Рабочая программа "Реальная математика"

      Приложение к ООП ООО

Рабочая учебная программа

по реальной математике

9 класс

основного общего образования

Срок реализации: 2020-21 учебный год

Программа составлена на основании:

1.     Основной образовательной программы МБОУ «СОШ № 31» г. Чебоксары.

2.     Примерных программ по учебным предметам. Математика 5-9. – М.: Просвещение, 2010 – (Стандарты второго поколения)

Учебники:

Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др. / Под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф. Математика. 5 класс. «Просвещение», 2017

Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др. / Под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф. Математика. 6 класс. Издательство «Просвещение»,2017

Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра. 7 класс. «Просвещение»,2017

Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра. 8 класс. «Просвещение», 2019

Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра. 9 класс. «Просвещение», 2019

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия. 7-9 класс. «Просвещение», 2017

Класс	Количество часов
	в неделю	в год	резервных часов
9	0,5	17	1

Учитель: Трофимова Елена Николаевна

                                                           Содержание

1.	Пояснительная записка
2.	Планируемые результаты освоения учебного предмета
3.	Содержание  учебного предмета, курса
4.	Тематическое планирование с указанием количества часов, отводимых на освоение каждой темы
5.	Система оценки достижения планируемых результатов

Пояснительная записка

                      Общая характеристика  учебного курса «Реальная математика»

       Курс «Реальная математика» является предметно – ориентированным и предназначен для расширения теоретических и практических знаний обучающихся. Он расширяет и углубляет базовую программу по математике, не нарушая ее целостности. Программа курса содержит задания, в которых обучающиеся совершенствуют навык использования приобретенных знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни, умение строить и исследовать простейшие математические модели. Формулировка этих заданий содержит практический контекст, знакомый обучающимся или близкий их жизненному опыту. Такие задания носят название «прикладные задачи».

       Решения прикладных задач – это деятельность, сложная для обучающихся. Сложность ее определяется, прежде всего, комплексным характером работы: нужно ввести переменную и суметь перевести условие на математический язык; соотнести полученный результат с условием задачи и, если нужно, найти значения еще каких – то величин. Каждый из этих этапов – самостоятельная и часто, труднодостижимая для обучающихся задача.

       Предлагаемый курс имеет прикладное и общеобразовательное значение: он способствует развитию логического мышления, сообразительности и наблюдательности, творческих способностей, интереса к предмету, данной теме и, что особенно важно, формированию умения решать практические задачи в различных сферах деятельности человека. Решение таких задач способствует приобретению опыта работы с заданием, формированию более высокой, по сравнению с обязательным уровнем сложности, математической культуры учащихся. Прикладные задачи приучают обучающихся пользоваться справочным материалом, заставляют глубже изучать теоретический материал, превращают знания в необходимый элемент практической деятельности, а это важный компонент мотивации учения. Выполняя такие задания, учащиеся оказываются в одной из жизненных ситуаций и учатся отвечать на возникающие вопросы с помощью знаний, полученных на уроках математики.

      Программа данного курса внеурочной деятельности ориентирована на приобретение определенного опыта решения прикладных задач. Изучение данного курса тесно связано с такими дисциплинами, как алгебра и геометрия. Данный курс представляется особенно актуальным и современным, так как расширяет и систематизирует знания обучающихся, готовит их к более осмысленному пониманию теоретических сведений. 

Данная программа полностью соответствует требованиям, предъявляемым к процессу школьного математического образования:

·                    содержательность;

·                    увлекательность;

·                    доступность;

·                    развитие интеллекта;

·                    связь с общечеловеческой культурой.

      Отличительной особенностью данной программы является то, что перечисленные задачи определяют необходимость добиваться получения обучающимися знаний, систематизировать уже имеющиеся знания, необходимые для достижения обязательного уровня образования и их дальнейшего развития. Кроме того, предусматривается, что в процессе обучения обучающиеся постоянно приобретают и накапливают умения рассуждать, обобщать, доказывать, систематизировать.

     Особую роль данная программа уделяет привитию навыков самостоятельности в рассуждениях, в поисках способов решения задач, развитию способностей к самообразованию, к созданию и разрешению проблемных ситуаций, рефлексии, самоанализу собственной деятельности,.

    С термином «задача» люди постоянно сталкиваются в повседневной жизни,  как на бытовом, так и на профессиональном уровне. Каждому человеку приходится решать те или иные проблемы, которые мы зачастую называем задачами. Это могут быть общегосударственные задачи (освоение космоса, воспитание подрастающего поколения, оборона страны и т. п.), задачи определенных коллективов и групп (сооружение объектов, выпуск литературы, установление связей и зависимостей и др.), а также задачи, которые стоят перед отдельными личностями. Проблема решения и чисто математических задач, и задач, возникающих перед человеком в процессе его производственной или бытовой деятельности, в сущности, имеет одну природу, и, следовательно, требуют исследования и обязательного разрешения. Поэтому именно умение решать учебные задачи в дальнейшем приводит к умению решать любые жизненные задачи, то есть к развитию таких личностных качеств как не знал – знаю, не умел – умею и т.п. Также важно отметить, что умение решать текстовые задачи является одним из основных показателей уровня математического, а значит и общего развития школьников, глубины усвоения ими учебного материала.

     Задачи, предлагаемые в данной программе, интересны и часто не просты в решении, что позволяет повысить учебную мотивацию обучающихся и проверить свои способности к математике. Вместе с тем содержание программы позволяет ученику любого уровня активно включаться в учебно-познавательный процесс и максимально проявить себя: занятия могут проводиться на высоком уровне сложности, но включать в себя вопросы, доступные и интересные всем обучающимся.

    Программа позволяет реализовать актуальные в настоящее время компетентностный, личностно  ориентированный,  деятельностный подходы. 

 Цель данного курса внеурочной деятельности :

Ø    формирование представлений о математике как науке, полезной в повседневной                 жизни, повышение уровня их математической культуры,

Ø    подготовка обучающихся к итоговой аттестации по окончанию 9 класса,

Ø    развить устойчивый интерес обучающихся к изучению математики,

Ø    ликвидировать представление о математике как об абстрактной науке, показать её применение в искусстве, архитектуре, экономике, музыке, банковском деле  и других областях.

Ø    развить культуру математических вычислений и добиться стабильности  в преобразовании алгебраических выражений.

Задачи:

Ø  научить решать практические задачи на оптимизацию и применять функциональную линию при решении практических задач;

Ø  развивать умение преодолевать трудности при решении задач разного уровня сложности, формировать логическое мышление;

Ø  показать широту применения известного обучающимся математического аппарата – процентные вычисления, связь математики с различными направлениями реальной жизни;

Ø  показать обучающимся методы решения задач на сплавы, смеси и растворы;

Ø  научить решать одну задачу разными способами;

Ø  воспитать целеустремлённость и настойчивость при решении задач;

Ø  предоставить обучающимся возможность проанализировать свои способности к математической деятельности;

Ø  сформировать у обучающихся полное представление о решении текстовых задач;

Ø  сформировать высокий уровень активности, раскованности мышления, проявляющейся в продуцировании большого количества разных идей, возникновении нескольких вариантов решения задач, проблем;

Ø  оказать помощь в подготовке к успешному прохождению ОГЭ;

Ø  развить интерес к математике, способствовать выбору обучающимися путей дальнейшего продолжения образования;

Ø  способствовать профориентации.

Учебный процесс данного курса  предусматривает следующие методы и формы работы:

• изложение нового материала учителем в форме лекции;
• дифференцированный подход на практических занятиях: для всех тем курса подобраны задания различного уровня сложности;
• самостоятельная работа с учебной литературой;
• индивидуальные консультации.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     Планируемые результаты освоения учебного курса

«Реальная математика"

           1. Личностные результаты освоения предмета освоения основной образовательной программ:

1.1 Развитие логического и критического мышления; культуры речи, способности к         умственному эксперименту;

1.2  Воспитание качеств личности, способность принимать самостоятельные решения;

1.3 Формирование качеств мышления;

1.4 Развитие способности к эмоциональному восприятию математических объектов, рассуждений, решений задач, рассматриваемых проблем;

            1.5 Развитие умений строить речевые конструкции (устные и письменные)

                         с использованием изученной терминологии и символики, понимать смысл поставленной задачи, осуществлять перевод с естественного языка на математический и наоборот;

               1.6 Развитие интереса к математическому творчеству и математических       

                способностей;

2. Метапредметным  результатом изучения курса явля­ется формирование универсальных

 учебных действий (УУД):

2.1.  Регулятивные УУД:

·         корректировать свою деятельность;

·         осознавать уровень и качество усвоения материала;

·         формировать способность к волевому усилию в преодолении препятствия;

·         обнаруживать и формулировать учебную проблему;

·         составлять план работы;

·         формировать целевые установки учебной деятельности.

2.2. Познавательные УУД:

·         выбирать наиболее эффективные способы решения;

·         уметь строить рассуждения;

·         уметь выделять существенную информацию из текста;

·         ориентироваться на разнообразие способов решения.

2.3. Коммуникативные УУД:

·         планировать общие способы решения;

·         обмениваться знаниями между группами;

·         формировать навыки учебного сотрудничества;

·         формировать коммуникативные действия;

·         слушать других, критично относиться к своему мнению;

·         воспринимать текст с учетом поставленной задачи.

Предметные результаты обучения курса 

Обучающийся научится:

·         решать текстовые задачи арифметическим способом, используя различные стратегии и способы рассуждения;

·         извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках;

·         выбирать способ представления данных в соответствии с поставленной задачей – таблицы, схемы, графики, диаграммы.

·         переводить условия задачи на математический язык;

·         использовать методы работы с простейшими математическими моделями;

·         составлять буквенные выражения и формулы по условиям задач; осуществлять в выражениях и формулах числовые подстановки и выполнять соответствующие вычисления;

·         решать текстовые задачи алгебраическим методом;

вычислять площади, периметры, объемы простейших геометрических фигур (тел) по формулам;

·          применять теорию в решении задач.

·         применять полученные математические знания в решении жизненных задач.

·         определять тип текстовой задачи, знать особенности методики её решения, используя при этом разные способы.

·         воспринимать и усваивать материал дополнительной литературы.

·         использовать специальную математическую, справочную литературу для поиска необходимой информации.

·         анализировать полученную информацию.

·         использовать дополнительную математическую литературу с целью углубления материала основного курса, расширения кругозора, формирования мировоззрения, раскрытия прикладных аспектов математики.

·         иллюстрировать некоторые вопросы примерами.

·         использовать полученные выводы в конкретной ситуации.

·         пользоваться полученными геометрическими знаниями и применять их на практике.

·         решать числовые и геометрические головоломки.

·         планировать свою работу; последовательно, лаконично, доказательно вести рассуждения; фиксировать в тетради информацию, используя различные способы записи.

Обучающийся получит возможность научиться:

• оперировать понятиями: уравнение, неравенство, корень уравнения, решение неравенства, равносильные уравнения, область определения уравнения (неравенства, системы уравнений или неравенств);

• решать дробно-линейные уравнения;

• решать уравнения способом разложения на множители и замены переменной;

• решать простые и сложные задачи разных типов, а также задачи повышенной трудности;

• использовать разные краткие записи как модели текстов сложных задач для построения поисковой схемы и решения задач;

• различать модель текста и модель решения задачи, конструировать к одной модели решения несложной задачи разные модели текста задачи;

• знать и применять оба способа поиска решения задач (от требования к условию и от условия к требованию);

•  выделять этапы решения задачи и содержание каждого этапа;

• уметь выбирать оптимальный метод решения задачи и осознавать выбор метода, рассматривать различные методы, находить разные решения задачи, если возможно;

• анализировать затруднения при решении задач;

• выполнять различные преобразования предложенной задачи, конструировать новые задачи из данной, в том числе обратные;

• интерпретировать вычислительные результаты в задаче, исследовать полученное решение задачи;

• анализировать всевозможные ситуации взаимного расположения двух объектов и изменение их характеристик при совместном движении (скорость, время, расстояние) при решении задач на движение двух объектов как в одном, так и в противоположных направлениях;

• исследовать всевозможные ситуации при решении задач на движение по реке, рассматривать разные системы отсчета;

• осознавать и объяснять идентичность задач разных типов, связывающих три величины (на работу, на покупки, на движение), выделять эти величины и отношения между ними, применять их при решении задач, конструировать собственные задач указанных типов;

• владеть основными методами решения задач на смеси, сплавы, концентрации;

• решать задачи на проценты, в том числе, сложные проценты с обоснованием, используя разные способы;

• решать логические задачи разными способами, в том числе, с двумя блоками и с тремя блоками данных с помощью таблиц;

• овладеть основными методами решения сюжетных задач: арифметический, алгебраический, перебор вариантов, геометрический, графический, применять их в новых по сравнению с изученными ситуациях.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• решать задачи на движение по реке, рассматривая разные системы отсчета.

• составлять и решать линейные и квадратные уравнения, уравнения, к ним сводящиеся, системы линейных уравнений, неравенств при решении задач других учебных предметов;

• выполнять оценку правдоподобия результатов, получаемых при решении линейных и квадратных уравнений и систем линейных уравнений и неравенств при решении задач других учебных предметов;

• выбирать соответствующие уравнения, неравенства или их системы для составления математической модели заданной реальной ситуации или прикладной задачи;

• уметь интерпретировать полученный при решении уравнения, неравенства или системы результат в контексте заданной реальной ситуации или прикладной задачи.

• выделять при решении задач характеристики рассматриваемой в задаче ситуации, отличные от реальных (те, от которых абстрагировались), конструировать новые ситуации с учетом этих характеристик, в частности, при решении задач на концентрации, учитывать плотность вещества;

• решать и конструировать задачи на основе рассмотрения реальных ситуаций, в которых не требуется точный вычислительный результат;

• иллюстрировать с помощью графика реальную зависимость или процесс по их характеристикам;

Содержание курса

1.Анализ информации, представленной в таблице. Анализ реальных числовых данных, представленных в таблицах.

2.Решение задач на выбор оптимального варианта. Задачи и оптимальный выбор. Задачи с выборкой целочисленных решений. Особенности методики решения задач на оптимальный выбор и выборкой целочисленных решений. Задачи, решаемые с помощью графов. Задачи, решаемые с конца.

3. Анализ диаграмм, графиков. Анализ реальных данных, представленных на диаграммах. Графики движения в прямоугольной системе координат. Чтение графиков движения и применение их для решения текстовых задач.

4. Решение задач на соответствие по графикам и диаграммам. Соответствие графиков с функциями. Различные свойства функций.

5.Задачи на движение, движение по воде, совместное движение. Формулы зависимости расстояния, пройденного телом, от скорости и времени. Движение тел в одном направлении и навстречу друг другу. Движение тел по течению и против течения. Равномерное и равноускоренное движение тел по прямой линии в одном направлении и навстречу друг другу.

6.Решение задач на деление с остатком. Задачи на деление с остатком. Правила округления.

7.Решение задач на совместную работу. Формула зависимости объёма выполненной работы от производительности и времени её выполнения. Особенности выбора переменных и методики решения задач на работу, составление таблицы данных задачи на работу и её значение для составления математической модели.

8.Решение задач на проценты. Процентные вычисления в жизненных ситуациях (распродажа, тарифы и т.д.).

9.Решение задач на сплавы и смеси. Формула зависимости массы или объёма вещества в сплаве, смеси, растворе («часть») от концентрации («доля»), и массы или объёма сплава, смеси, раствора («всего»). Особенности выбора переменных и методики решения задач на сплавы, смеси, растворы. Составление таблицы данных задачи и её значение для составления математической модели. Задачи на изменение концентрации растворов. Выявление общей закономерности изменения той или иной величины в результате многократно повторяющейся операции. Задачи на разбавление.

10.Решение задач на отношения и пропорции. Несложные практические расчетные задачи;  задачи, связанные с отношением, пропорциональностью величин, дробями, процентами.

11.Выражение величин из формул. Различные формулы

12.Решение задач с помощью уравнений. Анализ задач, составление уравнений.

13.Решение задач с помощью систем уравнений. Анализ задач, составление систем уравнений.

14.Практические задачи на теорему Пифагора. Описание  реальных ситуации на языке геометрии, исследование построенных моделей с использованием геометрических понятий и теорем, практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин.

15.Практические задачи с подобными треугольниками. Практические задачи на подобие треугольников, используя коэффициент подобия.

16.Вычисление длин, площадей, объемов. Использование основных единиц длины, площади, объема; выражение более крупных единиц через более мелкие и наоборот. 17.Резерв.

Тематическое планирование

№ урока	Тема урока	Кол-во часов
1	Анализ информации, представленной в таблице	1
2	Решение задач на выбор оптимального варианта	1
3	Анализ диаграмм, графиков	1
4	Решение задач на соответствие по графикам и диаграммам	1
5	Задачи на движение, движение по воде, совместное движение	1
6	Решение задач на деление с остатком	1
7	Решение задач на совместную работу	1
8	Решение задач на проценты	1
9	Решение задач на сплавы и смеси. Контрольный тест	1
10	Решение задач на отношения и пропорции	1
11	Выражение величин из формул	1
12	Решение задач с помощью уравнений	1
13	Решение задач с помощью систем уравнений	1
14	Практические задачи на теорему Пифагора	1
15	Практические задачи с подобными треугольниками	1
16	Вычисление длин, площадей, объемов. Контрольный тест.	1
17	Резерв	1

 Система оценки достижений планируемых результатов

1.Оценка письменных   работ.

Отметка «5», если:

·         работа выполнена полностью;

·         в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;

·         в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, которая не является следствием незнания или непонимания учебного материала).

Отметка «4» ставится в следующих случаях:

·         работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);

·         допущены одна ошибка или есть два – три недочёта в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работ не являлись специальным объектом проверки).

Отметка «3» ставится, если:

·         допущено более одной ошибки или более двух – трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но обучающийся обладает обязательными умениями по проверяемой теме.

 Отметка «2» ставится, если:

·         допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не обладает обязательными умениями по данной теме в полной мере.

 Учитель может повысить отметку за оригинальный ответ на вопрос или оригинальное решение задачи, которые свидетельствуют о высоком математическом развитии обучающегося; за решение более сложной задачи или ответ на более сложный вопрос, предложенные обучающемуся дополнительно после выполнения им каких-либо других заданий.

 2.Оценка устных ответов

Ответ оценивается отметкой «5», если ученик:

·         полно раскрыл содержание материала в объеме, предусмотренном программой и учебником;

·         изложил материал грамотным языком, точно используя математическую терминологию и символику, в определенной логической последовательности;

·         правильно выполнил рисунки, чертежи, графики, сопутствующие ответу;

·         показал умение иллюстрировать теорию конкретными примерами, применять ее в новой ситуации при выполнении практического задания;

·         продемонстрировал знание теории ранее изученных сопутствующих тем, форсированность и устойчивость используемых при ответе умений и навыков;

·         отвечал самостоятельно, без наводящих вопросов учителя;

·         возможны одна – две неточности при освещение второстепенных вопросов или в выкладках, которые ученик легко исправил после замечания учителя.

Ответ оценивается отметкой «4», если удовлетворяет в основном требованиям на оценку «5», но при этом имеет один из недостатков:

·         в изложении допущены небольшие пробелы, не исказившее математическое содержание ответа;

·         допущены один – два недочета при освещении основного содержания ответа, исправленные после замечания учителя;

·         допущены ошибка или более двух недочетов при освещении второстепенных вопросов или в выкладках, легко исправленные после замечания учителя.

Отметка «3» ставится в следующих случаях:

·         неполно раскрыто содержание материала (содержание изложено фрагментарно, не всегда последовательно), но показано общее понимание вопроса и продемонстрированы умения, достаточные для усвоения программного материала (определены «Требованиями к математической подготовке учащихся» в настоящей программе по математике);

·         имелись затруднения или допущены ошибки в определении математической терминологии, чертежах, выкладках, исправленные после нескольких наводящих вопросов учителя;

·         ученик не справился с применением теории в новой ситуации при выполнении практического задания, но выполнил задания обязательного уровня сложности по данной теме;

·         при достаточном знании теоретического материала выявлена недостаточная сформированность основных умений и навыков.

 Отметка «2» ставится в следующих случаях:

·         не раскрыто основное содержание учебного материала;

·         обнаружено незнание учеником большей или наиболее важной части учебного материала;

·         допущены ошибки в определении понятий, при использовании математической терминологии, в рисунках, чертежах или графиках, в выкладках, которые не исправлены после нескольких наводящих вопросов учителя.

3. Общая классификация ошибок.

При оценке знаний, умений и навыков, учащихся следует учитывать все ошибки (грубые и негрубые) и недочёты.

3.1. Грубыми считаются ошибки:

-   незнание определения основных понятий, законов, правил, основных положений теории, незнание формул, общепринятых символов обозначений величин, единиц их измерения;

-   незнание наименований единиц измерения;

-   неумение выделить в ответе главное;

-   неумение применять знания, алгоритмы для решения задач;

-   неумение делать выводы и обобщения;

-   неумение читать и строить графики;

-   неумение пользоваться первоисточниками, учебником и справочниками;

-   потеря корня или сохранение постороннего корня;

-   отбрасывание без объяснений одного из них;

-   равнозначные им ошибки;

-   вычислительные ошибки, если они не являются опиской;

-   логические ошибки.

 3.2. К негрубым ошибкам следует отнести:

-  неточность формулировок, определений, понятий, теорий, вызванная неполнотой охвата основных признаков определяемого понятия или заменой одного - двух из этих признаков второстепенными;

-  неточность графика;

- нерациональный метод решения задачи или недостаточно продуманный план ответа (нарушение логики, подмена отдельных основных вопросов второстепенными);

-  нерациональные методы работы со справочной и другой литературой;

- неумение решать задачи, выполнять задания в общем виде.

3.3. Недочетами являются:

-  нерациональные приемы вычислений и преобразований;

- небрежное выполнение записей, чертежей, схем, графиков.

Используемая литература

1. М.А. Иванов. Математика без репетитора. 800 задач с ответами и                    решениями для абитуриентов. Учебное пособие. – М.:                            Издательский центр «Вентана – Граф», 2002г.

2. М.В. Лурье, Б.И. Александров. Задачи на составление уравнений. Учебное руководство. – М.: Наука. Главная редакция физико- математической литературы, 1990г.

 3. Дорофеев, М.К. Потапов, Н.Х. Розов. Пособие по математике для                поступающих в вузы (избранные вопросы элементарной     математики). – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1976г.

4.Н.И. Попов, А.Н. Марасанов. Задачи на составление уравнений. Учебное пособие. Йошкар-Ола: Мар. гос. ун-т, 2003г.

5. А. Тоом. Как я учу решать текстовые задачи. - Еженедельная учебно-методическая газета «Математика», №46, 47, 2004г.

6.А. Прокофьев, Т. Соколова, В. Бардушкин, Т. Фадеичева. Текстовые задачи. Еженедельная учебно-методическая газета «Математика»,№9, 2005г.

7.В. Булынин. Применение графических методов при решении текстовых задач. – Еженедельная учебно-методическая газета «Математика»,№14, 2005г.

Литература для учащихся.

1.Кузнецова Л.В. и др. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. - М.: Дрофа, 2002.

2.Вольпер Е.Е. Задачи на составление уравнений 1,2 часть. - Омск: ОмИПРКО, 1998.

3.Кузнецова Л.В. Суворова С.Б. Сборник заданий для подготовки итоговой аттестации в 9 классе. - М.: Просвещение 2007.

4. Ященко И.В. ОГЭ. Математика: типовые экзаменационные варианты: О-39 36 вариантов.-М. : Национальное образование, 2021.

5. Ященко И.В. ОГЭ. Математика: типовые экзаменационные варианты: О-39 36 вариантов.-М. : Национальное образование, 2020.

Перечень интернет-ресурсов.

1.www.pms.ru/programmyi/15.html сайт школы А.Н.Колмогорова.

2.http://1september.ru материалы сайта «Фестиваль педагогических идей».

3. https://fipi.ru/oge/otkrytyy-bank-zadaniy-oge.