- 14.01.2015
- 2195
- 6
I. Выполнение тестовых заданий 1 –8
(область определения, область значений функции)
Задание 1(А). Найдите область определения функции
x
y = log5
15 – 3x
А). (-∞; 0) U (5; +∞); В). (0; 5); С). [0; 5); D). (0; 3).
Решение: выражение под знаком логарифма строго больше нуля => х (15-3х) > 0.
Определяем нули х1=0 и х2 = 5. Отмечаем нули на координатной прямой, т.е. решаем
- + -
методом интервалов. 0 5 х
Ответ: вариант В. (0; 5).
Задание 2(А). Укажите область определения функции
8
y = √3 – log4 x
А). ( 0; +∞); В). (- ∞; 64 ]; С). (0; 1]; D). (0; 64 ].
Решение: 3 – log4 x ≥ 0; – log4 x ≥ -3; log4 x ≤ 3; log4 x ≤ log4 64; х ≤ 64, но х > 0.
Ответ: вариант В. (- ∞; 64];
Задание 3(В). Найдите наибольшее целое значение функции
2 2
у = 4 · 5 2 sin х. + 5 cоs х – 3
А). 25; В). 20; С). 100; D). 75.
Решение: т.к. данная показательная функция является возрастающей, то наибольшее значение функция принимает при наибольшем значении аргумента.
2 sin2 х. + 5 cоs2 х – 3 = 2(1 – cоs2 х) + 5 cоs2 х – 3 = 3 cоs2 х -1 → наибольшее значение выражения равно 2. Отсюда получаем:
у = 4 · 52 = 4 ∙ 25 = 100. Ответ: вариант С.
Задание
4(А). Какое из следующих
чисел входит во множество значений функции
1 х
у = − 2?
8
А) - 6; В). -1; С). - 2; D). -3 .
Решение: 1 х
> 0 => Е(у) = ( -2; +∞ ). Ответ: вариант В.
8
Задание 5(А). Найдите множество значений функции
y = 2 + sin х.
А). [ -1; 1 ]; В). [ 0; 2 ]; С). [ 1; 3 ]; D). [ 2; 3 ] .
Решение: т.к. -1≤ sin х ≤ 1, то Е(у) = [ 2 + (- 1); 2+1]; [ 1; 3 ]. Ответ: вариант С.
Задание 6(А). Укажите функцию, область значений которой – промежуток
( 0; + ∞).
1
А). у = ;
В). у = √х; С). у = log3 х; D). у = 2х2 .
х2
Решение: Ответ: вариант А.
Задание 7(А). Найдите нули функции
3
√2х - 16
у = .
х + 2
А) - 8; В). 2; С). - 2; D). 8 .
 |
Решение: 2х – 16 = 0, х = 8.
х ≠ -2. Ответ: вариант D.
Задание 8(В). Сколько целых чисел содержится в области определения функции
√ 16 – х4
у
= ?
х2 + 2х + 1
А) 5; В). 4; С). 2; D). 1.
Решение: 16 – х4 ≥ 0; →
(4 – х2)(4 + х2) ≥ 0; → (2 – х)(2 + х) ≥ 0; →
х2 + 2х + 1 ≠ 0; (х + 1)2 ≠ 0; х ≠ -1;
-2 ≤ х ≤ 2;
х ≠
-1; Ответ: целых чисел содержится -2; 0; 1; 2 , вариант
В.
ΙΙ. Тестовые задания по теме: Исследование функции с помощью производной. Геометрический смысл производной.
Задание 1(А). Найдите производную функции у = ех + 3х2.
А) у' = хех-1 + 6х; В). у' = ех + х3; С). у' = ех + 5х2; D). у' = ех + 6х.
Решение: у' = (ех + 3х2) ' = ех + 6х. Ответ: вариант D.
Задание 2(А). Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции
в точке с абсциссой х0 = 6.
у = 3 ln х + 5,2.
А) 0,5; В). 5,7; С). 18; D). 23,2.
Решение: k = у' (х0). у'(х) = (3 ln х + 5,2) ' = 3/х; у' (х0) = 3/6 = 0,5; Ответ: вариант А.
Задание 3 (А). Угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции
у = ƒ (х) в точке (2; 5), равен 3. Найдите ƒ' (2).
А) 2,5; В). 2; С). 3; D). 5.
Ответ: вариант С.
Задание 4(А). Чему равен угол наклона касательной к графику функции
у = −√3 cos х в точке х0 = π /2 ?
А) 30º; В). 45º; С). 60º; D). 75º.
Решение: tg φ = у' (х0); tg φ = (−√3 cos х) ' = −√3 ( - sin х ) = √3 sin х = √3;
tg φ = √3; φ = 60º; Ответ: вариант С.
Задание 5(А). Материальная точка движется по прямой так, что её координата в момент времени t равна
х(t) = t 2 + е 2 – t.
Найдите скорость точки в момент времени t = 2.
А) 5; В). 3; С). 2; D). 4.
Решение: v(t) = х' (t) = (t 2 + е 2 – t) ' = 2 t – е 2 – t; v(2) = 2 ∙ 2 – е 2 – 2= 4 – е0 = 3;
Ответ: вариант В.
Задание 6(А). Материальная точка движется по прямой так, что её скорость в момент времени t равна
v(t) = t2 + sin2t.
Найдите ускорение точки в момент времени t = π / 6.
А) π / 3 + 1; В). π / 3 + 0,5; С). π / 3 +√3; D). π / 3 + √3 / 2
Решение: а(t) = v′(t) = (t2 + sin2t) ' = 2t + 2 cos2t;
а(π/6) = 2∙ π/6 + 2 cos2∙π/6 = π/3 + 2 cos π/3 = π/3 + 2 ∙ ½ = π/3 + 1;
Ответ: вариант А.
Задание 7(С). Найдите абсциссу точки на графике функции
у = х2 – 7х + 2,
касательная в которой параллельна прямой у = 5х + 3.
А) 3; В). 6; С). 1; D). 4.
Решение: т.к. касательная параллельна прямой у = 5х + 3 => k = 5, т.е. у' = 5;
у' = (х2 – 7х + 2)' = 2х – 7; 2х – 7 = 5; х = 6; Ответ: вариант В.
Задание 8(В). Какой угол с осью Ох образует касательная к графику функции
у = ctg x
2 в точке с абсциссой х 0= π / 4?
3 π
А) π/4; В). –arctg 2; С). arctg 2; D).
4 ;
ctg x ′ 1 - 1
Решение: tg φ = у' (х0);
у′(х) = 2 = - ; у′(х0) =
2 sin2х 2 sin2π/4
у′ = - 1 = -1; tg φ = -1; φ = π – π/4 = 3π/4; Ответ: вариант D.
2 (√2/2)2
Задание 9(В). Написать уравнение касательной к графику функции
х3 - 1
ƒ(х)
= в точке его пересечения с осью Ох.
3
А) у = х - 1; В). у= х + 3; С). у = х - 2; D). у = х + 2.
Решение: у = ƒ(х0) + ƒ′ (х0)(х – х0); у = 0, если х3 – 1 = 0 => х = х0 = 1;
ƒ′(х) = ⅓ ∙ 3х2 = х2; ƒ′(х0) = 1; ƒ(х0) = 0 = > у = х – 1; Ответ: вариант А.
Теоретические вопросы для 11 класса:
1. Дать определение функции.
Правило, при котором каждому значению х из множества Х соответствует одно единственное значение у из множества У, называется функцией.
Множество значений независимой переменной, при которых функция ƒ(х) имеет смысл, называется областью определения функции.
Множество значений переменной у называется множеством значений функции.
Функция является возрастающей на множестве Х, если для любых
х1 < х2 выполняется неравенство ƒ(х1) < ƒ(х2).
Функция является убывающей на множестве Х, если для любых х1 < х2 выполняется неравенство ƒ(х1) > ƒ(х2).
Значения независимой переменной х, при которых значение функции равно нулю, называется нулями функции.
1. Что такое производная функции в точке х0?
Ответ: это есть число, к которому стремится разностное отношение
∆ƒ к ∆x при ∆x→0.
2. Какая функция называется дифференцируемой в точке?
Ответ: Если в точке х0 функция имеет производную, то функция
ƒ(х )называется дифференцируемой в этой точке.
3. Назвать формулу производной функции
y = хn; y = √х, logax, ax, lnx, sin х, cоs х.
Ответ: y΄= nхn-1,
y΄ = 
; (logax)΄= 
;
(lnx)΄= 
;
(sin х)΄= cоs х;
(cоs х)΄= - sin х;
4. Что такое угловой коэффициент прямой?
Ответ: k = ƒ'(х0), т.е. производная функции ƒ в точке х0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке х=х0.
5. В чём состоит геометрический смысл производной?
Ответ: Равенствами ƒ'(х0)= k или ƒ'(х0) = tg α определяется геометрический смысл производной.
6. Назвать уравнение касательной к графику функции ƒ(х) в точке с абсциссой х0.
Ответ: у = ƒ(х0 ) + ƒ'(х0)(х – х0)
7. Указать условие, при котором касательная образует с осью Ох острый угол. Ответ: касательная образует с осью Ох острый угол, если ƒ'(х0)>0.
8. Указать условие, при котором касательная образует с осью Ох тупой угол. Ответ: касательная образует с осью Ох тупой угол, если ƒ'(х0)<0.
9. Указать условие, при котором касательная параллельна оси Ох.
Ответ: касательная параллельна оси Ох, если ƒ'(х0)=0.
И конечно, нужно упомянуть о связи между характером монотонности функции (убывает она или возрастает) и знаком её производной на некотором промежутке.
10. Назвать достаточное условие возрастания (убывания) функции:
Ответ: Если в каждой точке х интервала (а;b) выполнено условие ƒ'(х)>0,
то функция является возрастающей в этом интервале.
Если в каждой точке х интервала (а;b) выполнено условие ƒ'(х)<0,
то функция является убывающей в этом интервале.
11. Какие правила необходимо соблюдать при определении экстремума функции:
Ответ:
· Найти критические точки, т.е. те точки, в которых производная равна нулю, либо не существует.
· Исследовать знаки производной в окрестности критических точек;
· Если знак производной в точке х0 меняется с «+» на «-», точка х0 – точка максимума;
· Если знак производной в точке х0 меняется с «-» на «+», точка х0 – точка минимума;
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Теоретические вопросы для 11 класса:
1. Дать определение функции.
Правило, при котором каждому значению х из множества Х соответствует одно единственное значение у из множества У, называется функцией.
Множество значений независимой переменной, при которых функция ƒ(х) имеет смысл, называется областью определения функции.
Множество значений переменной у называется множеством значений функции.
Функция является возрастающей на множестве Х, если для любых
х1 < х2 выполняется неравенство ƒ(х1) < ƒ(х2).
Функция является убывающей на множестве Х, если для любых х1 < х2 выполняется неравенство ƒ(х1) > ƒ(х2).
Значения независимой переменной х, при которых значение функции равно нулю, называется нулями функции.
1. Что такое производная функции в точке х0?
Ответ: это есть число, к которому стремится разностное отношение
∆ƒ к ∆x при ∆x→0.
2. Какая функция называется дифференцируемой в точке?
Ответ: Если в точке х0 функция имеет производную, то функция
ƒ(х)называется дифференцируемой в этой точке.
3. Назвать формулу производной функции
y = хn; y = √х, logax, ax, lnx, sin х, cоs х.
Ответ: y΄= nхn-1, y΄ = ; (logax)΄= ; (lnx)΄= ; (sin х)΄= cоs х;
(cоs х)΄= - sin х;
4. Что такое угловой коэффициент прямой?
Ответ: k = ƒ'(х0), т.е. производная функции ƒ в точке х0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке х=х0.
5. В чём состоит геометрический смысл производной?
Ответ: Равенствами ƒ'(х0)= k или ƒ'(х0) = tgα определяется геометрический смысл производной.
6 672 012 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Будзинская Мария Феликсовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
10 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.