Решение задач на классическое нахождение вероятности событий»

События	Примеры ….. событий	Примеры ….. событий	Примеры ….. событий
……. называется событие, результат которого мы не можем точно предсказать заранее.	Определение вероятности.
….. то, которое в данных условиях не может произойти.	Классическая  вероятностная схема
…..событие, которое при данных условиях всегда произойдет.	Противоположные событие…… Теорема
Свойства вероятностей. 1. 2. 3.	Несовместные события…… Теорема

События Случайные                             Невозможные                             Достоверные	Примеры случайных событий Получение пятерки на экзамене При броске монеты выпал “орел”	Примеры достоверных событий 8 марта – праздничный день При бросании кубика получится число меньше 7	Примеры невозможных событий при броске кости выпало «7» очков Вода в реке замерзла при температуре +30 градусов
Случайным называется событие, результат которого мы не можем точно предсказать заранее.	Определение вероятности. Вероятностью события А при проведении некоторого испытания называют отношение числа тех исходов, в результате которых наступает событие А, к общему числу всех (равновозможных между собой) исходов этого испытания
Невозможное событие - то, которое в данных условиях не может произойти.	Классическая  вероятностная схема 1.найти число N всех возможных элементарных  исходов данного опыта 2.найти число N(A) тех исходов, в которых наступает событие А 3.найти вероятность наступления события А, т.е. Р(А), где Р(А)=

Пояснительная записка.

Предмет:  алгебра

Тема урока:  Решение задач на классическое нахождение вероятности событий

Программа: Рабочая программа, составленная на основе рабочей  программы к УМК автора А.Г.Мордкович и другие  « Алгебра.  Сборник  рабочих  программ. 7—9 классы»  /составитель Бурмистрова Т.А. -Просвещение 2014.

Учебник:  Алгебра Ч.1.2, 9 класс, 2015

Часов в неделю : 3

Часов в год: 102

Вид урока: урок рефлексии

Дидактическая цель: создать условия для закрепления  учебной информации

Цели по содержанию:

- обучающие: Формирование навыков решения задач на характеристику событий, классическое  нахождение вероятности события, закрепление усвоенных знаний.

- развивающие: развивать умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы, развивать внимание, эрудицию; работать по алгоритму, научить детей находить причину своих затруднений, самостоятельно строить алгоритм действий по устранению затруднений, научить самоанализу действий и способам нахождения разрешения конфликта в теме

 - воспитательные: воспитывать познавательный интерес и прививать навыки взаимоконтроля, взаимопроверки; развивать коммуникативные способности во время работы.

Методы:

По источникам знаний: словесные, наглядные;

По степени взаимодействия учитель-ученик: эвристическая беседа;

Относительно дидактических задач: закрепление изученного материала;

Относительно характера познавательной деятельности: репродуктивный, частично-поисковый.

Урок  был проведен в Муниципальном образовательном бюджетном учреждении средней общеобразовательной школе № 4  г. Сочи в 9 б классе.

В классе 36 учащихся. Из них 5 имеют высокий уровень подготовки, материал усваивается ими без пробелов в знаниях; трое имеют низкий уровень подготовки, усвоение материала или происходят с большими трудностями; остальные учащиеся занимаются хорошо.

Ребята легко вступают в контакт с педагогом, проявляют интерес к получению знаний, охотно помогают учителю в подготовке и проведении занятий.

Учащиеся занимаются на повышенном уровне обучения математике. Для хорошо подготовленных учащихся учитель предусматривает индивидуальные задания, а со слабыми, занимается дополнительно.

При обучении учащихся математике учитель использует методы проблемного обучения, эмпирические методы (наблюдение, опыт, измерение), метод сравнения и аналогии. Часто на уроках педагог организует самостоятельную работу и придерживается индивидуализации в обучении.

. Ниже представлены основные содержательные компоненты теоретического материала темы, изученные на уроках;

- виды событий (достоверные, невозможные, случайные);

- классическое определение вероятности;

- определение события;

- вероятность события.

Дидактический процесс был ориентирован на усвоение выделенных теоретических основ и на формирования навыка решения типовых задач.

Проектирование процесса обучения осуществлялось в направлении реализации следующих методических положений:

- в начале изучения теории вероятностей рассмотрение основ теории, поиск решения задач целесообразно предварить постановкой опытов;

- формулировка определений основных теоретико-вероятностных понятий, формулы сложения и умножения вероятностей полезно, наряду с символической записью, представлять в виде наглядных схем;

- решение систем задач определенного типа важно обобщать выделением алгоритма. Дальнейшее решение задач проводится в рамках принятого алгоритма с определенной формой записи решения;

- предварительное решение специально подобранных задач способствует самостоятельному открытию учащимися теорем, их формулировок, выявлению способа доказательства теорем и проведению доказательства;

- целесообразно использование различных форм проведения учебных занятий: лекций, уроков-практикумов и других.

На  уроке был проведен практикум и был  выявлен алгоритм решения задач по классическому определению вероятности, теоремам нахождения вероятностей событий.

По ходу урока учащиеся работали с таблицей.

Анализируя результаты работы учеников, можно сделать вывод, что большая часть учащихся усвоила основные теоретико-вероятностные вопросы и умеет решать задачи с применением классического определения вероятности.

Такие результаты возможно связанны с применением в процессе обучения разработанных методических рекомендаций.

При проведении урока  использовались следующие методами:

- наблюдение за процессом усвоения знаний учащимися;

- беседы с учителем математики этого класса и учениками;

- количественная и качественная обработка полученных данных.

Найти вероятность того, что наугад взятая костяшка домино содержит менее 6 точек

Составим таблицу Всего костяшек домино 28

	0	1	2	3	4	5	6
0	0	1	2	3	4	5	6
1		2	3	4	5	6	7
2			4	5	6	7	8
3				6	7	8	9
4					8	9	10
5						10	11
6							12

Менее 6 – это 0,1,2,3,4,5, таких костяшек в наборе 12. По классической вероятностной схеме

	0	1	2	3	4	5	6
0	0	1	2	3	4	5	6
1		2	3	4	5	6	7
2			4	5	6	7	8
3				6	7	8	9
4					8	9	10
5						10	11
6							12

Более 7 – это 8,9,10,11,12 таких костяшек в наборе 9. По классической вероятностной схеме N (A)= 2. 2,3,9,10.

План-конспект  урока «Решение задач на классическое нахождение вероятности событий»

Ход урока.

Организационный момент. Приветствие, проверка подготовленности к учебному занятию, наличие домашнего задания. Здравствуйте, ребята!!! Мотивационный этап. Актуализация знаний и осуществление первичного действия. Ребята, какой новый раздел мы с Вами начали изучать на прошлом уроке? А для чего нам может пригодится этот материал? Возьмите канву-таблицу. Мы с Вами устно проговорим определения, которые изучали на прошлом уроке. Какие бывают события? Какие события называют а) достоверными, б) случайными, в) невозможными? Приведите пример достоверного события?: А еще? А теперь измените события так, чтобы они стали невозможными А как сделать данные события случайными? Хорошо! А чему равна вероятность а) достоверного, б) случайного, в) невозможного? Дайте классическое определение теории вероятности. Определение темы и целей урока.  На прошлых  уроках мы с Вами познакомились с понятиями достоверного, случайного и  невозможного события и с классической вероятностной схемой, т.е. прошлые уроки посвятили изучению теории, а сегодня будем практиковаться применять ее при решении задач – это и будет цель нашего урока. Открываем тетрадь  и записываем тему урока: «Решение задач» Выявление индивидуальных затруднений в реализации нового знания и умения. Давайте спрогнозируем, на какие вопросы мы можем ответить и какие задачи мы сможем решать, используя новый теоретический материал. Систематизация знаний и умений. А назовите, пожалуйста, формулу классического определения вероятности. Что такое Р(А)? А  N(A)? А что такое N? А что мы еще можем найти из этой формулы? Если что будет известно? А по какой формуле?  А еще что можем найти? А как? Давайте перейдем к решению задач: 1) Какова вероятность выпадения четной цифры при одно­кратном выбрасывании игрального кубика? Вероятность какого события нам нужно найти? Обозначим событие «выпадение четной цифры» буквой А Сколько всего  элементарных событий? Сколько элементарных событий, благоприят­ствующих событию А? По какой формуле будем решать задачу? А теперь давайте составим задачу аналогичную данной. А если например цифра будет нечетной? Давайте ее решим Вероятность какого события нам нужно найти? Обозначим событие «выпадение четной цифры» буквой А Сколько всего  элементарных событий? Сколько элементарных событий, благоприят­ствующих событию А? По какой формуле будем решать задачу? А если  число кратно двум? Сколько таких чисел? Тогда чему будет равна вероятность данного события? А если трем? Какие это числа? Чему будет равна вероятность такого события? А если четырем? А кратное пяти? А шести? А семи? Значит чему будет равна вероятности такого события? А значит какое это событие? А теперь для этой же задачи: если известна вероятность и число исходов, тогда что мы найдем?  Вероятность наступления события Чему  будет равно N (А)? А теперь какие это могут быть числа на кубике? Какие это числа? А как по другому можно их назвать? А еще какие это могут быть числа? Молодцы!  Мы с Вами подробно разобрали задачу про кубики, а теперь давайте решим задачу про монету! 2)           Какова вероятность события А — выпадение двух цифр при двукрат­ном подбрасывании монеты? Сколько всего элементарных событий? Какие это события? А еще есть? Вероятность какого события нам надо найти? Что обозначим за  A? Сколько  исходов благоприятствуют событию А? Какой можно сделать вывод? По какой формуле будем решать Ребят, а теперь самостоятельно сформулируйте задачи аналогичные данной. А еще? А теперь решите ее самостоятельно. Верно. Молодцы Теперь давайте сформулируем задачу обратную данной. Как будем ее решать? В результате, что получим? Что мы можем сказать? Хорошо! Перейдем к следующей задаче. Положите ручки и давайте устно решим ее. Выполним упражнение по № 1 1. Охарактеризуйте событие, о котором идет речь, как до­стоверное, невозможное или случайное. Оцените его словами «стопроцентная вероятность», «нулевая вероятность», «мало­вероятно», «достаточно вероятно»: а) день рождения моего друга — число, меньше чем 32; Почему? б) на уроке математики ученики делали физические упражнения; Почему? Решим следующую задачу. 3)                В корзине у пасхального зайца было 25 яиц: 7 зеленых, 10 красных, 5 желтых, остальные — синие. По пути одно из яиц потерялось. Какова вероятность того, что пропавшим было синее яйцо? Сколько у зайца синих яиц? Как будем решать данную задачу? Что нам для этого необходимо знать? Теперь что сделаем? Какова вероятность что пропавшее яйцо красное?  Посчитайте сами, пожалуйста? Верно. А как называется такая задача?   А сформулируйте, пожалуйста еще аналогичные задачи? А обратная задача как будет звучать? Хорошо, молодцы! 4)Найти вероятность того, что наугад взятая костяшка домино содержит менее 6 точек. Возьмите листочки, которые я вам раздала. Выделим суммы точек которые меньше 6. Сколько их?  Как будем решать дальше? Составим аналогичную задачу и решим  ее.  Найти вероятность того,  что наугад взятая костяшка домино содержит более 7  точек? Выделим суммы точек которые более Сколько их? Как будем решать дальше? Значит чему может быть равна сумма на костяшке? Как называется такая задача? Найти вероятность того, что наугад взятая костяшка домино содержит 13 точек. А значит это какое событие? 5)Рита играет с  Петей в «Угадай дву­значное число». Какова вероятность того, что:а) Рита загадала нечетное число? б)Рита загадала число, кратное 11 ? в)Рита загадала число, не превосходящее 25? а) сколько нечетных чисел? Как будем решать задачу? Сформулируйте аналогичную задачу и решите ее дома. Сколько кратных чисел? Сколько чисел не превосходящих 25? Выполним следующее задание. Решаем задание в парах. Имеются четыре кандидата: Владимир Владимирович, Василий Всеволодович, Вадим Владимирович, Владимир Венедиктович. Из них случайно выбирают двоих. Какова вероятность того, что: а) будет выбран Владимир Венедиктович; б) отца одного из кандидатов зовут так же, как и самого кандидата; в) будут выбраны кандидаты с одинаковыми именами; г) будут выбраны кандидаты с разными отчествами? Сколько всего пар кандидатов? Сколько пар, в которых  будет выбран Владимир Венедиктович? Что получим? Под буквами б), в),г) решите самостоятельно. Молодцы ребята! Подведение итогов урока, рефлексия, домашнее задание. Подведем итоги сегодняшнего урока. Посмотрите какая у нас записана тема. Чем мы с Вами занимались? Вспомним, как мы формулировали цель урока: Мы ее выполнили? На какую тему мы сегодня решали задачи? А какой ценный опыт вы приобрели еще? Работу, аналогичную проделанной в классе вы выполните дома.: § 3. П. 1,2 № 4,8, 20.1 Оценки за урок получают….(учитель перечисляет всех, кто активно участвовал в уроке, ставит оценки или плюсики (накопительные для следующего урока)) Урок закончен! Спасибо! До свидания!

«Знакомство с теорией вероятностей» Основные положения теории вероятностей находят применение в повседневной жизни, науке, технике и т.д.  В повседневной жизни нам постоянно приходится сталкиваться со случайностью, и теория вероятностей учит нас, как действовать рационально с учетом риска, связанного с принятием отдельных решений. достоверные, случайные, невозможные а) достоверное – событие, которое при данных условиях всегда произойдет. б) невозможное событие – то, которое в данных условиях не может произойти. в) случайным называется событие, результат которого мы не можем точно предсказать заранее выпадение не более шести очков при бросании игральной кости 9 мая – День победы выпадение более шести очков при бросании игральной кости 9 мая – День защитника отечества выпадение шести очков при бросании игральной кости 9 мая пойдет дождь. а) Вероятность достоверного события равна 1. Вероятность невозможного события равна 0. Вероятность события А не меньше 0, но не больше 1. Классическая вероятностная схема 1)    найти число N всех возможных исходов данного опыта 2)    найти число N(A) тех исходов, в которых наступает событие А 3)    найти вероятность наступления события А, т.е. Р(А), где Р(А)= (ученики записывают в тетради, учитель на доске) Можем определить вид события, можем решить задачу с помощью классического определения теории вероятности. Р(А)= Вероятность события А Число благоприятствующих исходов событию А Число всех элементарных исходов опыта. N(А) Вероятность события Р(А) и число всех элементарных исходов опыта. N(А)= N∙P(A) N - число всех элементарных исходов опыта. Решение: выпадение четной цифры А =  [выпадение четной цифры] . Всего элементарных событий 6  (N = 6); элементарных событий, благоприят­ствующих событию А:3 (N(A) = 3). По формуле  классического определения вероятности Р(А)= Ответ: 0,5. Какова вероятность выпадения нечетной цифры при одно­кратном выбрасывании игрального кубика? выпадение нечетной цифры А =  «выпадение нечетной цифры» . Всего элементарных событий 6  (N = 6); элементарных событий, благоприят­ствующих событию А:3 (N(A) = 3). Р(А)= Ответ: 0,5. Чисел кратных двум - 3 Р(А)=  Чисел кратных трем на игральном кубике 2. 3 и 6 На игральном кубике нет чисел кратных семи! 0 Невозможное найдем N(А) Числа кратные двум. 2,4,6 Четные Нечетные Решение: Всего равновероятных элементарных собы­тий, образующих полную группу, — четыре. герб – герб, герб — циф­ра, цифра — герб, цифра — цифра (N = 4). Нет. цифра — цифра А = [ Выпадение двух цифр при двукрат­ном подбрасывании монеты] Благоприятствует событию А одно элементарное событие цифра –цифра  N (A)=1. По классическому определению теории вероятности. Ответ: 0,25 Какова вероятность события А — выпадение двух гербов при двукрат­ном подбрасывании монеты? Какова вероятность события А — выпадение цифры  и герба при двукрат­ном подбрасывании монеты? Вероятность события А  равна 0,5 —при двукрат­ном подбрасывании монеты. Каково число благоприятствующих исходов? N(A) = P(A)∙N 2 Что выпала комбинация герб –цифра или цифра-герб Достоверное событие, стопроцентная вероятность. По определению достоверное событие – событие, которое при данных условиях всегда произойдет. Самое большое число в месяце 31  день, значит день рождения моего друга — число, меньше чем 32, это достоверное событие. Случайное событие, маловероятное Случайное событие  - это событие результат которого мы не можем точно предсказать заранее.  если в школе нет обязательных физкультурных пауз на уроках, то она вряд ли произойдет. Если есть обязательные, то произойдет Решение: Всего синих яиц у зайца было 3 (25-7-10-5=3) Используя классическое определение Сколько всего элементов(яиц): 25 т.е. N = 25 из них синих - 3 N(A)=3 подставим данные в формулу. Ответ: 0,12 P(A) =0,4 Аналогичная Какова вероятность что пропавшее яйцо зеленое?  Посчитайте сами, пожалуйста? Какова вероятность что пропавшее яйцо желтое?  Посчитайте сами, пожалуйста? Вероятность что пропавшее яйцо будет синим 0,12. В корзине у пасхального зайца было 25 яиц: 7 зеленых, 10 красных, 5 желтых, остальные — синие. Каково число, благоприятствующих исходов. Вероятность такого события равно 0 Невозможное Решение. Двузначных чисел всего 90 (от 10 до 99) а) из них нечетных – 45, по классическому определению теории вероятности Рита играет с  Петей в «Угадай дву­значное число». Какова вероятность того, что: а)   Рита загадала четное число? б) кратных 11 – 9 в) не превосходящих 25 – 16 Решение: а) Всего пар 6,  пар, в которых выбран Владимир Венедиктович – 3. По классическому определению теории вероятностей получим б) Пар, в которых отца одного из кандидатов зовут так же, как и самого кандидата – 3 в) Пар, в которых кандидаты с одинаковыми именами – 1 г) Пар, в которых кандидаты с разными отчествами – 5 Решение задач. Решением задач и выявлением проблемных зон в теме. обучение решению задач, формирование умений и навыков в решении задач различных уровней сложности. Да Классическое определение теории вероятностей. Тренировались составлять задачи: для многих задач составили обратную и аналогичную задачу.

• 1 слайд

  МОБУ СОШ № 4
  
  Урок № 3
  «Решение задач по теме Классическое определение вероятности »
  Учитель математики
  Лебедева А.П.
  
  

• 2 слайд

  Урок № 3.
  Тема урока «Решение задач»
  
  Тип урока: урок рефлексии
  
  Учебные задачи:
  
  Формирование навыков решения задач на характеристику событий, классическое нахождение вероятности события
  
  

• 3 слайд

  Диагностируемые цели:
  В результате ученик:
  знает:
  как определяется вид события
  способ нахождения вероятности события по классическому определению вероятности
  в каких задачах применяется теорема классическая вероятностная схема
  умеет:
  находить вероятность невозможного, достоверного, случайного события
  находить вероятность по классическому определению теории вероятности
  применять определения и теоремы при решении задач
  
  

• 4 слайд

  События
  
  
  Случайные Невозможные
  Достоверные
  

• 5 слайд

  «Решение задач»
  

• 6 слайд

  Какова вероятность выпадения четной цифры при однократном выбрасывании игрального кубика?
  
  Решение.
  А = [выпадение четной цифры]
  Всего элементарных событий 6
  (N = 6);
  
  элементарных событий, благоприятствующих
  событию А: 3
  
  (N(A) = 3).
  
  
  

• 7 слайд

  По формуле классического определения вероятности
  
  
  
  
  
  
  Ответ: 0,5.
  
  

• 8 слайд

  Аналогичная задача
  Какова вероятность выпадения нечетной цифры при одно­кратном выбрасывании игрального кубика?
  Решение.
  А = [выпадение нечетной цифры]
  Всего элементарных событий 6
  (N = 6);
  
  элементарных событий, благоприятствующих
  событию А: 3
  
  (N(A) = 3).
  
  
  
  

• 9 слайд

  По формуле классического определения вероятности
  
  
  
  
  
  
  Ответ: 0,5.
  
  

• 10 слайд

  А если число кратно двум?
  Чисел кратных двум – 3
  
  
  
  
   
  А если трем?
  Чисел кратных трем на игральном кубике 2.
  
  
  

• 11 слайд

  А если четырем?
  
  
  
  А кратное пяти?
  
  
  А шести?
   
  
  А семи?
  НЕВОЗМОЖНОЕ СОБЫТИЕ
  

• 12 слайд

  А теперь для этой же задачи: если известна вероятность и число исходов, тогда что мы найдем?
  Вероятность наступления события
  
  
  
  

• 13 слайд

  Какова вероятность события А — выпадение двух цифр при двукратном подбрасывании монеты?
  
  Решение.
  Всего равновероятных элементарных событий,
  образующих полную группу, — четыре.
  
  

• 14 слайд

  А = [ Выпадение двух цифр при двукратном подбрасывании монеты]
  Благоприятствует событию А одно элементарное событие цифра – цифра.
  
  
  
  
  
  N (A)=1.
  По классической вероятностной схеме
  
  

• 15 слайд

  Вероятность события А равна 0,5 —при двукрат­ном подбрасывании монеты. Каково число благоприятствующих исходов?
   
  
  N(А)= N∙P(A)
  2
  Что выпала комбинация герб –цифра или цифра-герб
  
  
  
  

• 16 слайд

• 17 слайд

  
  Найти вероятность того, что
  наугад взятая костяшка
  домино содержит менее 6 точек.
   
  
  

• 18 слайд

• 19 слайд

  Менее 6 – это 0,1,2,3,4,5, таких костяшек в наборе 12.
  По классической вероятностной схеме
  
  

• 20 слайд

  
  Найти вероятность того, что наугад взятая костяшка домино содержит более 7 точек?
  
  

• 21 слайд

  Более 7 – это 8,9,10,11,12 таких костяшек в наборе 9.
  По классической вероятностной схеме
  
  

• 22 слайд

  Найти вероятность того, что наугад взятая костяшка домино содержит 13 точек.
  
   
  
  
  Невозможное