Разработка урока-лекции по алгебре на тему: "Применение формул дифференцирования и инрегрирования"

 Урок-лекция алгебра 11 класс

Применение формул дифференцирования и интегрирования показательной и логарифмической функций

Дифференцирование показательной функции:

Про­ком­мен­ти­ру­ем фор­му­лу .                                                                                                                       Чтобы найти про­из­вод­ную по­ка­за­тель­ной функ­ции, надо саму по­ка­за­тель­ную функ­цию умно­жить на на­ту­раль­ный ло­га­рифм ее ос­но­ва­ния.                                                                                                                              Итак, мы умеем на­хо­дить про­из­вод­ную по­ка­за­тель­ной функ­ции с любым до­пу­сти­мым ос­но­ва­ни­ем . Если мы это умеем де­лать, зна­чит, мы умеем ре­шать все стан­дарт­ные за­да­чи на про­из­вод­ную.                                                                                                                                                                  Пример 1.  Дано:  Найти: Про­из­вод­ную в кон­крет­ной точке                                                                  Ре­ше­ние. У нас есть ме­то­ди­ка. Дей­ству­ем по ней. Най­дем про­из­вод­ную в любой точке. То есть про­диф­фе­рен­ци­ру­ем  по фор­му­ле :

        Те­перь оста­лось под­ста­вить

     Ответ:

Пример 2.  Дано:    Найти: Про­из­вод­ную в кон­крет­ной точке

Ре­ше­ние. Про­диф­фе­рен­ци­ру­ем  по фор­му­ле :

        Под­ста­вим

      Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интегрирование показательной функции

            Далее нам сле­ду­ет на­учить­ся ин­те­гри­ро­вать по­ка­за­тель­ную функ­цию.                                                                                                                 Рас­смот­рим фор­му­лу  про­из­воль­ная по­сто­ян­ная.                                                                                            По­че­му? По опре­де­ле­нию.                                                                                                                                                         Про­из­вод­ная пра­вой части долж­на быть равна . Про­ве­ря­ем: .

Те­перь вме­сто  под ин­те­гра­лом , при любом до­пу­сти­мом ос­но­ва­нии

.

                                                                                                                                                                                                                  Про­ве­рим эту фор­му­лу. То есть возь­мем про­из­вод­ную пра­вой части и до­ка­жем, что она равна функ­    ции под ин­те­гра­лом.

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Итак, мы умеем диф­фе­рен­ци­ро­вать по­ка­за­тель­ную функ­цию. Зна­чит, мы умеем ре­шать стан­дарт­ные за­да­чи на пер­во­об­раз­ную этой функ­ции. Вот одна из стан­дарт­ных задач:

 Пример 3                                                                                                                                                                     Вы­чис­лить пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми     .

Ре­ше­ние.

Речи идет о такой пло­ща­ди кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ции: рис. 1.

Рис. 1. Пло­щадь кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ции

По фор­му­ле Нью­то­на-Лейб­ни­ца эта пло­щадь равна:

Ответ:

 

 

Дифференцирование логарифмической функции

Мы рас­смот­ре­ли диф­фе­рен­ци­ро­ва­ние по­ка­за­тель­ной функ­ции. Те­перь рас­смот­рим диф­фе­рен­ци­ро­ва­ние ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции.

                                                                                                                                                               Дано:

             До­ка­зать:   При любом до­пу­сти­мом ос­но­ва­нии  спра­вед­ли­ва фор­му­ла

                 До­ка­за­тель­ство:  Будем ис­поль­зо­вать фор­му­лу

Вспом­ним, как можно и нужно пе­ре­хо­дить к но­во­му ос­но­ва­нию :

Так вот, в нашем слу­чае .

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Пример 4                                                                                                                                  Дано: Ло­га­риф­ми­че­ская функ­ция

Найти:  Ре­ше­ние.  Ре­ше­ние на­хо­дим по стан­дарт­ной ме­то­ди­ке.                                                                              Пер­вое дей­ствие. На­хо­дим про­из­вод­ную в любой точке :

                 Вто­рое дей­ствие. На­хо­дим про­из­вод­ную в за­дан­ной точке :

               Ответ:

Осо­бен­но­сти фор­му­лы:  в зна­ме­на­те­ле в пер­вой сте­пе­ни.

До­ка­за­тель­ство:

Интегрирование функции

Рас­кры­ва­ем мо­дуль как по­ло­же­но, рас­смат­ри­ва­ем два слу­чая:

Под мо­ду­лем стоит по­ло­жи­тель­ное число

    Про­из­вод­ная пра­вой части:

Ана­ло­гич­но до­ка­зы­ва­ет­ся фор­му­ла во вто­ром слу­чае:  Под мо­ду­лем стоит от­ри­ца­тель­ное число

Про­из­вод­ная пра­вой части:

Фор­му­ла до­ка­за­на.

Рас­смот­рим одну из ти­по­вых задач на до­ка­зан­ную фор­му­лу.

Пример 5

            Вы­чис­лить пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми

.  Ре­ше­ние.

На ри­сун­ке по­ка­за­на ис­ко­мая пло­щадь:

Рис. 2. Пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми

По фор­му­ле Нью­то­на-Лейб­ни­ца эта пло­щадь равна:

Ответ:

До­маш­нее за­да­ние

1.      Найти про­из­вод­ную функ­ции в кон­крет­ной точке;

2.      Вы­чис­лить пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной ли­ни­я­ми ;