Проект на тему «Софизмы и парадоксы»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

 «Гимназия №4»

ПРОЕКТ

на тему «Софизмы и парадоксы»

(математика)

ученика 9 класса Б

Дубича Евгения Васильевича

Руководитель проекта:

учитель математики

Андросова Елена Анатольевна

Курск 2020

Содержание

Введение                                                                                                       3

1.     Опрос                                                                                                           5

2.     Софизмы                                                                                                      6

2.1. Определение                                                                                           6

2.2. История софизмов                                                                                  7

2.3. Примеры софизмов                                                                                9

2.4. Приемы софистов                                                                                   14

3.     Парадоксы                                                                                                    19

3.1. Определение                                                                                           19

3.2. История парадоксов                                                                               20

3.3. Примеры парадоксов                                                                              21

3.4. Имп-арт                                                                                                  25

Заключение                                                                                                  28

Список использованной литературы                                                            29

Приложение                                                                                                 30

1.                  

«В математических вопросах нельзя пренебрегать даже с самыми малыми ошибками.»

И. Ньютон

Введение

Софизмы и парадоксы – довольно интересная тема для изучения, мое знакомство с ней произошло пару лет назад. На дополнительных занятиях по математике нам показывали примеры софизмов. Мне очень понравилось находить ошибки в решениях, и я захотел изучить этот вопрос подробнее. Выяснилось, что софизмы тесно связаны с парадоксами, поэтому в моем проекте рассматривается и это явление.

Софизмы и парадоксы играли важную роль в истории математики. Они помогли повысить строгость математических рассуждений и способствовали более глубокому пониманию понятий и методов математики. Роль софизмов и парадоксов в развитии математики велика, ведь они влияют на вектор развития этой науки.

Большинство софизмов и парадоксов известны уже давно, и их можно найти в различных сборниках и журналах. Некоторые из них передаются устно из поколения в поколение. Использование софизмов и парадоксов на уроках математики могло бы помочь разнообразить занятия.

Изучение софизмов и парадоксов актуально и по сей день. В наши время софизмы используются повсеместно: от адвоката, пытающегося выиграть дело, до политика, желающего расположить к себе как можно больше избирателей, поэтому очень важно уметь вычислять софизмы, чтобы не быть обманутым, но очень много людей подвержены приемам софистов.

Софизм призван сбить оппонента с его линии размышлений, запутать, втянуть в разбор ошибки, которые не относятся к рассматриваемому предмету. С этой точки зрения софизм выступает как неэтичный способ (и при этом заведомо неправильный) ведения дискуссии.

Парадоксальность — чрезвычайно распространённое качество, присущее произведениям самых разных жанров искусства. В силу своей необычности парадоксальные высказывания, названия, содержания произведений неизменно привлекают к себе внимание людей. Это широко используется в разговорном жанре, в театральном и цирковом искусствах, в живописи и фольклоре. Хороший оратор обязательно использует этот приём в своих выступлениях для поддержания живого интереса слушателей. Комизм большинства анекдотов заключается в описании необычной, оригинальной ситуации.

Цель проекта

Познакомиться с софизмами и парадоксами, а также показать значимость математических софизмов при изучении математики.

Задачи

1.                 Выяснить, что такое софизмы и парадоксы, и чем они отличаются друг от друга

2.                 Привести примеры софизмов и парадоксов

3.                 Научиться находить ошибки в решениях задач и не попадаться на уловки софистов

Методы исследования

1.                 Анкетирование

2.                 Использование литературы и интернет-источников

3.                 Проведение экспериментов

1.     Опрос

Мной был проведен опрос среди 23 учащихся 9 класса:

1.Знаете ли вы, что такое софизм?

1)                Да (17,4%)

2)                Слышал(-а) (34,8%)

3)                Нет (47,8%)

2.Можете ли вы привести пример софизма?

1)                Да (13%)

2)                Нет (87%)

3.Знаете ли вы, что такое парадокс?

1)                Да (21,7%)

2)                Слышал(-а) (69,6%)

3)                Нет (8,7%)

4.Можете ли вы привести пример парадокса?

1)                Да (17,4%)

2)                Нет (82,6%)

На основание проведенного опроса можно сделать вывод о недостаточной осведомленности людей по данному вопросу.

2.                 Софизмы

2.1 Определение

Софизм (греч. - мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка, мудрость) — ложное высказывание, которое, тем не менее, при поверхностном рассмотрении кажется правильным. Софизм основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики.

2.2 История софизмов

Софистами называли группу древнегреческих философов 4-5 века до н.э., достигших большого искусства в логике. В период падения нравов древнегреческого общества (5 век) появляются так называемые учителя красноречия, которые целью своей деятельности считали и называли приобретение и распространение мудрости, вследствие чего они именовали себя софистами. Наиболее известна деятельность старших софистов, к которым относят Протагора из Абдеры, Горгия из Леонтип, Гиппия из Элиды и Продика из Кеоса. Но суть деятельности софистов много больше, чем простое обучение искусству красноречия.

Они обучали и просвещали древнегреческий народ, старались способствовать достижению нравственности, присутствия духа, способности ума ориентироваться во всяком деле.

Но софисты не были учеными. Умение, которое должно было быть достигнуто с их помощью, заключалось в том, что человек учился иметь в виду многообразные точки зрения.

Исторически сложилось, что с понятием софизма связывают идею о намеренной фальсификации, руководствуясь признанием Протагора, что задача софиста - представить наихудший аргумент как наилучший путем хитроумных уловок в речи, в рассуждении, заботясь не об истине, а об успехе в споре или о практической выгоде.

В Греции софистами называли и простых ораторов. Известнейший ученый и философ Сократ поначалу был софистом, активно участвовал в спорах и обсуждениях софистов, но вскоре стал критиковать их учение. Такому же примеру последовали и его ученики (Ксенофонт и Платон).

Философия Сократа была основана на том, что мудрость приобретается с общением, в процессе беседы. Учение Сократа было устным, его и по сей день считают самым мудрым философом.

В наше время ученые продолжают обращаться к софизмам совсем не для того, чтобы удивить кого-то. Человеку свойственно ошибаться, поэтому очень важно, чтобы он умел выявлять свои и чужие ошибки, учился избегать их. Действительно, чем хитрее софизм, чем искуснее замаскирована ошибка, тем больше удовлетворения приносит он тому, кто разгадал его, так как это – маленькое открытие и прекрасная школа культуры математических вычислений.

2.3  Примеры софизмов

 «Пёс»

Мудрец спрашивает у крестьянина: «А что, крестьянин, есть ли у тебя собака?

- Да, есть.

- Есть ли у нее щенята?

- Да, недавно появились на свет.

- Иными словами, получается, что эта собака – мать?

- Именно так, моя собака – мать.

- И эта собака твоя, крестьянин, не так ли?

- Моя, я же тебе сказал.

- Вот, ты сам признал, что твоя мать – собака. Значит, ты – пес.»

Ошибка состоит в том, что здесь заключение не вытекает из принятых посылок. Чтобы убедиться в этом, достаточно слегка переформулировать посылки, не меняя их содержания: "Этот собака принадлежит тебе; она является матерью". Что можно вывести из этой информации? Только высказывание "Эта собака принадлежит тебе, и она является матерью", но никак не "Твоя мать - собака".

«Разные числа»

3 и 4 - это два разных числа, 3 и 4 - это 7, следовательно, 7 - это два разных числа.

Ошибка состоит в том, что в данном внешне правильном и убедительном рассуждении смешиваются или отождествляются различные, нетождественные вещи: простое перечисление чисел (первая часть рассуждения) и математическая операция сложения (вторая часть рассуждения); между первым и вторым нельзя поставить знак равенства, нарушение закона тождества.

«Спичка»

Два раза по два (то есть дважды два) будет не четыре, а три. Возьмем спичку и сломаем ее пополам. Это один раз два. Затем возьмем одну из половинок и сломаем ее пополам. Это второй раз два. В результате получилось три части исходной спички. Таким образом, два раза по два будет не четыре, а три.

Здесь ошибкой является то, что в этом рассуждении смешиваются различные вещи, отождествляется нетождественное: операция умножения на два и операция деления на два - одно неявно подменяется другим, в результате чего достигается эффект внешней правильности и убедительности предложенного "доказательства".

«Софизм Эвбулида»

Что ты не терял, то имеешь. Рога ты не терял. Значит, у тебя рога.

Ошибка состоит в том, что здесь маскируется двусмысленность большей посылки. Если она мыслится универсальной: "Всё, что ты не терял…", то вывод логически безупречен, но неинтересен, поскольку очевидно, что большая посылка ложна; если же она мыслится частной, то заключение не следует логически.

«Все числа равны»

Возьмём два разных числа, такие что: a <b

Тогда существует такое c> 0, что: a + c = b

Умножим обе части неравенства на (a − b), получаем: (a + c)(a − b) = b(a − b)

Раскрываем скобки, имеем: a² + ca − ab − cb = ba − b²

a² + ca − ab = ba − b² + cb

a(a + c − b) = b(a − b + c)

a = b

Ошибка:

По определению: a + c = b

Значит, a + c − b = 0

И выражение a(a + c − b) = b(a + c − b)

Тождественно a ∙ 0 = b ∙ 0.

                        «Катет равен гипотенузе»

C = 90˚, BD - , биссектриса CBA, CK = KA, OK CA,

О - точка пересечения прямых ОК и BD, ОМ АВ, ОL ВС.

Имеем: LВО = МВО, ВL = ВМ, ОМ = ОL = СК = КА,

КОА = ОМА (ОА - общая сторона, КА = ОМ, ОКА и ОМА - прямые),

ОАК = МОА, ОК = МА = СL, ВА = ВМ + МА, ВС = ВL + LС, но ВМ = ВL, МА = СL, и потому ВА = ВС. (Приложение 1)

Рассуждения, о том, что катет равен гипотенузе, опирались на ошибочный чертеж. Точка пересечения прямой, определяемой биссектрисой ВD и серединного перпендикуляра к катету АС, находится вне треугольника АВС.

«Один рубль не равен ста копейкам»

Если a=b, c=d, то ac=bd.

 Применим это положение к двум очевидным равенствам

1 р.=100 коп, (1)

 10р.=10*100 коп. (2)

перемножая эти равенства почленно, получим

 10 р.=100000 коп. (3)

и, наконец, разделив последнее равенство на 10 получим, что

1 р.=10 000 коп.

таким образом, один рубль не равен ста копейкам.

Здесь ошибка заключается в нарушении правил действия с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями.

Действительно, перемножая равенства (1) и (2), мы получим не (3), а следующее равенство 10 р.  =100 000 коп., которое после деления на 10 дает

1 р.  = 10 000 коп., а не равенство 1р=10 000 к, как это записано в условии софизма.

  «Дважды два равно пяти»

Обозначим 4=а, 5=b, (a+b)/2=d. Имеем: a+b=2d, a=2d-b, 2d-a=b. перемножим два последних равенства по частям. Получим: 2da-a∙b. Умножим обе части получившегося равенства на –1 и прибавим к результатам d*d. Будем иметь: a 2-2da+d2=b2 -2bd+d2, или (a-d)(a-d)=(b-d)(b-d), откуда a-d=b-d и a=b, т.е. 2*2=5

Ошибка состоит в том, что из равенства квадратов двух чисел не следует, что сами эти числа равны, они могут быть противоположными.

«Бесконечный шоколад»

Несколько лет назад в интернете были очень популярны видео, в которых авторы разрезали плитку шоколада и путем нехитрых перестановок получали целую плитку шоколада и еще один лишний кусочек:

Я провел эксперимент, в ходе которого выяснилось, что нашим мечтам о сладкой жизни, к сожалению, не суждено сбыться.

Измерим площадь плитки шоколада до манипуляций: S1 = 103,68 см²

Измерим площадь плитки шоколада после получения лишнего кусочка: S2 = 101,52 см²

S1 – S2 = 2,16  см², что равняется площади лишнего кусочка. Соответственно, подобные видео полностью подпадают под определение софизма. (Приложение 2)

Приметы

Я также предположил, что многие приметы похожи на софизмы, так как выводы в них ошибочны и получены при использовании неверной логики. Например, примета: «Нельзя мыть голову перед экзаменом – к неудаче». Если подумать, понимаешь, что следствие: «неудача» не вытекает из поступка: «помыть голову перед экзаменом». Однако у кого-то совпала грязная голова с удачным экзаменом, и он начал верить, что именно это ему помогло, но ни в коем случае не его знания.

Но все же приметы будет правильнее отнести к паралогизмам, так как подобные ошибки в рассуждениях вряд ли были допущены намеренно.

Паралогизм (др.-греч. παραλογισμός — ложное умозаключение) — случайная, неосознанная или непреднамеренная логическая ошибка в мышлении (в доказательстве, в споре, диалоге), возникающая при нарушении законов или правил логики и приводящая к ошибочному выводу.

2.4 Приемы софистов

На основе изученных софизмов можно выделить основные приемы софистов, которые можно использовать при создании собственного софизма, а также попробуем найти, где они могут использоваться в современном мире:

1. Влияние ассоциаций.

Один из самых старых принципов психологии заключается в том, что если два события происходят близко друг к другу во времени и/или пространстве, то в человеческом сознании между ними формируется связь. Поэтому, когда происходит одно из этих событий, человек начинает ожидать, что произойдет и второе. Этот принцип широко используется в области политики, особенно для создания эффекта ассоциированной вины.

Допустим, вы читаете в газете, что серийный убийца поддерживает кандидата в президенты. Такая поддержка повредит кандидату, даже если он не хотел ее и никак не способствовал ее получению.

2. Подтасовка или сокрытие информации.

Подтасовка или сокрытие информации — это метод убеждения путем умолчания об информации, свидетельствующей в пользу нежелательной позиции.

Недавно в телевизионной рекламе автомобильная компания сравнивала свою машину с конкурирующей маркой. Рекламодатели подчеркивали, что их машина расходует меньше бензина и стоит дешевле. Но как обстоит дело с характеристиками, о которых они не упомянули? Какая из машин реже требует ремонта, имеет более удобные сиденья или быстрее набирает скорость? А как насчет других марок автомобилей? Может быть, существует еще какая-то марка, не упомянутая в рекламе, которая превосходит рекламируемую по всем этим показателям? При рассмотрении информации, предназначенной для убеждения, обязательно учитывайте не только высказанные, но и невысказанные суждения.

Этот пример еще раз демонстрирует необходимость учитывать недостающие компоненты аргументации.

3. Часть — целое.

Ложные доводы типа «часть—целое» являются обратной стороной той же ошибки. При использовании такого ложного довода оратор или автор предполагает, что суждения, верные для целого, верны также для всех его частей, а суждения, верные для частей, верны также для целого.

Давайте поговорим о каком-нибудь престижном и известном университете. В целом весь контингент студентов имеет высокий интеллект, но неверно было бы считать, что это справедливо для каждого студента, обучающегося в этом университете. Или возьмем нескольких блестящих ученых. Каждый из них является выдающимся ученым, но это не означает, что если мы составим из них комиссию (объединив в одно целое), то эта комиссия будет работать блестяще. У них могут возникнуть разногласия; не исключено, что они будут тратить много времени на то, чтобы произвести друг на друга впечатление и отстоять свои интересы, так что им будет не до работы.

4. Слабые и неподходящие аналогии.

Использование аналогий — это один из основных навыков мышления.

Мы обращаемся к аналогиям, когда сталкиваемся с чем-то новым и стараемся разобраться в нем на основе того, что нам уже известно. Несмотря на то что аналогии — это чрезвычайно полезный инструмент для понимания, их можно использовать неправильно. Два объекта или события являются аналогичными, если у них есть определенные общие свойства. Когда мы рассуждаем с помощью аналогий, мы заключаем, что суждения, верные для одного объекта или события, верны и для другого.

Давайте рассмотрим в качестве примера ситуацию, когда мать решила, что ее ребенку не следует брать уроки игры на пианино, потому что он бросил занятия танцами. Мать использовала следующую аналогию: ребенок бросил один вид творческой деятельности, связанной с искусством; уроки танцев и игры на пианино имеют определенные черты сходства, поэтому ребенок бросит и уроки музыки. Ребенок может бросить музыку или продолжать занятия, но аналогия, которая служит основанием для заключения матери, является очень слабой. Уроки танцев и игры на пианино похожи в некоторых отношениях, но между ними также существуют весьма существенные различия. При рассмотрении аргументации, произведенной по аналогии, важно учитывать природу и характерные особенности отношений сходства. Не исключено, что ребенок мог продолжать заниматься музыкой.

5. Неполные сравнения.

«Все больше врачей считают, что препарат Х быстрее всего избавит вас от боли». Подобные утверждения в рекламе встречаются так часто, что, открыв любой журнал, вы почти неизбежно увидите что-нибудь в этом духе. В этом утверждении проводятся два различных сравнения, и оба являются неполными. Когда вы видите слова, выражающие степени сравнения, задайте себе вопросы: «больше, чем что?», «быстрее по сравнению с чем?». В неполных сравнениях отсутствует вторая часть.

В неполных сравнениях часто используются оценочные выражения типа «лучше», «безопаснее» и, конечно, «чище». Это особый случай рассмотрения недостающих компонентов умозаключения. Что такое «лучше»? Как это измерить? Кто измерял? По сравнению с чем? Невозможно оценить утверждение типа «Х сделает все ваше белье чище» без дополнительной информации. По пути на работу я прохожу мимо магазина мороженого, где висит большая вывеска с утверждением: «Всеми признано, что у нас лучшее мороженое». Предполагается, что я должен думать, будто их мороженое было признано лучшим, но кем, по сравнению с какими другими сортами мороженого, какие критерии использовались при выборе лучшего мороженого и как мороженое оценивалось с помощью этих критериев? Всякий раз, когда вы видите утверждение, основанное на сравнении, вы должны задать себе эти вопросы. Если на них отсутствуют ответы, то сравнение является неполным.

6. Знание того, чего нельзя узнать.

Иногда нам дают информацию, знать которую невозможно. Это ложный довод, который называется знание того, чего нельзя узнать. Предположим, что вы читаете в газете о том, что нам необходимо увеличить численность полиции, поскольку резко возросло число незарегистрированных преступлений. Но не спешите волноваться по этому поводу: как можно знать, сколько произошло незарегистрированных преступлений? Я не сомневаюсь в том, что о многих преступлениях не заявляют в полицию, а также в важности этой проблемы. Но как можно говорить об увеличении или уменьшении числа, которое фактически невозможно определить? Во многих случаях источники указывают якобы точные цифры, которые невозможно подсчитать. Нет способа, которым мы можем узнать то, чего узнать нельзя.

7. Ложная причина.

Этот довод имеет место тогда, когда кто-либо утверждает, что из-за того, что два события происходят одновременно или следуют одно за другим, одно из них является причиной другого. В качестве примера можно привести объяснение того факта, что одновременно с увеличением количества церквей в городе, растет и количество грабежей. Было бы неверно заключить, что рост числа церквей приводит к увеличению числа грабежей, или что грабежи способствуют строительству новых церквей. На самом деле по мере увеличения города возрастает количество церквей, грабежей, а также школ, химчисток и общественных организаций. Ни один из этих факторов не является причиной другого. Все они имеют общую причину — в данном случае рост населения. Конечно, существует возможность, что одна переменная является причиной появления другой, но для обоснования причинно-следственной связи недостаточно лишь одновременности наступления событий.

Теперь, обладая знаниями софистов, попробуем придумать собственный софизм:

«Число равно противоположному числу»

Имеется выражение (a-b)²

По формуле сокращенного умножения разложим это выражение:

(a-b)²=(a+b)(a-b)

Сократим равенство на (a-b):

a-b=a+b

Переносом a в левую часть получаем:

-b=b

Ошибка состоит в том, что разложение выражения на множители было проведено неправильно, верным будет равенство (a-b)²=a²-2ab+b²

3.     Парадоксы

3.1            Определение

Парадокс (греч. - неожиданный, странный) —в широком смысле: утверждение, резко расходящееся с общепринятым, устоявшимся мнением, отрицание того, что представляется «безусловно правильным»; в более узком смысле —два противоположных утверждения, для каждого из которых имеются убедительные аргументы.

3.2            История парадоксов

На первый взгляд парадоксы кажутся простыми курьезами и служат для логических упражнений. Нельзя, однако, забывать, что парадоксы периодически возникают в развитии каждой науки и служат симптомом неблагополучия в обосновании ее теоретических построений. В настоящее время мы являемся свидетелями нового кризиса в основаниях классической математики, которая базируется на теории бесконечных множеств, созданной Г. Кантором. Исходя из самого определения множества, данного Кантором, известный английский философ и математик Б. Рассел обнаружил парадокс, который он популярно разъяснил с помощью примера с деревенским парикмахером, который бреет тех и только тех жителей деревни, которые не бреются сами. На вопрос, как он должен поступить с собой, нельзя дать никакого определенного ответа, точнее говоря, из этого условия можно логически вывести два взаимоисключающих ответа.

Аналогично будет обстоять дело с множеством всех тех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. На вопрос, куда отнести такое множество, также нельзя дать определенного ответа.

В дальнейшем были открыты другие парадоксы, которые привели к кризису в основаниях математики, т.е. в том фундаменте, на котором держится вся остальная часть здания математики. Никакого окончательного решения вопроса о парадоксах теории множеств до сих пор не найдено, хотя были предложены многие методы и программы избавления от них.

Возникновение парадоксов не является чем-то незакономерным, неожиданным, случайным в истории развития научного мышления. Их появление сигнализирует о необходимости пересмотра прежних теоретических представлений, выдвижения более адекватных понятий, принципов и методов исследования.

3.3 Примеры парадоксов

Парадокс кучи

Имеется утверждение: «Разница между кучей и не кучей не в одном элементе». Возьмем некоторую кучу, например, орехов. Теперь начнем брать из нее по ореху. 50 орехов - куча, 49 орехов - куча, 48 - куча и т.д. Так дойдем до одного ореха, который тоже составит кучу.

Парадокс парикмахера

В некоторой деревне, в которой живет один единственный парикмахер, был издан указ: «Парикмахер имеет право брить тех и только тех жителей деревни, которые не бреются сами».

Вопрос: Может ли парикмахер брить самого себя?

Если он хочет сам себя брить, то он не может этого сделать, т.к. он может брить только тех, кто себя не бреет, если же он не будет себя брить, то, как и все, не бреющие себя, он должен брить самого себя.

Итак, он не может ни брить себя, ни не брить себя!

Дихотомия

Чтобы пройти любое расстояние, нужно сначала пройти его половину. Это очевидно, ведь если половину расстояния не пройти, то и все расстояние пройти не получится. Но для того чтобы пройти то, что осталось, то есть половину того расстояния, нужно пройти половину от него и далее у нас снова остается какое-то расстояние, которое еще нужно пройти. Чтобы пройти это расстояние, нужно пройти сначала его половину, таким образом мы будем делить оставшийся отрезок расстояния пополам и никогда не дойдем никуда. Поскольку это касается любого расстояния, еще интереснее этот парадокс становится, если учесть, что первая половина пути — это тоже расстояние, и чтобы пройти его, нужно пройти сначала первую половину от него, и это тоже расстояние, и его мы тоже не пройдем. Получается, что мы не только не сможем дойти никуда, мы не сможем стартовать вовсе. Движение не существует, что конечно не верно. Мы с вами движемся, в этом и заключается парадокс

Родственным Дихотомии является другой парадокс, которая называется Ахиллес и черепаха.

Ахиллес пытается догнать черепаху, при этом Ахиллес двигается в десять раз быстрее, чем черепаха. Нетрудно догадаться, что рано или поздно Ахиллес должен будет ее догнать и даже обогнать. Но пока Ахиллес дойдет до места, откуда стартовала черепаха. Черепаха уже сделает несколько шагов, между ними образуется определенное расстояние. Эта ситуация аналогичная той, что была в самом начале между Ахиллесом и черепахой: есть какое-то расстояние пока Ахиллес дойдет до места, откуда стартовала черепаха, черепаха уже пройдет какое-то расстояние и так до бесконечности. Ахиллес, даже двигаясь в десять раз быстрее черепахи, никогда ее не догонит, что тоже неверно.

Эти парадоксы, во-первых, показывают нам, что конечные сущности можно делить до бесконечности, а, во-вторых, процесс, для завершения которого требуется бесконечно много шагов, вовсе не обязательно занимает бесконечно много времени. Если мы двигаемся со скоростью 5 километров в час, то через 2 часа мы пройдем 10 километров, и ничто не сможет нам помешать. К тому моменту, как мы закончим движение, количество интуитивных делений уже достигнет отметки бесконечность. Это вполне нормальное понятие, которое используется в современной математике. Эти парадоксы предвосхитили многие известные на сегодняшний день парадоксы математического анализа, изменили ход развития науки.

Парадокс лжеца

Выражение: «то что я сейчас говорю – ложь». Это выражение неизбежно приводит к появлению логического парадокса.

Если предположить, что я говорю правду, значит верно, что я говорю неправду, но это не так, ведь мы предположили, что я говорю правду, из того, что я говорю правду, следует, что я говорю неправду. Предположим, что я лгу, если я говорю неправду. значит неверно, что я говорю неправду, а значит верно, что я говорю правду, но это не так, ведь мы предположили, что я вру.

Этот логический парадокс разрешить удалось Бертрану Расселу в начале двадцатого века. В рамках существующей логики разрешить его было невозможно, а Рассел ввел несколько понятий в логике. Он ввел высказывания разных типов. Высказывание первого типа - такое высказывание, которое ничего не говорит о высказываниях, и, разумеется, выражение: «это высказывание ложно» не является выражением первого типа. Выражение второго типа – выражение, которое ничего не говорит о выражениях выше первого типа, то есть она не может ничего сказать сама о себе. Таким образом же он ввел выражение 3, 4 и так далее типов.

Суть в том, что высказывание ничего не может говорить само о себе, поэтому считается, что данное выражение не является логическим выражением в современной логике.

Парадокс внезапной казни

Заключенный содержится в тюрьме, и его должны казнить. К нему заходит охранник и сообщает, что он будет казнен в будний день на следующей неделе. К нему придут в день казни и сообщат, что казнь состоится в этот день, но для него это станет сюрпризом, то есть в этот день он не будет ожидать, что его казнят. Заключенный начинает рассуждать: «Меня не могут казнить пятницу. Ко мне придут в день казни, а значит, если ко мне не придут в понедельник, во вторник, в среду и в четверг, то выходит, когда наступит пятница, я уже буду ждать, что придут в пятницу. Значит в пятницу точно не придут. То же самое можно сказать и про четверг. Ко мне не придут в пятницу, и, если наступит четверг и я буду жив, значит меня должны казнить в четверг, но это невозможно, ведь тогда это не будет, неожиданностью. Остальные дни отпадают по такому же принципу».

Заключенный приходит к выводу, что его не казнят. К нему приходят во вторник и забирают на казнь. Для него это становится полной неожиданностью. Собственными логическими рассуждениями узник создал ситуацию, при которой условие о неожиданности казни выполняется.

Парадокс Монти Холла

Перед вами есть три двери, за одной из этих дверей приз, а за двумя другими ничего нет. Ваша задача в том, чтобы выбрать дверь, за которой находится приз. Вероятность того, что вы выберете правильную дверь, равняется 1/3. Предположим, вы выбрали дверь номер три, ведущий подходит к двери номер один и открывает, показывая, что за ней ничего нет. Теперь перед вами есть дверь номер два и дверь номер три, за одной из них приз. Кажется, что теперь больше шансов победить, но это иллюзия.

Вам предложено изменить свой выбор: вы можете либо изменить свое решение и выбрать дверь номер два, либо остаться при своем. Во втором случае ваши шансы остаются равны 1/3. Но если же вы смените дверь, то шансы на победу возрастут до 1/2, так теперь вы делаете выбор из 2 дверей, а не из 3. Получается, что вероятность победить больше при изменении двери на втором шаге.

3.4 Имп-арт

Говоря о парадоксах, не стоит забывать и об искусстве, в котором часто используются парадоксальные приемы, для того чтобы удивить зрителя. Имп-арт – яркий представитель подобного течения.

Имп-арт образовано от английского impossible art— невозможное искусство. Целью имп-арта является изображение невозможных фигур и объектов, т.е. оптической иллюзии изображения трехмерного объекта элементы которого расположены в противоречивой, препятствующей однозначному восприятию взаимосвязи.

Наиболее известным художником, работавшим в данном стиле, является Мауриц Эшер.

В юные годы обучение давалось Маурицу с трудом. Он не проявлял интерес к точным наукам. Ему больше нравилось рисовать. Как и многие талантливые люди, он был левшой. Учитель рисования обратил на это внимание и показал Маурицу как делать гравюры по дереву. Тогда ведь никто даже предположить не мог, что со временем Эшер станет любимым художником всех математиков, физиков и людей науки.

Именно Эшеру как никому другому удавалось с успехом иллюстрировать сложнейшие математические понятия и теории. Его мастерство позволяло ему изображать в своих гравюрах и рисунках то, что многие даже не могут представить в своем воображении.

В 1924 году в Гааге была организована первая выставка произведений художника. В 1934 году его работы демонстрировались на Всемирной выставке в Чикаго и получили высокую оценку публики, но существовали и критики, которые считали его работы уж слишком интеллектуальными.

Наиболее популярным Эшер стал в 1950 году, после его первой персональной выставки в США. Получив признание математиков, он даже начал читать лекции для учебных заведений. В 1960 году в рамках международном кристаллографическом конгрессе в Кембридже (Великобритания) выступил с лекцией о симметрии. Принцип симметрии лежит в основе науки о кристаллах. Именно этот принцип и был основой многих работ художника.

Популярными стали работы с изображением «невозможных фигур», на которых Эшер создавал различные пространства с противоречивыми соединениями и переходами частей одна в другую. Одна из таких работ - литография «Относительность» (1953) (Приложение 3). На ней мир не подчиняется законам гравитации. Три реальности перпендикулярны и соединены между собой лестницами, направленными одновременно вверх и вниз.

Также известными стали три литографии "Бельведер"(1958) (Приложение 4), "Восхождение и Спуск"(1960) (Приложение 5), "Водопад" (1961) (Приложение 6). На первый взгляд, все верно, но присмотревшись можно увидеть парадоксальные вещи. Колонны располагаются невероятным образом, лестница, по которой идут по кругу, поднимаясь и опускаясь бесконечно, а водопад подпитывает себя сам.

Эшер также мастерски изображал неэвклидово пространство, в котором параллельные прямые могут пересекаться. Наглядно это показывают литография "Картинная галерея" (1956) (Приложение 7).

Самой масштабной по размеру стала работа Эшера «Метаморфоза» (1967-68) (Приложение 8). Это 48-метровое панно показывает плавный переход геометрических фигур в силуэты животных и архитектурные формы, которые в итоге возвращаются к первоначальному изображению.

Художник одним из первых изобразил фракталы, т.е. фигуры, образующиеся из своих уменьшенных подобий или совпадающие с частью себя самого. Это было удивительно для человека, который не был ученым. Лишь после смерти Эшера в 1972 году ученые подробно начали изучать такие структуры и в 1975 году был введен термин «фрактал». А наиболее подробную визуализацию таких фигур удалось получить уже с развитием компьютерных технологий.

Творчество Эшера не поддается точной классификации. Своими картинами он не пытался доказать теоремы, а наглядно показал какой огромный потенциал имеет наше восприятие. Не удивительно, что работы Эшера до сих пор остаются эталоном для современных художников и дизайнеров, и любителей имп-арта.

Заключение

В процессе работы мне удалось выяснить, что такое «софизмы» и «парадоксы». Теперь я знаю, что софизмы представляют собой преднамеренные, сознательно совершаемые ошибки, рассчитанные на то, чтобы ввести оппонента в заблуждение, выдать ложь за истину и тем самым добиться победы в споре. Софисты для этой цели используют не только сознательно и обдуманно построенные логические ошибки, но и всевозможные психологические уловки и элементы внушения с тем, чтобы максимально воздействовать на убеждения своих слушателей.

Парадоксы же отличаются от софизмов тем, что они возникают не в результате намеренных логических ошибок, а из-за неясности, неопределенности и даже противоречивости некоторых исходных принципов и понятий той или иной науки или же общепринятых норм, приемов и методов познания в целом.

Я научился находить ошибки в готовых решениях. К примеру, теперь я чаще обращаю внимание на правильность чертежа, рассуждений математических действий. Проведенное мной исследование поможет развить критическое мышление и научиться находить обман в чужих речах, аргументах и рассуждениях.

Список использованной литературы

1.     Брадис В. М., Минковский В. Л., Еленев Л. К., Ошибки в математических рассуждениях, 3 изд., М., 1967.

2.     Неркарарян К. В., Софизмы и парадоксы, 1 издание, 2001

3.      Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике / пер. с англ. В. В. Ульянова под ред. В. В. Сазонова. — М., 1990.

4.     Тульчинский М. Е. Занимательные задачи-парадоксы и софизмы по физике. М. 1971.

5.     Халперн Д. Психология критического мышления / пер. с англ. Малыгина Н. О., Рысев С. Е, 2000

Приложение 1

Приложение 2

 
 

Приложение 3

Приложение 4

Приложение 5

Приложение 7

Приложение 8

Краткое описание документа:

Проект на тему «Софизмы и парадоксы». Софизмы и парадоксы играли важную роль в истории математики. Они помогли повысить строгость математических рассуждений и способствовали более глубокому пониманию понятий и методов математики. Роль софизмов и парадоксов в развитии математики велика, ведь они влияют на вектор развития этой науки.