Решение нестандартных задач во внеурочной деятельности в средней школе

Тема: РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ ВО ВНЕУРОЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ В СРЕДЕНЕЙ ШКОЛЕ

Тип: применение знаний и умений.        

Цели:

Развивающие:

·           содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умения анализировать, выделять главное, сравнивать;

·           формирование и развитие у учащихся общеучебных умений решения задач: умения анализировать условие задачи, поиска способа решения, составления плана решения, изложения решения задачи, формулировки ответа задачи.

Воспитательные:

·           формирование культуры общения;

·           формирование и развитие нравственных качеств школьников: гордость, чувство собственного достоинства, дисциплинированность;

·           способствовать формированию самостоятельности и активности, настойчивости, умения преодолевать трудности, максимальной работоспособности, гражданской позиции.

Оборудование: мультимедийный проектор или оформление доски, микрокалькуляторы.

1. Старинные задачи на дроби.

В древних рукописях и старинных учебниках арифметики разных стран встречается много интересных задач на дроби. Решение каждой из них требует смекалки и сообразительности, умения рассуждать. Рассмотрим такой пример из старинного русского учебника арифметики.

Задача 1

Путник, догнав другого, спросил его: «Далеко ли до деревни, которая впереди?» другой путник ответил: «Расстояние от деревни, из которой ты идешь, равно трети всего расстояния между деревнями. А если пройдешь еще две версты, будешь ровно посередине между деревнями». Сколько верст осталось идти первому путнику?[34]

Решение.

Две версты, которые нужно пройти первому путнику до середины пути между деревнями, составляют  часть всего расстояния между деревнями. Значит, расстояние между деревнями в 6 раз больше и равно  верст. Поскольку к моменту встречи путник прошел треть пути, то есть  (версты), ему осталось пройти   (верст).

Ответ: 8 верст.

Задача 2.

 Решите задачу (из папируса Ахмеса; Египет, около 2000 лет до н.э.).

Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают:

– Сколько приводишь ты из своего многочисленного стада?

Пастух отвечает:

– Я привожу две трети от трети скота. Сочти, сколько быков в стаде.[34]

Задача 3

 Жили-были две брата близнеца. Один из них ежедневно спал 1/3 часть суток, а другой – 1/4 часть суток. Дожили они так до 72-летнего возраста. Сколько лет за это время проспал каждый из них?

При рассмотрении старинных задач на дроби, целесообразно предложить учащимся творческую работу: разобрать текстовые задачи из «Арифметики»  Л.Ф.Магницкого, которые решаются с использованием понятия дроби; при этом полезно рассмотреть старинное  их решение и современное. Такая работа способствует подготовке школьников к дальнейшему самообразованию, развивает интерес к математике, знакомит с историческими персоналиями.

2. Решение задач на «обратный ход».

Прием «обратного хода» для решения задач очень прост. Разберем решение такой  задачи.

Задача 4

Задумали число, уменьшили его на 20, результат уменьшили в 2 раза, затем увеличили в 4, к результату прибавили 12 и получили 92. Какое число задумали?

Решение:

Действия с числами изобразим схематически, затем обратным ходом найдем неизвестное число.

1) 

2) 

3) 

4) 

Ответ: 60.

Задача 4.

Зашли три путника на постоялый двор и спросили себе картофеля. Пока хозяин варил картофель, они заснули. Через некоторое время проснулся один из них, съел третью часть картофеля и снова заснул. Затем проснулся другой, съел третью часть картофеля и заснул. Наконец проснулся третий и, не зная, что его спутники уже ели картофель, съел третью часть и снова заснул. На блюде осталось 8 картофелин. Сколько картофелин было подано первоначально?[34]

Задача 6.

Расшифруйте ребус: замените звёздочки цифрами так, чтобы выполнялись равенства во всех строках и каждое число последней строки равнялось сумме чисел столбца, под которым оно расположено.

3. Решение задач с помощью кругов Эйлера.

Для начала разберем, как решена следующая задача.

Задача 7.

После опроса 52 учеников было установлено, что 23 из них собирают значки, 35 собирают марки, а 16 – и значки, и марки. Сколько человек не увлекаются коллекционированием?[42]

Решение.

Для решения задачи воспользуемся кругами Эйлера. На рисунке большой круг изображает всех опрошенных учеников, круг З – ученики, собирающие значки, круг М – ученики, собирающие марки.

1)    Значки и марки собирают 16 человек. Впишем число 16 в пересечение кругов М и З.

2)    Значки собирают 23 человека, а значки и марки – 16 человек. Тогда только значки собирают:   (человек). Впишем число 7 в свободную часть круга З.

3)  Только марки собирают:  (человек). Занесем число 19 в схему.

4)  Узнаем, сколько человек занимаются коллекционированием:  (человека).

5)  Не занимаются коллекционированием:   (человек).

Ответ: 10 человек.

Задача 8.

Из 80 туристов приехавших в Москву, 52 хотят посетить Большой театр, 30 – художественный театр, 12 хотят посетить оба театра, остальные театр посещать не хотят. Сколько человек не собираются идти в театр?

Подсказка. Начертите круги Эйлера. Сначала занесите в схему 12 человек, которые хотят посетить оба театра.

Задача 9.

В классе 38 человек. Из них 16 играют в хоккей, 17 - в футбол, 18 - в баскетбол. Увлекаются двумя видами спорта – хоккеем и футболом - четверо, хоккеем и баскетболом - трое, баскетбол и футбол - пятеро. Трое не увлекаются ни хоккеем, ни футболом, ни баскетболом.

4. Комбинаторные задачи, которые можно решить умножением.

Задача 10.

Имеется три вида конвертов и четыре вида марок. Сколько существует вариантов выбора конверта с маркой?[42]

Решение.

Занумеруем конверты числами 1, 2, 3, а марки

числами 1, 2, 3, 4. Теперь построим «дерево» возможных вариантов: можно выбрать любой из

трех конвертов, поэтому из корня дерева проведем один 3 ветви; на любой конверт можно наклеить одну из четырех марок, поэтому из каждой ветви первого уровня проведем по 4 ветви второго уровня. Далее найдем, с помощью умножения, сколько всего получилось вариантов:

Ответ: 12 вариантов.

Задача 11.

От санатория к горному озеру ведут четыре тропы. Сколькими способами туристы могут отправиться в поход к озеру, если они не хотят спускаться той же тропой, по которой поднимались?

Задача 12.

Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 4, 6, 8, если цифры в записи числа не повторяются?

5. Аликвотные дроби.

Математики Древнего Египта «настоящими» считали только   дроби, выражающие какую-либо одну долю целого- так называемые единичные или аликвотные дроби. Другие дробные числа они записывали не единичным символом, а суммой аликвотных дробей. Если, например, в результате измерения получилась дробь , то ответ выражается суммой . Для упрощения специфических подсчетов составлялись специальные таблицы, содержащие представление дробных чисел в виде суммы аликвотных дробей. Одна из таких таблиц обнаружена в древней рукописи «Папирус Ахмеса».

Задача 13.  (задача из папируса Ахмеса)

Нужно разделить 7 хлебов между 8 людьми. [42]

Решение.

Доля, приходящаяся на каждого человека, составляет  . Эту дробь записывали в виде суммы аликвотных дробей . Значит, каждому человеку надо было дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба. Вместо того, чтобы каждый кусок резать на восемь частей, достаточно было 4 куска разрезать пополам, два хлеба на четыре части, и один хлеб – на 8 частей.

Задача 14.

Персидский крестьянин завещал трем своим сыновьям 17 верблюдов, причем первый должен был получить  часть всех верблюдов, второй -  часть, а третий - . Братья долго думали, но разделить наследство по завещанию отца так и не смогли. Мимо на верблюде проезжал Ходжа Насреддин. Он предложил присоединить к верблюдам еще и своего и решить, таким образом, возникшую проблему. И действительно братья смогли разделить верблюдов так, как наказал отец, причем Ходжа Насреддин получил своего верблюда обратно. Сколько верблюдов досталось каждому сыну?[34]

Задача 15.

Попробуйте разменять 25-рублёвую купюру одиннадцатью купюрами достоинством 1, 3 и 5 руб.

Подводя  итоги занятия, учитель подчеркивает, что были рассмотрены задания, которые могут встретиться на школьных олимпиадах. Знания и умения, которые школьники получили при решении задач, могут использоваться и для выполнения    заданий в вариантах ОГЭ и ЕГЭ.

Фронтальным опросом   учащихся выясняется:

·           Что нового узнали?

·           Что полезного извлекли?

·           Достаточно ли знаний было, чтобы решить эти задачи?

·           Какие из задач оказались наиболее трудными?