Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Разработка урока Исследование функции с применением производной 10 класс
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Разработка урока Исследование функции с применением производной 10 класс

библиотека
материалов



Тема занятия: Исследование функции с применением производной

учитель математики и информатики

КУРТАСОВА Л. В.

ГУ СШ №29,

г. АКТОБЕ



Цель: учить применять производную для исследования функций и построения графиков.

Образовательные  задачи:

  1. Изучение схемы исследования функции;

  2. применение полученных теоретических знаний для решения задач;

  3. развитие умения анализировать условие задачи с тем, чтобы выбрать оптимальный вариант решения.

Воспитательные задачи:

  1. воспитание потребности в знаниях;

  2. формирование навыков умственного труда – поиск рациональных путей решения, самообразования, самовоспитания;

  3. воспитание культуры общения,  взаимопомощи, умения слушать товарища; ответственности.

Развивающие задачи:

  1. способствование развитию общеучебных умений;

  2. развитие творческой стороны мышления;

  3. умение осуществлять исследовательскую деятельность;

  4. развитие уверенности в себе, интереса к предмету.



 

 Общая схема исследования функций включает в себя такие элементы, как нахождение промежутков монотонности, точек экстремума, участков выпуклости т.д. Применение производной позволяет значительно упростить эти исследования.

 

С л е д с т в и е . Если функция разрывна в некоторой точке, то она не имеет производной в этой точке.

П р и м е р .

Функция  y = | x | ( рис.3 )  всюду непрерывна, но она не имеет производной при  x = 0 , так как в этой точке не существует касательной к графику этой функции.

( Подумайте, почему ? )

 

hello_html_m74d86850.png

Достаточные признаки монотонности функции.

Если  f ’( x ) > 0  в каждой точке интервала ( a, b ), то функция  f ( x ) возрастает на этом интервале.

Если  f ’( x ) < 0  в каждой точке интервала ( a, b ) , то функция  f ( x ) убывает на этом интервале.

 

Теорема Дарбу. Точки, в которых производная функции равна 0  или не существует, делят область определения функции на интервалы, внутри которых производная сохраняет знак.

Используя эти интервалы, можно найти интервалы монотонности функций, что очень важно при их исследовании.

hello_html_5bc77478.png
 hello_html_78c08ed2.png

                                 hello_html_18103517.png

Следовательно, функция возрастает на интервалах ( hello_html_m1381be40.png0 ) и ( 1, + hello_html_m1381be40.pngи убывает на интервале ( 0, 1 ). Точка  x = 0 не входит в область определения функции, но по мере приближения  x  к  0 слагаемое  x 2  неограниченно возрастает, поэтому функция также неограниченно возрастает. В точке  x = 1 значение функции равно 3. В соответствии с этим анализом мы можем построить график функции ( рис.4б ) .

Критические точки. Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции. Эти точки очень важны при анализе функции и построении её графика, потому что только в этих точках функция может иметь экстремум ( минимум или максимум , рис.5а,б).

hello_html_67717601.png

В точках x1 , x2 ( рис.5a ) и x3 ( рис.5b ) производная равна 0; в точках x1 , x2 ( рис.5б ) производная не существует. Но все они точки экстремума.

 

Необходимое условие экстремума. Если x0 - точка экстремума функции f(x) и производная f’ существует в этой точке, то f’(x0)=0.

Эта теорема - необходимое условие экстремума. Если производная функции в некоторой точке равна 0, то это не значит, что функция имеет экстремум в этой точке. Например, производная функции  f ( x ) = x 3 равна 0 при  x = 0, но эта функция не имеет экстремум в этой точке ( рис.6 ).

hello_html_652886ee.png

С другой стороны, функция  y = | x | , представленная на рис.3, имеет минимум в точке  x = 0 , но в этой точке производной не существует.

 

Достаточные условия экстремума.

Если производная при переходе через точку  x0  меняет свой знак с плюса на минус, то  x0  - точка максимума.

Если производная при переходе через точку  x0  меняет свой знак с минуса на плюс, то  x0  - точка минимума.

 




План исследования функции.

Для построения графика функции нужно:

 

    1)  найти область определения и область значений функции,

    2)  установить, является ли функция чётной или нечётной,

    3)  определить, является ли функция периодической или нет,

    4)  найти нули функции и её значения при  x = 0,

    5)  найти интервалы знакопостоянства,

    6)  найти интервалы монотонности,

    7)  найти точки экстремума и значения функции в этих точках,

    8)  проанализировать поведение функции вблизи  “особых” точек

         и при больших значениях модуля  x .

 

П р и м е р . Исследуйте функцию  f ( x ) = x 3 + 2x 2 x 2 и постройте график.

 

Р е ш е н и е . Исследуем функцию по вышеприведенной схеме.

 

                       1)  область определения x hello_html_3acc81e5.pngR ( x – любое действительное число);

                            область значений  y hello_html_3acc81e5.pngR, так как  f ( x ) – многочлен нечётной

                            степени;

 

                       2)  функция  f ( x ) не является ни чётной, ни нечётной

                            ( поясните, пожалуйста );

 

                       3)   f ( x ) – непериодическая функция ( докажите это сами );

 

                       4)  график функции пересекается с осью Y  в точке ( 0, – 2 ),

                             так как  f ( 0 ) = 2 ;  чтобы найти нули функции нужно 

                             решить уравнение:  x 3 + 2x 2 x 2  = 0, один из корней

                             которого ( x = 1 ) очевиден. Другие корни находятся

                             ( если они есть! ) из решения квадратного уравнения:

                             x 2 + 3x + 2 = 0, которое получено делением многочлена

                             x 3 + 2x 2 x 2  на двучлен ( x – 1 ). Легко проверить,

                             что два других корня: x2 = 2 и  x3  = 1. Таким образом,

                             нулями функции являются:  2, 1 и 1.

 

                        5)  Это значит, что числовая ось делится этими корнями на

                             четыре интервала знакопостоянства, внутри которых

                             функция сохраняет свой знак :

                                     hello_html_3a14ad42.png

                             Этот результат может быть получен разложением

                             многочлена на множители:

 

                                          x 3 + 2x 2 x 2 = ( x + 2 ) ( x + 1 ( x – 1 )

 

                             и оценкой знака произведения  методом интервалов.

 

                        6)  Производная  f’ ( x ) = 3x2 + 4x 1 не имеет точек, в которых

                             она не существует, поэтому её область определения R ( все

                             действительные числа ); нули  f’ ( x ) – это корни уравнения:    

                             3x2 + 4x 1 = 0 .

                             hello_html_537b43a9.png

                               Полученные результаты сведены в таблицу:

hello_html_3597ef9a.png

hello_html_2ebdec3d.png

hello_html_m24389c92.png







Механический смысл производной.

Задача 1. Точка движется прямолинейно по закону hello_html_3910e70b.pngНайдите среднюю скорость точки на промежутке [1;4]. Найдите скорость лодки в момент времени t = 3 с.

hello_html_18c8b9b6.png

Задача 2. Точка движется прямолинейно по закону hello_html_141b1bde.pngВ какой момент времени скорость точки окажется равной нулю.

hello_html_m500653f2.pngв конце 2 секунды.



 



Краткое описание документа:

Цель: учить применять производную для исследования функций и построения графиков.

Образовательные  задачи:

  1. Изучение схемы исследования функции;
  2. применение полученных теоретических знаний для решения задач;
  3. развитие умения анализировать условие задачи с тем, чтобы выбрать оптимальный вариант решения.

 Общая схема исследования функций включает в себя такие элементы, как нахождение промежутков монотонности, точек экстремума, участков выпуклости т.д. Применение производной позволяет значительно упростить эти исследования.

 

Автор
Дата добавления 13.01.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров486
Номер материала 292644
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх