Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Реферат "Наглядная геометрия" (пропедевтический курс)

Реферат "Наглядная геометрия" (пропедевтический курс)

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов


hello_html_3fa56328.gif

Министерство образования Российской Федерации

Муниципальное общеобразовательное учреждение

средняя школа № 2









ПРОГРАММА

НАГЛЯДНАЯ ГЕОМЕТРИЯ”






Разработана
учителем математики

Мосенковой

Любовью Анатольевной







Вязьма

2006


Содержание


Введение……………………………………………………………………................................

3

1. О проблемах изучения геометрии:


    1. В начальной школе……………………………………………….............................

5

    1. В 5-6 классах ………………………………………………………………………..

12

2. Разумно ли изучать геометрию на абстрактном формализованном уровне в отрыве от процессов познания окружающего мира?………………………………………......................

18

3. Программа «Наглядная геометрия» в 5-6 классах………………………………………….

20

4. Из опыта работы:


4.1 Учебный материал к теме «Многогранники»…………………………………......

25

4.2 Задачи к теме «Куб»………………………………………………………………...

32

4.3 Практические работы……………………………...………………………………..

35

4.4 Разработки уроков…………………………………………………………………..

37

Заключение ……………………………………………………………………………………...

46

Список используемой литературы ……………………………………………………………..

47















Введение

Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать.

Г. Галилей.


В течение всего ушедшего века выдающиеся математики, педагоги и методисты решали одну из сложнейших проблем теории обучения математике в школе – как эффективно построить и преподавать школьный курс геометрии. Тем не менее, мы вошли в XXI век, так и не решив ее до конца.

В разное время высказывались различные суждения по поводу преподавания геометрии и ее месте в системе школьного образования. По моему мнению, геометрия в школе – это не только основная математическая дисциплина, но и один из важнейших компонентов общечеловеческой культуры. Недостатки в освоении геометрии ведут к серьезному ущербу всего миропонимания, как материального, так и духовного. Поэтому воспитание геометрического мышления должно выходить за временные рамки курса геометрии как школьного предмета и продолжаться во все время пребывания учащегося в школе.

Геометрические образы сопровождают человека в течение всей его жизни, начиная с первых лет. Первичные геометрические сведения у человека появляются до того, как он способен их формально - логически осмыслить. Чем богаче и разностороннее мир ребенка, тем большее количество таких первоначальных знаний он получит до начала обучения в школе. По наблюдениям многих учителей и специалистов-психологов при неверном обучении ранняя способность оперировать геометрическими образами и синтезировать геометрические знания может в дальнейшем не только не развиваться, но даже резко ослабевать. Поэтому одной из главных задач преподавания геометрии является задача планомерного, систематического развития геометрического, образного мышления, восприятия геометрии не только как школьного предмета, но и как феномена человеческой культуры.

Геометрическое образование должно начинаться с первых шагов пребывания ученика в школе – на уроках труда, природоведения, рисования, а в средних классах – географии и черчения. Ранее, скажем, в первой половине XX века, геометрические навыки могли воспитываться и дома, когда дети, особенно в сельской местности, ежедневно наблюдали за работой родителей и посильно участвовали в ней, получая при этом обильный эмпирический геометрический материал. В настоящий момент, в связи с постоянно растущей урбанизацией жизни и значительной формализацией процесса труда, едва ли не единственным источником приобретения опыта в геометрических образах является школа. В связи с этим возрастает необходимость в разработке концепции пропедевтической, наглядной геометрии, которая могла бы ликвидировать дефицит геометрического опыта и методически правильно подготовить учащегося к усвоению стандартного курса геометрии.

Здесь можно провести следующую параллель. Уроки природоведения и труда в начальной школе уже много лет служат той первичной базой, на которой в средних классах основывается преподавание физики, химии и биологии. Разработка концепции геометрической пропедевтики и, возможно, отдельного предмета в 5-6 классах по наглядной геометрии способствовало бы созданию подобной базы для изучения геометрии и, тем самым, для изучения математики в целом.






















1. О проблемах изучения геометрии:

1.1. В начальной школе


Внедрение в практику начальной школы идей развивающего обучения нашло свое отражение не только в разработке новых концепций (Л.В. Занков, В.В.Давыдов) и в издании альтернативных учебников, но и в изменении действующих учебных планов начальной школы и введении новых курсов «Мир и человек », «Математика и конструирование» и др., целью которых является реализация идей развития младших школьников в процессе обучения.

Однако ни один из этих новых курсов не затрагивает так ощутимо содержание и методику обучения предмету, как курс «Математика и конструирование» («Наглядная геометрия»). Это обусловлено тем, что введение данного курса повлекло за собой не только разработку новых современных методик обучения ребенка младшего школьного возраста, но и значительное обновление и расширение объема математических понятий и отношений.

Основной задачей такого курса в начальной школе является обучение младшего школьника моделированию пространственных отношений и формирование на этой основе геометрических понятий и представлений.

Мысль о том, что курс «Наглядной геометрии» был бы полезен в начальной школе, не является новой (см.: Глейзер Г. Д. Каким быть школьному курсу геометрии// Математика в школе. № 4, 1991, с. 68), но сложность ее реализации в существующем курсе математики для начальных классов долгие годы останавливала методистов и учителей. О необходимости введения такого курса настойчиво говорили психологи, среди которых был и американский педагог—психолог Д. Брунер. Он писал: «… Быть может, самым поразительным примером такого (традиционного) подхода является первоначальное изложение Евклидовой геометрии учащимся средней школы в виде ряда аксиом и теорем без всякой опоры на непосредственный опыт оперирования простыми геометрическими формами. Если бы ребенок раньше овладел понятиями и доступными ему способами действий в виде «интуитивной геометрии», то он смог бы более глубоко усвоить смысл теорем и аксиом, которые ему объясняются позднее».1

Изучая геометрию, мы отвлекаемся от реальных объектов действительности: среди всех свойств рассматриваем только размеры, форму и положение в пространстве. Т.о., мы изучаем абстрактные модели каких-то реальных объектов.

Психологической особенностью детей младшего школьного возраста является преобладание наглядно-образного мышления, им сложно иметь дело с абстракциями. Восприятие же формы (основа распознания), формирующийся образ предмета складывается на основании объединения в комплекс тактильных, зрительных и кинестезических ощущений (двигательных, связанных с ощупыванием, поворачиванием и т.п.).

В связи с этим основной метод, используемый в курсе «Наглядная геометрия» для формирования геометрических представлений, - это метод действия с объектами, а не метод наблюдения над ними (как это делается в основном курсе геометрии сегодня). В большей мере эта работа производится на интуитивной основе, на уровне осмысления через ощущение, поскольку практическая деятельность (в отличие от теоретической) чаще использует догадку, интуицию. Такая практическая деятельность будет стимулировать развитие «геометрического чутья», «геометрического видения», а значит и геометрического пространственного мышления.

Метод действия с объектами предполагает построение курса «Математика и конструирование» («Наглядная геометрия») на основе системы практических работ, позволяющих детям научиться строить модель изучаемого пространственного соотношения, используя всевозможную вещественную наглядность (палочки, бечевку, бумагу, геометрические мозаики, конструкторы разных типов и т. д.), либо пользуясь графикой (схемой, чертежом). Такую деятельность называют моделированием.

Действие моделирования является как раз тем общим способом действий, который отражает специфику математического описания действительности. Если человек умеет построить какую-либо модель изучаемого предмета, процесса, явления, ситуации, отношения и описать ее на математическом языке, значит, он обладает тем, что мы называем математическим мышлением.

В процессе построения курса не считаю необходимым строго следовать логике построения Евклидовой геометрии, т.к. полагаю, что этот урок не должен превращаться в урок геометрии. Геометрический материал осваивается ребенком в ходе выполнения конструкторских заданий, геометрическое обобщение выступает в виде результата решения конструктивной задачи.

При выполнении практических заданий дети работают чаще с нелинованным листом бумаги неправильной формы (модель плоскости). Во время работы ученики не пользуются ни карандашом, ни ножницами, ни чертежными инструментами. Инструменты используются только на этапе проверки правильности выполнения задания и то не всегда, т.к. задание в основном завершается фразой: «…И найдите способ убедиться, что вы выполнили задание верно. Измерительными приборами при этом не пользуйтесь».

Например, в 1 классе в ходе изучения неопределяемых понятий – точка, прямая, плоскость – дети получают задания следующего характера:

  1. Согните лист бумаги так, чтобы имеющаяся на листе точка оказалась на линии сгиба. (У детей в руках листки неправильной формы с точкой в произвольном месте.)

  2. Как вы думаете, прямая или кривая линия получилась на сгибе? С помощью какого инструмента это можно проверить?

  3. На чистом листе поставьте точку и согните лист так, чтобы полученная на сгибе прямая, прошла через эту точку. Можно ли получить этим методом другую прямую, проходящую через эту точку? Получите ее. Сколько еще таких прямых можно получить? Проверьте с помощью своей первой модели, все ли линии сгиба у вас прямые. (После такой работы можно делать вывод о том, что через одну точку можно провести много прямых).

  4. Поставьте на чистом листе 2 точки. Попробуйте согнуть лист так, чтобы линия сгиба прошла через обе точки. У всех ли это получилось? Возьмите другой лист, поставьте точки по-другому. Согните лист так, чтобы прямая прошла через эти точки. Проделайте то же самое на третьем листе бумаги, поставив точки иначе. Как вы думаете, всегда ли можно провести прямую через две точки? Делается вывод о том, что это можно сделать всегда (количество опытов в данном случае делает индуктивный вывод вполне правомочным).

  5. Далее, в ходе выполнения аналогичной работы дети убеждаются в том, что провести прямую через три произвольно поставленные точки практически невозможно.

  6. Ученикам предлагается вернуться к первому и второму листам, повторить вывод о количестве прямых, которые можно провести через одну точку. После этого предлагается на третьем листе получить другую прямую, проходящую через те же точки. Дети практически убеждаются, что это невозможно. Вывод – через две точки можно провести только одну прямую.

Таким образом, моделируя пространственные отношения наиболее доступным для этого возраста способом, с опорой на наглядно-образное мышление, практическую деятельность и кинестезические ощущения (проводя пальцем по прямому острому сгибу бумаги, который в любом случае будет слегка шероховатым, ребенок закрепляет представление о прямой линии на тактильном уровне) ученик легко усваивает начальные геометрические сведения. Использование линейки, карандаша и линованной бумаги в тетради для проведения этой работы менее эффективно, т.к. ученики не осмысливают самого понятия «прямая линия», имея перед глазами разлинованную поверхность – они даже точки стараются ставить на перекрестке линий (в «узлах»), а сгибание проводят, ориентируясь на разлиновку страницы. Кроме этого, приходится тратить много времени на обучение правильному пользованию линейкой и карандашом, без которых на данном этапе вполне можно обойтись. Приведу примеры заданий для 2 класса, которые были использованы при изучении темы «Многоугольники» (задания выполняются на базе нелинованного листа бумаги неправильной формы):

  1. Из данного листа сделайте треугольник, лишнее оторвите.

  2. Из данного листа сделайте прямоугольный треугольник.

  3. Из данного листа сделайте равнобедренный треугольник. (Если не вводить термин «равнобедренный», то задание можно сформулировать так: сделайте треугольник, у которого две стороны имеют одинаковые длины).

  4. Из данного листа сделайте прямоугольный равнобедренный треугольник. Как убедиться в том, что он действительно равнобедренный?

  5. Из данного листа сделайте квадрат и найдите способ убедиться в том, что вы действительно получили квадрат (без использования инструментов).

  6. Найдите центр этого квадрата и с помощью циркуля убедитесь, что нашли его правильно (с одной стороны, эта точка является центром тяжести, в чем легко убедиться, воткнув в нее острие циркуля; с другой – это центр описанной окружности и далее вводятся понятия фигуры вписанной и описанной).

В ходе выполнения подобных заданий обсуждаются разные способы их выполнения, что фактически является выявлением свойств данных геометрических фигур. Напоминаем, что все задания выполняются без применения инструментов, ножниц, карандашей. Угольник или циркуль разрешается использовать только на этапе проверки правильности изготовления. Именно такие задания являются базой для формирования собственно конструктивных умений, поскольку их выполнение требует не только наличия определенных знаний, но и изобретательности, смекалки, геометрической интуиции.

Рассмотрим примеры заданий для 3 класса, формирующих умение трансформировать объект по заданным параметрам:

  1. Из данного остроугольного треугольника, имеющего один прямой угол, сделайте равнобедренный прямоугольный треугольник.

  2. «Впишите» в данный круг квадрат, пользуясь только перегибанием листа. Вершины квадрата должны лежать на ограничивающей окружности. Всегда ли можно это сделать?

  3. Можно ли из квадрата сделать прямоугольник, а из прямоугольника – квадрат? Докажите это построением, обоснуйте построение.

Фактически такие задания являются заданиями, предваряющими решение задач на «построение». Если ребенок овладел техникой такого «безинструментного» построения, ему гораздо легче будет освоить решение задач на «построение» с инструментами (циркулем, линейкой, транспортиром). А эти задачи являются для ученика среднего и старшего звена наиболее сложными (наряду с задачами на «доказательство», решать которые наш ученик тоже научится сразу на доступном ему уровне, обосновывая свое «построение»). Внимательное изучение перечня задач на «построение» в программе 7 и 8 классов по геометрии привело к выводу, что большинство из них выполнимы уже в 3 – 4 классах на базе курса «Наглядная геометрия»: деление отрезка и угла пополам, построение угла, равного данному, построение треугольника по трем элементам, вписывание и описывание окружности, построение ромба, параллелограмма, трапеции на базе квадрата или прямоугольника, построение равной фигуры с использованием осевой симметрии, параллельного переноса, поворота и т.д.

Стараясь соблюдать при отборе содержания названный выше принцип, необходимо было выстроить геометрические понятия в определенной системе таким образом, чтобы каждое новое понятие было органически связано как с ранее, так и последующими, т.е. программа курса должна представлять собой систему взаимосвязанных между собой понятий, отвечать принципу системности. Надо заметить, что следование этому принципу иногда приводило к неожиданным, на первый взгляд, подходам к привычным определениям и установившимся оценкам степени сложности и посильности заданий. Например, была сделана попытка ввести в курс как понятия топологического характера (замкнутость и незамкнутость, внутренняя и внешняя часть фигуры, ее граница, пересечение и объединение плоских тел, элементы исследования и моделирования пространственных тел, элементы теории перемещений плоскости и т.д.), так и элементы проективной геометрии (проекции тел и фигур, развертки, сечения, изображения объемных тел на плоскости и т.д.).

Одним из оснований к введению в курс этих понятий являются результаты экспериментов психологического характера, проведенных с целью исследования того, как ребенок открывает для себя пространственные отношения. Ж.Пиаже пишет, что, как выяснилось в ходе экспериментов, порядок развития идей ребенка в области геометрии кажется обратным порядку их исторического открытия. Научная геометрия начинается с системы Евклида (трактующей фигуры, углы и т.д.), развивается в XVII столетии в так называемую проективную геометрию (имеющую дело с проблемами перспективы), и, наконец, в XIX столетии приходит к топологии (описывающей пространственные отношения в общем, качественном виде, например, различие между открытыми и замкнутыми структурами, внешним и внутренним, близостью и разделением). «Ребенок, - пишет Ж.Пиаже, - начинает с последнего: его первые геометрические открытия являются топологическими. В возрасте 3 лет он легко различает открытые и замкнутые фигуры. Если вы попросите его срисовать квадрат или треугольник, он нарисует замкнутый круг; он рисует крест двумя отдельными линиями. Если вы показываете ему рисунок большого круга с маленьким кругом внутри, он может воспроизвести это отношение, но может так же нарисовать маленький круг вне большого, или соприкасающимся с ним краем. И все это может сделать прежде, чем сумеет нарисовать прямоугольник или выразить, евклидовы характеристики фигуры (число сторон, углов и т.д.). Лишь значительно позже того, как ребенок овладеет топологическими отношениями, он начинает развивать свои понятия евклидовой и проективной геометрии. И тогда он строит их одновременно».

Опыт работы в экспериментальных классах показал, что дети 6-8 лет быстро «схватывают» эти понятия и довольно легко ориентируются в решении подобных задач уже на втором году обучения, не считая их какими-то особо трудными. Наоборот, именно эти задания вызывают у них интерес и встречаются эмоционально, что в свою очередь стимулирует интерес к курсу «Наглядная геометрия».

Формировать умения мысленно выделять линии фигуры, комбинировать их в различных сочетаниях, вращать их вокруг оси, накладывать одни на другие и т.д. необходимо еще до систематического обучения детей геометрии. Если эти умения не сформированы у ребенка до начала изучения геометрии, то, как показывает опыт, уроки геометрии представляют для него трудность, преодоление которой требует немалой дополнительной работы учителя. Формирование этих умений в начальной школе ликвидировало бы возможность формального усвоения знаний по геометрии, а также создало бы предпосылки для развития пространственных представлений, умения читать и понимать чертеж, что совершенно необходимо ученикам для овладения основами современного производства.

Если же учесть, что полученные в начальных классах элементарные навыки построения и измерений сохраняются у учащихся на долгие годы, то становится ясной значимость формирования этих навыков именно в этот период.

Отсюда важным, по-моему, является принцип преемственности. Руководствуясь этим принципом, были включены в курс «Наглядная геометрия» те геометрические понятия, которые составляют содержание геометрической части программы по математике 5-6 классов. Т. о., третьим принципом отбора содержания явился принцип преемственности, обеспечивающий подготовку детей к изучению систематического курса геометрии.

Обобщая все выше сказанное, можно сделать следующий вывод: в IIV классах происходит накопление простейших геометрических представлений у учащихся, овладение элементарными навыками использования линейки, циркуля, чертежного угольника, транспортира, ознакомление с некоторыми геометрическими терминами. Это достигается путем систематически проводимых практических работ. Уже в этих классах учащиеся постепенно готовятся к пониманию роли определений. Происходят первые попытки отыскания «названия» некоторым геометрическим фигурам: треугольнику, четырехугольнику, пятиугольнику. Но задача поисков формулировки определений еще не ставится.

Таким образом, курс начальной школы содержит достаточно геометрического материала. Так, проанализировав Программу четырехлетней начальной школы (руководитель проекта профессор Н.Ф. Виноградова), можно сделать вывод, что в ней четко просматривается линия развития геометрических представлений учащихся. Дети знакомятся не только с плоскими, но и с пространственными фигурами, учатся их различать. При этом рассматривается взаимное расположение фигур на плоскости (например, пересечение, параллельность и перпендикулярность прямых). Большое внимание уделяется формированию графических умений - строению отрезков, ломаных, окружностей, углов, многоугольников и решению практических задач (деление отрезка пополам, окружности на части и пр.).

Большую роль в развитии пространственных представлений играет включение в программу (уже с 1 класса) понятия осевой симметрии.

При выборе методов изложения приоритет отдается дедуктивным методам. Овладев общими способами действия, ученик применяет полученные при этом знания и умения для решения новых конкретных учебных задач.



















1.2. В 5-6 классах


Логическим продолжением приведенных выше соображений о методике и содержании курса «Наглядная геометрия» очевидно, должно явиться создание соответствующего курса для 5-6 классов.

Многие методисты-математики пытались создать единый курс математики для 5-6 классов и эти попытки не увенчались успехом. Это в первую очередь относится как к содержанию геометрической части курса, так и к стыковке геометрического и числового материалов. Попытки создания такого курса были в учебниках Виленкина Н.Я. «Математика» 5,6 кл. и «Математика» 5, 6 кл. (под редакцией Дорофеева Г.В. и Шарыгина И. Ф.) .Что же мы там видим? Во-первых, геометрического материала мало, он в основном направлен на пропедевтику будущих систематических знаний. Во-вторых, как это уже указывалось по отношению к начальной школе, что за эти два года изучено, сформировано, отработано хотя бы на уровне представлений – понять трудно, а это значит, что в последующих классах все придется начинать сначала.

Главная проблема состоит в том, что для этого возраста необходимо создать специальный курс геометрии, соответствующий огромной активности и большим возможностям, присущим ученикам 5-6 классов. Нельзя не отметить, что для 5-6 классов созданы интересные книги:

  • Подходова Н.С. Геометрия. 5 класс. С-Петербург: Дидактика, 1995.

  • Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л. Н. Наглядная геометрия. – М.: МИРОС , 1992.

  • Цукарь А.Я. Математика 5-6 кл - Новосибирск, 1997.

За последние годы совершенно независимо друг от друга различные авторы пришли к мысли о разделении курса математики для 5-6 классов на отдельное предметное изложение. Появляются отдельные учебники по арифметике и элементам алгебры и отдельные учебники по геометрии:

  • Гельфман Э.Г. и др. Математика , 5-9 кл. – Томск: Издательство ТГУ , 1995-2000.

  • Никольский С.М. и др. Арифметика. 5-6 кл, - М.: УНЦ ДО МГУ ,1996г., 1997г.

  • Гусев В.А. Геометрия. 5-6 кл. – М.: Русское слово, 2002.

  • Клековкин Г.А. Геометрия , 5 кл. – М.: Русское слово, 2001.

Очень важно отметить, что нельзя с 1—по 6 класс по геометрии учить «чему-нибудь и как-нибудь». Должна быть построена четко спланированная, продуктивная, интересная работа по усвоению геометрических знаний, которая к 11 классу даст свой результат.

Основываясь на положениях психологов о том, что у детей младшего школьного возраста наиболее развитым является наглядно-образное мышление и, используя учебники И. Ф. Шарыгина, Л. Н. Ерганжиевой «Наглядная геометрия» и «Геометрия для младших школьников» (из серии МПИ), я составила свою авторскую программу изучения геометрии в 5-6 классах, по которой работаю с 1997 года. Программа рассчитана на 34 часа в 5 классе и на столько же в 6 классе. Ее цель – подготовить учащихся к овладению систематическим курсом геометрии. Тогда в 7 классе можно четко поставить задачу – выстроить уже знакомый материал так, чтобы удалось доказать справедливость уже известных фактов и других, пока неизвестных. Конечно, и сам курс «Наглядная геометрия» или «Введение в геометрию» (название роли не играет) должен быть логичным, чтобы не появлялось в нем немотивированных понятий.

В начале 5 класса учащимся дается тест, который предназначен для проверки того, могут ли учащиеся спонтанно, только на основе жизненного опыта, овладеть понятием многогранника. Другими словами, нужно ли вообще учить многогранникам в 5-6 классах?

Вот содержание теста:

  1. На рисунке 1 изображены геометрические тела. Укажите среди них:

a) Параллелепипеды;

b) Призмы;

c) Пирамиды;

d) Многогранники.

hello_html_m5e2711cc.gif

  1. Если у прямоугольного параллелепипеда закрасить одним цветом параллельные ребра, то цветов потребуется:

a) 2;

b) 6;

c) 3?

  1. Сколько граней у не оточенного шестигранного карандаша:

a) 6;

b) 8;

c) 10?

  1. На столе стоит куб, а вокруг него летают бабочки, и каждая норовит занять всю его грань. Сколько бабочек найдут себе место на этом кубе:

a) 4;

b) 6;

c) 5?

  1. В каждую вершину бумажного кубика девочка воткнула булавку с цветной головкой. Сколько булавок она израсходовала:

a) 4;

b) 6;

c) 8?

  1. Дана призма, основанием которой является восьмиугольник. Сколько у этой призмы:

1) вершин:

a) 16;

b) 18;

c) 8?

2) ребер:

a) 16;

b) 24;

c) 32?

3) граней:

a) 8;

b) 10;

c) 12?

  1. Сколько потребуется проволоки для изготовления каркасной модели шестиугольной пирамиды, все ребра которой равны 5 см:

a) 30 см ;

b) 60 см ;

c) 80 см ?

  1. На рисунке 2 и 3 изображены фигуры, являющиеся развертками некоторых тел (тонкие линии – это линии сгиба):

1) Какая из фигур на рисунке 2 не будет разверткой куба:

a) а;

b) б;

c) в?

hello_html_m6d92109d.gif







Рисунок 2

2) Какая из фигур на рисунке 3 не является разверткой пирамиды:

a) a;

b) б;

chello_html_230c519d.gif) c?







Рисунок 3

Результаты тестирования оказались следующими:

Таблица 1.

Тип задания

Выполнение заданий, %

I. Определение многогранника по данному рисунку

32

II. Узнать вид многогранника по данной развертке

28

III. Найти метрические характеристики многогранника

37,5

IV. Установить свойства многогранника

12

Как видно из таблицы 1 ни одно из заданий не было выполнено хотя бы на уровне 50 %. Даже узнать стереометрическую фигуру по ее плоскому изображению смогли менее половины детей. Но значительно более трудные задания II типа (на развертку) обеспечили примерно такой же процент успеха. Эти данные можно трактовать так: примерно треть учащихся в состоянии приобрести простейшие стереометрические навыки в ходе обучения в начальной школе. Но вот установить простейшие свойства многогранника, т.е. указать число его граней, ребер, вершин, смогло лишь 12%, т.е. приблизительно десятая часть. Это говорит о том, что у большинства школьников пространственное воображение не сформировалось. Сосчитать число ребер, граней и вершин у куба, который перед глазами, могут все. А вот проделать такую же работу с воображаемой фигурой для большинства учащихся оказалось делом невозможным.

Немного лучше (37,5 %) показатели умений находить метрические характеристики многогранников. Вычислить периметр плоской фигуры могут почти все учащиеся. Но проделать фактически ту же операцию (сложение длин отрезков) над отрезками, собранными в пространственную фигуру, смогли далеко не все.

На основании анализа проведенного теста было решено провести в V-VI классах экспериментальное преподавание с усилением геометрической линии. Преподавание велось по учебнику И.Ф. Шарыгина, Л.Н. Ерганжиевой «Наглядная геометрия»: Мирос, 1995, а также параллельно преподавание велось в школе для одаренных детей «Интеллект» (есть такая школа в городе Вязьме с 1997 года).

При изучении основных видов многогранников применялся индуктивный метод. Дети еще в детском саду играют в кубики, и эту фигуру они знают лучше, чем прямоугольный параллелепипед. Поэтому знакомить учащихся с многогранниками надо именно на примере куба. И только потом от частного перейти к общему, «вытягивать» куб в каком-нибудь направлении, переходя, таким образом, к прямоугольному параллелепипеду, а затем к прямой призме и пирамиде. Причем сначала изучаем треугольную пирамиду, а затем – переходим к многоугольной. После рассмотрения частных случаев переходим к общему понятию многогранника и даем его определение на описательном уровне. Главное – это добиться, чтобы учащиеся имели представление о том, что поверхность многогранника состоит их многоугольников.

Общая схема изучения каждого вида многогранника такова: описание, нахождение многогранника данного вида на рисунках и среди окружающих предметов; изображение изучаемой стереометрической фигуры, ее развертка; число вершин, ребер, граней, число параллельных граней и ребер, периметр основания, сумма длин всех ребер.

В конце обучения в Y классе было проведено повторное тестирование по заданиям, которые аналогичны приведенным выше. Вот результаты повторного тестирования:





Таблица 2

Тип задания

Выполнение заданий, %

I.Определить многогранник по данному рисунку

42

II. Узнать вид многогранника по данной развертке

54

III. Найти метрические характеристики многогранника

48

IY. Установить свойства многогранника

58


Данные в таблице 2 свидетельствуют о росте успехов учащихся по всем типам заданий. Значит, большое значение имеет фактор обученности. Иными словами, учащихся можно научить работать с конкретным многогранником: делать его развертку, вычислять периметр основания, число ребер, граней и т.д. Но труднее научить выделять какой-то многогранник из множества других. Об этом говорит результат выполнения заданий I типа, который только на 10 % превышает результат первого теста. Надо учесть, что в заданиях I типа основная трудность носит вербальный характер: учащимся надо помнить много новых названий и уметь проводить классификацию.

Но в основном можно сделать главный вывод: учащимся 5 класса доступен предлагаемый геометрический материал. Хотя в 5-6 классах обучение и остается наглядным, но расширяется круг изучаемых геометрических фигур, и начинается целенаправленная работа по формированию навыков дедуктивного мышления. Особое внимание уделяется формулировкам выводов из наблюдений. Появляются простейшие дедуктивные умозаключения, первые теоремы и их доказательства.















2. Разумно ли изучать геометрию на абстрактном формализованном уровне в отрыве от процессов познания окружающего мира?


Популяризатор математических и естественных знаний Я. И. Перельман говорил: «Какой, в самом деле, интерес может представлять для учащихся изучение формальной геометрии? Почти никакого – главным образом потому, что ему непонятна цель ее изучения. Перебирая возможные цели преподавания школьной геометрии, мы должны, конечно, исключать такие отвлеченные и непонятные ученику цели, как развитие пространственной интуиции и воспитание логического мышления: цели эти могут ставиться учителем, но для ученика являться лишь результатом изучения геометрии, а не заранее осознанной целью. Третья цель – познание свойств геометрических фигур – могла бы служить для учащихся воодушевляющим стимулом только в том случае, если бы он ощущал потребность в знании этих свойств. Само же по себе изучение свойств воображаемых фигур, заведомо не существующих в реальной действительности, не может большинству учащихся казаться нужной и осмысленной работой. И до тех пор, пока в глазах ученика единственное применение свойств геометрических фигур состоит лишь в том, что с помощью их выводятся другие геометрические свойства, которые, в свою очередь, служат для обоснования новых, - нельзя ожидать, чтобы такая неуловимая цель могла поддерживать интерес к изучению предмета.

Другое дело, когда учащиеся почти на каждом шагу убеждаются, что знание свойств геометрических фигур с успехом применимо к разрешению многочисленных и разнообразных задач, возникающих в действительной жизни – в обиходе, в технике, в естествознании. Тогда, и только тогда, изучение геометрии с первых же уроков приобретает живой интерес для всех учеников, а не для ограниченного числа наиболее одаренных. И если желательно, чтобы преподавание геометрии не было в глазах учеников бесцельным занятием, лишенным смысла и интереса, необходимо поставить обучение так, чтобы ученик приучался широко и уверенно распоряжаться приобретаемыми геометрическими знаниями для решения разнообразных реальных задач. Он должен чувствовать, что геометрия снабжает его применимыми к жизни сведениями, вооружает могущественным орудием познания действительности».1

Эта большая цитата из книги Я. И. Перельмана остается весьма актуальной. К сожалению, в практике создания учебников геометрии для школ вне зависимости от того, массовая это школа или школа с углубленным изучением математики, почему-то полностью или почти полностью игнорировались эти мудрые высказывания. Вместе с тем стали появляться много книг и исследований, посвященных так называемой прикладной направленности изучения геометрии:

--- Возняк Г. М., Гусев В. А. Прикладные задачи на экстремумы. – М.: Просвещение, 1985.

--- Варданян С. С. Задачи по планиметрии с практическим содержанием./ Под ред. В. А. Гусева. – М.: Просвещение,1989.

Хочется надеяться, что создаваемые в настоящее время учебники в меру возможностей учтут указанные выше цели.

Прежде всего, следует исходить из того, что вокруг нас нет ни одного плоского объекта. Все в нашем мире трехмерно. Все школьные дисциплины изучают пространственные объекты и процессы. Но кто же разделил тогда геометрию на две части: планиметрию и стереометрию? И зачем?

Хорошо известно, что это сделал Евклид в своих «Началах». Вместе с тем исторически доказано, что Евклид никогда не считал свои «Начала» учебником по геометрии для начинающих и полагал, что эту книгу должны читать люди, которые уже изучали геометрию ранее. Вот почему Евклид «отодвигает стереометрию в самый конец своего курса, как можно дальше от планиметрии, что можно объяснить целью развития планиметрии и собственными средствами, не прибегая к стереометрии. Эта цель объясняется сверхзадачей, поставленной Евклидом перед всем курсом геометрии – логическим строением замкнутой в себя системы геометрии».1

Тем не менее, многие столетия в школах мира, это относится и к России, изучают геометрию по Евклиду.

ХХ век, работами математиков, педагогов, психологов положил начало ограничению экспансии «Начал» Евклида в школьной геометрии. Был предложен широкий спектр идей от более или менее умеренных, например,: «Мы теперь … считаем правильным развивать, возможно, раньше пространственные представления в целом и для этого с самого начала приучать ребенка к трехмерным фигурам, вместо того сначала искусственно прививать ему ограничение плоскостью.» (Ф. Клейн), «Очень вредно молодой ум ученика надолго задерживать на изучении плоской геометрии, т.к. от этого замедляется развитие пространственных представлений, а от этого и развитие вообще (Бретшнайдер) до весьма радикальных: «Традиционной геометрии, если она где-то еще и существует, уже недолго осталось жить» (Г. Фройденталь) и многим известного лозунга 60-70 годов «Долой Евклида!».

3. Программа «Наглядная геометрия» в 5-6 классах


Основываясь на положениях психологов о том, что у детей младшего школьного возраста наиболее развитым является наглядно-образное мышление и, используя учебники И.Ф. Шарыгина, Л.Н. Ерганжиевой «Наглядная геометрия» и «Геометрия для младших школьников» (из серии МПИ), я составила свою авторскую программу изучения геометрии в 5-6 классах, по которой работаю с 1997 года. Программа рассчитана на 34 часа в 5 классе и на столько же в 6 классе. Её цель – подготовить учащихся к овладению систематическим курсом геометрии. Тогда в 7 классе можно чётко поставить задачу – выстроить уже знакомый материал так, чтобы удалось доказать справедливость уже известных фактов и других, пока неизвестных. Конечно, и сам курс « Наглядная геометрия» или « Введение в геометрию» (название роли не играет) должен быть логичным, чтобы не появлялось в нем немотивированных понятий.

Пояснительная записка.

В основе курса «Наглядная геометрия» должна лежать максимально конкретная, практическая деятельность ребенка, связанная с различными геометрическими объектами. В нем не должно быть теорем, строгих рассуждений, но должны присутствовать такие темы и задания, которые бы стимулировали учащегося к проведению несложных обоснований, к поиску тех или иных закономерностей.

Данный курс дает возможность получить непосредственное знание некоторых свойств и качеств важнейших геометрических понятий, идей, методов, не нарушая гармонию внутреннего мира ребенка. Соединение этого непосредственного знания с элементами логической структуры геометрии не только обеспечивает разностороннюю пропедевтику систематического курса геометрии, но и благотворно влияет на общее развитие детей, т.к. позволяет использовать в индивидуальном познавательном опыте ребенка различные составляющие его способностей.

Эта программа основана на активной деятельности детей, направленной на зарождение, накопление, осмысление и некоторую систематизацию геометрической информации. Такая ориентация подготовительного курса неслучайна, т.к. в систематическом курсе вся геометрическая информация представлена в виде логически стройной системы понятий и фактов. Но пониманию необходимости дедуктивного построения геометрии предшествовал долгий путь становления геометрии, начало которого было связано с практикой. Кроме того, изучение систематического курса геометрии начинается в том возрасте, когда интенсивно должно развиваться математическое мышление детей, когда реальная база для осознания математических абстракций должна быть уже заложена. Поэтому перед изучением систематического курса геометрии с учащимися необходимо проводить большую подготовительную работу, которая и предусмотрена программой «Наглядная геометрия».

Цели курса:

  • создание запаса геометрических представлений, которые в дальнейшем должны обеспечить основу для формирования геометрических понятий, идей, методов;

  • максимальное развитие познавательных способностей учащихся;

  • показать роль геометрических знаний в познании мира;

  • развитие интуиции и геометрического воображения каждого учащегося.

Тематическое планирование материала:

5 класс:

  1. Первые шаги в геометрии. Зарождение и развитие геометрической науки. 1 ч

  2. Пространство и размерность. Мир трех измерений. Форма и взаимное расположение фигур в пространстве. Перспектива. 1 ч

  3. Простейшие геометрические фигуры. Точка, прямая, плоскость. Отрезок, луч, угол. Измерение углов. Виды углов. Смежные и вертикальные углы. 2 ч

  4. Куб и его свойства. Основные элементы куба: грань, ребро, вершина. Диагональ куба. Развертка куба. Изготовление бумажных моделей куба. Изображение куба и его сечений. Практическая работа «Куб». 4 ч

  5. Задачи на разрезание и складывание фигур. Пентамино. Паркеты. Творческая работа «Паркеты на клетчатой бумаге». Танграм 2 ч

  6. Треугольник. Виды треугольников. Паркеты из треугольников. Сумма углов треугольника. Конструкции из треугольников. Флексагон. Построение треугольников. Треугольник Пенроуза. Египетский треугольник. Практическая работа «Треугольник». 3 ч

7. Многогранники. Параллелепипед, его свойства и сечения. 2 ч

8. Призма. Прямая призма. Свойства и сечения прямой призмы. 2 ч

9. Пирамида. Треугольная пирамида, ее свойства и сечения. Пирамида Хеопса. 2 ч

10. Правильные многогранники. Формула Эйлера. Развертки правильных многогранников и их изготовление. 1 ч

11. Геометрические головоломки. Геометрия танграма. Стомахион. 2 ч

12. Измерение длины. Меры длины. Старинные русские меры длины. Периметр многоугольника. 2 ч

13. Вычисление длины, площади и объема. Площади фигур. Палетка. Практическая работа «Площадь». Объемы тел. Практическая работа «Объемы». 5 ч

14. Окружность. Круг. Радиус и диаметр. Как нарисовать окружность без циркуля? Деление окружности на части. Архитектурный орнамент Древнего Востока. Из истории зодчества Древней Руси. Конус, цилиндр, шар. 2 ч

15. Геометрический тренинг. Развитие «геометрического зрения». Решение занимательных геометрических задач. 2 ч

16. Задачи со спичками. 1 ч


6 класс:

  1. Оригами – искусство складывания из бумаги. Изготовление коллекции оригами. 6 ч

  2. Координаты: прямоугольные и полярные на плоскости. Координаты в пространстве. Игра «Остров сокровищ». Графические диктанты. 4 ч

  3. Параллельность и перпендикулярность. Проведение параллельных прямых. Проведение перпендикуляра к прямой. Скрещивающиеся прямые. 3 ч

  4. Замечательные кривые. Эллипс, гипербола, парабола. Спираль Архимеда. Синусоида, кардиоида, циклоида, гипоциклоиды. Геометрическое вышивание. Построение астроиды, кардиоиды, нефроиды методом математического вышивания. Творческая работа «Создание рисунков-вышивок». 3 ч

  5. Топологические опыты. Лист Мебиуса. Задачи на вычерчивание фигур одним росчерком.1 ч

6. Кривые дракона. 1 ч

7. Лабиринты. Нить Ариадны. Творческие работы. 1 ч

  1. Симметрия, ее виды. Симметричные фигуры. Практическая работа «Симметрия». Творческие работы. 3 ч

9. Зеркальное отражение. Опыты с зеркалами. 1 ч

10. Бордюры. Трафареты. Творческие работы. 2 ч

11. Орнаменты. Паркеты. Творческие работы. 2 ч

12. Симметрия помогает решать задачи. 2 ч

13. Задачи, головоломки, игры. 2 ч

14. Геометрические фигуры на экране компьютера. 3 ч

  • Требования к учащемуся:

  • 5 класса:

В результате изучения курса учащиеся должны:

    • называть:

  • простейшие геометрические фигуры;

  • фигуры и тела, изображенные на рисунке;

    • различать:

      • углы, в зависимости от их величины;

      • виды треугольников;

      • периметр, площадь и объем;

      • элементы многоугольников и многогранников;

        • воспроизводить по памяти:

          • соотношения между единицами длины, площади и объема;

          • определения прямоугольника, квадрата, параллелограмма, треугольника, куба;

            • устанавливать связи и зависимости между:

              • площадью прямоугольника (квадрата) и длинами его сторон;

                • решать учебные и практические задачи:

                  • измерять величину угла;

                  • вычислять периметр многоугольника;

                  • площадь прямоугольного треугольника, квадрата;

                  • строить окружность с помощью циркуля;

                  • изображать пространственные тела на чертеже (куб, параллелепипед, прямая призма, пирамида);

                  • решать задачи на построение.

  • 6 класс:

В результате изучения курса учащиеся должны:

  • называть:

    • фигуры и тела, изображенные на рисунке;

    • элементы многоугольников и многогранников;

      • различать:

        • многогранники, правильные многогранники и круглые тела;

        • параллельные и перпендикулярные прямые;

        • окружность и круг;

          • воспроизводить по памяти:

            • соотношения между единицами длины, площади и объема;

              • приводить примеры:

                • симметричных фигур и тел;

                • параллельных и перпендикулярных прямых на предметах окружающей обстановки;

                  • решать учебные и практические задачи:

  • строить точки по их координатам;

  • читать координаты построенных точек;

  • строить точки и фигуры, симметричные относительно прямой, точки и плоскости;

  • решать задачи, применяя симметрию;

  • изображать кривые, лабиринты;

  • рисовать орнаменты, бордюры;

  • по указаниям, используя условные обозначения, выполнять оригами.




























4. Из опыта работы:

4.1 Учебный материал к теме «Многогранники»


Многогранники могут иметь различную форму. В курсе геометрии 5-6 классов возможно познакомить учащихся с такими многогранниками как куб, Прямоугольный параллелепипед, прямая призма, пирамида. Определение многогранника можно дать на описательном уровне следующим образом. Поверхность многогранника состоит из многоугольников. Каждый из этих многоугольников называется гранью многогранника. Вершины этих многоугольников являются также и вершинами многогранника, а стороны многоугольника – ребрами многогранника. Здесь очень важно показать различные модели многогранников.

Первый многогранник, который следует рассмотреть, это куб, так как эта фигура знакома учащимся из детского сада и начальной школы, из жизненного опыта. Затем можно рассмотреть прямоугольный параллелепипед, с ним учащиеся тоже в какой-то мере знакомы. Далее можно приступить к рассмотрению прямой призмы. Аналогичный метод должен быть и при ознакомлении с пирамидой. В этом случае рассмотрение следует начинать с треугольной пирамиды.

При изучении многогранников в 5-6 классах нельзя дать точных определений основных видов многогранников. Но можно дать описание каждого вида многогранников; нахождение данного вида многогранников на рисунках, чертежах, среди окружающих предметов; изображение; развертка; некоторые свойства; сечение (имеются в виду сечения параллельно плоскости основания или некоторой грани, проходящие через два несоседних параллельных ребра и т. д.).

Итак, учащимся было предоставлено такое задание: «Среди предложенных предметов найти предмет, имеющий форму куба». На рисунке 1а изображен многогранник. Хорошо видны три его передние грани, но, не «обойдя его», невозможно представить себе, как он выглядит сзади. Представьте себе, что этот многогранник прозрачный. Теперь мы видим все его грани, ребра, вершины. Но изображать многогранник прозрачным не очень удобно. Получается набор линий (рисунок 16), в котором трудно разобраться. Глядя на этот рисунок, невозможно понять, как линии расположены в пространстве. В геометрии для облегчения восприятия договорились изображать линии, которые скрыты от глаз наблюдателя, не сплошными, а штриховыми. Тогда мы будем изображать многогранник так, как показано на рисунке 1в.


hello_html_m6aba498.gif

Следуя намеченной схеме, оговорив вопрос с изображением куба, нужно перейти к рассмотрению развертки куба и вообще развертки многогранника. В начальной школе на уроках труда учащиеся склеивали коробочку и в какой-то мере уже знают, как смастерить из бумаги прямоугольный параллелепипед или куб. Поэтому с понятием «развертка» лучше знакомить учащихся на примере развертки куба. На рисунке 2 изображена некоторая фигура. Тонкие линии - это линии сгиба. Если данную фигуру вырезать из бумаги и сложить по линиям сгиба, то получится куб. Фигуру, изображенную на рисунке 2, называют разверткой куба.

hello_html_51887e83.gif

И наоборот, разрезав поверхность куба по некоторым ребрам, можно развернуть ее на плоскости. При этом будет получена развертка куба. Если мы хотим сделать из бумаги какой-нибудь многогранник, то его можно получить следующим образом: начертить на бумаге развертку, вырезать ее, свернуть по линиям, соответствующим ребрам многогранника, и склеить. Перейдем к рассмотрению свойств куба.

Свойства куба:

  1. У куба 8 вершин, 12 ребер, 6 граней.

  2. Все грани куба - квадраты.

  3. Все грани куба равны.

Сечение куба:

  1. Сечение куба плоскостью, параллельной грани. При сечении куба плоскостью, параллельной его грани, образуется фигура, являющаяся квадратом, равным грани куба (рисунок 3):





hello_html_m450c26ce.gif

  1. Сечение куба плоскостью, проходящей через два противоположных ребра. Такое сечение называется диагональным сечением. При сечении куба плоскостью, проходящей через два противоположных ребра куба, образуется фигура, являющаяся прямоугольником (рисунок 4):

hello_html_7f51c70c.gif

При рассмотрении каждого вида многогранников (куба, прямоугольного параллелепипеда прямой призмы, пирамиды) можно рассмотреть с учащимися стандартные сечения такие, как сечение многогранника плоскостью, параллельной плоскости одной грани; сечение многогранника плоскостью, проходящей через два не соседних ребра многогранника. При рассмотрении сечений многогранника учащиеся определяют вид сечения с помощью каркасных моделей рассматриваемых многогранников или моделей, сделанных из пластилина. При этом от них не требуется доказывать, что в сечении образуется та или иная фигура, главное - увидеть это на моделях рассматриваемых многогранников.

Как отмечалось выше, в 5-6 классах применим только индуктивный подход. И его надо придерживаться во всех случаях без исключения. В учебнике Дорофеева Г.В и др. «Математика» 5 класс (под ред. Г.В.Дорофеева, И.Ф. Шарыгина), где рассматриваются многогранники, сначала речь идет о прямоугольном параллелепипеде, а затем, как его частный вид, рассматривается куб. Однако еще в детском саду дети играют в кубики, и эту фигуру они знают лучше, чем прямоугольный параллелепипед. Поэтому знакомить учащихся с многогранниками надо именно на примере куба И только потом от частного перейти к общему -«вытягивать» куб в каком-нибудь направлении, переходя, таким образом. К прямоугольному параллелепипеду (уроки 14, 15). Прямоугольный параллелепипед - это многогранник, поверхность которого состоит из шести прямоугольников. Каждый прямоугольный параллелепипед имеет три измерения: длину, ширину и высоту. После описания прямоугольного параллелепипеда рекомендуется, чтобы учащиеся среди окружающих предметов нашли предметы, имеющие форму прямоугольного параллелепипеда. Всем известный кирпич с точки зрения геометрии является прямоугольным параллелепипедом. Форму прямоугольного параллелепипеда имеют спичечные коробки, некоторые здания и многие другие предметы, с которыми мы постоянно встречаемся в жизни. Форму прямоугольного параллелепипеда часто используют архитекторы при проектировании зданий.

Перейдем к рассмотрению свойств прямоугольного параллелепипеда.

Свойства прямоугольного параллелепипеда:

  1. У прямоугольного параллелепипеда 8 вершин, 12 ребер и 6 граней.

  2. Каждая грань прямоугольного параллелепипеда прямоугольник.

  3. Противолежащие грани прямоугольного параллелепипеда равны.

  4. Противолежащие ребра прямоугольного параллелепипеда равны.

Сечение прямоугольного параллелепипеда:

1. Сечение прямоугольного параллелепипеда плоскостью, параллельной грани.

В сечении образуется прямоугольник (рисунок 5):

hello_html_m1a9ad5e.gif

2. Сечение прямоугольного параллелепипеда плоскостью, проходящей через два противоположных ребра. Такое сечение называется диагональным сечением прямоугольного параллелепипеда. В сечении образуется прямоугольник. В некоторых случаях в сечении может быть квадрат.

Перейдем к рассмотрению прямой призмы:

Прямая призма — это многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников, называемых основаниями призмы, и прямоугольников, называемых боковыми гранями (причем у прямоугольников две противолежащие стороны лежат на основании призмы). Здесь очень важно показать учащимся различные модели прямых призм.

Свойства прямой призмы:

  1. Боковые ребра призмы равны.

  2. Основания прямой призмы равны.

  3. Боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками.

Сечение прямой призмы:

1. Сечение прямой призмы плоскостью, параллельной основанию. При сечении прямой призмы плоскостью, параллельной основанию, в сечении образуется многоугольник, равный основанию прямой призмы (рисунок 6):

hello_html_79d5ac0.gif

2. Сечение прямой призмы плоскостью, проходящей через два не соседних боковых ребра. Сечением является прямоугольник (рис.7). В некоторых случаях в сечении может быть квадрат.

hello_html_743f3f60.gif

Далее следует рассмотреть треугольную пирамиду. Из детского конструктора, а также с уроков труда учащимся знакома треугольная пирамида. Поверхность треугольной пирамиды состоит из четырех треугольников. У треугольной пирамиды 4 грани, 6 ребер, 4 вершины. Но ни один многогранник не может иметь меньшее число граней, вершин, ребер, чем треугольная пирамида. Прежде чем знакомить учащихся с произвольной пирамидой, необходимо сначала рассмотреть треугольную пирамиду.

Свойства треугольной пирамиды:

1. Грани треугольной пирамиды являются треугольниками.

2. Сечение треугольной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. В
сечении образуется треугольник (рис.8):


hello_html_m190ef7f7.gif

После того как учащиеся хорошо познакомились с треугольной пирамидой, становится возможным познакомить их и с произвольной пирамидой (уроки 18,19). Пирамиды бывают не только треугольные. Пирамида - это многогранник, поверхность которого состоит из многоугольника и треугольников с общей вершиной. Треугольники, сходящиеся в одной вершине, называются боковыми гранями, а многоугольник, противолежащий вершине, называется основанием. Основанием пирамиды может служить треугольник, четырехугольник, пятиугольник и т.д. Пирамиду называют по числу сторон ее основания: треугольная пирамида, четырехугольная пирамида и т.д. Простейшей пирамидой и даже простейшим многогранником является хорошо знакомая треугольная пирамида. Все ее грани - треугольники, и каждая из них может считаться основанием.

Свойства пирамиды:

Боковые грани пирамиды являются треугольниками.

Сечение пирамиды:

а) Сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию (рис.9):

hello_html_5dddef9a.gif

В сечении образуется многоугольник с таким же числом сторон, что и многоугольник, лежащий в основании.

б) Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через два несоседних боковых ребра (рис. 10):




hello_html_5f2a40d8.gif

Рассмотрим систему задач к различным темам.





























4.2. Задачи к теме «Куб»


Задачи из данной темы подбирались из разных источников, носят творческий характер, предлагались учащимся как на уроке (индивидуально и фронтально), как и в качестве домашнего задания.

        1. Сколько у куба ребер, вершин, граней?

        2. Из железных прутиков равной длины нужно спаять каркасную модель куба. Сколько паек придется сделать?

        3. Назовите предметы окружающей среды, имеющий форму куба.

        4. Изобразите куб.

        5. На рисунке 11 изображены фигуры, являющиеся развертками некоторых геометрических тел. Тонкие линии – это линии сгиба. Какие из фигур являются разверткой куба?

hello_html_73d77722.gifhello_html_m2782144a.gifhello_html_831647b.gif



а б в

Рисунок 11

        1. Нарисуйте развертку куба с ребром 3 см в натуральную величину. Попробуйте нарисовать несколько разверток. Проверьте себя. Перенесите свои развертки на лист бумаги, вырежьте развертки и сверните их в многогранники.

        2. На рисунке 12 изображена фигура, являющаяся разверткой куба. Тонкие линии – это линии сгиба. Мысленно сверните куб из развертки и определите, какая грань является верхней, если закрашенная грань – нижняя.

hello_html_m77be48ae.gif



Рисунок 12

8. На рисунке 13 изображены куб и его развертка. Обозначьте на развертке точки, соответствующие вершинам А, В, С.

hello_html_m827a0e.gif

9. На рисунке 14 изображена фигура, являющаяся разверткой куба (тонкие линии -это линии сгиба). Какие точки совместятся с точкой А при склеивании развертки, изображенной на рисунке?

hello_html_m68069675.gif

10. На рисунке 15 (а – з) изображены фигуры, являющиеся развертками некоторых тел (тонкие линии - это линии сгиба). Какие из заготовок на этом рисунке не могут быть развертками куба и почему?

hello_html_m17976f59.gif

11. По каким ребрам можно разрезать куб (рис.16, а), чтобы получить изображенную на рисунке 16б развертку? Нарисуйте куб в тетради и покажите какую-нибудь линию разреза.


hello_html_m1dcf8cb4.gif

12. Муха хочет пересечь все грани куба, чтобы удостовериться в отсутствии паука. Начертите в тетради куб и его развертку, изображенную на рисунке 17. Нанесите на изображение куба один из возможных путей мухи. Покажите на развертке кратчайший путь мухи по всем граням куба.

hello_html_m164af438.gif

13. Сколько всего надо кубиков, чтобы сложить башню, изображенную на рисунке 18?

hello_html_73591955.gif



4.3. Практические работы

Практические работы, как правило, проводились при закреплении материала. Дети чаще работают с нелинованным листом бумаги и во время работы не пользуются ни карандашом, ни ножницами, ни чертежными инструментами. Инструменты используются только на этапе проверки правильности выполнения задания и то не всегда.

В ходе выполнения практических заданий обсуждаются разные способы их выполнения, что фактически является выяснением свойств данных геометрических фигур.


Практическая работа № 1.

Пересекающиеся прямые. Проведите прямую а. Отметьте на ней точку В. Отметьте точку С, не принадлежащую этой прямой. Выполните следующие задания:

  1. Проведите через точку С прямую, перпендикулярную а.

  2. Проведите через точку В прямую в, пересекающую а под углом hello_html_m6f4cc30f.gif.

  3. Обозначьте величины трех других углов, образованных при пересечении а и в.


Практическая работа № 2.

Параллельные прямые (выполняется на клетчатой бумаге):

  1. Скопируйте рисунок и выполните следующие задания:

hello_html_m21f58a8e.gif





  1. Укажите на вашем рисунке величины углов, образовавшихся при пересечении прямых а и в.


Практическая работа 3.

Осевая симметрия (выполняется на нелинованной бумаге).

Начертите отрезок АВ и проведите прямую с, его не пересекающую. Выполните задания:

1. Постройте отрезок, симметричный отрезку АВ относительно прямой с.
Обозначьте его.

2. Укажите точки, симметричные точкам А и В относительно прямой с.


Практическая работа № 4.

Треугольник (выполняется на нелинованной бумаге).

  1. Постройте равнобедренный треугольник, если его боковые стороны равны 5 см, а
    угол между ними равен 400.

  2. Вычислите величины двух других углов построенного треугольника.


Практическая работа № 5.

Параллелограмм (выполняется на нелинованной бумаге).

Постройте параллелограмм, стороны которого равны 3 см и 5 см. Обозначьте его. Выполните задания:

  1. Запишите длину каждой стороны параллелограмма и вычислите его периметр.

  2. Измерьте и запишите величину острого угла параллелограмма.


Практическая работа 6.

Площади (выполняется на клетчатой бумаге).

  1. Вычислите площадь закрашенной части фигуры:

hello_html_m3e2b73.gif

  1. Найдите площадь треугольника:

hello_html_720fd7fc.gif




4.4. Разработки уроков


Важнейшим фактором успеха в обучении является интерес учеников к предмету. Следовательно, урок должен быть увлекательным. Но игровое обучение – это не уступка ленивому ученику, чтобы позабавить его и тем самым заставить учиться. Обучение должно вызывать удовольствие.

Элементы игры, включенные в урок, оказывают заметное влияние на деятельность учащихся. Игровой мотив для учащихся 5-6 классов является действенным подкреплением познавательному мотиву, способствует активности мыслительной деятельности, повышает концентрацию внимания, настойчивость, работоспособность, создает условия для появления радости, удовлетворенности.

Привожу разработку одного из уроков в форме игры.

Урок первый: «Два угла» (урок-игра проводится по аналогии с телевизионной игрой «Два рояля»).

Цели урока:

  • обзорное повторение геометрического материала;

  • развитие мыслительных способностей учащихся, их речевой культуры;

  • развитие интереса к предмету, развитие умения у учащихся оценивать ответы товарищей, вести наблюдение.

Ход урока-игры:

Играют две команды по 4-5 человек в каждой: 1-я команда – «Острый угол», 2-я команда – «Прямой угол». Изготавливаются два табло для каждой команды. За несколько дней до урока одна команда бросает вызов другой с вручением грамоты:

Наше оружие не пики,

Наше оружие не шпаги,

Множество четких линий

Скрестим на белой бумаге.

Но ведь и в битве знаний

Тоже нужна отвага,

Боя не будет слышно,

Лишь зашуршит бумага.

I тур:

На доске расположены 6 окон с соответствующей нумерацией: 1,2,3,4,5,6; с другой стороны на каждом окне написаны слова из некоторого геометрического утверждения, две надписи на красном фоне. Игра начинается по жребию. Команда, получившая право хода, называет номер, и ведущий открывает окно. На предоставленное слово команда должна назвать любое утверждение, где встречается данное слово (теорема, лемма, аксиома, следствие и т.д.). Если команда не выполняет задание, то право хода передается соперникам. Если открыто окно красного цвета, то право хода передается другой команде. Игра идет до полного угадывания теоремы. Очко присуждается, если дана полная формулировка теоремы и дано ее название.

1 2 3 4 5 6

если два угла треугольника равны то

(признак равнобедренного треугольника)

IIтур:

5 окон - два перехода.

1 2 3 4 5

против большей стороны лежит больший

(теорема о соотношениях сторон и углов треугольника, назвать теорему и сформулировать обратное утверждение).

1 2 3 4 5

меньше суммы двух других сторон

(теорема о неравенстве треугольника).

IIIтур:

4 окна - один переход.

1 2 3 4

гипотенузе и катету другого

(признак равенства прямоугольных треугольников).

Суперигра:

На столе две корзины, в которых лежат капсулы. В одной корзине капсулы с Цифрами, показывающими, какое количество окон разрешается открыть команде-победительнице. В другой - номер с окнами, которые можно открыть. По количеству открытых слов нужно отгадать утверждение и дать название.

1 2 3 4 5 6

две точки проходит прямая и притом

(аксиома прямой).

Жюри подводит итог, проводит награждение.

В паузах между турами можно провести блицтурнир болельщиков (по очереди участники поют песни, частушки, рассказывают стихи, пословицы, поговорки, где встречаются числа и т. п.).

В конце игры все отличившиеся игроки и болельщики получают сладкие призы или эквивалент (оценки в журнале).




Урок второй «Треугольник. Конструкции из треугольников».

Цели урока:

  1. Обобщить изученный материал по данной теме;

  2. Формировать умения применять математические знания к решению
    практических задач;

  3. Развивать познавательную деятельность, творческие способности;

  4. Воспитывать интерес к предмету.

Оборудование и материалы:

a) Рисунки треугольников с условными обозначениями.

в) Карточки-задания для устной работы.

c) Индивидуальные задания: практические задания, задачи на построение,
задачи на конструирование.

d) Дополнительные карточки-задания.

e) Модели плоских фигур: треугольник, шестиугольник.

f) Конструкции из треугольников: флексатон, несколько видов пирамид,

g) Плакат с изображением пирамиды Хеопса в Гизе.

(Ученики на уроке разбиты на три группы-команды:

1-я группа - продвинутый уровень обучения;

2-я группа - базисный уровень обучения;

3-я группа - уровень компенсирующего обучения).

Ход урока:

Глядя на мир, нельзя не удивляться!

К. Прутков


Кто не слышал о Бермудском треугольнике, в котором бесследно исчезают корабли и самолеты? А ведь знакомый нам с детства треугольник таит в себе немало интересного и загадочного. Сегодня на уроке мы будем повторять весь изученный материал и каждый раз удивляться полученным открытиям.

Условия состязания:

  1. Быть внимательным и сообразительным.

  2. Не оставлять ни одного вопроса без ответа.

  3. На каждое задание затрачивать минимум времени, но максимум усердия.

  4. Не подглядывать, не подслушивать, не «проникать» в мысли соседа.




I. Устная работа:

Класс: «Что такое треугольник?»

3 группа: Назовите вершины и стороны треугольника, изображенного на рисунке 1:

hello_html_6a3c094b.gif

hello_html_m3a9ce72.jpghello_html_m1be00149.gif


hello_html_29211525.jpg


hello_html_m544dd4b3.jpg


2 группа: Какие виды треугольников вы знаете? По условным обозначениям определите вид треугольника (рис.2).

Рисунок 2

1 группа: Дайте определение равнобедренному и равностороннему треугольникам. Как по-другому называют равносторонний треугольник? Является ли равнобедренным равносторонний треугольник? Почему?

Класс: Какое неравенство треугольника вам известно?

Примените неравенство треугольника на практике: определите, какие из следующих треугольников существуют:

3 группа: 5 см, 5 см, 5 см; 3 м. 6 м. 3 м.

2 группа: 12 дм, 3 дм, 8 дм; 12 м, 13 м, 12 м.

1 группа: 1 дм, 14 см, 22 см; 3 см, 4 см, 5 см.
Назовите виды треугольников.


II. Работа в тетрадях:

Класс: Что такое периметр треугольника? Что нужно сделать, чтобы найти периметр треугольника?

На закрытых досках индивидуально работают 2 человека (1-я и 2-я группы), выполняя задание своей группы.

  1. группа. Периметр равнобедренного треугольника равен 21 дм. Известно, что его
    боковая сторона больше основания в 3 раза. Найдите стороны треугольника.

  2. группа. В равнобедренном треугольнике основание равно 6 см, а боковая сторона
    больше основания на 2,5 см. Найдите периметр треугольника.

3 группа. Найдите периметр треугольника, если известно, что его стороны равны 8см, 9 см, 10 см.

Проверка.

3 группа комментирует с места решения задач (2 человека).

2 группа. Проверка своего варианта на доске, а затем взаимопроверка.

1 группа. Индивидуально работающий ученик рассказывает решение трудной
задачи всему классу.

Дополнительное задание (карточки).

Найдите все треугольники, длины сторон которых - целые числа, не большие 2.

Используйте неравенство треугольника.


Ш. Отдохни!

3 группа. Найдите лишнее слово: сторона, вершина, основание, диаметр, периметр.

2 группа. Сколько всего треугольников изображено на рисунке 3?

hello_html_62e6d9b0.jpg

Рисунок 3

1 группа. В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 25 см, а другая 10 см. Какая из них является основанием треугольника?

Мы повторили, что треугольники бывают нескольких видов: равносторонние, равнобедренные, разносторонние.


IV. Задачи на построение

Добиться успеха в решении задач на построение поможет аккуратность и точность измерений, умение пользоваться чертежными инструментами и знание способа построения треугольника.

Сообщение 1. Что такое задачи на построение? (2-я группа).

В задачах на построение речь идет о построении геометрической фигуры с помощью линейки и циркуля. С помощью линейки как инструмента геометрических построений можно провести произвольную прямую; произвольную прямую, проходящую через данную точку; прямую, проходящую, через две данные точки. Никаких других операций выполнять линейкой нельзя. В частности, нельзя откладывать линейкой отрезок, даже если на ней имеются деления. Циркуль, как инструмент геометрических построений, позволяет описать из данного центра окружность данного радиуса. В частности, циркулем можно отложить данный отрезок на данной прямой от данной точки.


Индивидуальные задания на доске.

1hello_html_m14f52275.gif-я группа. Постройте треугольник, равный данному (рисунок 4).






Рисунок 4

Все учащиеся 1-ой группы получают аналогичные задания и выполняют их самостоятельно.

2-ая группа. Постройте треугольник по заданным сторонам: 3 см, 4 см, 5 см.

Оставшиеся без задания ученики работают со второй группой, слушают подробное объяснение задачи.

3-я группа. Постройте равнобедренный треугольник со сторонами 5 см, 6 см, 5 см (один человек от группы).

Класс. Какие треугольники изображены на доске? Произведите классификацию треугольников по углам.


Сообщение 2. Египетский треугольник(3-я группа).

Землемеры Древнего Египта для построения прямого угла пользовались следующим приемом. Бечевку делили узлами на 12 равных частей и концы связывали. Затем бечевку растягивали на земле так, чтобы получался треугольник со сторонами 3, 4, 5 делений. Угол треугольника, противолежащий стороне с пятью делениями, был прямой. В связи с указанным способом построения прямого угла со сторонами 3,4,5 иногда называют египетским.


V. Конструкции из треугольников.

Треугольники, соединяясь друг с другом, могут образовывать другие фигуры. Например, шесть правильных одинаковых треугольников образуют шестиугольник. Шестиугольник, как и треугольник, плоская фигура (демонстрация плоских фигур). Конструкторами будут работать три ученика (карточки).

1-я группа. Равносторонний треугольник разрежьте на три равных треугольника.

2-я группа. Равносторонний треугольник разрежьте на четыре равных треугольника.


3-я группа. Разрежьте треугольник на две части так, чтобы из этих частей можно было сложить прямоугольник.

Существует интересная геометрическая игрушка - флексатон, что означает «гнущийся» многоугольник, который состоит из 10 равносторонних треугольников. Флексатон обладает удивительной способностью внезапно менять форму и цвет, выворачиваясь на «изнанку» (демонстрация флексатона).

Все это были примеры плоских конструкций из треугольников.

Класс. Назовите объёмную фигуру, состоящую из правильных треугольников (демонстрация тетраэдра).


Сообщение 3. Египетские пирамиды (1-я группа).

Египетские пирамиды - это одно из самых грандиозных сооружений, созданных когда-либо руками человека. Самая известная из египетских пирамид - пирамида Хеопса в Гизе. Из-за своих огромных размеров ее иногда еще называют Большой пирамидой. Ее высота составляет 146,6 м, что (примерно) соответствует 50-тиэтажному небоскребу. Площадь основания составляет 230 на 230 кв.м. Строительство пирамиды Хеопса продолжалось 30 лет. Она состояла из 128 слоев камня и представляла собой ступенчатую гору. Затем ступени были заложены камнями, так что ее поверхность стала хотя и не вполне гладкой, но уже без выступов. В завершение работ 4 треугольные грани пирамиды были облицованы плитами из ослепительно белого известняка и отполированы до зеркального блеска. Края плит были подогнаны настолько точно, что между ними нельзя вставить даже лезвие острого ножа. По свидетельству очевидцев, на солнце и при лунном свете гробница Хеопса сверкала, как огромный светящийся кристалл. Египетская пирамида Хеопса в Гизе – древнейшее и, вместе с тем, единственное сохранившееся до наших дней чудо света.

Пирамиды бывают 3-, 4-, 5-, 6-ти, … угольные. От чего это зависит?

Рассмотрим треугольную пирамиду, состоящую из правильных треугольников (демонстрация). Как она по-другому называется? Из каких частей она состоит? Сколько у нее граней? сторон? вершин?

Проверка индивидуального задания (демонстрация решения задач).


VI. Самостоятельная работа.

Среди семи частей «Танграма» есть пять треугольников. Сравните стороны каждого, Закрасьте треугольники:

  • равносторонние – красным;

  • равнобедренные – синим;

  • разносторонние - зеленым.


VII. Подведение итогов урока.

Мы повторили весь изученный материал по теме «Треугольник. Конструкции из треугольников». Закончим урок словами великого ученого Галилео Галилея: «Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать».

Кроме того, не только на уроках геометрии, но и на уроках математики, алгебры провожу так называемые уроки «20 задач». Это уроки, на которых систематизируются знания учащихся; это уроки стимулирующего контроля и диагностики, на которых создаются условия для работы каждого ученика, где есть возможность вовремя помочь тому, кому трудно, увидеть того, кому пора создавать более высокие интеллектуальные трудности.

Необычная форма урока не утомляет, а вызывает большое желание работать. А происходит это так: сразу после звонка в течение 3-5 минут повторяем теорию (в парах или фронтально). Затем, используя заранее подготовленные карточки-задания, переходим к решению задач. Если большинство учеников поднимают руки, т.е. знают как решать очередную задачу, мы переходим к следующей. Если же задача вызывает затруднения у большей части учащихся, то мы решаем ее вместе. Когда решена последняя, 20-я задача, спрашиваю: «Кто знает решение всех задач?» Таких всегда находится человек пять. Их приглашаю к доске. Теперь у меня есть помощники. Те учащиеся, у которых вызывает затруднение одна задача, задают вопрос любому из моих помощников – «учителям». После снятия затруднения число моих помощников увеличивается. Теперь вопросы задают те, у кого не решены две задачи. Т.О. организую работу в парах.

Такие уроки «20 задач» провожу, как правило, при обобщении материала. Но есть уроки, которые успешно проходят и 1 сентября.

После урока «20 задач» на следующем уроке оформляем 3-4 задачи (по желанию учащихся), как правило, более сложных. Теперь можно проводить контрольную работу. Спокойна и я, и мои ученики.

Урок «20 задач» - это:

  • урок, на котором нет отсутствия мысли, т. к. каждый ученик 15-20 минут говорит сам;

  • консультация: есть возможность побывать в роли учителя, идет ориентация на профессию учителя;

  • урок, не допускающий пробелов в знаниях учащихся;

  • урок, способствующий прочному усвоению материала;

  • урок подготовки к контрольной работе;

  • урок-зачет;

  • маленький экзамен;

  • праздник;

  • урок, когда все получается, когда в дневниках пятерки и четверки.































Заключение


В этом реферате сделана попытка так сказать «снизу» начать реформу «геометрического» образования. Начиная с 1997 года, в городе Вязьме в нескольких школах (школы №2, 3, 5, школе «Интеллект») была начата работа по ведению курса геометрии в начальной школе и в 5-6 классах. Этот курс назывался «Математика и конструирование» или «Наглядная геометрия» (в разных школах по-разному).

Автор этого реферата начала обучение геометрии учащихся с 1 класса. В начальной школе было выделено 1 ч. На урок геометрии. Затем в 5-6 классах также был 1 урок геометрии в неделю, но плюс еще велось преподавание геометрии в школе «Интеллект» для всех желающих.

Таким образом, к 7 классу учащиеся владели достаточно богатым объемом геометрических знаний и умений: геометрия стала любимым предметом этих детей. Одним из главных достоинств курса «Наглядная геометрия» стало привитие любви, интереса к геометрии как к науке.

Опыт семи лет работы по ведению курса «Наглядная геометрия» показал высокий уровень сформированности у детей к 7 классу представлений о геометрических фигурах, умений выделять их признаки, сравнивать, обобщать, классифицировать. Учащиеся хорошо овладели чертежными инструментами и у них позднее не было проблем на уроках черчения. Дети 13-14 лет обладают пространственным воображением. И главное:

  • у учащихся формируется общее положительное отношение к предмету геометрии, а также высокая познавательная активность;

  • учащимся нравятся трудные задачи, они стремятся самостоятельно справиться с ними и очень ждут этих уроков;

  • после выпуска учащихся в 11 классе из 24 учащихся 11а класса МОУ сш №2 18 учащихся выбрали для обучения в ВУЗах и 3 учащихся для обучения в техникумах специальности, связанные с математикой, в частности с геометрией.










Список использованной литературы


1) Геометрия для младших школьников (из серии МПИ). Издательство Томского университета, 1998.

2) Глейзер Г.Д. Каким быть школьному курсу геометрии? – Журнал «Математика в школе», №4,1991.

3) Гусев В.А. Каким должен быть школьный курс геометрии? – Журнал «Математика в школе», №3, 2002.математический, реальные аспекты

4) Макрюкова Н.Е. Фузионизм в школьной геометрии: истинный, математический, реальные аспекты. – Брянск, издательство БГПУ, 2000.

5) Подоходова Н.С. Развитие пространственного мышления учащихся 5-6 классов. – Журнал «Математика в школе», №2, 1997.

6) Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. – М.: Мирос, 1995.


1Брунер Д. Процесс обучения. М., 1962. с. 39.

Пиаже Ж. Избранные психологические труды. М., 1969., стр.12—126.

1 Перельман Я. И. Практические занятия по геометрии. – М. –Л.: Госиздательство, 1925.

1 Марюкова Н. Е. Фузионизм в школьной геометрии: исторический, математический, реальный аспекты. – Брянск: издательство БГПУ, 2000.


Краткое описание документа:

В  реферате сделана попытка так сказать «снизу» начать реформу «геометрического» образования. Начиная с 1997 года, в городе Вязьме в нескольких школах (школы №2, 3, 5, школе «Интеллект») была начата работа по ведению курса геометрии в начальной школе и в 5-6 классах. Этот курс назывался «Математика и конструирование» или «Наглядная геометрия» (в разных школах по-разному).

Автор этого реферата начала обучение геометрии учащихся с 1 класса. В начальной школе было выделено 1 ч. на урок геометрии. Затем в 5-6 классах также был 1 урок геометрии в неделю, но плюс еще велось преподавание геометрии в школе «Интеллект» для всех желающих.

 

Таким образом, к 7 классу учащиеся владели достаточно богатым объемом геометрических знаний и умений: геометрия стала любимым предметом этих детей. Одним из главных достоинств курса «Наглядная геометрия» стало привитие любви, интереса к геометрии как к науке. 

Общая информация

Номер материала: 123654

Похожие материалы