Разработка урока Аксиома параллельных прямых

Савенкова Ольга Георгиевна

                                                                                                        учитель математики МАОУ «СОШ №8».

                                                                                                            г. Гай, Оренбургская область.

Наименование предмета: геометрия.

Класс: 7

УМК: Геометрия 7 – 9. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. 2013г.

Уровень обучения: базовый.

Тема Урока: Об аксиомах геометрии. Аксиома параллельных прямых.

Общее количество часов, отведённое на изучение темы: 2ч

Место урока в системе уроков по теме: 1 урок.

Цель урока: Формирование у учащихся  представлений об    аксиомах геометрии, создание  условий для введения аксиомы параллельных прямых и следствий из неё, формирование  умений учащихся решать задачи на применение аксиомы параллельных прямых.

Задачи урока.

Образовательные: Изучить аксиому параллельных прямых и следствия из неё, учить решать задачи на применение аксиомы параллельных прямых.

Развивающие: Развивать творческую самостоятельность учащихся, развивать  мыслительные действия  (анализ, сравнение, обобщение, классификацию), логическое и образное мышление.
Воспитательные: прививать интерес к предмету, воспитывать у учащихся чувство товарищества, культуру общения, чувство взаимовыручки, патриотизм.

Планируемые результаты.

Предметные умения: Владеют геометрическим языком, умеют его использовать для описания предметов окружающего мира, имеют пространственные представления и достаточный уровень развития изобразительных умений, навыков геометрических построений.

Универсальные учебные действия.

Познавательные: умеют адекватно оценивать правильность или ошибочность выполнения учебной задачи.

Регулятивные: умеют выдвигать гипотезы при решении задач и понимают необходимость их проверки.

Коммуникативные: умеют организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и одноклассниками, разрешать конфликты с учётом всех интересов.

Личностные: проявляют целостное мировоззрение, соответствующее современному уровню развития науки и общественной практики.

Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор, экран.

Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока:

Содержание урока.

I. Актуализация опорных  знаний.

Цель Деятельности.	Совместная деятельность.
Повторить изученный материал.	1.      Проверка правильности выполнения домашнего задания. 2.      Упражнения по готовым чертежам. Фронтальная работа класса по готовым чертежам: найти пары параллельных прямых, доказать их параллельность и вычислить все углы.

II. Изучение нового материала.

Цель деятельности

Совместная деятельность.

Ввести понятие аксиомы. Рассмотреть аксиому параллельных прямых.

1.      1. Беседа об аксиомах геометрии (см. материал пункта 27 учебника и приложение 1 учебника). Мы доказали ряд теорем. При этом мы опирались на ранее доказанные теоремы. А на чём основаны доказательства самых первых теорем геометрии? Ответ: некоторые утверждения о свойствах геометрических фигур принимаются в качестве исходных положений, на основе которых доказываются далее теоремы  и, вообще, строится вся геометрия. Итак, Аксиомами называются те основные положения геометрии, которые принимаются в качестве исходных положений, на основе которых доказываются далее теоремы и строится вся геометрия. Слово «аксиома» происходит от греческого «аксиос», что означает «ценный, достойный» Известные нам аксиомы: Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна. На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один. От любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный данному неразвёрнутому углу, и притом только один. Все эти аксиомы являются наглядно очевидными и не вызывают сомнений. Полный список аксиом планиметрии, принятых в нашем курсе геометрии, приводятся в конце учебника. Такой подход к построению геометрии, когда сначала формулируются исходные положения - аксиомы, а затем на их основе путем логических рассуждений доказываются другие утверждения, зародился еще в глубокой древности и был изложен в знаменитом сочинении «Начала» древнегреческого ученого Евклида. ( примерно 365 - 300 гг. до н. э.). Некоторые из аксиом Евклида (часть из них он называл постулатами) и сейчас используются в курсах геометрии, а сама геометрия, изложенная в «Началах», называется евклидовой геометрией. 2.      2. Решение задачи. Задание: Через точку А, не лежащую на прямой а, провести прямую, параллельную прямой а. Решение (рис.1): 1) провести через точку А прямую в так, что а ⊥ b; 2) провести через точку А прямую с так, что b  ⊥ с.   Рис. 1 ∠l =∠2 = 90°, то есть накрест лежащие углы при прямых  а  и с и секущей  b равны, следовательно, а ǁ с. Вопросы учащимся: Всегда ли через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной? Сколько прямых, параллельных данной, можно провести через точку, не лежащую на данной прямой? Нам представляется, что если прямую с «повернуть» даже на очень малый угол вокруг точки А, то она пересечет прямую а. Иными словами, нам кажется, что через точку А нельзя провести другую прямую (отличную от с), параллельную прямой а. А можно ли это утверждение доказать? Этот вопрос имеет большую историю. В «Началах» Евклида содержится постулат (пятый постулат Евклида), из которого следует, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Многие математики, начиная с древних времен, предпринимали попытки доказать пятый постулат Евклида, т.е. вывести его из других аксиом. Однако эти попытки каждый раз оказывались неудачными. И лишь в 19в. было окончательно выяснено, что это утверждение не может быть доказано на основе других аксиом Евклида, а само является аксиомой. Огромную роль в решении этого вопроса сыграл великий русский математик Николай Иванович Лобачевский. Итак, аксиома параллельных прямых гласит: «Через точку, не лежащую на данной прямой. проходит только одна прямая, параллельная данной». -Является ли утверждение «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной» аксиомой? Почему? (Это утверждение не является аксиомой, так как оно доказывается.) - Чем отличаются вышеуказанные утверждения? (Аксиома параллельных прямых говорит  о единственности такой прямой, а другое утверждение - о существовании такой прямой.) 3. Следствия из аксиомы параллельных прямых. Утверждения, которые выводятся непосредственно из аксиом или теорем, называются следствиями. Рассмотрим некоторые следствия из аксиомы параллельных прямых. 10. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. Дано: а ǁ в, с∩а=М Доказать:  с∩b=N Док-во: Пусть прямые а и в параллельны и прямая с пересекает пря­мую а в точке М. Докажем, что прямая с пересекает и прямую b (в точке  N). Если бы прямая с не пересекала прямую в, то через точку М проходили бы две прямые (прямые а и с), параллельные прямой в. Но это противоречит аксиоме параллельных прямых, и, значит, прямая с пересекает прямую в. 20. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. Действительно, пусть прямые a и b параллельны прямой с (рис.1). Дока­жем, что а ǁ b. Допустим, что прямые а и  b не параллельны, т. е. пересекаются в неко­торой точке М (рис. 2). Тогда через точ­ку М проходят две прямые (прямые a и b), параллельные прямой с. Но это противоречит аксиоме па­раллельных прямых. Поэтому наше предпо­ложение неверно, а значит, прямые а и b параллельны. рис.1   рис. 2

III. Закрепление изученного материала.

Цель деятельности	Деятельность учителя	Деятельность учащихся
Совершенствовать навыки решения задач по изученному материалу.	Организует деятельность учащихся. 1)      Решить задачу  197. При решении задачи № 197 полезно показать учащимся на рисунке два возможных случая расположения прямых: 1)Все четыре прямые пересекают прямую p; 2) Одна из четырех прямых параллельна прямой р, а три другие прямые пересекают ее. Эти два случая иллюстрируют ответ на вопрос задачи: по крайней мере, три прямые пересекают прямую р.   2)   Решить задачу № 199 на доске и в тетрадях. 3)   Решить задачу №1 самостоятельно с последующей проверкой.	№199 Решение: Прямые ВС и АС имеют общие точки с пря­мой АВ. По следствию из аксиомы параллельных прямых «если прямая пересекает одну их двух параллельных прямых, то она пересекает и дру­гую». А прямые ВС и АС пересекают прямую АВ, значит, они пересекают и прямую р, так как по условию задачи АВ || р. Самостоятельное решение задач: Задача 1 Прямая d пересекает прямую b (рис.1). Пересечет ли эта прямая прямую а? Почему? Решение (см. рис. 1): По условию задачи ∠2 = 80°. ∠2 и ∠3 — смежные и ∠ 2 + ∠3 = 180°, тогда ∠3 = 100°. ∠1 и ∠3 — соответственные углы при прямых а и b и секущей с, и они равны, значит, а || b. Прямая d пересекает прямую b, параллель­ную прямой а. По следствию аксиомы парал­лельных прямых прямая d пересекает прямую а. (Ответ: прямая d пересечет прямую а.)      Рис. 1 Рис.2

IV. Итоги урока. Рефлексия.

Деятельность учителя	Деятельность учащихся
Вопросы учащимся: Что нового узнали на уроке? Что такое аксиома? Какие аксиомы вы знаете? Сформулируйте аксиому параллельных прямых и следствия из неё. Оценить работу учащихся на уроке.	Домашнее задание: П.27,28, вопросы 7-11. №196, № 198. Дополнительная задача. Дано: а ⊥с, b ⊥с, прямая d пересекает а. Пересекает ли прямая d прямую b? Почему?