Инфоурок / Математика / Конспекты / Разработка урока Исследование функции с применением производной 10 класс
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Законы экологии», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 21 ОКТЯБРЯ!

Конкурс "Законы экологии"

Разработка урока Исследование функции с применением производной 10 класс

Такого ещё не было!
Скидка 70% на курсы повышения квалификации

Количество мест со скидкой ограничено!
Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок"

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок" 20 мая 2016 г. бессрочно).


Список курсов, на которые распространяется скидка 70%:

Курсы повышения квалификации (144 часа, 1800 рублей):

Курсы повышения квалификации (108 часов, 1500 рублей):

Курсы повышения квалификации (72 часа, 1200 рублей):
библиотека
материалов



Тема занятия: Исследование функции с применением производной

учитель математики и информатики

КУРТАСОВА Л. В.

ГУ СШ №29,

г. АКТОБЕ



Цель: учить применять производную для исследования функций и построения графиков.

Образовательные  задачи:

  1. Изучение схемы исследования функции;

  2. применение полученных теоретических знаний для решения задач;

  3. развитие умения анализировать условие задачи с тем, чтобы выбрать оптимальный вариант решения.

Воспитательные задачи:

  1. воспитание потребности в знаниях;

  2. формирование навыков умственного труда – поиск рациональных путей решения, самообразования, самовоспитания;

  3. воспитание культуры общения,  взаимопомощи, умения слушать товарища; ответственности.

Развивающие задачи:

  1. способствование развитию общеучебных умений;

  2. развитие творческой стороны мышления;

  3. умение осуществлять исследовательскую деятельность;

  4. развитие уверенности в себе, интереса к предмету.



 

 Общая схема исследования функций включает в себя такие элементы, как нахождение промежутков монотонности, точек экстремума, участков выпуклости т.д. Применение производной позволяет значительно упростить эти исследования.

 

С л е д с т в и е . Если функция разрывна в некоторой точке, то она не имеет производной в этой точке.

П р и м е р .

Функция  y = | x | ( рис.3 )  всюду непрерывна, но она не имеет производной при  x = 0 , так как в этой точке не существует касательной к графику этой функции.

( Подумайте, почему ? )

 

hello_html_m74d86850.png

Достаточные признаки монотонности функции.

Если  f ’( x ) > 0  в каждой точке интервала ( a, b ), то функция  f ( x ) возрастает на этом интервале.

Если  f ’( x ) < 0  в каждой точке интервала ( a, b ) , то функция  f ( x ) убывает на этом интервале.

 

Теорема Дарбу. Точки, в которых производная функции равна 0  или не существует, делят область определения функции на интервалы, внутри которых производная сохраняет знак.

Используя эти интервалы, можно найти интервалы монотонности функций, что очень важно при их исследовании.

hello_html_5bc77478.png
 hello_html_78c08ed2.png

                                 hello_html_18103517.png

Следовательно, функция возрастает на интервалах ( hello_html_m1381be40.png0 ) и ( 1, + hello_html_m1381be40.pngи убывает на интервале ( 0, 1 ). Точка  x = 0 не входит в область определения функции, но по мере приближения  x  к  0 слагаемое  x 2  неограниченно возрастает, поэтому функция также неограниченно возрастает. В точке  x = 1 значение функции равно 3. В соответствии с этим анализом мы можем построить график функции ( рис.4б ) .

Критические точки. Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции. Эти точки очень важны при анализе функции и построении её графика, потому что только в этих точках функция может иметь экстремум ( минимум или максимум , рис.5а,б).

hello_html_67717601.png

В точках x1 , x2 ( рис.5a ) и x3 ( рис.5b ) производная равна 0; в точках x1 , x2 ( рис.5б ) производная не существует. Но все они точки экстремума.

 

Необходимое условие экстремума. Если x0 - точка экстремума функции f(x) и производная f’ существует в этой точке, то f’(x0)=0.

Эта теорема - необходимое условие экстремума. Если производная функции в некоторой точке равна 0, то это не значит, что функция имеет экстремум в этой точке. Например, производная функции  f ( x ) = x 3 равна 0 при  x = 0, но эта функция не имеет экстремум в этой точке ( рис.6 ).

hello_html_652886ee.png

С другой стороны, функция  y = | x | , представленная на рис.3, имеет минимум в точке  x = 0 , но в этой точке производной не существует.

 

Достаточные условия экстремума.

Если производная при переходе через точку  x0  меняет свой знак с плюса на минус, то  x0  - точка максимума.

Если производная при переходе через точку  x0  меняет свой знак с минуса на плюс, то  x0  - точка минимума.

 




План исследования функции.

Для построения графика функции нужно:

 

    1)  найти область определения и область значений функции,

    2)  установить, является ли функция чётной или нечётной,

    3)  определить, является ли функция периодической или нет,

    4)  найти нули функции и её значения при  x = 0,

    5)  найти интервалы знакопостоянства,

    6)  найти интервалы монотонности,

    7)  найти точки экстремума и значения функции в этих точках,

    8)  проанализировать поведение функции вблизи  “особых” точек

         и при больших значениях модуля  x .

 

П р и м е р . Исследуйте функцию  f ( x ) = x 3 + 2x 2 x 2 и постройте график.

 

Р е ш е н и е . Исследуем функцию по вышеприведенной схеме.

 

                       1)  область определения x hello_html_3acc81e5.pngR ( x – любое действительное число);

                            область значений  y hello_html_3acc81e5.pngR, так как  f ( x ) – многочлен нечётной

                            степени;

 

                       2)  функция  f ( x ) не является ни чётной, ни нечётной

                            ( поясните, пожалуйста );

 

                       3)   f ( x ) – непериодическая функция ( докажите это сами );

 

                       4)  график функции пересекается с осью Y  в точке ( 0, – 2 ),

                             так как  f ( 0 ) = 2 ;  чтобы найти нули функции нужно 

                             решить уравнение:  x 3 + 2x 2 x 2  = 0, один из корней

                             которого ( x = 1 ) очевиден. Другие корни находятся

                             ( если они есть! ) из решения квадратного уравнения:

                             x 2 + 3x + 2 = 0, которое получено делением многочлена

                             x 3 + 2x 2 x 2  на двучлен ( x – 1 ). Легко проверить,

                             что два других корня: x2 = 2 и  x3  = 1. Таким образом,

                             нулями функции являются:  2, 1 и 1.

 

                        5)  Это значит, что числовая ось делится этими корнями на

                             четыре интервала знакопостоянства, внутри которых

                             функция сохраняет свой знак :

                                     hello_html_3a14ad42.png

                             Этот результат может быть получен разложением

                             многочлена на множители:

 

                                          x 3 + 2x 2 x 2 = ( x + 2 ) ( x + 1 ( x – 1 )

 

                             и оценкой знака произведения  методом интервалов.

 

                        6)  Производная  f’ ( x ) = 3x2 + 4x 1 не имеет точек, в которых

                             она не существует, поэтому её область определения R ( все

                             действительные числа ); нули  f’ ( x ) – это корни уравнения:    

                             3x2 + 4x 1 = 0 .

                             hello_html_537b43a9.png

                               Полученные результаты сведены в таблицу:

hello_html_3597ef9a.png

hello_html_2ebdec3d.png

hello_html_m24389c92.png







Механический смысл производной.

Задача 1. Точка движется прямолинейно по закону hello_html_3910e70b.pngНайдите среднюю скорость точки на промежутке [1;4]. Найдите скорость лодки в момент времени t = 3 с.

hello_html_18c8b9b6.png

Задача 2. Точка движется прямолинейно по закону hello_html_141b1bde.pngВ какой момент времени скорость точки окажется равной нулю.

hello_html_m500653f2.pngв конце 2 секунды.



 



Краткое описание документа:

Цель: учить применять производную для исследования функций и построения графиков.

Образовательные  задачи:

  1. Изучение схемы исследования функции;
  2. применение полученных теоретических знаний для решения задач;
  3. развитие умения анализировать условие задачи с тем, чтобы выбрать оптимальный вариант решения.

 Общая схема исследования функций включает в себя такие элементы, как нахождение промежутков монотонности, точек экстремума, участков выпуклости т.д. Применение производной позволяет значительно упростить эти исследования.

 

Общая информация

Номер материала: 292644

Похожие материалы