РАБОЧИЙ УЧЕБНИК ДИСЦИПЛИНЫ ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 2 КУРСА Специальность 09.02.07 Информационные системы и программирование

Министерство образования и молодежной политики Свердловской области

государственное автономное профессиональное образовательное учреждение Свердловской области

«Уральский железнодорожный техникум»

РАБОЧИЙ УЧЕБНИК  ДИСЦИПЛИНЫ

                     ЭЛЕМЕНТЫ  ВЫСШЕЙ    математикИ   для студентов 2 курса Специальность 09.02.07 Информационные системы и программирование

Студента группы____________________________________

Разработал преподаватель математики Пластун Сергей Владимирович

                                ЕКАТЕРИНБУРГ 2020

  Содержание

ТЕЗИСЫ ЛЕКЦИЙ                                                                                    стр
Тема 1. Определители, их свойства и вычисление……………………..    4
Тема 2. Матрицы………………………………………………………….    7 Тема 3. Векторы…………………………………………………………..   10 Тема 4. Произведения векторов………………………………………….   14
Тема 5. Системы линейных уравнений………………………………….   17
Тема 6. Прямая на плоскости…………………………………………….   20
Тема 7. Кривые второго порядка…………………………………………  24
Тема 8. Плоскость…………………………………………………………  29
Тема 9. Прямая в пространстве…………………………………………..   33
Тема 10. Поверхности второго порядка…………………………………   37

                                 ТЕЗИСЫ  ЛЕКЦИЙ

Тема 1. Определители

Цель: Познакомить студентов с понятием определителя и методами вычислений определителей различных порядков.

План:

1.     Основные понятия.

2.     Свойства определителей.

3.     Методы вычисления определителей.

   1.   Определителем n-го порядка называется число , записываемое в виде квадратной таблицы

                                                                                               (1.1)

и вычисляемое, согласно указанному ниже правилу, по заданным числам , которые называются элементами определителя. Индекс i указывает номер строки, а j – номер столбца квадратной таблицы (1.1), на пересечении которых находится элемент . Любую строку или столбец этой таблицы будем называть рядом.

   Главной диагональю определителя называется совокупность элементов , ,…, .

   Минором элемента  называется определитель (n – 1)-го порядка , полученный из определителя n – го порядка  вычеркиванием i-й строки из    j-го столбца.

   Алгебраическое дополнение  элемента  определяется равенством

                              .

   Значение определителя  находится по следующему правилу.

   Для n = 2

                                                                                 (1.2)

   Для n = 3

                                                   (1.3)

или                  

                                                (1.4)

   Для произвольного n

                         или                                     (1.5)

Формулы (1.5)  называются формулами разложения определителя по элементам i-ой строки или j-го столбца, соответственно.

  2. Свойства определителей:

      1) значение определителя не меняется после замены всех его строк соответствующими столбцами, и наоборот;

      2) если поменять местами два параллельных ряда определителя, то он изменит знак на противоположный;

      3)  определитель с двумя одинаковыми параллельными рядами равен нулю;

      4) если все элементы некоторого ряда определителя имеют общий множитель, то последний можно вынести за знак определителя. Отсюда следует, что если элементы, какого – либо ряда умножить на число , то определитель  умножится на это же число ;

     5) если все элементы, какого – либо ряда определителя равны нулю, то определитель также равен нулю;

     6) определитель, у которого элементы двух параллельных рядов соответственно пропорциональны, равен нулю;

     7) сумма всех произведений элементов какого – либо ряда определителя и алгебраических дополнений соответствующих элементов другого параллельного ряда равна нулю, т.е. верны равенства:

                          ; 

     8) если каждый элемент какого – либо ряда определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей, в первом из которых соответствующий ряд состоит из первых слагаемых, а во втором – из вторых слагаемых:

            ;

     9) определитель не изменится, если ко всем элементам какого – либо его ряда прибавить соответствующие элементы другого параллельного ряда, умноженные на одно и то же произвольное число .

  3. Рассмотрим основные методы вычисления определителей.

      - Правило треугольников (правило Саррюса) для вычисления определителя 3-го порядка:

                                                         (1.6)

   Схематическая запись этого правила   приведена ниже:

   

   Например,

                         

     - Метод понижения порядка. В соответствии с формулой (1.5) вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению n определителей (n – 1)-го порядка. Этот метод понижения порядка не эффективен. Используя свойства определителей, вычисление  всегда можно свести к вычислению одного определителя (n – 1)-го порядка, сделав в каком – либо ряду  все элементы, кроме одного, равными нулю.

     -Приведение определителя к треугольному виду. Определитель, у которого все элементы, находящиеся выше или ниже главной диагонали, равны нулю, называется определителем треугольного вида. Очевидно, что в этом случае определитель равен произведению элементов его главной диагонали. Приведение любого определителя  к треугольному виду всегда возможно.

Контрольные вопросы:

1.     Что называется порядком определителя ?

2.     Что называется минором элемента ?

3.     Дайте определение алгебраического дополнения элемента .

4.     Как вычисляются определители 2-го и 3-го порядков ?

5.     Как записываются формулы разложения определителя по элементам строки или столбца ?

6.     Перечислите свойства определителя.

7.     В чем заключается метод понижения порядка ?

8.     Как привести определитель к треугольному виду ?

Тема 2. Матрицы

Цель: Познакомить студентов с понятием матрицы и операциями над ними.

План:

1. Основные понятия.

2. Операции над матрицами.

3. Обратная матрица. Матричные уравнения.

4. Ранг матрицы.

     1. Матрицей A размером называется прямоугольная таблица, составленная из  элементов (i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n) некоторого множества, записанная в виде:

                или                            (2.1)             

Первый индекс i элемента  обозначает номер строки, а второй j – номер столбца, на пересечении которых находится этот элемент в матрице. Матрицы обычно обозначают буквами латинского алфавита: А, В, С, …

       Матрица называется числовой, если ее элементы  - числа; функциональной, если  - функции; векторной, если   - векторы и т.д.                   Матрицы А и В называются равными, если все их соответствующие элементы  и  равны, т.е.  = . Следовательно, равными могут быть только матрицы одинаковой размерности.

      Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны нулю.

      Матрицы, у которых , называются квадратными. Определитель, составленный из элементов квадратной матрицы, называется определителем или детерминантом detA матрицы.

      Квадратная матрица, у которой все элементы, находящиеся выше или ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.

      Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной  матрицей.

      Диагональная  матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной                                 (2.2)

      Квадратная матрица называется вырожденной (невырожденной), если ее определитель равен (не равен) нулю.

      Если i = 1, то получаем матрицу – строку; если j =1, имеем матрицу – столбец. Их так же называют вектор – строкой и вектор – столбцом, соответственно.

     2. Операции над матрицами.

     -  Транспонирование матрицы – это операция замены строк столбцами и наоборот, т.е. строки становятся столбцами, а столбцы – строками. Полученная матрица называется транспонированной и обозначается .

     - Сложение матриц. Эта операция определяются только для матриц одинаковой размерности. Суммой (разностью) матриц А и В называется матрица С = А ± В, элементы которой , где  и   - соответственно элементы матриц А и В.                      

     - Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А и числа , обозначаемым А, называется матрица В той же размерности, элементы которой =, где  - элементы матрицы А, т.е. при умножении матрицы на число (числа на матрицу) надо все элементы матрицы умножить на это число.

   - Умножение матриц. Произведением матриц  размером  и  размером  называется матрица , элементы которой , где ,  - элементы матриц А и В. Произведение АВ существует только в случае, когда первый множитель А имеет число столбцов, равное числу строк второго множителя В. Далее, число строк матрицы АВ равно числу строк А, а число столбцов – числу столбцов В. Из существования произведения АВ не следует существование произведения ВА. В случае его существования, как правило ВА  АВ. Если АВ = ВА, то матрицы А и В называются перестановочными (или коммутирующими).

       3.  Матрица  называется обратной для квадратной матрицы А, если == Е, где  Е –единичная матрица того же порядка, что и матрица А.

       Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной, т.е. detA ≠ 0.  Можно показать, что обратная матрица для данной А является единственной и определяется по алгоритму

                                              (2.3)

Матрица  называется присоединенной, ее элементами являются алгебраические дополнения  транспонированной матрицы .

        Матричными уравнениями называются уравнения вида

                      , , ,                                                     (2.4)

 где А, В, С – известные матрицы, а Х – неизвестная. Их решения имеют вид

                 , , , соответственно.                    (2.5)

        4. Минором k-го порядка матрицы А называется определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении любых k строк и k столбцов матрицы. 

      Рангом матрицы А (обозначается rang А или r(A)) называется наибольший порядок минора отличного от нуля.

      Теорема 1. Ранг матрицы не изменится, если:

1)    поменять местами любые два параллельных ряда;

2)    умножить каждый элемент ряда на один и тот же множитель 0;

3)    прибавить к элементам ряда соответствующие элементы любого другого параллельного ряда, умноженные на один и тот же множитель.

Преобразования 1 – 3 называются элементарными.

Две матрицы называются    эквивалентными, если одна матрица получается из другой с помощью элементарных преобразований. Эквивалентность матриц А и В обозначаются А ~ В.

Применяя элементарные преобразования, несложно найти ранг матрицы. Пример: найти ранг матрицы .  Умножим 1-ую строку на (-4) и прибавим ко 2-ой строке, затем умножим 1-ую строку на (-7) и прибавим к 3-ей.

Получим матрицу  .  Теперь  умножим 2-ую строку на (-2) и прибавим к 3-ей.    Получим матрицу  .

Число ненулевых строк дает ранг матрицы, т.е. r(A)=2.                                                                                                                                                                                                            Контрольные вопросы:

1. Дайте определение матрицы.

3. Какая матрица называется нулевой, квадратной, треугольной, диагональной, единичной?

4. Что называется детерминантом матрицы ?

5. Какая матрица называется вырожденной (невырожденной) ?

6. Что называется суммой матриц ?

7. Что получается в результате умножения матрицы на число ?

8. Какая матрица называется транспонированной ?

9. Как перемножаются матрицы ?

11. Какая матрица называется обратной и каково условие ее существования?

13. Какие уравнения называются матричными и как они решаются?

15. Что называется минором k-го порядка ?

16. Что называется рангом матрицы ?

17. Какие преобразования матрицы называются элементарными ?

18. Какие матрицы называются эквивалентными ?

Тема 3. Векторы

Цель: Ознакомить студентов с понятием вектора и его координатным представлением.

План:

1. Вектор, основные понятия.

2. Линейные операции над векторами.

3. Арифметическое определение вектора.

4. Линейная комбинация  векторов. Разложение вектора по базису.

     1. Вектором называется направленный отрезок. Если начало вектора находится в точке А, а конец – в точке В, то вектор обозначается . Если же начало и конец вектора не указываются, то его обозначают строчной буквой латинского алфавита , , , … На рисунке направление вектора изображается стрелкой (рис.3.1).

              Рис. 3.1                                                                Рис. 3.2

     Через  обозначает вектор, направленный противоположный вектору . Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым и обозначается . Его направление является неопределенным. Другими словами, такому вектору можно приписать любое направление.

       Длиной или  модулем вектора называется расстояние между его началом и концом. Записи || (или АВ) и || (или а) обозначают модули векторов  и , соответственно.

       Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой, и компланарными,  если они параллельны одной плоскости.

       Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково напрвлены и равны по длине. На рис. 3.2 изображены пары равных векторов  и ,  и :  = ,  = . Из определения равенства векторов следует, что векторы можно переносить параллельно самим себе, не нарушая их равенства. Такие векторы называются свободными.

     2. К линейным операциям над векторами относятся: умножение вектора на число и сложение векторов.

      Произведением вектора  и числа α называется вектор, обозначаемый α (или α), модуль которого равен |α|||, а направление совпадает с направлением вектора , если α > 0, и противоположно ему, а α < 0 .

     Суммой векторов _i  называется вектор =₁+ ₂+…+ _n = , начало которого находится в начале первого вектора ₁, а конец – в конце последнего вектора _n ломаной линии, составленной из последовательности слагаемых векторов (рис.3.3). Это правило сложения называется правилом

                    Рис. 3.3                                                     Рис.3.4.

замыкания ломаной. В случае суммы двух векторов оно равносильно правилу параллелограмма (рис. 3.4). Линейные операции над векторами удовлетворяют свойствам, по форме аналогичным свойствам умножения и сложения чисел. Например,

            +  =  + , (α + β) = α + β, α( + ) = α + α,

                           + (-1)  =   –  = , 1 = , 0 =    и т.д.

     3. Вектором в n-мерном пространстве R_n называется упорядоченная совокупность n действительных чисел

                        = ()                                                          (3.1)

Числа  называются координатами вектора.

      В трехмерном пространстве за координаты обычно принимают проекции вектора на оси координат Ox, Oy, Oz.

     Проекцией вектора  на ось l называется число, обозначаемое пр_l и равное || cos φ, где φ (0≥φ≤π) – угол между положительным направлением оси l и направлением вектора , т.е. по определению пр_l = ||cos φ. Геометрически проекцию вектора а можно охарактеризовать длиной отрезка MN, взятой со знаком «+», если 0 ≤φ≤π/2, и со знаком «-», если π/2<φ≤π (рис. 3.5). При φ=π/2 отрезок MN превращается в точку.

L

                    

                                                  Рис. 3.5

     Таким образом, запись  = (а_х, а_y, а_z) означает, что вектор  имеет координаты а_х, а_y, а_z, которые равны проекциям вектора  на взаимно перпендикулярные оси Ox, Oy, Oz.

          Если известны координаты вектора, то модуль вектора

                     || =  ,                                                            (3.2)

а ориентация вектора в пространстве определяется направляющими косинусами

          ,  ,                                               (3.3)

     Если М₁(x₁, y₁, z₁) и М₂(x₂, y₂, z₂), то .

     При умножении вектора на число все координаты вектора умножаются на это число. Значит, координаты коллинеарных векторов пропорциональны:

                                                                                              (3.4)

     При сложении векторов соответствующие координаты векторов-слагаемых складываются.

     Для равенства двух векторов необходимо и достаточно, чтобы их соответствующие координаты были равны.

     4. Линейной комбинацией векторов _i  называется вектор , определяемый по формуле  = λ₁₁+ λ₂₂+…+ λ_n n = , где λ_i  - некоторые числа.

    Если для системы n векторов _i равенство

                                 λ₁₁+λ₂₂+…+λ_nn=                                            (3.5)

верно только в случае, когда все λ_i = 0, то эта система называется линейно независимой. Если же равенство (3.5) выполняется для λ_i,, хотя бы одно из которых отлично от нуля, то система векторов _i называется линейно зависимой. Например, любые коллинеарные векторы, три компланарных вектора, четыре и более векторов в трехмерном пространстве всегда линейно зависимы.

   Три упорядоченных линейно независимых векторов ₁, ₂, ₃ в пространстве называются базисом. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов всегда образует базис. Любой вектор  в пространстве можно разложить по базису ₁, ₂, ₃, т.е. представить в виде линейной комбинации базисных векторов:

                         = λ₁₁ + λ₂₂ + λ₃₃,                                                       (3.6)

где λ₁, λ₂, λ₃ называются координатами вектора а в базисе ₁, ₂, _3.

       Базис называется ортонормированным, если его векторы взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину. Обозначает такой базис , ,  и называют декартовым. Соответственно разложение вектора  по декартовому базису будет иметь вид

                         =а_х  + а_y  + а_z                                                           (3.7)

Контрольные вопросы:

1. Что называется геометрическим вектором ?

2. Что называется модулем вектора ?

3. Какие вектора называются коллинеарными ?

4. Какие вектора называются компланарными ?

5. Какие вектора называются равными ?

6. Линейные операции над векторами: умножение вектора на число и сложение  векторов, их свойства.

7. Правила сложения векторов.

8. Арифметическое определение вектора.

9. Проекция вектора на ось. Координаты вектора в трехмерном пространстве.

10. Выражение модуля через координаты.

11. Направляющие косинусы вектора.

12. Линейные операции над векторами в координатной форме.

13. Условие коллинеарности векторов.

14. Линейная комбинация векторов.

15. Линейно зависимые и независимые системы векторов.

16. Базис в трехмерном пространстве.

17. Какой базис называется ортонормированным ?

18. Разложение вектора по базису.

Тема 4. Произведения векторов

Цель: Ознакомить студентов с различными видами произведения векторов и их приложениями в геометрии и физике.

План:

1. Скалярное произведение векторов.

2. Векторное произведение векторов.

3. Смешанное произведение векторов.

     1.Скалярным произведением двух векторов  и  называется число, равное произведению модулей данных векторов на косинус угла между ними:

                     · = |||| cos (),                                                         (4.1)

где () обозначает меньший угол между направлениями векторов  и . Отметим, что всегда 0 ≤ () ≤ π.

   Перечислим основные свойства скалярного произведения векторов:

1)     ·  = ·;

2)    (λ) · = λ (·) = · (λ );

3)    · ( + ) = ·  + · ;

4)    ·  = || пр_а  =|| пр_b;

5)    · = ||²;

     Если    = а_х  + а_y  + а_z ,      = b_х  + b_y + b_z ,    то

                   ·  = а_х b_х + а_y b_y + а_z b_z                                                                                  (4.2)

     Если     , то  

                        · = 0 или а_х b_х + а_y b_y + а_z b_z = 0                                (4.3)

- условие перпендикулярности векторов.

     Работа А, произведенная силой  при перемещении тела на пути ||, определяемом вектором , вычисляется по формуле

                                                  

           А=·=| ||  | cos (, ).                                                      (4.4)

    2. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов ,, с общим началом в точке 0 называется правой, если кратчайший поворот от вектора  к вектору  наблюдается из конца вектора  проходящим против движения часовой стрелки (рис. 4.1а). В противном случае данная тройка называется левой (рис. 4.1б).

                                                  Рис. 4.1

       Векторным произведением векторов  и  называется вектор = , который удовлетворяет следующим трем условиям:

1)    || = || || sin ();

2)     ,  ;

3)    тройка , , – правая (рис. 4.1а).

   Перечислим основные свойства векторного произведения векторов:

1)     = - ();

2)    (λ)   = λ( ) =  (λ );

3)    (+ ) = + ;

4)       =   || ;

5)      | | = S, где S – площадь параллелограмма, построенного на векторах   и , имеющих общее начало в точке О (см. рис. 4.2).

    Если      = а_х + а_y + а_z ,      = b_х  + b_y  + b_z ,

то векторное произведение  выражается через координаты данных векторов  и  следующим образом:

=                  (4.5)

   С помощью векторного произведения можно вычислить вращающий момент  силы , приложенной к точке В тела, закрепленного в точке А (рис. 4.3):

                                =                                                         (4.6)

                 Рис. 4.2                                                               Рис. 4.3

  3.  Смешанным произведением векторов ,, называется число ()·.

   Перечислим основные свойства смешанного произведения векторов:

1)    ()· = ·(), поэтому смешанное произведение можно обозначать проще: ;

2)     = =   = -  = - = -;

3)    геометрический смысл смешанного произведения заключается в следующем: ││ = V – объему параллелепипеда, построенного на перемножаемых векторах (см. рис. 4.1);

4)     = 0  , , компланарны.

   Если     = а_х + а_y+ а_z ,     = b_х + b_y  + b_z ,    = с_х  + с_y + с_z ,  то

                     = .                                                  (4.7)

    Из свойства 3 следует условие компланарности трех векторов:   = 0.

Контрольные вопросы:

1. Какое произведение векторов скалярным ?

2. Перечислите свойства скалярного произведения векторов.

3. Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов.

4. Условие перпендикулярности векторов.

5. Какая тройка векторов называется правой (левой) ?

6. Векторное произведение векторов.

7. Свойства векторного произведения векторов.

8. Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых  векторов.

9. Физический смысл векторного произведения.

10. Смешанное произведение векторов, его свойства.

11. Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых  векторов.

12. Условие компланарности трех векторов.

Тема 5. Системы линейных уравнений

Цель: Ознакомить студентов с различными видами произведения векторов и их приложениями в геометрии и физике.

План:

1. Система линейных уравнений, основные понятия.

2. Однородные системы.

3. Условие совместности неоднородной системы.   

4. Методы решения систем линейных уравнений.

     1.  Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

                                                        (5.1)

     Здесь х₁, х₂, …, х_n - неизвестные, подлежащие определению (в общем случае m ≠  n); величины а₁₁, а₁₂, …, а_mn  - коэффициенты системы, b₁, b₂, …, b_m- свободные члены, которые предполагаются известными.

      Система (5.1) называется однородной, если все ее свободные члены b₁, b₂, …, b_m  равны нулю, и  неоднородной,  если хотя бы один из свободных членов b₁, b₂, …, b_m  отличен от нуля.

     Система (5.1) называется квадратной, если число m составляющих ее уравнений равно числу неизвестных n.

     Решением системы (5.1) называется упорядоченный набор n чисел  (), которые, будучи подставлены в систему, превращают уравнения в числовые равенства (тождества).

     Система (5.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее не существует ни одного решения.

    Совместная система вида (5.1) называется определенной, если она имеет единственной решение, и неопределенной, если у нее существует, по крайней мере, два различных решения.

     2. Однородная система линейных уравнений, т.е. система вида

                                                                  (5.2)

всегда совместна, так как она всегда имеет  нулевое (тривиальное) решение

х₁ = х₂ …= х_n = 0.

     Теорема 5.1. Однородная система (5.2) имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда ранг r матрицы системы меньше числа n ее столбцов.

     Следствие. Квадратная однородная система имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, равен нулю.  

     В самом деле, в случае квадратной однородной системы (5.2), т.е. при m = n ранг r матрицы системы будет меньше числа m = n тогда и только тогда, когда определитель этой матрицы равен нулю.

    3. Установим теперь необходимое и достаточное условие совместности неоднородной системы вида (5.1). С этой системой связаны две матрицы:

                             ,                                             (5.3)

называемой основной матрицей системы (5.1) и матрица

                                                                           (5.4)    

которую принято называть расширенной матрицей системы (5.1).    Совместность неоднородной системы устанавливается следующей теоремой.

    Теорема 5.2 (теорема Кронекера - Капелли). Для того чтобы линейная система (5.1) являлась совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу ее основной матрицы.  

      4. Рассмотрим некоторые методы решения квадратных систем линейных уравнений.

     Пусть дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными

                                                                                  (5.5)

    - Метод Крамера. При решении методом Крамера:

 а) вычисляется главный определитель системы  ;

б) находят определители

            ,  , ,

которые получаются из главного определителя заменой соответствующего столбца столбцом из свободных членов;

в) определяют по формулам Крамера значения  , ,  ,   которые и являются решением системы.

    - Матричный метод.

     Матричное уравнение АХ=В  называется матричной формой записи системы (5.1) , где - основная матрица системы,  - матрица неизвестных,  - матрица свободных членов. Тогда согласно формуле (2.5):

а) находят матрицу А^-1, обратную основной матрице системы;

б) находят решение в матричном виде  Х=А^-1 В

    - Метод Гаусса.

  Элементарными преобразованиями системы называются следующие действия:

1)  перестановка уравнений;

1)    умножение обеих частей любого из уравнений системы на число 0;

2)    прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на одно и то же число;

3)    вычеркивание из системы уравнений вида ,           которые могут быть получены в результате преобразований  (1) -  (3).

Элементарные преобразования не изменяют решения системы

     При решении системы методом Гаусса:

а) с помощью элементарных преобразований приводят систему (5.5) к  треугольному виду:         

б) из третьего уравнения определяют ; затем, подставив полученное значение  во второе уравнение, находят ; подставив найденные значения в первое уравнение, находят .

    Замечание. Методы Крамера и матричный применимы только для решения квадратных систем, а метод Гаусса является универсальным и может быть применен для решения любых систем.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение системы линейных уравнений и ее основных параметров.

2. Какие системы называются однородными (неоднородными) ?

3. Что называются решением системы ?

4. Какие системы называются совместными (несовместными) ?

5. Какие системы называются определенными (неопределенными) ?

6. Теорема о существовании нетривиального решения однородной системы. 

7. Теорема Кронекера – Капели (о совместности неоднородной системы).

8. Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

9. Решение систем линейных уравнений матричным методом.

10. Элементарные преобразования системы линейных уравнений.

11. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Тема 6. Прямая на плоскости.

Цель: Познакомить студентов с различными способами задания прямой на плоскости.

План:

1. Уравнение линии на плоскости.

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

3. Общее уравнение прямой.

4. Уравнение прямой, прохо­дящей через данную точку в заданном направлении.

5. Уравнение прямой в отрезках.

6. Угол между двумя прямыми.

7. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

8. Расстояние от точки до прямой.

      1. Уравнением линии на плоскости в прямоугольной системе координат называется уравнение

                                f (x; y) = 0                                                                  (6.1)

с переменными x и y, которому удовлетворяют координаты каждой точки данной линии и не удовлетворяет координаты любой точки плоскости, не лежащей на этой линии. Переменные x и y уравнения линии называются текущими координатами.

Частным случаем линии на плоскости является прямая.

     2. Пусть прямая l не параллельна оси Оу (рис. 6.1). Обозначим точку пересечения l с осью Оу через В(0;b), а угол между положительным направлением оси Ох и l через φ. Угол φ, отсчитываемый от Ох против часовой стрелки (0≤φ<π), называется углом наклона прямой l к оси Ох. Выведем уравнение прямой l.

     Пусть М(х; у) - произ­вольная точка прямой  l с те­кущими координатами х и у, причем х≠0. Из прямоуголь­ного треугольника BNM (см. рис. 6.1) имеем

                                                                                                  (6.2)

М(х; у)

Эту величину называют угло­вым коэффициентом прямой и
обозначают через k:  k = tg φ.

Тогда из (6.2) получаем    , откуда

y = kx + b.                                   (6.3)

              Рис.6.1                                               

     Уравнение (6.3) называется уравнением прямой с угловым коэффи­циентом; число b называется начальной ординатой (это ордината точки В- точки пересечения прямой с осью Оy ).

    Если в уравнении (6.3) k = 0, то имеем уравнение прямой

                                                            y = b,                                                 (6.4)

параллельной оси Ох и проходящей через точку В(0; b). При b=0 из (6.4) получаем уравнение координатной оси Ох: у = 0.

      По аналогии с уравнением (6.4) уравнение

                                                                 х = а                                                       (6.5)

есть уравнение прямой, параллельной оси Оу и проходящей через точку (а; 0). При а = 0 из (6.5) имеем уравнение координатной оси Оу: х = 0.

      3. Уравнением с угловым коэффициен­том может быть задана любая прямая на плоскости, не параллель­ная оси ординат. При рассмотрении уравнения первой степени

                                                       Ах+Ву+С=0,                                         (6.6)

в котором коэффициенты  А и В одновременно не равны нулю, оказывается, что любую прямую без каких-либо ограничений мож­но задать уравнением (6.6).

     Теорема. Каждая прямая на плоскости с прямоугольной декар­товой системой координат определяется уравнением первой степени, и наоборот: каждое уравнение первой степени определяет некоторую прямую на плоскости.

      Уравнение (6.6) (А и В одновременно не равны нулю), описывающее на плоскости любую прямую, называется общим уравнением прямой.

       Решая (6.6) относительно y, получаем уравнением прямой с угловым коэффи­циентом  y = kx + b, где  k = - А/В,  b = - С/В.

       4. Выведем уравнение прямой, проходящей через данную точку М₀(х₀;у₀), направление которой задано угловым коэффи­циентом  k.

Уравнение этой прямой имеет вид

                                                           у = кх+ b                                            (6.7)

Так как искомая прямая проходит через точку М₀ то

                                                            y₀=kx₀ + b.                                     (6.8)

Вычитая из равенства (6.7) равенство (6.8), получаем

                                                   у – у₀ =k(х – х₀).                                               (6.9)

Это и есть уравнение прямой, прохо­дящей через данную точку в заданном направлении.

         5. Предположим, что в общем уравнении прямой А≠0, В≠0 и C≠0. Перенеся в нем С в правую часть и разделив обе части полученного уравнения на -С, получим

                       или         .

    Отсюда, вводя обозначения , , приходим к уравнению

                                                                                                      (6.10)

      Уравнение (6.10) называется уравнением прямой в отрезках. Это название объясняется тем, что числа а и b определяются отрезками ОА и ОВ, которые прямая отсекает на осях координат (рис.6.2). Такой вид уравнения удобен для построения прямой.

            

        Рис. 6.2                                                     Рис.6.3

         6. Рассмотрим на плоскости две прямые - l₁: y=k₁x+b₁ и l₂: у=к₂х+b₂ с углами наклона к оси  Ох  φ₁ и φ ₂,  соответственно (рис. 6.3).

       Углом между прямыми l₁ и l₂ будем называть  наименьший угол φ, на который надо повернуть первую прямую l₁ вокруг точки пересечения М против часовой стрелки до совпадения ее со второй прямой l ₂ (0 ≤φ <π).

     Из рис. 6.3 видно, что φ = φ ₂ – φ₁.  Поэтому

                                         

Так как   tg φ₁ = k₁, tg φ₂ = k₂,  то получаем

                                                                                           (6.11)

Формула (6.11) дает выражение тангенса угла между двумя пря­мыми через угловые коэффициенты этих прямых.

      Если  прямые  l₁  и  l₂  параллельны,  то φ₁ = φ₂  и, следовательно,

                                          k₁ = k₂                                                                                 (6.12)

- условие параллельности прямых.

     Пусть φ =, т. е. l₁ и l₂  взаимно перпендикулярны. Так как tg не существует, то  

                                1+ k₁  k₂ = 0     или    k₂ =                                         (6.13)

- условие перпендикулярности прямых, т. е. угловые коэффициенты взаимно перпендикулярных прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку.

       7. Если две прямые l₁ и l₂ лежат на плоскости, то возможны три различных случая их взаимного расположения: 1) пересекаются (т.е. имеют одну общую точку); 2) параллельны и не совпадают; 3) совпадают. Выясним, как узнать, какой из этих случаев имеет место, если эти прямые заданы своими уравнениями в общем виде:

                                 А₁х+В₁у+С₁=0     и    А₂х+В₂у+С₂=0.                                 (6.14)

       Если прямые l₁ и l₂  пересекаются в некоторой точке М (х ;у), то координаты этой точки должны удовлетворять обоим уравнениям  (6.14). Следовательно, чтобы найти координаты точки пересечения прямых  l₁ и l₂,  надо решить систему уравнений (6.14).

      Если прямые l₁ и l₂ параллельны, то согласно (6.12)  k₁ = k₂   или  . Проведя тождественные преобразования, получим

                                                                                                                   (6.15)

- условие параллельности прямых, заданных в общем виде.

     Если прямые совпадают, то

                                                                                                      (6.16)

      Допустим, что ни одна из прямых l₁ и l₂ не параллельна оси Оу, т.е. в уравнениях (6.14) В₁ и В₂ не равны нулю. Тогда согласно условию (6.13) имеем

                       откуда  получаем

                        А₁А₂ + В₁В₂ = 0                                                                                (6.17)

   - условие перпендикулярности прямых, заданных в общем виде.

        8. Расстоянием  d от точки  М₀ (х₀; у₀) до прямой  l (Ах+Ву+С=0) называется

длина перпендикуляра, опущенного из М₀  на l. Эта величина определяется по формуле

                                 .                                                       (6.18)

Контрольные вопросы:

1. Общий вид уравнения линии на плоскости.

2. Угловой коэффициент прямой.

3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

4. Уравнение прямой, параллельной оси Ох.

5. Уравнение прямой, параллельной оси Оy.

6. Общее уравнение прямой.

7. Уравнение прямой, прохо­дящей через данную точку в заданном направлении.

8. Уравнение прямой в отрезках.

9. Угол между двумя прямыми.

10. Формула для нахождения угла между прямыми.

11. Условие параллельности прямых с угловыми коэффициентами.

12. Условие перпендикулярности прямых с угловыми коэффициентами.

13. Условие параллельности прямых, заданных в общем виде.

14. Условие перпендикулярности прямых, заданных в общем виде.

15. Формула расстояния от точки до прямой.

Тема7. Кривые второго порядка.

Цель: Познакомить студентов с различными линиями второго порядка.

План:

1. Кривые второго порядка.

2. Уравнение окружности.

3. Каноническое уравнение эллипса.

4. Каноническое уравнение гиперболы.

5. Каноническое уравнение параболы.

      1. Кривыми второго порядка называются линии, уравнения которых могут быть записаны следующим образом:

                          Ax² + Bxy -+ Cy² + Dx + Ey + F = 0,                                (7.1)

где A, B, C, D, E и F – некоторые действительные числа, называемые коэффициентами уравнения, причем по крайней мере один из коэффициентов A, B  или C        отличен от нуля.

   К числу линий второго порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола. Они играют большую роль в математике, естествознании и технике.

     2. Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром окружности. Выведем уравнение окружности.

    Пусть М₀ (x₀;y₀) – центр окружности, R – ее радиус, а М (x; y) – произвольная точка окружности с текущими координатами x и  y (рис.7.1).

    По определению окружности М₀М= R. Отсюда, согласно формуле расстояния между точками, , или

                          .                                                 (7.2)

   Формула (7.2) представляет собой каноническое (т.е. простейшее) уравнение окружности. Если центр окружности совпадает с началом координат, то ее уравнение принимает вид

                                         .                                                     (7.2^′ )

                 Рис. 7.1                                                                  Рис. 7.2

      3. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых до двух данных точек F₁ и F₂ (называемых фокусами эллипса) есть величина постоянная, равная 2а.

     Выведем каноническое уравнение эллипса. Для этого выберем прямоугольную систему координат так, чтобы ее ось Ох проходила через фокусы F₁ и F₂ (расстояние между фокусами обозначим 2с), а начало координат находилось в середине отрезка F₁F₂ (рис.7.2). тогда фокусы будут иметь координаты F₁ (-с;0) и F₂ (с;0).

     Пусть М (х; у) – произвольная точка эллипса. Согласно определению эллипса, имеем

                              М F₁ +  М F₂ =  2а

Тогда по формуле расстояния между двумя точками,

                        .                               (7.3)

Это и есть уравнение эллипса. Приведем его к каноническому виду. Перенося один из радикалов вправо, получаем

                           .

 Возведем теперь обе части последнего равенства в квадрат:

          ,

откуда               .                                                  

Возведя еще раз в квадрат, получаем:  .

   Заметим, что , так как  или  (сумма двух сторон треугольника большей третьей его стороны). Поэтому, обозначив  через b², получаем      .

   Деля обе части последнего равенства на , окончательно получаем

                                                                                                (7.4) 

   Формула (7.4) и есть каноническое уравнение эллипса.

   Эллипс, отвечающий уравнению (7.4), изображен на рис. 7.2. Так как уравнение (7.4) содержит текущие координаты х и у только в четных степенях, то при замене х на –х, а у на –у это уравнение не изменится, т.е. эллипс симметричен относительно обеих осей координат. Из уравнения (7.4) при у=0 получаем х = ±а, т.е. эллипс пересекает ось Ох в двух точках А(а; 0) и А₁(-а; 0); при х=0 получаем у = ± b, т.е эллипс пересекает ось Оу в двух точках В (0; b) и В₁ (0; -b). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок А₁ А называется большой осью эллипса, а отрезок В₁В – его малой осью. Следовательно, а – длина большой полуоси эллипса; b – длина его малой полуоси.

   Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к длине его большой оси, т.е.

                                        .                                                           (7.5)              

   Так как с<а, то для любого эллипса будет 0ε<1 (случай ε = 0 соответствует окружности). Эксцентриситет характеризует степень сжатия эллипса. Действительно, из (4) и того, что  b² = а²- с², следует

                                           

и, значит,   . Отсюда видно, что чем больше ε, тем меньше отношение  и тем больше вытянут эллипс.

     4. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, разность расстояний каждой из которых до двух данных точек  F₁ и  F₂, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная, равная 2а.

   Обозначим через 2с расстояние между фокусами F₁ и  F₂  (рис.7.3). Пусть      М (х; у) – произвольная точка гиперболы. Тогда по определению

MF₁ - MF₂ = 2a или MF₂ - MF₁ = 2a. Эти условия, определяющие гиперболу, можно записать в виде

                                           MF₁ - MF₂ = ±2a.

   Заметим, что a < c, так как 2a < 2c, что следует из определения гиперболы.

Вывод канонического уравнения гиперболы проводится аналогично выводу уравнения эллипса. Каноническое уравнение гиперболы имеет вид

                                          ,                                                                 (7.6)

где  .

   Гипербола, отвечающая уравнению (7.6), изображена на рис. 7.3. Подобно эллипсу гипербола симметрична относительно обеих осей координат. Она состоит из двух частей, которые называются ее ветвями. Из уравнения (7.6) при

у = 0 получаем х = ± а, т.е. гипербола пересекает ось Ох в двух точках А (а; 0) и  А₁ (-а;0), называемых вершинами гиперболы. Отрезок А₁А называется вещественной(действительной) осью гиперболы. Ось симметрии Ох  также называется действительной осью гиперболы, а ось Oy – мнимой осью. Числа  а  и b, соответственно, называются действительной и мнимой полуосями гиперболы.  

Прямые

                                                                                                     (7.7)

называются асимптотами гиперболы. При увеличении х по абсолютной величине ветви гиперболы все ближе прилегают к своим асимптотам. Для построения асимптот гиперболы целесообразно предварительно построить прямоугольник со сторонами 2a и 2b, параллельными координатным осям, и с центром в начале координат (такой прямоугольник называется основным прямоугольником гиперболы).

                                               Рис. 7.3

    Эксцентриситетом гиперболы называется отношение . Так как а <с, то для любой гиперболы ε>1. Учитывая, что , имеем

                и, значит,      

      Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет гиперболы, т.е. чем ближе он к единице, тем больше вытянут основной прямоугольник по оси Ох.

      5. Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом параболы, и от данной прямой l, называемой директрисой параболы.

     Для вывода канонического уравнения параболы проведем ось Ох прямоугольной системы координат через фокус F  перпендикулярно к директрисе, а начало координат О поместим на равных расстояниях от фокуса и директрисы (рис. 7.4). Расстояние от фокуса до директрисы обозначим через р (оно называется параметром параболы). В этом случае фокус будет иметь координаты , а уравнение директрисы будет .

y

  

M

  

А

   

 

	L

 

            Рис. 7.4

     Возьмем произвольную точку М (х; у) параболы. Согласно определению параболы, имеем  MF = MA, где точка А имеет координаты . Тогда по формуле расстояния между точками имеем

      , откуда        или

                                       

и окончательно

                                                                                          (7.8)          Формула (7.8) и есть каноническое уравнение параболы. Парабола, отвечающая уравнению (7.8), изображена на рис. 7.4.

    Уравнение (7.8) имеет смысл только для неотрицательных значений х, т.е. все точки параболы лежат в I и IV квадрантах. Так как уравнение (7.8)содержит , то парабола симметрична относительно оси Ох. Вершиной параболы называется точка пересечения параболы с ее осью симметрии (см. рис.7.4). При возрастании х значения у возрастают по абсолютной величине. В отличии от гиперболы парабола не имеет асимптот. Ось симметрии параболы называется осью параболы.

Контрольные вопросы:

1. Общий вид уравнения кривой второго порядка.

2. Каково определение окружности ?

3. Каноническое уравнение окружности.

4. Сформулируйте определение эллипса.

5. Каноническое уравнение эллипса.

6. Основные понятия, характеризующие эллипс: фокусы, оси и полуоси  эллипса, вершины.

7. Эксцентриситет эллипса, его возможные значения.

8. Сформулируйте определение гиперболы.

9. Каноническое уравнение гиперболы.

10.Основные понятия, характеризующие гиперболу: фокусы, действительная и мнимая  оси и полуоси  гиперболы, вершины.

11. Асимптоты и основной прямоугольник гиперболы.

12. Эксцентриситет гиперболы, его возможные значения.

13. Сформулируйте определение параболы.

14. Каноническое уравнение параболы.

15. Основные понятия, характеризующие гиперболу: параметр, фокус, директриса,  ось  гиперболы, вершина.

Тема 8. Плоскость.

Цель: Познакомить студентов с описанием трехмерных объектов, в частности, плоскости.

План:

1. Геометрический смысл уравнения с тремя переменными.

2. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно к данному вектору.

3. Общее уравнение плоскости.

4. Неполные уравнения плоскости.

5. Уравнение плоскости в отрезках.

6. Расстояние от точки до плоскости.

7. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности  плоскостей.

      1. Множество всех точек пространства Oxyz, координаты кото­рых х, у и z удовлетворяют уравнению

                                       f(x, у, z) = 0,                                                          (8.1)

в общем случае образует  некоторую поверхность. Уравнение (8.1) называется уравнением этой поверхности, а х, у, z — ее текущими координатами.

       Поверхность называется цилиндрической, если она может быть образована параллельным перемещением прямой вдоль некоторой линии L. Эта линия называется направляющей цилиндрической поверхности, а всевозможные положения движущейся прямой — ее образующими. Частным случаем цилиндрической поверхности является плоскость.

     2. Пусть дана точка M₀ (x₀; y_a; z₀) и ненулевой вектор = (A, В, С). Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через точку М_о перпен­дикулярно к вектору  (его называют нормальным вектором к этой плоскости).

    Рассмотрим произвольную точку M (x;у; z) этой плоскости. Так как вектор = (x-х₀; y-y₀; z- z₀ ) лежит на плоскости, то он перпендикулярен к вектору  (рис.8.1). Следовательно, их скалярное произведение равно нулю:

                            Рис. 8.1

                             =0  или в координатной форме:

                         A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀) = 0                                              (8.2)                                                       

     Уравнение (8.2) и есть уравнение плоскости, проходящей через точку         M₀ (x₀; y_a; z₀)  перпен­дикулярно к вектору = (A, В, С).

     Если значения коэффициентов  A, В, С изменяются, то уравнение (8.2) описывает множество плоскостей, проходящих через точку M₀, и называемых связкой плоскостей.   

      3. Введя обозначение D = -(Ax₀ + Ву₀ + Cz₀)   уравнение (8.2) можно переписать в виде

                                    Ax + By + Cz + D = 0                                               (8.3)                                    

Следовательно, каждая плоскость в пространстве может быть задана уравнением (8.3), т. е. уравнением первой степени относительно теку­щих координат.

    Обратно: пусть в уравнении (8.3), по крайней мере, один из коэффициентов А, В, С не равен нулю. Предположим для опреде­ленности, что С≠0 . Тогда уравнение (8.3)можно переписать следу­ющим образом:

                                  А(х - 0) + В(у - 0) + С= 0                                (8.4)     

     Уравнение (8.4) равносильно уравнению (8.3). Сравнивая уравнение (8.4) с уравнением (8.2), видим, что оно, а следовательно и равно­сильное ему уравнение (8.3), является уравнением плоскости, прохо­дящей через точку М₀(0,0,-) перпендикулярной к вектору  = (А, В, С).        

     Итак, всякое уравнение первой степени относительно текущих координат, т. е. всякое уравнение вида (8.3), определяет плоскость.

Уравнение (8.3) называется общим уравнением плоскости.

     4. Если хотя бы один из коэффициентов А, В, С, D в уравнении (8.3) равен нулю, то уравнение (8.3) называется неполным.

     Рассмотрим все возможные виды неполных уравнений:

   а) D = 0 -  уравнение Ах + Ву + Cz = 0 определяет плоскость, проходящую через начало координат (поскольку координаты начала удовлетворяют этому уравнению);

   б)  А = 0 - уравнение By + Cz + D = 0 определяет плоскость, параллельную оси Ох (поскольку нормальный вектор этой плоскости =(0; В; С) перпендикулярен к оси Ох).

   Аналогично уравнение Ах + Cz + D = О (В = 0) определяет плоскость, параллельную оси Оу, а уравнение Ах + Ву + D = 0 (C = 0) – плоскость, параллельную оси Oz;

    в)   А = 0, В = 0 -  уравнение Cz + D = 0 определяет плоскость, параллельную координатной плоскости хОу (ибо эта плоскость параллельна осям Ох и Оу).

     Аналогично уравнение By + D = 0 (А = 0, С=0) определяет плоскость, параллельную координатной плоскости  xOz, а уравнение  А_х + D  = 0                (B = 0, C =0) - плоскость, параллельную координатной плоскости  yOz..                                                

    г)  A = 0, В = 0, D = 0 -  уравнение Cz = 0 определяет координатную плоскость хОу (ибо плоскость Cz = 0 параллельна координатной плоскости хОу и проходит через начало координат).

     Аналогично уравнение Ву = 0 (А = 0, С=0, D = 0) определяет координатную плоскость xOz, а уравнение Ах= О (В = 0, С= 0, D = 0) — координатную плоскость yOz.

     5.  Допустим, что в  уравнении  (8.3) ни один из коэффициентов А, В, С, D не равен нулю. Тогда его можно переписать в виде

                                             .

Полагая для краткости:              получаем

                                   .                                                          (8.5)

Уравнение (8.5) называется уравне­нием плоскости в «отрезках», так как знаменатели а, b, с есть величины от­резков, отсекаемых плоскостью от осей координат (рис. 8.2).

                                      Рис.8.2

      6. Формула расстояния от точки М₁(х₁;у₁;z₁) до плоскости, заданной уравнением (8.3), аналогична соответствующей формуле для расстояния от точки до прямой (6.18) и имеет вид

                       .                                                (8.6)

    Пример: Найти расстояние от точки М₁(1;0;-2) до плоскости 2х – у + 2z – 4 =0

Согласно по формуле (8.6)

                        d = .

     7. Пусть уравнения двух плоскостей заданы в общем виде

               A_lx +B_iy + C_lz +D_l = 0    и   A₂x+B₂y+C₂z + D₂ = 0.                  (8.7)

      Углом между плоскостями (8.7) называется любой из двух смеж­ных двугранных углов, образованных этими плоскостями. (Нам достаточно определить один из этих углов, так как их сумма равна π.) Один из них равен углу φ между нормальными векторами к этим плоскостям = (А₁; В₁; С₁,) и = (А₂; В₂; С₂). Поэтому                                                               

                       .                         (8.8)

     Условие параллельности плоскостей  совпадает с условием коллинеарности  векторов и . Следовательно (см. (3.3)), оно имеет вид

                                                                                             (8.9)

                Аналогично случаю совпадения прямых на плоскости (см. (6.16)) условие совпадения плоскостей выражается равенствами

                                                                                   (8.10)

     Условие перпендикулярности плоскостей есть вместе с тем условие перпендикулярности нормалей и , следовательно(см.(4.3)),

                         A_lA₂ + B_lB₂+ C_lC₂ = 0.                                                       (8.11)

Контрольные вопросы:

1. Общее уравнение поверхности.

2. Какие поверхности называются цилиндрическими ?

3. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку.

4. Какой вектор называется нормальным вектором плоскости ?

5. Уравнение связки плоскостей.

6. Общее уравнение плоскости.

7. Неполные уравнения плоскости.

8. Уравнение плоскости в отрезках.

9. Как определяется расстояние от точки до плоскости ?

10. Формула вычисления угла между плоскостями.

11. Условие параллельности плоскостей.

12. Условие перпендикулярности  плоскостей.

13. Условие совпадения плоскостей.

Тема 9. Прямая в пространстве.

Цель: Познакомить студентов с описанием линии, в частности прямой, в трехмерном пространстве.

План:

1. Геометрическое интерпретация двух уравнений с тремя переменными.

2. Общие уравнения прямой.

3. Канонические уравнения прямой.

4. Параметрические уравнения прямой в пространстве.

5. Угол между прямыми.

6. Угол между прямой и плоскостью.    

      1. Пусть имеем два уравнения с тремя переменными

                              f₁ (х, у, z) = 0      и     f₂{х, у, z) = 0.                                (9.1)

     Каждое из них, вообще говоря, в трехмерном пространстве определяет некоторую поверхность (см.(8.1)). Множество точек, принадлежащих обеим поверхностям, есть результат их пересечения, и образуют некоторую линию. Например, из определения сферы, как множества точек, равноудаленных от одной, следует уравнение сферы      , а вместе с уравнением плоскости   они описывают окружность радиуса R c центром в начале координат.

     Таким образом, система двух уравнений с тремя неизвестными в трехмерном пространстве описывает, в общем случае, некоторую линию.

     2. Рассмотрим систему уравнений первой степени

                                                                             (9.2)    

Каждое из уравнений системы (9.2) определяет плоскость. Если нормальные векторы = (А₁; В₁;  С₁) и = (А₂; В₂; С₂) этих плоскостей не коллинеарны    (т. е. плоскости не параллельны и не совпадают), то система (9.2) определяет некоторую прямую l как линию пересече­ния двух плоскостей. Уравнения (9.2) называются общими уравнениями прямой.     

     3. Пусть дана точка M₀(х₀; у₀; z₀,) и ненулевой вектор = (m;p;q). Требуется составить уравнение пря­мой l, проходящей через точку М_о и параллельной вектору  (этот вектор называют направляющим вектором прямой). Возьмем текущую точку М(х; у; z) прямой и образуем вектор = (х-х₀; у-у₀; z-z₀),  который лежит на указанной прямой. Тогда векторы   и  коллинеарны и, по условию коллинеарности векторов, их координаты пропорциональны :

                                                                                   (9.3)

    Уравнения (9.3) называются  каноническими уравнениями прямой .

    Пример. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку М₀(-2; -3; -1) и имеющей направляющий вектор =(3; 2; 4). Согласно равенствам (9.3) имеем

                                          

     4. Пусть пря­мая l задана каноническими уравнениями (9.3). Каждое из отношений в (9.3) есть одна и та же переменная величина, которую обозначим через t и назовем параметром . Так как хотя бы один из знаменателей в (9.3) отличен от нуля, а соответствующий числитель может принимать какие угодно значения, то областью изменения параметра t являет­ся вся числовая ось - ∞ < t < +∞. Получим

                  x – x₀ = mt,    y – y₀ = pt,          z – z₀ = qt,

или

              x=x₀+mt,   y=y₀+ pt,    z = z₀+ qt,                                                 (9.4)

     Уравнения (9.4) называются параметрическими уравнениями прямой.

     Примечание: параметрическими уравнениями прямой удобно пользоваться для описания движения тела по прямолинейной траектории, приняв за параметр t время.

    Пример. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М_о(2; -3; -7) и имеющей направляющий вектор = (4; -6; 5). Согласно равенствам (9.4) имеем

                  x=2+4t,        y= –3-6t,               z= –7+5t.

     5. Пусть в пространстве даны две прямые

            ,                            (9.5)

    За угол между двумя прямыми принимают один из двух смеж­ных углов, которые образуют прямые, проведенные параллельно данным через какую-нибудь точку пространства. Один из этих смеж­ных углов равен углу между направляющими векторами = (m₁; p₁; q₁), = (m₂; p₂; q₂) данных прямых.

Поэтому

               cosφ=                                              (9.6)

      Пример. Определить угол между прямыми

                 и 

 Здесь = (1,-4;1), = (2;-2;-1). По формуле (9.6) получаем

                  cos φ = ,

откуда . Следовательно, один из двух смежных углов равен .

     Условие параллельности прямых (9.5) совпадает с условием кол­линеарности векторов  и . Следовательно, оно будет иметь вид

                              .                                                               (9.7)

Если при этом точка первой прямой, например М₁(х₁; у₁; z₁), удов­летворяет уравнениям второй прямой, т. е. если

                                                                          (9.8)

то эти прямые совпадают.

     Условие перпендикулярности прямых (9.5)  есть вместе с тем ус­ловие перпендикулярности их направляющих векторов  и . Сле­довательно (см. (4.3)),

                            m₁m₂+p₁p₂+q₁q₂=0                                                           (9.9)

     6. Пусть даны прямая

                                                                                (9.10)

и плоскость

                           Ax+By+Cz+D=0.                                                            (9.11)

     Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость, и определяется из формулы:

                     sinφ=                                  (9.12)

Прямая (9.10) параллельна плоскости (9.11) в том и только в том случае, когда направляющий вектор этой прямой = (m; p; q) пер­пендикулярен к нормальному вектору данной плоскости = (А; В; С) (рис. 9.1). Отсюда получаем условие параллельности прямой и плоско­сти:

                               Am + Bp + Cq = 0.                                                      (9.13)

             Рис. 9.1

     Прямая (9.10) перпендикулярна к плоскости (9.11) в том и только в том случае, когда направляющий вектор этой прямой коллинеарен нормальному вектору данной плоскости (рис. 9.2). Отсюда полу­чаем условие перпендикулярности прямой и плоскости:

                                                                                             (9.14)   

            Рис. 9.2

         Рассмотрим условия принадлежности прямой (9.10) плоско­сти (9.11). Эти условия выражаются двумя равенствами

                                    Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D = 0.

                                         Аm  + Bp + Cq = 0.

первое из которых означает, что точка М₀(х₀; у₀; z₀), через которую проходит данная прямая, принадлежит плоскости (9.11), а второе — есть условие параллельности прямой (9.10) и плоскости (9.11).

Контрольные вопросы:

1. Какими уравнениями  определяется линия в пространстве.

2. Общие уравнения прямой в пространстве.

3. Канонические уравнения прямой в пространстве. Направляющий вектор  прямой.

4. Параметрические уравнения прямой в пространстве.

5. Как найти угол между двумя прямыми в пространстве

6. Условие коллинеарности прямых в пространстве.

7. Условие перпендикулярности прямых в пространстве.

8. Угол между прямой и плоскостью.

9. Условие параллельности прямой и плоскости.

10. Условие перпендикулярности прямой и плоскости.

11. Условие принадлежности прямой данной плоскости.

Тема 10. Поверхности второго порядка.

Цель: Познакомить студентов с некоторыми видами поверхностей, достаточно часто встречающихся в инженерной практике.

План:

1. Эллипсоиды.

2. Гиперболоиды.

3. Параболоиды.

4. Цилиндрические поверхности второго порядка.

5. Конус второго порядка.

       1. Эллипсоидом (рис. 10.1) называется поверхность, определяемая в прямоугольной системе координат Oxyz  уравнением

                                                                            (10.1)                      

Уравнение (10.1) называется каноническим уравнением эллипсоида. Величины а, b, с называются полуосями эллипсоида. Из уравнения (10.1) видно, что коор­динатные плоскости являются плоско­стями симметрии эллипсоида, а начало координат — центром симметрии. Точки пересечения осей координат с эллипсо­идом называются вершинами эллипсоида.

Рис. 10.1

 

Если две полуоси равны, например, а = b,то получаем уравнение

                                                                      (10.2)                          

    Пересекая этот эллипсоид плоскостью z = h, параллельной плос­кости хОу, получаем окружность

                                        , z = h

с центром на оси Oz. Поэтому такой эллипсоид может быть получен вращением эллипса

                                         ,

расположенного в плоскости xOz, вокруг оси Oz. Эллипсоид (10.2) называется эллипсоидом вращения.

      Если же все три полуоси эллипсоида (10.1) равны, а = b= с, то получаем

                                         х² + у² + z² = а²,

т. е. сферу, которая оказывается частным случаем эллипсоида.

      2.  Однополостным гиперболоидом (рис. 10.2) называется поверхность, определяемая в прямоугольной системе координат Oxyz уравнением

                                                                               (10.3),                                                            

а двуполостным гиперболоидом (рис. 10.3) — поверхность, определяемая уравнением

                                                                          (10.4)                     

Уравнения (10.3) и (10.4) называют каноническими уравнениями гипер­болоидов. Величины а, b, с называют полуосями однополостного (двуполостного) гиперболоида. Оба гиперболоида имеют координат­ные плоскости симметрии, а начало координат — центр симметрии.

          Рис. 10.2                                                Рис. 10.3

     По аналогии с эллипсоидом, если полуоси а и b гиперболоида (однополостного или двуполостного) равны, то он называется ги­перболоидом вращения и получается вращением около оси Oz гипер­болы

                                     у=0

в случае однополостного гиперболоида и гиперболы

                                    у=0

в случае двуполостного гиперболоида.

      3. Эллиптическим параболоидом (рис. 10.4) называет­ся поверхность, которая в прямоугольной системе координат Oxyz определяется уравнением

                                                                                   (10.5)                         

а гиперболическим параболоидом (рис. 10.5) — поверхность, определяемая уравнением

                                                                                  (10.6)                         

Уравнения (10.5) и (10.6) называют каноническими уравнениями пара­болоидов.

                                                                

Рис. 10.4

                                                                       Рис. 10.5

     Плоскости xOz и yOz являются плоскостями симметрии параболо­идов. Пересечение этих плоскостей (ось Oz) называют осью парабо­лоида, а пересечение оси Oz с поверхностью параболоида — вершиной.

     Оба параболоида (эллиптический и гиперболический) плоско­стями, параллельными координатным плоскостям xOz и yOz, пере­секаются по параболам. Так, плоскость x=h пересекает эллиптиче­ский параболоид по параболе

                                        , x=h

     Из уравнения (10.5) следует, что плоскость z = h (h>0), параллель­ная плоскости хОу, пересекает эллиптический параболоид по эл­липсу, а из уравнения (10.6) следует, что плоскость z = h (h ≠0) пе­ресекает гиперболический параболоид по гиперболе. Плоскость хОу пересекает гиперболический параболоид по двум прямым

                                      и  

     При а= b эллиптический параболоид называют параболоидом вращения.   Он получается при вращении параболы , у = 0 около оси Oz.

       4. Цилиндрические поверхности второго порядка опреде­ляются в прямоугольной системе координат Oxyz уравнениями:

а)                                                                  (10.7)                                                                                     

(эллиптический цилиндр, в частности при а = b круговой);

б)                                                                     (10.8)                   (гиперболический цилиндр);                                                                      

в)                           у²  = 2 px                                               (10.9)                          

 (параболический цилиндр).                                    

     Уравнения (10.7) — (10.9) называют каноническими уравнениями ци­линдров и они не содержат переменной z.  На плоскости хОу урав­нение (10.7) определяет эллипс с полуосями а и b.. Если точка (х; у) лежит на этом эллипсе, то при любом z точка (х; у; z) лежит на поверхности (10.7). Совокупность таких точек есть поверхность, опи­санная прямой, параллельной оси Oz и пересекающей эллипс

                                    в плоскости хОу.

       Этот эллипс называют направляющей линией данной поверхно­сти, а все возможные положения движущейся прямой — образую­щими.

z

       Вообще поверхность, описываемая прямой, остающейся парал­лельной некоторому заданному направлению и пересекающей данную линию L, называется цилиндрической. Поверхность (10.7) изобра­жена на рис. 10.6.

 

          Рис.10.6   

     5. Конусом второго порядка, или, кратко, конусом (рис. 10.7), назы­вается поверхность, определяемая в прямоуголь­ной системе координат Oxyz уравнением

                                                                      (10.10)                            

     Уравнение (10.10) называется каноническим уравнением конуса. Эта поверхность симметрич­на относительно координатных плоскостей. На­чало координат, являющееся центром симмет­рии, принадлежит этой поверхности и называ­ется вершиной конуса. Сечениями конуса плос­костями х = 0 и у = 0 являются прямые  и  В плоскости z=h (h=0) имеем эллипс  с полуосями ,. Если  а=b, то конус называется конусом вращения. Для конуса вращения в плоскости z=h (h≠0) имеем окружность х² + у² =

                      Рис. 10.7

Контрольные вопросы:

1.     Какая поверхность называется эллипсоидом ?

2. Назовите характеристики эллипсоида.

3. Уравнения эллипсоида вращения и сферы.

4. Напишите каноническое уравнение однополостного гиперболоида.

5. Напишите каноническое уравнение двуполостного гиперболоида.

6. Уравнения гиперболоидов вращения.

7. Каноническое уравнение эллиптического параболоида.

8. Каноническое уравнение гиперболического параболоида.

8. Сечения параболоидов плоскостями, параллельными координатным  плоскостям.

9. Цилиндрические поверхности и их уравнения.

10. Конические поверхности.