Рабочий лист "Метод интервалов"

РАБОЧИЙ ЛИСТ
«Метод интервалов»

Если неравенство имеет  вид  f(x)<0 (а также f(x) > 0 или f(x) ≤ 0 или f(x) ≥0), то его удобно решать методом интервалов.

 Например: (x−7)·(x+7) ≤ 0 или или    > 0 или    ≤ 0  и т. д.

Алгоритм метода интервалов

1)       Сначала находят нули каждого множителя, а если в левой части неравенства – дробь, то находят нули числителя и нули знаменателя. Для этого каждый множитель левой части (числитель и знаменатель) приравнивают к нулю, и решают полученные уравнения. 

2)       На числовую прямую наносят точки, соответствующие найденным в пункте 1) нулям.  (Не обязательно соблюдать единичные отрезки, достаточно   придерживаться известного правила: точка с меньшей координатой находится левее точки с большей координатой).  После этого определяют, как их надо изобразить: закрашенными или не закрашенными (выколотыми). При решении строгого неравенства (со знаком < или >) все точки изображаются светлыми (выколотыми). При решении нестрогого неравенства (со знаком ≤ или ≥) точки, отвечающие нулям знаменателя, изображаются выколотыми, а оставшиеся отмеченные точки – темными. Все отмеченные точки разбивают координатную прямую на несколько числовых промежутков.

3)       Определяют знаки выражения f(x) из левой части решаемого неравенства на каждом промежутке: из каждого интервала выбирают произвольное число и вычисляют значение левой части неравенства. Знак полученного результата – это и есть знак левой части на выбранном интервале. Над интервалом проставляются + или − в соответствии с определенными знаками.

4)       При решении неравенства со знаком < или ≤  штриховку наносят над промежутками, отмеченными знаком  «− », а при решении неравенства со знаком > или ≥   –  над промежутками, отмеченными знаком «+». В результате получается геометрическое представление числового множества, которое и является искомым решением неравенства.

Примеры решения неравенств методом интервалов

1.      Решить неравенство (x + 1)(x – 1)(x – 2) > 0.

1)	Находим корни линейных множителей: х+1=0 или х-1=0 или х-2=0  x1 = –1, x2 = 1, x3 = 2
2)	Наносим корни на числовую ось.  Три корня x1 = –1, x2 = 1, x3 = 2 разбивают числовую ось на четыре промежутка: (–∞ ; –1), (–1; 1), (1; 2), (2; +∞ ).
3)	Определяем знаки. Лучше начать справа. При x > 2 (то есть правее самого большого корня) все множители положительны. Следовательно, все произведение положительно. При переходе справа налево через один корень ровно один множитель будет менять знак. Следовательно, знаки будут чередоваться. Надпишем их над промежутками.                                     -              +                     -                  +                                               -1                      1                     2
4)	Запишем ответ, выбрав промежутки, соответствующие решаемому неравенству. Ответ: (–1; 1) ⋃ (2; +∞).

2. Решить неравенство:   > 0.

1)	найдем нули числителя и знаменателя.  х – 5 = 0             х + 1 = 0 х = 5                    х =  – 1
2)	Точки, соответствующие нулям числителя и знаменателя, изображаем выколотыми (светлыми) в силу того, что неравенство строгое. Полученные числа разбивают числовую прямую на три промежутка (−∞, −1), (−1, 5) и (5, +∞).
3)	Отмечаем знаки справа налево. Определим знак дроби   на каждом из этих промежутков.  На промежутках (−∞, −1) и (5, +∞) дробь   положительна, а на интервале (−1, 5) отрицательна.                                    +              -                  +                                               -1                      5
4)	В ответ записываем промежутки со знаком плюс. Ответ: (−∞, −1) ⋃ (5, +∞).

3. Решить неравенство        .

1)	Чтобы привести его к стандартному рациональному неравенству, надо перенести число 1 из правой части в левую и преобразовать. Не пытайтесь освободиться от знаменателя!
2)	Наносим нули числителя и знаменателя на прямую.
3)	Расставляем знаки.
4)	Записываем ответ. Ответ: (–∞ ; –2) È (2; 3).

Решите неравенства, применяя метод интервалов:

1.	2.	Критерии оценивания На оценку «5» нужно решить 13 неравенств без ошибок На оценку «4» нужно решить 11 неравенств без ошибок На оценку «3» нужно решить 7 неравенств без ошибок
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.