Разработка урока по теме:" решение дробно-рациональных уравнений"

Урок по теме «Решение дробно- рациональных уравнений» 9 класс

Цели урока:

-       образовательные:

o   повторение основных понятий по теме «уравнение с одной переменной»;

o   использование ранее полученных знаний при решении дробно-рациональных уравнений;

o   формирование представления о нестандартных методах и способах решения дробно-рациональных уравнений;

-       воспитательные:

o   воспитание интереса к предмету через содержание учебного материала, умения работать в коллективе, взаимопомощи, культуры общения, умения применять преемственность в изучении отдельных тем;

o   воспитание настойчивости в достижении цели, умения не растеряться в проблемных ситуациях;

-       развивающие:

o   развитие логического мышления, умения работать в проблемной ситуации, умения обобщать, конкретизировать, правильно излагать мысли;

o   развитие самостоятельной деятельности учащихся.

Тип урока: урок совершенствования знаний, умений и навыков.

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, репродуктивный, частично-поисковый.

Форма организации учебной деятельности: групповая; фронтальная; индивидуальная; самопроверка, взаимопроверка.

Оборудование: компьютер, проектор, карточки с заданиями, презентация.

Подготовка к уроку: в классе выделяются три группы по 4 человека. Каждая группа получает задание. При подготовке к уроку они прорабатывают соответствующие разделы учебников (7-9 кл.), а также дополнительную литературу по подготовке к ГИА; получают консультацию учителя и определенные задания, отличные от заданий класса. Перед проведением урока они предоставляют на проверку учителю свои задания (подобранные по теме задачи, презентации, решения).

Эпиграф к уроку: «Учиться нелегко, но интересно!» (Я.Коменский)

Ход урока

I. Организационный момент.

Постановка цели, мотивация (1 мин.).

Сегодня на уроке продолжим решение уравнений с одной переменной, рассмотрим дробные рациональные уравнения и различные способы их решения. Правильно выбранный метод часто позволяет существенно упростить решение.

Решая дробное рациональное уравнение, мы всегда получаем целое уравнение. Повторим, приведем в систему изученные нами виды уравнений с одной переменной, рассмотрим методы их решения. Знания, умения и навыки,  полученные в процессе работы, гарантируют успешное выполнение соответствующих заданий ГИА.

II. Актуализация опорных знаний и умений.

– Какие виды уравнений с одной переменной вам известны?

– Какие уравнения называются целыми?

– Какие виды целых уравнений с одной переменной вы знаете?

Уравнения с одной переменной

 

                        Целые                                                 Дробные

 1 степени        2 степени          высших  

(линейные)    (квадратные)      степеней

– Что значит « решить уравнение»? ( Найти все его корни или показать, что их нет).

Учащиеся I группы напомнят нам, какие уравнения называются линейными и какие свойства уравнений применяют при их решении.

Выступает учащийся I группы:

Уравнение вида ax=b, где x – переменная, a и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

1) Линейное уравнение ax=b, в котором a ≠ 0, имеет единственный корень;

2) при a = 0 и b = 0 имеет бесконечно много корней;

3) при a = 0 и b ≠ 0 не имеет корней.

При решении линейных уравнений применяют следующие свойства уравнений:

-       если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;

-       если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от 0 число, то получится уравнение, равносильное данному.

-       Какие уравнения называются равносильными?

(Уравнения, имеющие одни и те же корни).

ПРИМЕР:

3(14 + x) = 2 ( 2х-12)

42 + 3 x =  4х – 24

3x - 4x = -24-42

-х =-66

x = 66

Ответ: 66.

Предлагаю вам решить устно следующие уравнения:

1) 4х-14 = 7-3х                                Ответ: x =7 .

2)                                           Ответ: y = 2.

3) 6x – (7x – 12) = 21                        Ответ: x = -9.

4) 2x + 5 = 2 (x + 1)                          Ответ: нет корней.

5) 5 (2y – 4) = 2 (5y – 10)                  Ответ: множество корней.

Задание «Найди ошибку» (карточка 1) – анализ задания у доски.

 

Ответ: 1.

Задания ГИА (с/р по вариантам с посл. самопроверкой).

 Ответ: –14.

‚ 19x – 8(x – 3) = 66 – 3x 19x – 8x + 24 = 66 – 3x 19x – 8x + 3x = 66 – 24 14x = 42 x = 3 Ответ: 3.

– Учащиеся II группы расскажут нам об уравнениях второй, третьей и 4-ой степеней и методах их решения.

Выступает учащийся II группы:

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax² + bx + c = 0, где x – переменная, a, b, с – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Если a, b и с отличны от нуля, то квадратное уравнение можно решить, применяя формулы:

Д = b2 – 4ac Д > 0, 2 корня  ; Д = 0; 1 корень  ; Д < 0, нет корней.

Если b = 2k Д/4   = k2 – ac,  .

Решаем устно: 2x² + 13x – 7 = 0.

-       Уравнения, степень которых выше двух, иногда удается решить: с помощью введения новой переменной:

1) (x2 + 4x)(x2 + 4x – 17) = -60     Замена: y = x2 + 4x     y = y (y – 17) = -60

2) x4 – 7x2 + 12 = 0     Замена: y = x2     y2 – 7y + 12 = 0

-       с помощью разложения на множители:

1) x3 – 16x = 0

2) x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0     x2(x + 3) – 2(x + 3) = 0    (x + 3)(x2 – 2) = 0     x + 3 = 0  или  x2 – 2 = 0     x = –3              x2 = 2                             x = ±

Задание ГИА:

(x + 4)(x – 1)³ – (x – 1)(x + 4)² = 0

(x + 4)(x – 1)(x – 1)² – (x – 1)(x + 4)(x + 4)= 0

(x + 4)(x – 1)(x² – 2x + 1 – x – 4) = 0

x + 4 = 0    или    x – 1 = 0     или     x² – 3x – 3 = 0

x = -4                   x = 1                      Д = 9 – 4∙(-3) = 21

                                                               

Ответ: -4; 1; .

Задание «Найди ошибку» (карточка 2)

Разложим по формуле разности квадратов:

   или     

            

            

Ответ: 0; -1, 2.

– Учащиеся III группы расскажут о дробно-рациональных уравнениях и способе их решения.

Выступает учащийся III группы:

Рациональное уравнение, в котором левая или правая часть является дробным выражением, называют дробным.

Например:

При решении дробно-рациональных уравнений поступают следующим образом:

1)    находят общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

2)    умножают обе части уравнения на общий знаменатель;

3)    решают получившееся целое уравнение;

4)    исключают из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Общий знаменатель дробей:  .

y² = 1;   y = ±1. Проверка корней.

Ответ: 1.

На обратной стороне доски один учащийся решает уравнение, а весь класс в это время работает устно с III группой.

 

Общий знаменатель дробей: 4(x + 3)(x + 5).

4x + 20 – 4x – 12 = (x + 3)(x + 5)

8 = x² + 5x + 3x + 15

x² + 8x + 7 = 0

Д = 16 – 7 = 9

Д > 0, 2 корня:

x₁ = -4+3 = -1;    x₂ = -4-3 = -7.

Если х = -1, то 4(х+3)(х+5)≠0,

если х = -7, то 4(х+3)(х+5)≠0.

Ответ: -7; -1.

Задание «Найди ошибку» (карточка 3)

Общий знаменатель дробей: .

Д = 1 - 4∙2∙(-15)=121

Д  > 0, 2 корня:

;  

Ответ: -2,5; 3.

Ошибка – нет проверки корней. Правильный ответ: -2,5.

III. Создание проблемной ситуации и совместное решение основной задачи урока.

1)

– С чего начинаем решение данного уравнения?

1)    Приводим дроби к общему знаменателю.

2)    В результате громоздких преобразований получаем уравнение 3-ей степени.

3)    Возникает проблема (происходит осознание неизвестного).

4)    Поиск решения проблемы.

 А нельзя ли упростить решение данного уравнения? Каким образом?

(Уравнение, ранее решенное одним из учеников на обратной стороне доски, является подсказкой для дальнейшей работы с классом).

5)    Получаем новый способ решения дробно-рационального уравнения.

Проектор выключается. Проводится физминутка.

Решаем на доске:

Д = 784 – 5∙128 = 784 – 640 = 144

Д > 0, 2 корня:

;  

Проверка корней.

Ответ: 3,2; 8.

2) Аналогично решить уравнение (самостоятельно и сравнить с эталоном решения):

Ответ: -3; 4.

IV. Домашнее задание:

I группа: № 291 (б), 294 (б), 293 (а).

II группа: № 291 (б), 294 (б), 293 (а, б).

III группа: № 291 (б), 294 (б), 293 (а, в).

V. Рефлексия.

1.На уроке я работал       2.Своей работой на уроке я 3.Урок для меня показался 4.За урок я 5.Моё настроение 6. На уроке мне больше всего понравилось

Активно / пассивно Доволен / не доволен Коротким / длинным Не устал / устал Бодрое / унылое _________________________ _________________________

VI. Оценивание учащихся в группе.

Учащиеся каждой группы заполняют лист контроля и выставляют себе оценку за работу на уроке.