменяется s.

Н.И. Лобачевский проводил астрономические эксперименты. Он измерял сумму углов треугольника, вершинами которого были астрономическая обсерватория и две далёкие звезды. Но только учитывая эффекты теории относительности, можно было правильно поставить эксперименты.

В 1910 году хорватский математик Владимир Варичак (1856 - 1942) указал на аналогию между сложением релятивистских скоростей и сложением отрезков на плоскости Лобачевского.

Более глубокое исследование выполнил российский геометр и механик А.П.
Котельников. В 1923 году он ввел понятие пространство скоростей релятивистской

механики, оказавшееся точнейшей реализацией геометрии Н.И. Лобачевского. Пока
скорости малы по сравнению со скоростью света, странная арифметика: «любая скорость» +
«скорость света» = «скорость света». Реализуется такая арифметика именно в геометрии

Н.И. Лобачевского.

29

Следующий шаг сделал российский физик Н.А. Черников, который применил геометрию Н.И. Лобачевского в физике высоких энергий. Он показал, что формулы векторы скоростей складываются как обычные векторы в евклидовом пространстве. Но в области больших скоростей начинается

длины окружности, площади круга, дефекта углов треугольника в геометрии Н.И.
Лобачевского точно соответствуют выражениям для импульса, кинетической энергии
релятивистской частицы и формула E = mc² для дефекта массы в частной теории

относительности. Особенно эффективно пространство скоростей работает при решении задач о столкновениях частиц.

В расчетах современных синхрофазотронов используется формулы геометрии

Н.И. Лобачевского. Синхрофазотрон - это ускоритель заряженных частиц. Простейший ускоритель электронов есть в каждом доме. Это телевизор, вернее его основная деталь -
электронно-лучевая трубка или кинескоп. В телевизионной трубке электроны ускоряются до энергии 20 кэВ 9 (килоэлектронвольт). Для решения исследовательских задач такой энергии не хватит, поэтому строят большие ускорители. Сегодня удалось «поймать» самые мелкие частицы, из которых состоит материя - кварки.

Таким образом, «воображаемая геометрия», открытая в 19 веке замечательным

русским учёным Н.И Лобачевским до сих пор сохраняет своё значение для науки и практики. Его геометрия находит применение при изучении сверхбольших (космических) пространств. Недаром он назвал ее «пангеометрией», т. е всеобщей геометрией. Идеи Н.И. Лобачевского широко используются современными физиками при построении общей геометрической картины «физического мира».

Ученые Земли уже полвека пытаются разрешить загадку, в каком мире мы живем? Какой геометрией он описывается? От этого знания зависит судьба всей вселенной. Сейчас вселенная расширяется, но если масса вещества всей вселенной превысит определенный порог, то расширение сменится сжатием, то есть пространство будет искривлено. Таким образом, что луч света, однажды покинув одну точку, вернется обратно, а это значит, мы живем в мире эллиптической геометрии Римана. Если массы не хватит, то вселенная будет расширяться неограниченно, а значит, мы живем в мире гиперболической геометрии Лобачевского.

Геометрия Лобачевского продолжает разрабатываться многими геометрами; в ней изучаются: решение задач на построение, многогранники, правильные системы фигур, общая теория кривых и поверхностей и т. п. Ряд геометров развивали также механику в пространстве Лобачевского. Эти исследования не нашли непосредственных применений в механике, но дали начало плодотворным геометрическим идеям. [1-c.26]

Рис. 20

30

Приложение 7. Влияние открытия Лобачевского на развитие науки.

«Лобачевский сломал лед,
сковывавший основы геометрии».

Каган

Известный английский математик Уильям Клиффорд назвал Лобачевского «Коперником геометрии». Труды Лобачевского по алгебре, математическому анализу, теории вероятностей, механике, физике, астрономии до сих пор не потеряли своей актуальности.

1. Геометрия, созданная Н.И. Лобачевским, произвела подлинную революцию в науке
вообще и в геометрии, в частности. Основы геометрии, считавшиеся в течение двух с
лишнем тысяч лет незыблемыми и единственно возможными, оказались в процессе развития
науки подлежащими проверки, уточнению на опыте и, следовательно, доступными
изменениям.

2. Внося изменения в аксиоматику, математики стали строить новые геометрии.
Геометрия получила широкое развитие, выросла в величественное здание, в котором
евклидова геометрия составляет лишь фундамент или даже часть фундамента.
3. Геометрия Н.И. Лобачевского послужила основой, на которой сложились современные научные взгляды на геометрию. Геометрия теперь рассматривается теперь как чисто математическая наука, которая строится на основе немногих аксиом путем логических рассуждений. Геометрия Н.И. Лобачевского явилась первым образцом такого строго логического построения научной дисциплины.

4. Создание геометрии Н.И. Лобачевского показало, что геометрия Евклида не является
единственно возможной и абсолютно точно выражающей свойства реального пространства.
Поэтому геометрия должна рассматриваться не как абсолютно точная геометрия реального пространства, а как приближенная, схематизированная модель геометрических форм и отношений этого пространства.

5. Геометрия Н.И. Лобачевского привела к пересмотру самого понятия геометрии в
сторону его расширения. Геометрия рассматривается теперь свойственной не только
пространству. Можно строить геометрии различных множеств объектов, например, геометрию прямых, геометрию кругов, шаров и т. д.

6. Создание геометрии Н.И. Лобачевского привело к установлению современных
взглядов на обоснование геометрии и других математических дисциплин и построение их
аксиоматическим путем. Теперь многие математические науки строятся по схеме Л Н.И.
Лобачевского: в основании науки кладется некоторая система аксиом, т. е. основных
положений, принимаемых без доказательств, но полученных из опыта путем некоторого
абстрагирования, отвлечения от второстепенных в данном случае свойств. Все предложения
данной науки строятся строго логическим путем без обращения к интуиции и наглядности.

7. Идеи Н.И. Лобачевского проникли в космологию - науку о происхождении и

современном состоянии космоса. Одной из основных задач современной космологии является решение вопроса о том, какая геометрия на данном уровне научных знании отражает геометрические свойства всего мирового пространства.

8. Идеи Н.И. Лобачевского глубоко проникли и в механику. Оказалось, что при изучении движений сверхбольших скоростей, т. е. скоростей порядка скорости света, обычная механика должна быть заменена новой механикой. Необходимость новой механики в неевклидовом пространстве была замечательно предугадана Н.И. Лобачевским в заключительной части его работы: « О началах геометрии». Новая механика находилась в таком же отношении к классической (ньютоновской), как геометрия Н.И. Лобачевского к геометрии Евклида. Таким образом, современные теории механики мирового пространства строятся по замыслу Н.И. Лобачевского.

9. Геометрия Н.И. Лобачевского полностью разрешила вопросы внутренней геометрии
поверхностей отрицательной кривизны, т. е. поверхностей типа псевдосферы.

31