Проект на тему, решение уравнений с параметром графическим способом.

МАОУ города Иркутска Гимназия № 2

Проект на тему:

Преимущество решения уравнений с параметрами графическим способом

Выполнила:

Ученица 10 «В» класса

Конченко Анастасия

Руководитель проекта:

Клыкова Наталья Викторовна

Иркутск

 2018

Паспорт проекта

Название проекта	Преимущество решения уравнений с параметрами графическим способом
Автор проекта	Конченко А.А.
Руководитель проекта	Клыкова Н.В.
Учебный предмет	Алгебра
Тип проекта	Информационный
Тип проекта по предметно-содержательной характеристики	Монопредметный
Сроки реализации проекта	1месяц
Цель проекта	Сделать презентацию ,которая может являться пособием для учащихся при самостоятельном изучении данной темы .Созданная презентация должна привлечь внимание выпускников, учащихся средних классов, увлеченных математикой .Разместить законченный проект в интернете для свободного доступа всех заинтересовавшихся данной темой.
Задачи проекта	·        Изучить тему. ·        Подобрать примеры задач. ·        Создать презентацию. ·        Представить презентацию. Распространить итоговый проект среди заинтересованных лиц, опубликовать в интернете.
Методика исследования	Использование литературы разного типа. Работа на занятиях элективного курса по математике.
Аннотация проекта	Я выбрала эту тему, так как она является неотъемлемой частью  изучения школьного курса алгебры. Готовя данную работу, я ставила цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу.
Практическая значимость проекта	Мой проект поможет понять другим ученикам применение графического метода решения уравнений с параметрами, узнать о происхождении, развитии этого метода. В современной жизни изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами.

Содержание:

Введение.

1.    Параметры. Задачи с параметрами.

1.1.                   Общее представление о задачах с параметрами.

1.2.                   История возникновения уравнений с параметром.

1.3.                   Типы задач с параметрами.

1.4.                   Виды задач с параметрами.

1.5.                   Методы решения уравнений с параметром.

2.    Графический метод.

2.1.                   История возникновения.

2.2. Алгоритм графического решения уравнений с параметром.

Введение.

Затронутая мною тема является актуальной, потому что задачи с параметрами содержатся в заданиях ЕГЭ по математике. Нередко мы, учащиеся не можем справиться с простейшими задачами, содержащими параметры, что свидетельствует об отсутствии у нас навыков решения задач с параметрами. Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений, для каждого из которых должно быть получено решение. Такие задачи предлагаются на едином государственном экзамене и на вступительных экзаменах в вузы .Большинство пособий адресовано абитуриентам, однако начинать знакомиться с подобными задачами нужно намного раньше - параллельно с соответствующими разделами школьной программы по математике. Уравнения с параметрами по праву считаются одними из самых сложных задач в курсе школьной математики. Именно такие задачи и попадают из года в год в список заданий типа B и C на едином государственном экзамене ЕГЭ. Очевидно, что эти задания попали в перечень единых измерительных материалов не случайно, потому что с помощью параметрических уравнений проверяются такие знания и навыки, как формулы элементарной математики и техника владения ими, различные методы решения уравнений и неравенств, аккуратность при вычислении и, главным образом, умение выстраивать правильную логическую цепочку рассуждений. Именно по этим критериям можно выявить уровень логического мышления учащегося.Однако среди большого числа уравнений с параметрами есть те, которые с легкостью могут быть решены графическим способом.

1.   Параметры. Задачи с параметрами.

1.1.                   Общее представление о задачах с параметрами.

Параметр - это независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

Уравнение с параметром - математическое  уравнение, внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров.

Решить задачу с параметром - это значит, для каждого значения параметра найти значения x, удовлетворяющие условию этой задачи.

Уравнение вида называется уравнением, содержащим параметры, где a, b, c, ..., k- параметры, x - неизвестное.

Наличие неизвестных переменных, сложных функций и параметров в формулировке задания может «напугать» учащихся, привести их в замешательство, они начинают опасаться, что от них требуется найти все решения «х» при всех значениях «а». В большинстве задач найти все множество решений невозможно, нас об этом не просят и пытаться это сделать вовсе не нужно. Поэтому при решении заданий с параметрами необходимо четко определить, что, собственно, нужно найти.

1.2.                   История возникновения уравнений с параметром

Задачи на уравнения с параметром встречались уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

В уравнении коэффициенты, кроме параметра a, могут быть и отрицательными.

В алгебраическом трактате Ал-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений с параметром а. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корням», т. е.

2) «Квадраты равны числу», т. е.

3) «Корни равны числу», т. е

4) «Квадраты и числа равны корням», т. е.

5) «Квадраты и корни равны числу», т. е.

6) «Корни и числа равны квадратам», т. е.

Формулы решения квадратных уравнений по Ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи.

1.3.                   Типы задач с параметрами.

С целью облегчения понимания структуры заданий с параметрами и предотвращения «паники» учащихся, выделим 4 типа формулировки заданий с параметрами.

ü Тип I. Задачи, которые необходимо решить для всех значений параметра или для значений параметра из заданного промежутка.

ü Тип II. Задачи, где требуется найти количество решений в зависимости от значения параметра.

ü Тип III. Задачи, где необходимо найти значения параметра, при которых задача имеет заданное количество решений.

ü Тип IV. Задачи, в которых необходимо найти значения параметра, при которых множество решений удовлетворяет заданным условиям.

1.4.                   Виды задач с параметрами.

Теперь выделим различные виды уравнений с параметрами и рассмотрим их подробное решений.

Основные виды уравнений с параметрами:

ü Линейные уравнения

ü Квадратные уравнения

ü Показательные уравнения

ü Тригонометрические уравнения

ü Логарифмические уравнения

ü Системы уравнений

Данные виды уравнений при включении параметров, переменных и неупрощенных выражений порождают бесконечное множество задач с параметрами. Нередко встречаются задания, которые требуют умения комбинировать несколько методов решений.

Итак, приступим к более подробному разбору каждого вида уравнений. Рассмотрим примеры.

      I.            Линейные уравнения

Пусть дано уравнение ax = b. Это уравнение – краткая запись бесконечного множества уравнений с одной переменной .Чтобы решить уравнение при всех a, нужно рассмотреть два случая, когда f(a) = 0, и когда f(a)≠0. 

   II.            Квадратные уравнения

Уравнение называется квадратным, если имеет вид ax^2+bx+c=0,ax^2+bx+c=0, где a,b,c - любые числа (a≠0). При этом надо быть внимательным, если a=0, то уравнение будет линейным, а не квадратным. Поэтому, первым делом при решении квадратного уравнения с параметром, рекомендую смотреть на коэффициент при x^2 и рассматривать 2 случая: a=0 (линейное уравнение); a≠0 (квадратное уравнение). Квадратное уравнение часто решается при помощи дискриминанта или теоремы Виета

III.            Показательные уравнения

После ряда преобразований решение показательных уравнений с параметром чаще всего сводится заменой переменных к квадратному или линейному уравнению. При решении показательных уравнений всегда нужно учитывать, что при замене ax = t, новая переменная t всегда

IV.            Логарифмические уравнения

В первую очередь при решении логарифмических уравнений с параметром следует записать ОДЗ. После нескольких преобразований, как правило, уравнение сведется к более простому. Для успешного преобразования необходимо научиться умело и грамотно использовать свойства логарифмов и методы замены переменной.

   V.            Тригонометрические уравнения

Помимо знания и применения основных тригонометрических формул, для успешного решения тригонометрических уравнений следует учитывать область значений тригонометрических функций. Это значительно облегчает нам решение задачи. Например, уравнения sinx = a и cosx = a имеют решения только при aÎ [1;1], а уравнения tgx = a и ctgx = a имеют решения при всех a.

VI.            Системы уравнений

В процессе решения систем уравнений при некоторых значениях параметра могут возникать уравнения типа 0·x = 0, тогда система будет иметь бесконечно решений или же 0·x = a·0, тогда система вообще не будет иметь решений. Проследим за решением систем уравнений на примерах.

1.5.                   Методы решения уравнений с параметром.

ü  Аналитический - способ прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в уравнении без параметров.

ü  Графический - в зависимости от условия задачи рассматривается положение графика соответствующей квадратичной функции в системе координат.

2.   Графический метод.

График функции — понятие, которое даёт представление о геометрическом образе функции, т. е. это геометрическое место точек плоскости, абсциссы(x) и ординаты (y) которых связаны указанной функцией: точка (x,y)располагается (или находится) на графике функции f тогда и только тогда, когда y=f(x).

Таким образом, функция может быть адекватно описана своим графиком.

Графический метод решение уравнений с параметром на первый взгляд очень прост. Необходимо построить график данной функции, рассечь его прямыми найти точки пересечения и выписать ответ. Однако, он имеет ряд особенностей, основанных на нахождении всех точек данной плоскости, координаты которых удовлетворяют заданному в условии соотношению. При этом используются различные системы координат: (хОу), (хОа), (аОх). Их выбор обусловлен особенностями уравнения и простотой построения графиков.

2.1.                   История возникновения.

Исследование общих зависимостей началось в 14 веке. Средневековая наука была схоластической. При таком характере не оставалось места изучению количественных зависимостей, речь шла лишь о качествах предметов и их связях друг с другом. Но среди схоластов возникла школа, утверждавшая, что качества могут быть более или менее интенсивными (платье человека, свалившегося в реку, мокрее, чем у того, кто лишь попал под дождь)

Французский ученый Николай Оресм стал изображать интенсивность длинами отрезков. Когда он располагал эти отрезки перпендикулярно некоторой прямой, их концы образовывали линию, названную им "линией интенсивностей" или "линией верхнего края» (график соответствующей функциональной зависимости). Оресм изучал даже "плоскостные" и "телесные" качества, т.е. функции, зависящие от двух или трех переменных.

Важным достижением Оресма была попытка классифицировать получившиеся графики. Он выделил три типа качеств: Равномерные (с постоянной интенсивностью), равномерно-неравномерные (с постоянной скоростью изменения интенсивности) и неравномерно-неравномерные (все остальные), а также характерные свойства графиков таких качеств.

Чтобы создать математический аппарат для изучения графиков функций, понадобилось понятие переменной величины. Это понятие было введено в науку французским философом и математиком Рене Декартом (1596-1650). Именно Декарт пришел к идеям о единстве алгебры и геометрии и о роли переменных величин, Декарт ввел фиксированный единичный отрезок и стал рассматривать отношения других отрезков к нему.

Таким образом, графики функций за все время своего существования прошли через ряд фундаментальных преобразований, приведших их к тому виду, к которому мы привыкли. Каждый этап или ступень развития графиков функций - неотъемлемая часть истории современной алгебры и геометрии.

2.2.                   Алгоритм графического решения уравнений с параметром.

При графическом решении уравнения с параметром необходимо:

1.     Найти область определения уравнения, т.е. область допустимых значений неизвестного и параметра, при которых уравнение может иметь решения.

2.     Выразить параметр α как функцию от x:

3.     В системе координат (хОу) построить графики функций и для тех значений х, которые входят в область определения уравнения.

4.     Определить точки пересечения прямой с графиком функции .

Возможны ситуации:

ü  Прямая не пересекает график . Следовательно, при данном значении а исходное уравнение решений не имеет.

ü  Прямая пересекает график в одной или нескольких точках. Следовательно, при данном значении а можно сделать вывод о числе решений исходного уравнения, найти абсциссы точек пересечения и т.д.

5. Записываем ответ