Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Рабочая тетрадь по математике: «Логарифмы и их свойства. Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения»

Рабочая тетрадь по математике: «Логарифмы и их свойства. Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения»


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_m7a3292eb.gifhello_html_6617f579.gifhello_html_m8344d5f.gifhello_html_m3c754eb4.gifhello_html_m1089a2c3.gifhello_html_532fd5e6.gifМуниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

« Средняя общеобразовательная школа № 1»

















Рабочая тетрадь по математике:

«Логарифмы и их свойства. Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения»






Автор: Алишина Ирина Васильевна,

учитель математики.


























2015 г.

Содержание


1.

Логарифмы и их свойства. Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения………………………………………………………………………………



4


1.1. Понятие логарифма………………………………………………………………

1.2. Самостоятельная работа 1………………………………………………………..

1.3. Свойства логарифмов………………………………….…………………………

1.4. Самостоятельная работа 2……………………………………………………….

1.5. Задания для самоконтроля…………………………………………………….…

1.6. Логарифмическая функция………………………………………………………

1.7. Самостоятельная работа 3………………………………………………………..

1. 8. Логарифмические уравнения……………………………………………………

1.9. Самостоятельная работа 4………………………………………………………..

1.10. Самостоятельная работа 5………………………………………………………

1.11. Логарифмические неравенства…………………………………………………

1.12. Самостоятельная работа 6………………………………………………………

1.13. Контрольная работа……………………………………………………………..

5

8

9

11

12

13

14

16

19

21

22

26

27







































1. Рабочая тетрадь по математике

Тема: «Логарифмы и их свойства.

Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения».


Рабочая тетрадь рассчитана на самостоятельное (или под руководством учителя) изучение обучающимися темы «Логарифмическая функция» в полном объёме. Структура рабочей тетради соответствует разделам учебника Ш.А. Алимова «Алгебра и начала анализа» для 10-11 классов, а уровень заданий - требованиям, предъявляемым Государственным стандартам полного сребнего образования по предмету «Математика». Рабочая тетрадь включает следующие темы: «Понятие логарифма», «Логарифмы и их свойства», «Логарифмическая функция, ее свойства и график», «Решение логарифмических уравнений», «Решение логарифмических неравенств». В пособии коротко представлены: теория (более подробно в учебнике), разобранные примеры решений заданий, различные варианты заданий по материалам учебного пособия, позволяющие обучающимся работать самостоятельно.

Даются проверочные задания для закрепления, контроля и самоконтроля знаний учащихся. Пособие с успехом можно использовать при подготовке к сдаче экзамена, доступная форма изложения позволит быстро восстановить знания.


































4

1.1. Понятие логарифма

Решим уравнение аx= b, где a> 0, a ≠ 1.

Данное уравнение имеет единственное решение при b> 0: x = logab.

Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a > 0, a ≠ 1, называется показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.

аloghello_html_38bd8203.gifb= b

таким образом, получим основное логарифмическое тождество


Пример 1. Вычислить 3hello_html_35e91e88.gif

Решение: 3hello_html_35e91e88.gif=5

Пример 2. Вычислить 7hello_html_m1aaccdab.gif

Решение: 7hello_html_m1aaccdab.gif=(7hello_html_m4727d5b4.gif)hello_html_5484ee8a.gif=3hello_html_5484ee8a.gif=hello_html_m5ac43bc4.gif

Задание 1

Вычислить:

1) 2hello_html_13260084.gif ________________________________________________

2) 5hello_html_mb37eab9.gif ________________________________________________

3) 3hello_html_m7c5a97dc.gif ________________________________________________

4) hello_html_feea768.gif________________________________________________

Пример 3. Вычислить log2 32

Решение: log2 32 = 5 , т.к. 25 = 32

Пример 4. Вычислить log3hello_html_245fbf6e.gifhello_html_m35e709af.gif

Решение: log3hello_html_245fbf6e.gifhello_html_m35e709af.gif = -2, т.к. 3-2 = hello_html_m35e709af.gifhello_html_245fbf6e.gif

Пример 5. Вычислить loghello_html_3ba1ca67.gif5 =hello_html_1e67a1c1.gif, т.к. 125hello_html_m6444d2ca.gif = hello_html_m570ccabe.gif= 5

Задание 2

1) log216 ________________________________________________

2) log327 ________________________________________________

3) log625 _______________________________________________________

4) loghello_html_4174cac0.gif64 ________________________________________________

5) loghello_html_m47359dd3.gifhello_html_4e63618c.gif_________________________________________________________________

6) loghello_html_m50fd6624.gifhello_html_mcae76c0.gif_________________________________________________________________

7) log4 4 __________________________________________________

8) log8 1 __________________________________________________

Логарифм по основанию 10 называется десятичным и обозначается lgb.

Пример 6. Вычислить lg 10

Решение lg 10 = 1, т.к. 101 = 10

Пример 7. Вычислить lg 0,01

Решение lg 0,01 = -2, т.к. 10-2 = hello_html_m2ea7f7fd.gif =0,01

Задание 3

Вычислить:

1) lg 100 ____________________________________________________

2) lg 1000 ____________________________________________________

3) lg 0,1 ____________________________________________________

4) lg 0,001 ____________________________________________________

5) 10hello_html_46a71417.gif ____________________________________________________

6) 10hello_html_5fcba042.gif ____________________________________________________

Пример 8. Решить уравнение log3 (1-x) = 2.

Решение:

По определению логарифма 32 = 1- х, 5

1- х = 9,

-х = 8,

Откуда: х = -8

Пример 9. Решить уравнение logx8 = 3

Решение:

По определению логарифма х3 = 8,

х = hello_html_m3dd20b95.gif, х =2

Задание 4

Решить уравнение:

1) log6 x = 3,

х=6?,

х=___.

ответ: ______

2) log2(5- x) = 3

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

3) log3(x+2) = 3

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

4) logx 27 = 3

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

5) logx hello_html_1061070c.gif = -1

______________________________________________________________

______________________________________________________________

Пример 10. При каких значениях х существует log5 hello_html_m43bb24c0.gif.

Решение:

Так как основание логарифма 5 > 0 и 5 ≠ 1, то данный логарифм существует только тогда, когда hello_html_m761c2942.gif> 0.

Решая это неравенство методом интервалов: найдём корни числителя и знаменателя: х=1, х =2;

х



2

1





Ответ: (1;2)


Задание 5

Выяснить, при каких значениях х существует логарифм:

  1. loghello_html_2172e20.gif(4-х);

4-х >0,

-х >_____

х

х <_____


Ответ:


1) log8hello_html_m3e698389.gif.

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________ 6

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

2) lg (49 – x2)

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

*3) logx(2x – 1)

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________





































7

1.2. Самостоятельная работа 1


1. Вычисли логарифмы и впиши буквы в соответствующие клеточки таблицы.


loghello_html_m80bbc7b.gif25

Ф

lg 100

Г

log6 hello_html_3a284d31.gif

И

loghello_html_cee921e.gif7

А

lоg1255

К

loghello_html_2bbba5f0.gifhello_html_6cb535bd.gifhello_html_245fbf6e.gif

Р




__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________



2

hello_html_m435abbc3.gif

-hello_html_m435abbc3.gif

-2

hello_html_m47359dd3.gif







2) Решить уравнение: log4 (0,5 +х) =1

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________


3) При каких значениях х существует логарифм log0,7(5-х)

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________




















8

1.3. Свойства логарифмов

При работе с логарифмами применяются следующие их свойства:

1. log a 1 = 0

2. log a a = 1

3. log a (xy) = log a x + log a y

4. log a = log a x - log a y

5. log a x =p log a x

6. log a = log a x

7. log a =

8. log a x =

Пример 1. Вычислить log6 18 + log6 2

Решение: По 3 свойству log6 18 + log6 2 = log6 (18 ·2) = log6 36 = 2

Пример 2. Вычислить log12 48 - log12 4

Решение: По 4 свойству log12 48 - log12 4 = log12 (hello_html_107a0c38.gif) = log12 12 =1


Пример 3. Вычислить log 3 hello_html_126f66e3.gif

Решение: По 5 свойству log 3 hello_html_126f66e3.gif=log 3 3hello_html_md38a309.gif= hello_html_5904af60.giflog 3 3 = hello_html_5904af60.gif· 1 = hello_html_5904af60.gif

Задание 1

Вычислить:

1) log12 2 + log12 72

_________________________________________________________________

2) log3 6 + log3 hello_html_48d539a7.gif

_________________________________________________________________


3) lg2 + lg5

_________________________________________________________________

4) log5 75 - log 5 3

_________________________________________________________________

5) log2 15 - log 5 hello_html_410e8528.gif

_________________________________________________________________

6) log8hello_html_mef354f8.gif - log 8 32

_________________________________________________________________

7) log 13 hello_html_m2ad05da9.gif

_________________________________________________________________

8) log 11 hello_html_m2aa0f9e5.gif

_________________________________________________________________

Пример4.Вычислить: log5 hello_html_m55f16662.gif - hello_html_m1b23d205.giflog5 12 + log5 50

Решение: log 5 hello_html_m55f16662.gif - hello_html_m1b23d205.giflog 5 12 + log 5 50 = log 5 hello_html_m55f16662.gif - log 5 12hello_html_mf85678d.gif + log 5 50 =

= log5 hello_html_5579c42b.gif= log5 hello_html_68e64a77.gif= log5 25 = 2.

Пример 5. Вычислить: hello_html_m3211ad71.gif

9

Решение: По 8 и 7 свойству hello_html_m3211ad71.gif= loghello_html_289094c1.gif8 = loghello_html_m546381c6.gif2hello_html_6f764710.gif= hello_html_757cc432.gif.

Пример 6. Вычислить logax , если logа b = 3, logа с = -2 и х = ahello_html_6f764710.gifbhello_html_m28d00a0f.gifhello_html_m2fc57ddd.gif

Решение: По 3 и 5 свойству log a x = log a (ahello_html_6f764710.gifbhello_html_m28d00a0f.gifhello_html_m2fc57ddd.gif) = log hello_html_38bd8203.gifahello_html_6f764710.gif+ log a bhello_html_m28d00a0f.gif+log ahello_html_m2fc57ddd.gif= 3 log hello_html_38bd8203.gifa +2 log hello_html_38bd8203.gifb + hello_html_975328d.gif log hello_html_38bd8203.gifc = 3 + 2· 3 + hello_html_975328d.gif· (-2) = 8.

Задание 2

Вычислить:

1) log8 12 - log8 15 + log8 20

_______________________________________________________________

2) hello_html_m66d3e173.giflog7 36 - log7 14 - 3 log7 hello_html_mf700ec6.gif

_______________________________________________________________

3) hello_html_59e29c7f.gif

_______________________________________________________________

4) hello_html_551e195e.gif

_______________________________________________________________

5) Вычислить logax , если logа b = 5, logа с = 4 и х = ahello_html_m57f9d398.gifbhello_html_6f764710.gifсhello_html_m28d00a0f.gif

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________






























10

1.4. Самостоятельная работа 2


1)Вычислить:

а) log9 15 + log9 18 - log9 10

_______________________________________________________________

б) 2loghello_html_m545717b3.gif6 - hello_html_m66d3e173.gifloghello_html_m545717b3.gif400 + 3loghello_html_m545717b3.gifhello_html_71e4f176.gif

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

2) Решить уравнение:

log3(x - 5) = 2

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

3)При каких х существует логарифм

log0,5(4х+35)

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________


*4)Вычислить 36hello_html_7d7f5ff7.gif+10hello_html_m412fa3bb.gif- 8hello_html_4bb8fb33.gif

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________






























11

1.5. Задания для самоконтроля

Вычисление логарифмов


1 вариант

1

2

3

4

5

1.

Вычислить:

hello_html_m4e54e936.gif


5


0


-1


1


25

2.

Вычислить:

hello_html_m79999f95.gif


0


1


5


-5


-1

3.

Вычислить:

hello_html_16e9e15c.gif


4


-4


-3


-5


25

4.

Вычислить:

hello_html_752c8048.gif


-3


5


25


-5


3

5.

Вычислить:

hello_html_mb2c5088.gif


6


5


25


-2


-5


1 вариант

1

2

3

4

  1. Вычислить :

hello_html_7cc25bb7.gif

у

1

2

К

м

3

т

4

  1. Вычислить:

hello_html_23be2dc0.gif

к

1

у

0,5


-3,5

Р

и

3

  1. Вычислить:

hello_html_45a5b6ee.gif

-1

Ю

о

1

р

0

м

2

  1. Определить х, если:

hello_html_m7c0ce732.gif

1

л

о

hello_html_m57c90caf.gif

с

hello_html_m660c2a5d.gif

hello_html_322c61c2.gif

к

Вычисления с использованием основных свойств логарифма.

1 вариант

1

2

3

4

1.Определить hello_html_39ea2446.gif, если известно, что hello_html_61de5e72.gif, hello_html_m2aa6889a.gif

у


3а+2в

К


2а+3в

м


а-в

т


а+в

2. Вычислить:

hello_html_m2dac8a84.gif

к


0,5

у


-0,5

л


1

р


1,5

3.Вычислить:

hello_html_m6f58f20c.gif

Ю


hello_html_685d8d49.gif

ё


hello_html_6eec8aff.gif

о


hello_html_2fd2c813.gif

м


hello_html_m4d2614a7.gif

4.Вычислить:

(hello_html_m58b6a0d3.gif

Л


2

к


1

с

hello_html_m34becb7c.gif

т


-1




12

1.6. Логарифмическая функция

В математике и её приложениях часто встречается функция у = hello_html_2c444e82.gif , где а – заданное число, аhello_html_m360d6129.gif, аhello_html_15e7f04c.gif

  • Область определения логарифмической функции – множество всех положительных чисел.hello_html_1d59b7be.png

  • Множествозначений логарифмической функции – множество всех действительных чисел.

  • Логарифмическая функция является возрастающей на промежутке xhello_html_m360d6129.gif, если аhello_html_39d6bfc0.gifи убывающей, если 0hello_html_m51903f04.gif

  • Если аhello_html_m547fa93c.gif , то функция у = hello_html_2c444e82.gif принимает положительные значения при хhello_html_789d35f4.gif отрицательные при 0 hello_html_m4a99685c.gif Если 0hello_html_m60dbc42.gif, то функция у = hello_html_2c444e82.gif принимает положительные значения при 0hello_html_m32d02a17.gif отрицательные при хhello_html_d477b9.gif

  • Отметим, что график любой логарифмической функции у = hello_html_2c444e82.gif проходит через точку (1;0).

  • При решении уравнений часто используется следующая теорема:

Теорема: Если hello_html_cb13e42.gif, где а > 0, а ≠ 1, х > 0, у > 0 то х = у.

Применение свойств функции при решении задач.

Свойство монотонности ( возрастания, убывания ) функции часто применяются при решении заданий сравнения чисел, например:

  1. Сравните числа: hello_html_mb123882.gif

Решение: функция У=hello_html_m6189097.gif обладает свойством ВОЗРАСТАНИЯ, следовательно, сравнивая выражения наших логарифмов, получаем, что hello_html_59b6b0eb.gif , значит, и сами логарифмы этих чисел получат при сравнении тот же знак: hello_html_7d9256ce.gif.

Приведём ещё пример:

  1. Сравните числа: hello_html_2c3c377f.gif

Решение: функция У=hello_html_m47c9e990.gif обладает свойством УБЫВАНИЯ, следовательно, сравнивая выражения наших логарифмов, получаем, что 17hello_html_m4a8d6f65.gif , значит, сами логарифмы этих чисел получат при сравнении противоположный знак: hello_html_1da1dc3a.gif

Итак, ВЫВОД: при сравнении логарифмов с основанием, большим 1, ставим знак тот же, что и при сравнении выражений наших логарифмов,

а при сравнении логарифмов, основания которых больше 0 , но меньше 1, знак сравнения выражений логарифмов меняем на противоположный.

А теперь попробуйте сами:

  1. Сравните числа: hello_html_m1a9c2299.gif

Решение: функция У=hello_html_m1d7b0841.gif обладает свойством ________________________, следовательно, сравнивая выражения наших логарифмов, получаем, что 81_____hello_html_m211555d9.gif , значит, сами логарифмы этих чисел получат при сравнении _____________________знак: hello_html_m14a2d88c.gif 13

1.7. Самостоятельнаяработа 3


  1. Сравните числа: hello_html_6bc162ab.gif

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

  1. Сравните числа: hello_html_31f167fd.gif

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

  1. Сравните числа :lg 2,7 и lg 3,5

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

  1. Из предложенных графиков функций укажите график логарифмической функции:

http://ivanov610.narod.ru/matem2009.files/image014.gif


Верный ответ под цифрой: _____________________________________________________________________________

  1. С помощью графиков выясните, сколько решений имеет уравнение:

hello_html_65baf210.gif

_____________________________________________________________________________

  1. Выясните, является ли функция возрастающей или убывающей функция:


  • У= hello_html_m99a95de.gif - эта функция является убывающей, поскольку её основание есть число меньше 1 (0,075hello_html_m547fa93c.gif)

  • У = hello_html_m33a553c3.gif эта функция является ____________, поскольку её основание есть число ________1 (hello_html_2e2d819c.gif

  • У = hello_html_7ddf8a00.gif ________________________________________________________________

  • У = hello_html_m39b77ba4.gif ________________________________________________________________

  1. Выясните, является ли положительным или отрицательным число:

  • hello_html_61113551.gif

Объяснение очень просто: число 3 и число 4,5 находятся по одну сторону от 1

(3hello_html_m547fa93c.gif и 4,5hello_html_m547fa93c.gif)

  • hello_html_6fb131dc.gif

Объясните самостоятельно: _______________________________________________ 14

  • hello_html_m22acd765.gif

  • hello_html_5b6d4ace.gif______0

Пока мы не умеем решать так называемые «Логарифмические уравнения» , поскольку не знаем способов решения, но мы знаем уже достаточно много, чтобы попробовать решить самые простые уравнения, приведём примеры:

  1. Решить уравнение :

  • hello_html_2acf2f99.gif

Используя теорему о равенстве логарифмов, получаем:

3х-2=7,

3х=9,

х=3.

Ответ: 3.

  • hello_html_m934782.gif такие уравнения рассматривались нами в разделе «Логарифмы. Основные понятия»

Решаем с помощью определения логарифма:

5х-1 =hello_html_3c336f41.gif,

5х-1 = 9,

5х = 10,

х = 2.

Ответ: 2.

  • hello_html_m1ea9dea9.gif

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

  • hello_html_m217fba99.gif

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

  • hello_html_m79cfb8f8.gif

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

  • hello_html_445d2b9e.gif

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

  1. Найдите область определения функции:

  • У= hello_html_m3cd442c2.gif, по определению логарифма, его выражение всегда положительно (независимо от основания логарифма) , поэтому:

х-1hello_html_m360d6129.gif, хhello_html_d477b9.gif Ответ: (1;hello_html_39e51d2b.gif.

  • У=hello_html_m55dce407.gif

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

  • У=hello_html_m35984831.gifх2),

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

  • У= hello_html_m60278d76.gif

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

  1. Установите, истинны ли следующие утверждения:

  • Если hello_html_m41ba5833.gif,

то х = -у._____________________________________________________________________

  • 1hello_html_m35a0b36a.gif.______________________________________________________________

15

1. 8. Логарифмические уравнения


Логарифмическими уравнениями называют уравнения вида logaf(x)=logag(x), (1)

где а — положительное число, отличное от 1, и уравнения, сводящиеся к этому виду.

Теорема. Если f(x) >0 и g(x) >0, то логарифмическое уравнение logaf(x)=logag(x)

(гдеа >0, a1) равносильно уравнению f(x) = g(x).

На практике эту теорему применяют так: переходят от уравнения (1) к уравнению

f(x) = g(x) (такой переход называют потенцированием), решают уравнение f(x) = g(x), а затем проверяют его корни по условиям f(x) >0, g(x) >0, определяющим область допустимых значений переменной (ОДЗ). Те корни уравнения f(x)=g(x), которые удовлетворяют этим условиям, являются корнями уравнения (1). Те корни уравнения f(x) =g(x), которые не удовлетворяют хотя бы одному из этих условий, объявляются посторонними корнями для уравнения (1).

Пример 1. Решить уравнение: hello_html_45923d61.gif.

Решение:

1) Потенцируя (т.е. освободившись от знаков логарифмов), получаем:

hello_html_2de53b18.gif;

hello_html_78890a84.gif;

hello_html_570f113e.gif=4, hello_html_m692a67ea.gif.

2) Проверим найденные корни по условиям: hello_html_m23a53da4.gif

Значение hello_html_dc854c4.gifне удовлетворяет этой системе неравенств (достаточно заметить, что hello_html_dc854c4.gifне удовлетворяет второму неравенству системы), т.е.hello_html_dc854c4.gif— посторонний корень для заданного уравнения. Значение х =-3 удовлетворяет обоим неравенствам системы, а потому х =-3 — корень заданного уравнения.

Ответ: х = -3.

Пример 2. Решить уравнение:hello_html_105f0cf.gif.

Решение:

1) Сначала надо преобразовать уравнение к виду (1). Для этого воспользуемся правилом: «сумма логарифмов равна логарифму произведения». Оно позволяет заменить выражение hello_html_m2d3c4eca.gif выражением hello_html_m34c1df62.gif. Тогда заданное уравнение можно переписать в виде:hello_html_md683c74.gif

2) Потенцируя, получаем:

hello_html_3537034f.gif =hello_html_m57f8dec7.gif;

hello_html_m69b59547.gif =hello_html_m57f8dec7.gif;

hello_html_m10b8114e.gif,

hello_html_m28d16a5b.gif, hello_html_2abe47fa.gif

3) Проверим найденные корни по условиям: hello_html_mfa5e26e.gif

(обратите внимание: условия для проверки всегда определяют по заданному уравнению). Значениеhello_html_3e56d1a5.gif удовлетворяет этой системе неравенств, а значение hello_html_46fc15f4.gif не удовлетворяет (это посторонний корень).

Ответ: hello_html_m4066f1.gif

Замечание. Иногда удобнее использовать другой порядок ходов: сначала решить систему неравенств — в примере 2 решением системы неравенств будет интервал (-1,5, 0,5); это — область допустимых значений переменной (ОДЗ) или область определения уравнения. Затем найти корни х1=-1, х2=-5,5. И, наконец, сделать проверку найденных значений х, но уже не с помощью системы неравенств, а по найденной заранее области допустимых значений. В примере 2 значение х = -1 принадлежит интервалу (-1,5, 0,5), а значение hello_html_46fc15f4.gif этому интервалу не принадлежит. Следовательно, hello_html_46fc15f4.gif — посторонний корень, т.е. hello_html_3e56d1a5.gif— единственный корень заданного логарифмического уравнения. 16

Подведем некоторые итоги.

Можно выделить три основных метода решения логарифмических уравнений:

1) Функционально-графический метод. Он основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функций.

2) Метод потенцирования. Он основан на теореме, полученной в начале параграфа. Мы применили этот метод в примерах 1 и 2.

3)Метод введения новой переменной.

Пример 3. Решить уравнение hello_html_m24a04bc3.gif

Решение: Введём новую переменную hello_html_m786d1d22.gif, тогда уравнение приобретает вид :

hello_html_m6b901233.gif

hello_html_2ff7beea.gif,

hello_html_54e47ca4.gif

Если hello_html_m274e050d.gif, то hello_html_626529b6.gif, отсюда следует, что hello_html_m1b3dd117.gif, hello_html_m2338e176.gif

Если hello_html_m69dd1488.gif, то hello_html_15feaded.gif, отсюда следует, что hello_html_3b08196c.gif, hello_html_m3ee6466.gif

Ответ: 4;8.

Рассмотрим ещё один из способов решения логарифмических уравнений:

Пример 4. Решить уравнение hello_html_1a98ce8d.gif

Решение: Возьмем от обеих частей уравнения логарифмы по основанию 5; это — равносильное преобразование уравнения, поскольку обе его части принимают только положительные значения. Получим: hello_html_m47906be3.gif

Учтем, что hello_html_m32f7482b.gif и что hello_html_m49f31b3c.gif

Этопозволит переписать заданное уравнение в виде: hello_html_4624c011.gifЗамечаем, что «проявилась» новая переменная hello_html_2b3c5f69.gif, относительно которой уравнение принимает весьма простой вид: hello_html_67940eee.gif

Далее получаем: hello_html_m6224d77f.gif

hello_html_m4f81fafa.gif

Ноhello_html_2b3c5f69.gif, значит, нам осталось решить два уравнения:hello_html_49ede7b6.gif

Из первого уравнения находим hello_html_2939c276.gif , т.е. hello_html_m48181c95.gif;

из второго уравнения находимhello_html_79d2d0cc.gif, т.е. hello_html_c392ee8.gifОтвет: hello_html_f8d41da.gif;hello_html_243dba37.gif


Задания для самостоятельного выполнения:

Решите уравнения:

  1. hello_html_m3748d195.gif,

ОДЗ:hello_html_m488841c1.gif

hello_html_43a2f382.gif

hello_html_4ef760cf.gif

По теореме о равенстве логарифмов:

hello_html_301e1332.gif ,

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ.

Ответ: _______________________.



17

  1. hello_html_49d62254.gif

ОДЗ: hello_html_fcc9874.gif

Применяя свойство суммы логарифмов, получаем:

hello_html_61582e31.gif=3,

По определению логарифма: __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________


Ответ:____________.

  1. hello_html_m638987a8.gif

Решение: введём новую переменную: hello_html_315c5135.gif, тогда получим уравнение:

hello_html_7bd78d8c.gif

hello_html_m6731daf4.gif,

hello_html_5ee18694.gif

Если hello_html_3473fe6a.gif, то hello_html_m6a38ecf3.gif, отсюда следует, что hello_html_af8b230.gif

Если hello_html_m24d2612d.gif _____________________________________________________________

Ответ: _________________.
































18

1.9. Самостоятельная работа 4

  1. Решите графически уравнение: hello_html_m143f55df.gif

Рассмотрим две функции:hello_html_m607b2610.gif и у hello_html_m27bf52e9.gif и построим их графики в одной х

у

0

системе координат.















2. Решите уравнение:

а) hello_html_436b98f5.gif

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

б) hello_html_70ddf4d3.gif

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

в) hello_html_4ae393ec.gif

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

г) hello_html_m21714623.gif

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3) Решение простейших логарифмических уравнений и систем.

1 вариант

1

2

3

4

  1. Решить уравнение:

hello_html_5dfa72a8.gif

у

3

К

4

м

1

т

-2

  1. Решить уравнение:

hello_html_4db04a38.gif

к

hello_html_m218a2db.gif

з

{9;hello_html_7f8f9891.gif}

Р

3



и

{3;hello_html_m18a0af9e.gif


  1. Решить уравнение:

hello_html_m23f0529d.gif


Ю

-4

е

hello_html_7342eef.gif

р

-2

м

1


Решите уравнения:

  1. hello_html_m3748d195.gif, 19

ОДЗ:hello_html_2a5d6c01.gif

По теореме о равенстве логарифмов:

hello_html_301e1332.gif ,

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ.

Ответ:_______________________.

  1. hello_html_49d62254.gif

ОДЗ: hello_html_fcc9874.gif

Применяя свойство суммы логарифмов, получаем:

hello_html_61582e31.gif=3,

По определению логарифма: __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Ответ:_______________________.


  1. hello_html_m638987a8.gif

Решение: введём новую переменную: hello_html_315c5135.gif, тогда получим уравнение:

hello_html_7bd78d8c.gif

hello_html_m6731daf4.gif,

hello_html_5ee18694.gif

Если hello_html_3473fe6a.gif, то hello_html_m6a38ecf3.gif, отсюда следует, что hello_html_af8b230.gif

Если hello_html_m24d2612d.gif _____________________________________________________________________

Ответ: _________________.






















20

1.10. Самостоятельная работа 5

1. Решите графически уравнение: hello_html_m143f55df.gif

х

у

0

Рассмотрим две функции:hello_html_m607b2610.gif и у hello_html_m27bf52e9.gif и построим их графики в одной системе координат.









2. Решите уравнение:

а) hello_html_436b98f5.gif

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

б) hello_html_70ddf4d3.gif

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

в) hello_html_4ae393ec.gif

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

г) hello_html_m21714623.gif

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Решение простейших логарифмических уравнений и систем.


1 вариант

1

2

3

4

  1. Решить уравнение:

hello_html_5dfa72a8.gif

у

3

К

4

м

1

т

-2

  1. Решить уравнение:

hello_html_4db04a38.gif


к

hello_html_m218a2db.gif

з

{9;hello_html_7f8f9891.gif}

Р

3



и

{3;hello_html_m18a0af9e.gif


  1. Решить уравнение:

hello_html_m23f0529d.gif


Ю

-4

е

hello_html_7342eef.gif

р

-2

м

1

  1. Решить систему:

hello_html_27e07121.gif

Л

(2;6);

(6;2)


о

(2;4);

(4;2)


с

(5;1);

(1;5)

К

(1;7);

(7;1)




21

1.11. Логарифмические неравенства

Логарифмическими неравенствами называют неравенства вида logaf(x)hello_html_m7c48e444.giflogag(x), (1)

где а — положительное число, отличное от 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду.

Теорема. Если f(x) >0 и g(x) >0, то:

логарифмическое неравенство logaf(x)>logag(x) равносильно неравенству того же смысла f(x) >g(x) при а > 1;

логарифмическое неравенство logaf(x)>logag(x) равносильно неравенству противоположного смысла f(x) hello_html_m7c48e444.gifg(x) при 0hello_html_m7c48e444.gifа hello_html_m7c48e444.gif1.

На практике эту теорему применяют так: переходят от неравенства logaf(x)>logag(x)

при а > 1 к равносильной ему системе неравенств:

hello_html_m58ae1a4f.gif

а при при 0hello_html_m7c48e444.gifа hello_html_m7c48e444.gif1к равносильной системе неравенств:

hello_html_77296061.gif

Первые два неравенства каждой из этих систем определяют область допустимых значений переменной для неравенства (1), а знак последнего неравенства каждой из систем (обратите внимание!) либо совпадает со знаком неравенства (1) — в случае, когдаа>1, — либо противоположен знаку неравенства (1) — в случае, когда 0 <1.

Пример 1. Решить неравенства:

а)hello_html_1f4ecb11.gif;б) hello_html_7d609ac4.gif.

Решение: а) Область допустимых значений переменной для заданного неравенства определяется условиями: hello_html_m644d35a1.gif и hello_html_m7d210c24.gif. Поскольку основанием логарифмов служит число 3, а оно больше 1, то, «освобождаясь» от знаков логарифмов, мы получим неравенство того же смысла: hello_html_1835eecc.gif.

В итоге получаем систему неравенств:

hello_html_3f02656.gif


Из первого неравенства системы находим hello_html_60e82c73.gif , из второго —hello_html_1b939032.gif, из третьего — hello_html_316aea26.gif

Геометрическая модель помогает найти решение системы неравенств:

hello_html_75acd7f.gif

C:\Documents and Settings\Администратор\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.Word\Image0144.jpg

б) Здесь основание логарифма, т.е. число hello_html_7f8f9891.gif, меньше 1. Значит, соответствующая система неравенств имеет вид:
hello_html_7f6e8043.gif

(обратите внимание: знак последнего неравенства системы противоположен знаку исходного логарифмического неравенства).


Из первого неравенства системы находим hello_html_f87ca86.gif, из второго — hello_html_1b939032.gif, из третьего — hello_html_4af21e56.gif. 22

Геометрическая модель помогает найти решение системы неравенств: hello_html_4ef16ca8.gif

C:\Documents and Settings\Администратор\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.Word\Image0145.jpg

Ответ: а)hello_html_52884441.gif; б)hello_html_4ef16ca8.gif

Замечание. Еще раз рассмотрим систему неравенств, которая получилась в примере 1а. Третье неравенство системы имеет вид 2л; -4 > 14 - я, а второе — 14 - х >0. Но из этих двух неравенств автоматически (по свойству транзитивности неравенств) следует, что2а; -4 >0. Что это значит? Это значит, что первое неравенство системы с самого начала можно было отбросить без всякого ущерба для решения системы.

Рассуждая аналогично, в системе неравенств, которую мы получили в примере 16, можно было с самого начала отбросить второе неравенство.

Получив систему неравенств, математики обычно смотрят, нет ли в ней неравенства, которое логически следует из других. Если такое неравенство есть, его можно отбросить. Советуем и вам так поступать, но, разумеется, только в том случае, если вы уверены в правильности своих выводов.

Пример 2. Решить неравенство:hello_html_m3a68413e.gif

Решение. Представим -4 в виде логарифма по основанию hello_html_6eec8aff.gif:

hello_html_m59aee809.gif Это позволит переписать заданное неравенство в виде:

hello_html_m2f8f0136.gif


Учитывая, что здесь основанием логарифмов служит число, меньше 1, составляем равносильную заданному неравенству систему неравенств:

hello_html_m3858630f.gif


Обратите внимание: если выполняется второе неравенство системы, то автоматически выполняется и первое неравенство (еслиАhello_html_m30bfbdb1.gif16, то тем более А>0). Значит, первое неравенство системы можно отбросить. Решая второе неравенство, находим:

hello_html_76ee3c46.gif

hello_html_5e99b86.gif

С помощью метода интервалов (рис.) C:\Documents and Settings\Администратор\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.Word\Image0147.jpg

получаем hello_html_m682e745e.gif

Ответ: hello_html_m682e745e.gif

Пример 3.

Решить неравенство: hello_html_28ba07ca.gif+hello_html_2c7c96e6.gif



Решение: Имеем последовательно:

hello_html_28ba07ca.gif+hello_html_497e3c54.gif

hello_html_m2510f2a4.gif

Значит, заданное неравенство можно преобразовать к виду

hello_html_2e1b9a4e.gif «Освобождаясь» от знаков десятичных логарифмов, получим неравенство того же смысла: hello_html_m4b0b7e49.gifА условия, задающие область допустимых значений переменной, всегда определяют по исходному неравенству; в данном примере они таковы: hello_html_738e1867.gif и hello_html_m6bd1032c.gif. В итоге получаем систему неравенств:

23

hello_html_m4f9ed4ff.gif


Первые два неравенства можно записать в виде двойного неравенства hello_html_5ffd6fa9.gif

Решая третье неравенство системы, находим:

hello_html_m48c1ffad.gif


hello_html_m165a590d.gif

hello_html_5b6f52cc.gif

C:\Documents and Settings\Администратор\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.Word\Image0148.jpg

Отметив на числовой прямой эти решения совместно с полученным ранее интервалом hello_html_7c0637b.gif, находим их пересечение

C:\Documents and Settings\Администратор\Local Settings\Temporary Internet Files\Content.Word\Image0151.jpg

т.е. решение составленной выше системы неравенств:hello_html_m64878d4.gif.

Ответ:hello_html_m64878d4.gif.

Пример 4. Решить неравенство hello_html_m6f65bfcf.gif.

Решение. Здесь «напрашивается» введение новой переменнойhello_html_18b0996e.gif, но сначала надо разобраться с выражением hello_html_m775ad9c7.gif.

Имеем: hello_html_32a71594.gif

Итак, если у = log2x, то hello_html_cf1eba4.gif

Поняв это, перепишем заданное неравенство в виде hello_html_14e6afc9.gif

Найдем корни квадратного трехчлена hello_html_46c34e8b.gif

Значит,hello_html_30cc53cf.gif, а потому последнее неравенство можно переписать в виде hello_html_634c31c0.gif

Находим решение неравенства: hello_html_m6dc4505e.gif.

Подставив вместоу выражение hello_html_68b09ae0.gif, получим: hello_html_m24dcdf15.gifили, что тоже

самое, hello_html_m3852d90d.gif. Остается «освободиться» от знаков логарифмов, сохранив имеющиеся знаки неравенств: hello_html_m39b65f9a.gifОтвет:hello_html_m39b65f9a.gif

Задание: Решите неравенство:

  1. hello_html_5457fd0a.gif

Составим систему неравенств:

hello_html_1b07fcf8.gif

при переходе от логарифмов к их выражениям знак неравенства _____________________________________________________________________________

х




Ответ:_________.


24

  1. hello_html_m783c76d3.gif.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

  1. hello_html_m713dfad1.gif

Представим число -4 в виде логарифма -4 =hello_html_m52ebaf83.gif, тогда получим систему неравенств:hello_html_mf8e008c.gif

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

х




Ответ:________________.

  1. hello_html_m26f73af5.gif.

Введём новую переменную y=hello_html_735f3f31.gif, тогда неравенство примет вид: _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ:__________________.

  • hello_html_m79cfb8f8.gif

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

  • hello_html_1f2f22d0.gif

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Найдите область определения функции:

  • У= hello_html_m3cd442c2.gif, по определению логарифма, его выражение всегда положительно (независимо от основания логарифма) , поэтому:

х-1hello_html_m360d6129.gif,

хhello_html_d477b9.gif

Ответ: (1;hello_html_39e51d2b.gif.

  • У=hello_html_m55dce407.gif

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

  • У=hello_html_m35984831.gifх2),

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

  • У= hello_html_m60278d76.gif

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Установите, истинны ли следующие утверждения:

  • Если hello_html_m41ba5833.gif,

то х = -у.

_____________________________________________________________________________

  • 1hello_html_m35a0b36a.gif.

___________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________


25

1.12. Самостоятельнаяработа 6

Решите неравенство:

  • hello_html_m595c1c7e.gif;

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

  • hello_html_m787fea1a.gif

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

  • hello_html_24651202.gif

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

  • hello_html_m69f5a548.gif

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

  • hello_html_11064d48.gif

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

  • hello_html_5f3a0a2a.gif

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

х




Ответ:_________.






















26

1.13. Контрольная работа


Задание

Варианты ответов

1

2

3

4

5

1.Вычислить:

a) hello_html_m5c9a4102.gif

b) hello_html_1d61bdc0.gif


1

2


4

0


4

-6


4

-4


0

-6

2.Решить простейшее уравнение:

hello_html_eb0a9e7.gif



5



6



4,5



5,5



hello_html_7342eef.gif

3.Решить уравнение:

hello_html_135455cc.gif+hello_html_m2a08d518.gif=2



-1



-5;2



hello_html_m4b4f6714.gif



-2;1



2

4.Решить неравенство:

hello_html_m53489c33.gif


(hello_html_6eec8aff.gif;5)


hello_html_7342eef.gif


hello_html_m7d941101.gif



(hello_html_36b5a9e0.gif;hello_html_m7584fd0.gif


hello_html_6b3fb62d.gif

5.Найти область определения функции:

Y=hello_html_m423c3733.gif-7x)


hello_html_7342eef.gif


hello_html_m6523b5cb.gif


hello_html_m5811f86.gif


hello_html_m136d9bc6.gif


hello_html_m3303042f.gif

































27


Краткое описание документа:

 

1. Рабочая тетрадь по математике

Тема: «Логарифмы и их свойства.

Логарифмическая функция. Логарифмические  уравнения».

 

Рабочая тетрадь рассчитана на самостоятельное (или под руководством учителя) изучение обучающимися темы «Логарифмическая функция» в полном объёме. Структура рабочей тетради соответствует разделам учебника Ш.А. Алимова «Алгебра и начала анализа» для  10-11 классов, а уровень заданий - требованиям, предъявляемым Государственным стандартам полного сребнего образования по предмету «Математика». Рабочая тетрадь включает следующие темы: «Понятие логарифма», «Логарифмы и их свойства», «Логарифмическая функция, ее свойства и график», «Решение логарифмических уравнений», «Решение логарифмических неравенств». В пособии коротко представлены: теория (более подробно в учебнике), разобранные примеры решений заданий, различные варианты заданий по материалам учебного пособия, позволяющие обучающимся работать самостоятельно.

Даются проверочные задания для закрепления, контроля и самоконтроля знаний учащихся. Пособие с успехом можно использовать при подготовке к сдаче экзамена, доступная форма изложения позволит быстро восстановить знания.

Содержание

 

1.

Логарифмы и их свойства. Логарифмическая функция. Логарифмические  уравнения………………………………………………………………………………

 

4

 

1.1. Понятие  логарифма………………………………………………………………

1.2. Самостоятельная работа 1………………………………………………………..

1.3. Свойства логарифмов………………………………….…………………………

1.4. Самостоятельная  работа 2……………………………………………………….

1.5. Задания для самоконтроля…………………………………………………….…  

1.6. Логарифмическая функция………………………………………………………

1.7. Самостоятельная работа 3………………………………………………………..

1. 8. Логарифмические уравнения……………………………………………………

1.9. Самостоятельная работа 4………………………………………………………..

1.10. Самостоятельная работа 5………………………………………………………

1.11. Логарифмические неравенства…………………………………………………

1.12. Самостоятельная работа 6………………………………………………………

1.13. Контрольная работа……………………………………………………………..

5

8

9

11

12

13

14

16

19

21

22

26

27

 

 

 

 

Автор
Дата добавления 18.06.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров1991
Номер материала 569902
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх