Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Опубликуйте свой материал в официальном Печатном сборнике методических разработок проекта «Инфоурок»

(с присвоением ISBN)

Выберите любой материал на Вашем учительском сайте или загрузите новый

Оформите заявку на публикацию в сборник(займет не более 3 минут)

+

Получите свой экземпляр сборника и свидетельство о публикации в нем

Инфоурок / Математика / Видеоуроки / Разработка тестовых заданий с решением по алгебре и началам анализа в 11 классе по теме "Функция, её производная. Область определения и множество значений функции".и
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Разработка тестовых заданий с решением по алгебре и началам анализа в 11 классе по теме "Функция, её производная. Область определения и множество значений функции".и

библиотека
материалов
  1. Выполнение тестовых заданий 1 –8

(область определения, область значений функции)


Задание 1(А). Найдите область определения функции

x

hello_html_mb60b119.gify = log5 15 – 3x


А). (-∞; 0) U (5; +∞); В). (0; 5); С). [0; 5); D). (0; 3).


Решение: выражение под знаком логарифма строго больше нуля => х (15-3х) > 0.


Определяем нули х1=0 и х2 = 5. Отмечаем нули на координатной прямой, т.е. решаем

- + -

мhello_html_6ca7132a.gifетодом интервалов. 0 5 х


Ответ: вариант В. (0; 5).



Задание 2(А). Укажите область определения функции

8

yhello_html_m2823cef2.gif = √3 – log4 x

А). ( 0; +∞); В). (- ∞; 64 ]; С). (0; 1]; D). (0; 64 ].


Решение: 3 – log4 x ≥ 0; – log4 x ≥ -3; log4 x ≤ 3; log4 xlog4 64; х ≤ 64, но х > 0.


Ответ: вариант В. (- ∞; 64];


Задание 3(В). Найдите наибольшее целое значение функции

2 2

у = 4 · 5 2 sin х. + 5 cоs х – 3


А). 25; В). 20; С). 100; D). 75.


Решение: т.к. данная показательная функция является возрастающей, то наибольшее значение функция принимает при наибольшем значении аргумента.

2 sin2 х. + 5 cоs2 х – 3 = 2(1 – cоs2 х) + 5 cоs2 х – 3 = 3 cоs2 х -1 → наибольшее значение выражения равно 2. Отсюда получаем:

у = 4 · 52 = 4 ∙ 25 = 100. Ответ: вариант С.

Зhello_html_m46a76231.gifhello_html_m7c55c9de.gifадание 4(А). Какое из следующих чисел входит во множество значений функции 1 х

hello_html_mb60b119.gifу = − 2?

8

А) - 6; В). -1; С). - 2; D). -3 .

Рhello_html_m7c55c9de.gifhello_html_m46a76231.gifешение: 1 х

hello_html_m2bddf96.gif > 0 => Е(у) = ( -2; +∞ ). Ответ: вариант В.

8


Задание 5(А). Найдите множество значений функции

y = 2 + sinх.


А). [ -1; 1 ]; В). [ 0; 2 ]; С). [ 1; 3 ]; D). [ 2; 3 ] .


Решение: т.к. -1≤ sinх ≤ 1, то Е(у) = [ 2 + (- 1); 2+1]; [ 1; 3 ]. Ответ: вариант С.



Задание 6(А). Укажите функцию, область значений которой – промежуток


( 0; + ∞).

1

hello_html_m311f0002.gif А). у = ; В). у = √х; С). у = log3 х; D). у = 2х2 .

х2


Решение: Ответ: вариант А.


Задание 7(А). Найдите нули функции

hello_html_m2bddf96.gif3

hello_html_1cbd7991.gif2х - 16

у = .

х + 2


А) - 8; В). 2; С). - 2; D). 8 .


hello_html_7fb3c877.gif

Решение: 2х – 16 = 0, х = 8.

х ≠ -2. Ответ: вариант D.


Задание 8(В). Сколько целых чисел содержится в области определения функции

hello_html_m2bddf96.gif √ 16 – х4

hello_html_m2823cef2.gifу = ?

х2 + 2х + 1


А) 5; В). 4; С). 2; D). 1.


Рhello_html_m45afa567.gifhello_html_m45afa567.gifhello_html_m45afa567.gifешение: 16 – х4 ≥ 0; → (4 – х2)(4 + х2) ≥ 0; → (2 – х)(2 + х) ≥ 0; →

х2 + 2х + 1 ≠ 0; (х + 1)2 ≠ 0; х ≠ -1;

hello_html_74846dda.gif

-2 ≤ х ≤ 2;

hello_html_m45afa567.gifhello_html_m42f9c311.gif х ≠ -1; Ответ: целых чисел содержится -2; 0; 1; 2 , вариант В.


ΙΙ. Тестовые задания по теме: Исследование функции с помощью производной. Геометрический смысл производной.



Задание 1(А). Найдите производную функции у = ех + 3х2.


А) у' = хех-1 + 6х; В). у' = ех + х3; С). у' = ех + 5х2; D). у' = ех + 6х.


Решение: у' = (ех + 3х2) ' = ех + 6х. Ответ: вариант D.



Задание 2(А). Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции

в точке с абсциссой х0 = 6.

у = 3 ln х + 5,2.


А) 0,5; В). 5,7; С). 18; D). 23,2.


Решение: k = у' (х0). у'(х) = (3 ln х + 5,2) ' = 3/х; у' (х0) = 3/6 = 0,5; Ответ: вариант А.



Задание 3 (А). Угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции

у = ƒ (х) в точке (2; 5), равен 3. Найдите ƒ' (2).


А) 2,5; В). 2; С). 3; D). 5.


Ответ: вариант С.


Задание 4(А). Чему равен угол наклона касательной к графику функции

у = −√3 cos х в точке х0 = π /2 ?

А) 30º; В). 45º; С). 60º; D). 75º.


Решение: tg φ = у' (х0); tg φ = (−√3 cos х) ' = −√3 ( - sin х ) = √3 sin х = √3;

tg φ = √3; φ = 60º; Ответ: вариант С.

Задание 5(А). Материальная точка движется по прямой так, что её координата в момент времени t равна

х(t) = t 2 + е 2 – t.

Найдите скорость точки в момент времени t = 2.


А) 5; В). 3; С). 2; D). 4.


Решение: v(t) = х' (t) = (t 2 + е 2 – t) ' = 2 t – е 2 – t; v(2) = 2 ∙ 2 – е 2 – 2= 4 – е0 = 3;

Ответ: вариант В.


Задание 6(А). Материальная точка движется по прямой так, что её скорость в момент времени t равна

v(t) = t2 + sin2t.

Найдите ускорение точки в момент времени t = π / 6.


А) π / 3 + 1; В). π / 3 + 0,5; С). π / 3 +√3; D). π / 3 + √3 / 2


Решение: а(t) = v′(t) = (t2 + sin2t) ' = 2t + 2 cos2t;

а(π/6) = 2∙ π/6 + 2 cos2∙π/6 = π/3 + 2 cos π/3 = π/3 + 2 ∙ ½ = π/3 + 1;

Ответ: вариант А.


Задание 7(С). Найдите абсциссу точки на графике функции

у = х2 – 7х + 2,

касательная в которой параллельна прямой у = 5х + 3.


А) 3; В). 6; С). 1; D). 4.


Решение: т.к. касательная параллельна прямой у = 5х + 3 => k = 5, т.е. у' = 5;

у' = (х2 – 7х + 2)' = 2х – 7; 2х – 7 = 5; х = 6; Ответ: вариант В.


Задание 8(В). Какой угол с осью Ох образует касательная к графику функции

у = ctg x

hello_html_m2bddf96.gif 2 в точке с абсциссой х 0= π / 4?

3 π

hello_html_m311f0002.gif А) π/4; В). –arctg 2; С). arctg 2; D).

hello_html_m7c55c9de.gifhello_html_m46a76231.gif 4 ;

ctg x ′ 1 - 1

Рhello_html_mb60b119.gifhello_html_mb60b119.gifhello_html_m2bddf96.gifешение: tg φ = у' (х0); у′(х) = 2 = - ; у′(х0) =

2 sin2х 2 sin2π/4


уhello_html_mb60b119.gif′ = - 1 = -1; tg φ = -1; φ = π – π/4 = 3π/4; Ответ: вариант D.

2 (√2/2)2


Задание 9(В). Написать уравнение касательной к графику функции


х3 - 1

hello_html_m2bddf96.gif ƒ(х) = в точке его пересечения с осью Ох.

3


А) у = х - 1; В). у= х + 3; С). у = х - 2; D). у = х + 2.


Решение: у = ƒ(х0) + ƒ′ (х0)(х – х0); у = 0, если х3 – 1 = 0 => х = х0 = 1;


ƒ′(х) = ⅓ ∙ 3х2 = х2; ƒ′(х0) = 1; ƒ(х0) = 0 = > у = х – 1; Ответ: вариант А.









Теоретические вопросы для 11 класса:


  1. Дать определение функции.


Правило, при котором каждому значению х из множества Х соответствует одно единственное значение у из множества У, называется функцией.


Множество значений независимой переменной, при которых функция ƒ(х) имеет смысл, называется областью определения функции.


Множество значений переменной у называется множеством значений функции.


Функция является возрастающей на множестве Х, если для любых

х1 < х2 выполняется неравенство ƒ(х1) < ƒ(х2).


Функция является убывающей на множестве Х, если для любых х1 < х2 выполняется неравенство ƒ(х1) > ƒ(х2).


Значения независимой переменной х, при которых значение функции равно нулю, называется нулями функции.

1. Что такое производная функции в точке х0?

Ответ: это есть число, к которому стремится разностное отношение

ƒ к ∆x при ∆x→0.

  1. Какая функция называется дифференцируемой в точке?

Ответ: Если в точке х0 функция имеет производную, то функция

ƒ )называется дифференцируемой в этой точке.

  1. Назвать формулу производной функции

y = хn; y = √х, logax, ax, lnx, sin х, cоs х.

Ответ: y΄= nхn-1, y΄ = hello_html_m26dbe4ab.gif; (logax)΄= hello_html_4d98f412.gif; (lnx)΄= hello_html_6fe4202.gif; (sin х)΄= cоs х;

(cоs х)΄= - sin х;

4. Что такое угловой коэффициент прямой?

Ответ: k = ƒ'0), т.е. производная функции ƒ в точке х0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке х=х0.

5. В чём состоит геометрический смысл производной?

Ответ: Равенствами ƒ'0)= k или ƒ'0) = tg α определяется геометрический смысл производной.


6. Назвать уравнение касательной к графику функции ƒ(х) в точке с абсциссой х0.

Ответ: у = ƒ0 ) + ƒ'0)(х – х0)


7. Указать условие, при котором касательная образует с осью Ох острый угол. Ответ: касательная образует с осью Ох острый угол, если ƒ'0)>0.


8. Указать условие, при котором касательная образует с осью Ох тупой угол. Ответ: касательная образует с осью Ох тупой угол, если ƒ'0)<0.


9. Указать условие, при котором касательная параллельна оси Ох.

Ответ: касательная параллельна оси Ох, если ƒ'0)=0.


И конечно, нужно упомянуть о связи между характером монотонности функции (убывает она или возрастает) и знаком её производной на некотором промежутке.


10. Назвать достаточное условие возрастания (убывания) функции:

Ответ: Если в каждой точке х интервала (а;b) выполнено условие ƒ'(х)>0,

то функция является возрастающей в этом интервале.

Если в каждой точке х интервала (а;b) выполнено условие ƒ'(х)<0,

то функция является убывающей в этом интервале.


11. Какие правила необходимо соблюдать при определении экстремума функции:

Ответ:

  • Найти критические точки, т.е. те точки, в которых производная равна нулю, либо не существует.

  • Исследовать знаки производной в окрестности критических точек;

  • Если знак производной в точке х0 меняется с «+» на «-», точка х0 – точка максимума;

  • Если знак производной в точке х0 меняется с «-» на «+», точка х0 – точка минимума;


7


Краткое описание документа:

Теоретические вопросы для 11 класса:

 

1.                 Дать определение функции.

 

Правило, при котором каждому значению х из множества Х соответствует одно единственное значение у из множества У, называется функцией.

 

Множество значений независимой переменной, при которых функция ƒ(х) имеет смысл, называется областью определения функции.

 

Множество значений переменной у называется множеством значений функции.

 

Функция является возрастающей на множестве Х, если для любых

 х1 < х2  выполняется неравенство ƒ(х1) < ƒ(х2).

 

Функция является убывающей на множестве Х, если для любых  х1 < х2  выполняется неравенство ƒ(х1) > ƒ(х2).

 

Значения независимой переменной х, при которых значение функции равно нулю, называется нулями функции.

                                                                                          

1.  Что такое производная функции в точке х0?

      Ответ: это есть число, к которому стремится разностное отношение

∆ƒ к ∆x при ∆x→0.

2.      Какая функция называется дифференцируемой в точке?

Ответ: Если в точке х0  функция имеет производную, то функция

ƒ(х)называется дифференцируемой в этой точке.

3.      Назвать формулу производной функции

y = хn; y = √х, logax, ax, lnx,  sin х,  cоs х. 

                Ответ: y΄= nхn-1,  y΄ = ; (logax)΄= ; (lnx)΄= ; (sin х)΄= cоs х;

(cоs х)΄= - sin х;

  4.  Что такое угловой коэффициент прямой? 

  Ответ:  k = ƒ'(х0),  т.е. производная функции ƒ в точке х0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке х=х0.

 5.  В чём состоит геометрический смысл производной?

 

   Ответ: Равенствами  ƒ'(х0)= k  или  ƒ'(х0) = tgα  определяется геометрический смысл  производной.

Автор
Дата добавления 14.01.2015
Раздел Математика
Подраздел Видеоуроки
Просмотров598
Номер материала 298873
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх