Проект "Геометрия у реки"

• 1 слайд

  
  1
  Презентацию подготовила учитель математики
  Митрофанова Александра Федоровна
  Mitrofanova Aleksandra Fedorovna
  МОУ – СОШ с. Сокольниково,
  Можайский район, Московская область
  Контактный телефон: [phone]
  Адрес электронной почты: [e-mail]
  
  
  
  
  

• 2 слайд

  
  2
  А знаете, многие ученики даже и не подозревали, как важна геометрия.
  
  Нам вместе удалось увидеть привлекательные стороны геометрии у реки.
  
  Зная геометрию, можно измерить высоту дерева несколькими способами, не залезая на него; измерить скорость, ширину и глубину реки, находясь на берегу, измерить крутизну склона, увидеть геометрию в листьях деревьев, будут ли волны от камня, брошенного в воду быстрой реки иметь форму круга или же форма будет вытянутой в направлении тени.
  Оказывается, зная геометрию, можно творить чудеса!!!
  

• 3 слайд

  Природа говорит языком математики:
  буквы этого языка – круги, треугольники
  и иные математические фигуры.
  Галилей
  

• 4 слайд

  Участники проекта - обучающиеся 8 класса
  
  Для решения поставленных задач 8 класс разделился на группы.
  

• 5 слайд

  Геометрия у реки
  Проект выполнили обучаюшиеся 7 класса: ВоронинаН., Коровина А., Ермолаев К., Маркова С., Морозов Е., Попова С., Пынзару К., Федотов Г., Цукерман А., Шульц А., Яровова У.
  Проект называется
  «Геометрия у реки»
  5
  

• 6 слайд

  Актуальность проекта
  Учебный проект рассматривает возможность
  применения учебных знаний в походе.
  
  Задания, данные в проекте, помогают учащимся
  применять на практике основы геометрии.
  6
  

• 7 слайд

  Гипотеза
  Можно ли воспользоваться приобретёнными
  геометрическими знаниями на практике, например в походе?
  р. Берега впадает в р. Протву (устье р. Береги)
  Можно ли воспользоваться приобретёнными
  геометрическими знаниями на практике, например в походе?
  7
  

• 8 слайд

  Цель проекта
  Применить полученные знания по геометрии на практике.
  
  8
  

• 9 слайд

  Задачи исследования:
  
  
  С помощью геометрии выполнить задания:
  
  измерить высоту дерева;
  измерить ширину рек Береги и Протвы;
  измерить глубины рек;
  определить крутизну склона;
  определить скорость течения рек;
  рассмотреть круги на воде;
  геометрия листьев;
  оформить результаты исследования в виде презентации.
  
  
  
  
  
  9
  

• 10 слайд

  Несколько дней мы ездили и ходили в походы для проведения исследований
  
  
  
  
  
  
  
  
  10
  

• 11 слайд

  И всегда нам мешал дождь
  
  
  
  
  
  
  
  И всегда нам мешал дождь
  11
  

• 12 слайд

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Измерение высоты дерева
  Прибрежная растительность рек Протвы и Береги очень разнообразна.
  По берегам рек растет много разных деревьев и кустарников.
  Существует множество различных способов измерения высоты дерева, не срубая его и не взбираясь на верхушку, при помощи весьма незамысловатых приборов и даже без всяких приспособлений.
  

• 13 слайд

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Измеряли высоту дерева при
  помощи простого булавочного прибора.
  
  
  Измерение высоты дерева
  13
  

• 14 слайд

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Измерение высоты дерева
  Приближаясь к дереву или удаляясь от него, нашли такое место А,
  из которого, глядя на булавки А1 и С1 , увидели, что они показывают верхушку
  С дерева: это значит, что продолжение гипотенузы А1С1 проходит через
  точку С. Тогда, очевидно, расстояние А1В = СВ, так как угол А1=450.
  Следовательно, измерив расстояние А1В и прибавив ВD, т.е. возвышение
  А1A глаза над землёй, получили искомую высоту дерева.
  Схема применения булавочного прибора.
  А1
  С1
  С
  В1
  В
  А
  D
  

• 15 слайд

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Измерение высоты дерева
  .
  15
  Высота дерева
  16,5 м
  

• 16 слайд

  Измерение высоты дерева
  
  По другому способу обошлись даже и без булавочного прибора. Здесь нужен шест, который воткнули в землю так, чтобы выступающая часть как раз равнялась росту одного из учеников. Место для шеста выбрали так, чтобы, лежа, как показано на рисунке, видели верхушку дерева на одной прямой линии с верхней точкой шеста. Так как треугольник АВ1С1 – равнобедренный и прямоугольный, то угол А=450 и, следовательно, АВ равно ВС, т.е. искомой
  высоте дерева.
  
  А
  С1
  В1
  С
  В
  

• 17 слайд

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Измерение высоты дерева
  
  17
  hдерева = 16,5 м
  

• 18 слайд

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Измерение высоты дерева
  Фото деревьев
  hдерева = 16,5 м
  18
  

• 19 слайд

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Измерение высоты дерева
  
  19
  Самый лёгкий и самый древний способ – без сомнения, тот, которым греческий мудрец Фалес за шесть веков до нашей эры определил в Египте высоту пирамиды. Он воспользовался её тенью.
  Втыкаем вертикально шест в землю. Измеряем рулеткой длину шеста и его тени.
  Обозначаем величину шеста за А1В1, а длину тени, которую он отбрасывает за В1С1. После этого измеряем величину тени от дерева AB, допустим это будет BC. Вычислим искомую высоту дерева АВ из пропорции: AB : А1В1 = BC : В1С1
  Т.е. высота дерева во столько же раз больше высоты шеста, во сколько раз тень дерева длиннее тени шеста. Это вытекает, конечно, из геометрического подобия треугольников АВС и А1В1С1.
  Надо только следить, чтобы шест стоял строго вертикально и не допускать погрешности в измерениях.
  

• 20 слайд

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Измерение высоты дерева
  
  20
  
  

• 21 слайд

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Измерение высоты дерева
  
  21
  
  В один из солнечных дней решили измерить высоту дерева способом Фалеса Милетского, то есть по длине тени, отбрасываемой деревом.
  В качестве мерки взяли одноклассника. Его рост равен 1,68 м. Измерив, его тень мы получили результат – 3,6 м. Длина тени от дерева равнялась 39,9 м.
  Из пропорции х : 1,68 = 39,9 : 3,6, получили высоту дерева 18,62м.
  39,9 м
  3,6 м
  1,68 м
  

• 22 слайд

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Измерение высоты дерева
  
  Вывод:
  применяя различные способы измерения высоты дерева, используя различные инструменты для измерения высот, можно находить высоту различных объектов: здания, магазина, школы, частного дома.
  
  22
  

• 23 слайд

  Определение ширины реки
  Не переплывая реки, измерить её ширину – так же просто для знающего геометрию, как определить высоту дерева, не взбираясь на вершину. Из многих способов решения этой задачи мы использовали три.
  I способ:
  Ширина реки достаточно точно может быть определена способом построения на берегу реки двух равных прямоугольных треугольников.
  

• 24 слайд

  
  Определение ширины реки
  Выбрав на противоположном берегу какой-нибудь приметный предмет А, 
  расположенный у самой воды, вбиваем против него колышек В.
  Вдоль берега, перпендикулярно к линии АВ, отмеряем рулеткой определенное
  расстояние ( 20 м) и вбиваем колышек С. 
  На продолжении линии ВС  через 20 м, вбиваем еще один колышек Д.
  От колышка Д в направлении ДЕ, перпендикулярном к линии 
  ДВ, надо идти от реки до тех пор, пока колышек С не окажется на одной линии
  с предметом А. Так как треугольники ABC = ЕДC, то ширина реки будет равна
  расстоянию ДЕ минус ВК.
  
   Д
  C
  Е
  A
  В
  К.
  20м
  20м
  

• 25 слайд

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Измерение высоты дерева
  .
  25
  20м
  20м
  р. Протва
  10,5м
  
  

• 26 слайд

  
  Определение ширины реки
  
  р. Берега
  Ширина 6,5м
  26
  

• 27 слайд

  
  Определение ширины реки
  
  
   Д
  C
  Е
  A
  В
  II способ можно видоизменить: отмерить на прямой BD не равные расстояния, а одно в несколько раз меньше другого.
  
  Мы взяли DC в четыре раза меньше BС, а далее поступают как в I способе: по направлению DE, перпендикулярному к DB, отыскивают точку E, из которой веха C кажется покрывающей точку А. Но теперь уже DE не равно АB, а меньше этого расстояния в четыре раза: треугольники ABC  и ЕDC здесь не равны, а подобны. Из подобия треугольников следует пропорция АB : DE = ВС : СД = 4 : 1. Значит, измерив DE и умножив результат на 4, получим расстояние АВ, а отняв KВ, узнаем искомую ширину реки. Этот способ требует меньше места и потому удобнее для выполнения, чем предыдущий.
  К
  4
  1
  

• 28 слайд

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Определение ширины реки
  .
  
  28
  1
  4
  

• 29 слайд

  III способ:
  Определение ширины реки
  1. На другом берегу, у самого русла, мы заметили предмет А (пенек).
  2. Встали напротив этого предмета перпендикулярно течению реки.
  3. Вбили на этом месте колышек.
  4. Передвигались вдоль русла реки до тех пор, пока угол между мной и предметом А не будет равен 45°. ( Это проделали с помощью будильника: линия «9 часов – 3 часа» параллельна течению реки, а линия «центр циферблата и середину между 10 и 11 часами» - 45° ).
  5. Итак, расстояние, которое мы прошли от колышка равно ширине реки. На схеме представлены все объяснения.
  

• 30 слайд

  
  Определение ширины реки
  Ширина р.Береги в д.Бычково – 20,6м
  Глубина – 2,45м
  

• 31 слайд

  
  Определение ширины реки
  Ширина р.Синица в
  д.Ивакино 1,5м
  
  

• 32 слайд

  
  Определение ширины реки
  Вывод: представили три легко выполнимых приёма, при помощи, которых всегда возможно, не переправляясь на другой берег, измерить не только ширину реки, но и расстояние до любого недоступного объекта с вполне удовлетворительной точностью.
  
  

• 33 слайд

  Определение глубины реки
  Мы измеряли глубину реки с берега с помощью удочки. К длинному удилищу привязали шнур, размеченный лоскутами материи через каждые 20 см. На свободном конце шнура подвесили небольшой груз.
  
  

• 34 слайд

  Определение глубины реки
  р. Протва
  2,45м
  34
  

• 35 слайд

  Определение глубины реки
  35
  р. Берега
  2,15м
  

• 36 слайд

  Определение глубины реки
  
  36
  Задача древних индусов
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Над озером тихим,
  С полфута размером, высился лотоса цвет.
  Он рос одиноко.
  И ветер порывом отнёс его в сторону.
  Нет боле цветка над водой,
  Нашёл же рыбак его ранней весной
  В двух футах от места, где рос.
  Итак, предложу я вопрос:
  Как озера вода здесь глубока?
  Нашли еще один способ измерения глубины реки.
  У древних индусов был обычай задачи и правила предлагать в стихах. Вот одна из таких задач:
  

• 37 слайд

  Определение глубины реки
  
  
  37
  

• 38 слайд

  Определение глубины реки
  
  
  38
  Растение возвышалось над водой на 0,5м. Перегнули его так, чтобы его надводная часть коснулась воды. Тогда расстояние от стебля (точки С) до точки В, касания с водой, составило 1,5м.
  Рассмотрим прямоугольный треугольник BDС. Обозначим искомую глубину реки СD через х. Тогда, по теореме Пифагора, имеем:
  BD² =DС2+СВ2, значит BD² =х2+СВ2
  ВD= х+ 0,5, расстояние СВ=1,5м, получим
  (х+ 0,5)2=х2 + 1,52,
  х2+х+0,25=х2+2,25, отсюда х=2
  Ответ: искомая глубина реки составила 2м.
  
  0,5
  1,5
  Х+0,5
  х
  Близ берега реки мы отыскали водное растение, которое
  доставило нам реальный материал для практической задачи:
  без всяких приспособлений, не замочив даже рук, определить
  глубину водоёма в неглубоком месте.
  

• 39 слайд

  Определение глубины реки
  
  
  39
  Вывод: с помощью двух способов измерили глубины рек.
  Определили, что средняя глубина рек
  Протвы ≈ 2,45 м,
  Береги ≈ 2,15 м
  
  
  

• 40 слайд

  Определение крутизны склона
  Крутизну склона, т. е. угол наклона поверхности склона к горизонтальной плоскости, удобнее всего измерять с помощью эклиметра — несложного инструмента в виде транспортира с отвесом, приспособленного для измерения на местности вертикальных углов. Мы использовали транспортир с отвесом.
  
  

• 41 слайд

  Определение крутизны склона
  I cпособ: Для измерения крутизны склона прибор должен занять положение, параллельное склону, при этом отвес покажет некую величину β. Для вычисления угла α следует вычесть из 90о эту, полученную путем измерения, величину β, тогда α = 90о- β
  

• 42 слайд

  Определение крутизны склона
  
  Крутизна склона 170
  42
  

• 43 слайд

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Определение крутизны склона
  .
  
  43
  Крутизна склона 200
  

• 44 слайд

  Определение крутизны склона
  II cпособ: Крутизна склона приближенно может быть определена измерением его поверхности шагами. Подняв записную книжку до уровня глаз и держа ее горизонтально, замечают на склоне точку В, в которую попадает луч зрения, скользящий вдоль края книжки. Расстояние АВ измеряют парами шагов. Частное от деления 60 градусов на количество пар шагов, пройденных от точки стояния А до точки В, расположенной на склоне на уровне глаз измеряющего, покажет примерную крутизну склона в градусах.
  
  
  
  Формула для вычисления крутизны склона: α =60/n, где n - количество пар шагов.
  

• 45 слайд

  Определение крутизны склона
  
  Крутизна склона 200
  

• 46 слайд

  Определение скорости течения реки
  
  20м
  В
  D
  А
  С
  Для измерения скорости реки, мы выбрали участок без растительности на поверхности воды, приготовили четыре колышка, пластмассовую бутылку (которая наполнена водой настолько, чтобы горлышко бутылки находилось на поверхности воды).
  Выбрали 20 метровый отрезок АВ, поставили два колышка.
  

• 47 слайд

  Определение скорости течения реки
  На линиях, перпендикулярных к АВ, ставят еще две вехи С и D. Одна из девочек с часами становится позади колышка D. Другая – с пластмассовой бутылкой заходит несколько выше вехи А, бутылку бросает в воду, а сама становится позади вехи С. Обе смотрели вдоль направлений СА и DВ на поверхность воды. В тот момент, когда бутылка пересекает продолжение линии СА, первый наблюдатель взмахивает рукой. По этому сигналу второй наблюдатель засекает время первый раз и еще раз, когда бутылка пересечет направление DВ.
  20м
  В
  D
  А
  С
  

• 48 слайд

  Определение скорости течения реки
  Так вычислили скорость течения рек:
  48
  
  

• 49 слайд

  Круги на воде
  
  49
  Вы не раз, конечно, с любопытством рассматривали те круги, которые порождает брошенный в спокойную воду камень. И вас, без сомнения, никогда не затрудняло объяснение этого поучительного явления природы: волнение распространяется от начальной точки во все стороны с одинаковой скоростью; поэтому в каждый момент все волнующиеся точки должны быть расположены на окружности.
  Но как обстоит дело в воде текучей? Должны ли волны от камня, брошенного в воду быстрой реки, тоже иметь форму круга, или же форма их будет вытянутая?
  

• 50 слайд

  Круги на воде
  
  50
  

• 51 слайд

  Круги на воде
  
  51
  На первый взгляд может показаться, что в текучей воде круговые волны должны вытянуться в ту сторону, куда увлекает их течение: волнение передается по течению быстрее, чем против течения и в боковых направлениях. Поэтому волнующиеся части водной поверхности должны, казалось бы, расположиться по некоторой вытянутой замкнутой кривой, т.е. не по окружности.
  В действительности, однако, это не так. Бросая камни в самую быструю речку, вы можете убедиться, что волны получаются строго круговые — совершенно такие же, как и в стоячей воде. Почему?
  
  
  
  Будем рассуждать так. Если бы вода не текла, волны были бы круговые. Какое же изменение вносит течение? Оно увлекает каждую точку этой круговой волны в направлении, указанном стрелками, причем все точки переносятся по параллельным прямым с одинаковой скоростью, т. е. на одинаковые расстояния. А «параллельное перенесение» не изменяет формы фигуры.
  

• 52 слайд

  Круги на воде
  
  52
  

• 53 слайд

  Круги на воде
  
  53
  Действительно, в результате такого перенесения точка 1 окажется в точке 1' , точка 2 - в точке 2' и т. д.; четырехугольник 1234 заменится четырехугольником 1'2'3'4' , который равен ему, как легко усмотреть из образовавшихся параллелограммов 122'1' , 233'2' , 344'3' и т. д.
  
  Взяв на окружности не четыре, а больше точек, мы также получили бы равные многоугольники; наконец, взяв бесконечно много точек, т. е. окружность, мы получили бы после параллельного пересечения равную окружность.
  

• 54 слайд

  Круги на воде
  
  54
  Вот почему переносное движение воды не изменяет формы волн — они и в текучей воде остаются кругами. Разница лишь в том, что на поверхности озера круги не перемещаются (если не считать того, что они расходятся от своего неподвижного центра); на поверхности же реки круги движутся вместе со своим центром со скоростью течения воды.
  

• 55 слайд

  Геометрия листьев
  
  55
  
  У липы от ее корней разрослась поросль. Сорвите лист и заметьте, как он велик по сравнению с листьями родительского дерева, - особенно с теми, что выросли на ярком солнце. Теневые листья, очевидно, возмещают недостаток света размерами своей площади, увеличивающей солнечные лучи. Разобраться в этом – задача ботаника. Но и геометр может сказать здесь свое слово: он может определить, во сколько именно раз площадь листа поросли больше площади листа родительского дерева.
  
  Оба листа различные по величине, имеют все же одинаковую или почти одинаковую форму: другими словами – это фигуры, геометрически подобные. Площади таких фигур, мы знаем, относятся, как квадраты их линейных размеров. Значит, определив, во сколько раз один лист длиннее или шире другого, мы простым возведением этого числа в квадрат узнаем отношение их площадей. Пусть лист поросли имеет длину 15см, а лист с ветви дерева – только 4см; отношение линейных размеров , и, значит, один больше другого по площади в ,т.е. в 14 раз.
  
  1 пример
  

• 56 слайд

  Геометрия листьев
  
  56
  Куда не глянь - всюду геометрия, геометрия даже в листьях.
  
  15см
  4см
  Поросль
  

• 57 слайд

  Геометрия листьев
  
  57
  2 пример
  Рассмотрим листья одуванчика. У одуванчика, выросшего в тени, лист имеет длину 31 см. У другого экземпляра, выросшего на солнцепеке, длина листовой пластинки всего 3,3см.
  Мы решили сравнить их площади и задали себе вопрос: «Во сколько примерно раз площадь первого листа больше, чем площадь второго.
  Для решения этой проблемы поступаем, как и в предыдущей задаче. Отношение площадей равно:
  
  
  Значит, один лист больше другого по площади в 80-90 раз.
  

• 58 слайд

  Геометрия листьев
  
  58
  3,3см
  31см
  

• 59 слайд

  Геометрия листьев
  
  59
  Если, например, из двух листьев, геометрически подобных по форме,
  
  один длиннее другого на 20%, то отношение их площадей равно
  
  т.е. разница составляет 44%.
  
  А при различии ширины в 40% один лист превышает другой по
  
  площади в
  
  Т.е. почти вдвое.
  
  

• 60 слайд

  Заключение
  60
  
  
  Яков Исидорович Перельман
  

• 61 слайд

  Заключение
  61
  Огромную помощь в наших исследованиях оказала книга «Геометрия на вольном воздухе», автором которой является российский ученый Яков Исидорович Перельман.
  Эта книга написана не столько для друзей математики, сколько для её недругов. Автор предназначает книгу для той категории читателей, которые относятся к геометрии без особого интереса и одушевления.
  

• 62 слайд

  Заключение
  62
  Оказывается, все привлекательные стороны геометрии можно увидеть на вольном воздухе под открытым небом: в лесу, поле, у реки, на дороге,…
  
  Геометрия возникла на основе практической деятельности, поэтому важно знать как при помощи геометрии измерить некоторые величины.
  
  Проект показывает, что геометрия – это не просто школьный предмет, а наука, находящая применение в жизни.
  
  

• 63 слайд

  
   
   
  
  Список литературы и интернет – ресурсов
   
  1. Г.И. Глейзер ,« История математики в школе», Москва ,« Просвещение» ,1982г.
  2. Г.П.Бевз, И.Г.Владимирова ,«Геометрия 7-11класс»,1994г.
  3. Л.И.Звавич, А.Р.Рязановский «Геометрия в таблицах 7-11 классы» Москва.
  Издательский дом «Дрофа» ,1997г.
  4. Б.Г.Зив, В.Н.Мейлер ,«Задачи по геометрии», Москва «Просвещение», 2000г.
  maps.yandex.ru.
  5. Я. И. Перельман «Геометрия на вольном воздухе», Москва, «Астрель», 2007г.
  marshruty.ru›Places/Place.aspx…; Исток реки.
  ru.wikipedia.org›wiki/; Википедия.
  

• 64 слайд