РЕШЕНИЕ задач по предмету сопромат

Решение 1. Лабораторная работа №1 Парная линейная регрессия

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a. Оценочное уравнение регрессии будет иметь вид y = bx + a + ε, где ei – наблюдаемые значения ошибок εi, a и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, следует найти. Метод наименьших квадратов дает наилучшие  оценки параметров уравнения регрессии.

Выполняются определенные предпосылки относительно случайного члена (ε) и независимой переменной (x). Формально критерий МНК можно записать так: S = ∑(yi - y*i)2 → min.

Система нормальных уравнений.

A*n + b·∑x = ∑y

a·∑x + b·∑x2 = ∑y*x

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу.

x	y	x2	y2	x*y
2	3	4	9	6
5	6	25	36	30
3	4	9	16	12
7	6	49	36	42
2	4	4	16	8
6	8	36	64	48
4	6	16	36	24
9	9	81	81	81
8	9	64	81	72
4	5	16	25	20
50	60	304	400	343

Для наших данных система уравнений имеет вид 10a + 50·b = 60

50·a + 304·b = 343

Домножим уравнение системы на получим систему, решим методом алгебраического сложения.

 -50a -250 b = -300

50*a + 304*b = 343

Получаем:

54*b = 43

Откуда b = 0.7963

Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):

10a + 50*b = 60

10a + 50*0.7963 = 60

10a = 20.185

a = 2.0185

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии:

 b = 0.7963,

a = 2.0185

Уравнение регрессии:

y = 0.7963

 x + 2.0185

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции b можно находить по формуле, не решая систему непосредственно:

Ковариация.

Рассчитываем показатель показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, рассчитывается по формуле:

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.

Критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0.1 < r_xy < 0.3: слабая;

0.3 < r_xy < 0.5: умеренная;

0.5 < r_xy < 0.7: заметная;

0.7 < r_xy < 0.9: высокая;

0.9 < r_xy < 1: весьма высокая.

 Коэффициент линейной парной корреляции может быть определен через коэффициент регрессии b:

 

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = 0.796 x + 2.019

Коэффициент регрессии b = 0.796 показывает среднее изменение результативного показателя  с повышением и понижением величины фактора х на единицу измерения. С увеличением на 1 единицу y повышается в среднем на 0.796.

Коэффициент a = 2.019 формально показывает прогнозируемый уровень у, х=0 находится близко с выборочными значениями. Но х=0 находится далеко от выборочных значений х, то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам, линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантий, будет при экстраполяции влево или вправо.

Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения х, можно определить выровненные значения результативного показателя y(x) для каждого наблюдения. Связь между у и х определяет знак коэффициента регрессии b.

Вариант 6

По 21 региону страны изучается зависимость розничной продажи телевизоров, у от среднедушевых денежных доходов в месяц, х: Номер региона Среднедушевой денежный доход в месяц, тыс. руб., х Розничная продажа телевизоров, тыс. шт.,

Решение.

Построим поле корреляции.

Расположение точек на диаграмме дает нам право предположить, что переменные связаны линейной зависимостью. Рассчитаем выборочные коэффициенты корреляции. Для проведем промежуточные вычисления, по формулам (и поместим результаты вычислений в таблицу:

Номер региона	x	y	xy	x 2	y 2
1	2	28	56	4	784
2	2,4	21,3	51,12	5,76	453,69
3	2,1	21	44,1	4,41	441
4	2,6	23,3	60,58	6,76	542,89
5	1,7	15,8	26,86	2,89	249,64
6	2,5	21,9	54,75	6,25	479,61
7	2,4	20	48	5,76	400
8	2,6	22	57,2	6,76	484
9	2,8	23,9	66,92	7,84	571,21
10	2,6	26	67,6	6,76	676
11	2,6	24,6	63,96	6,76	605,16
12	2,5	21	52,5	6,25	441
13	2,9	27	78,3	8,41	729
14	2,6	21	54,6	6,76	441
15	2,2	24	52,8	4,84	576
16	2,6	24	62,4	6,76	576
17	3,3	31,9	105,27	10,89	1017,61
18	3,9	33	128,7	15,21	1089
19	4	35,4	141,6	16	1253,16
20	3,7	34	125,8	13,69	1156
21	3,4	31	105,4	11,56	961
Сумма	57,4	530,1	1504,46	164,32	13926,97

Составляем систему уравнений:

и решаем по формулам Крамера:

Тогда, согласно теореме Крамера,

2. Получаем уравнение регрессии:

Ý=4.81+7.54x

Величина коэффициента регрессии b =7.54 означает, что увеличение среднедушевого месячного дохода на 1 тыс. руб. приведет к увеличение объема розничной продажи в среднем на 7 540 телевизоров. Коэффициент α в случае не имеет содержательной интерпретации.

3.   Нанесем построенную линию регрессии на диаграмму.

Для этого рассчитаем значения Ý, Ï=1,21по формуле:

Ý1=4,81+7,54 X

Результаты вычислений запишем в таблицу:

Номер региона	X	Y	Ý
1	2	28	19,76
2	2,4	21,3	22,75
3	2,1	21	20,51
4	2,6	23,3	24,25
5	1,7	15,8	17,52
6	2,5	21,9	23,50
7	2,4	20	22,75
8	2,6	22	24,25
9	2,8	23,9	25,74
10	2,6	26	24,25
11	2,6	24,6	24,25
12	2,5	21	23,50
13	2,9	27	26,49
14	2,6	21	24,25
15	2,2	24	21,26
16	2,6	24	24,25
17	3,3	31,9	29,48
18	3,9	33	33,96
19	4	35,4	34,71
20	3,7	34	32,47
21	3,4	31	30,23

Наносим на диаграмму точки из последнего столбца таблицы (Линия регрессии):

4. Для оценки тесноты линейной зависимости рассчитаем коэффициент детерминации. Для этого необходимо провести ряд дополнительных вычислений.

Прежде всего, найдем выборочное среднее Ý по формуле:

Теперь произведем расчет остальных вспомогательных величин:

Номер региона	X	Y	Ý	Y-Ý	(Y-Ý)2	Y-Ý	(Y-Ý)2
1	2	28	19,76	8,24	67,89	2,76	7,60
2	2,4	21,3	22,75	-1,45	2,11	-3,94	15,55
3	2,1	21	20,51	0,49	0,24	-4,24	18,00
4	2,6	23,3	24,25	-0,95	0,90	-1,94	3,77
5	1,7	15,8	17,52	-1,72	2,95	-9,44	89,17
6	2,5	21,9	23,50	-1,60	2,56	-3,34	11,17
7	2,4	20	22,75	-2,75	7,57	-5,24	27,49
8	2,6	22	24,25	-2,25	5,04	-3,24	10,52
9	2,8	23,9	25,74	-1,84	3,39	-1,34	1,80
10	2,6	26	24,25	1,75	3,08	0,76	0,57
11	2,6	24,6	24,25	0,35	0,13	-0,64	0,41
12	2,5	21	23,50	-2,50	6,24	-4,24	18,00
13	2,9	27	26,49	0,51	0,26	1,76	3,09
14	2,6	21	24,25	-3,25	10,54	-4,24	18,00
15	2,2	24	21,26	2,74	7,53	-1,24	1,54
16	2,6	24	24,25	-0,25	0,06	-1,24	1,54
17	3,3	31,9	29,48	2,42	5,86	6,66	44,32
18	3,9	33	33,96	-0,96	0,93	7,76	60,17
19	4	35,4	34,71	0,69	0,47	10,16	103,17
20	3,7	34	32,47	1,53	2,34	8,76	76,69
21	3,4	31	30,23	0,77	0,60	5,76	33,14
Сумма	57,4	530,1			130,68		545,73

Для вычисления коэффициента детерминации воспользуемся формулой: R² =1-130.68 =0.75

       548

Значение коэффициента детерминации позволяет сделать предварительный вывод у нас имеются основания использовать модель линейной регрессии в задаче, поскольку. R¹ £(0.49$1

5. Нанесем теперь уравнение регрессии на диаграмму, используя специальные средства Excel («Добавить линию тренда»).

Линия регрессии, построенная нами ранее, совпала с данной линией регрессии. Нетрудно убедиться, что уравнение регрессии и коэффициент детерминации тоже совпадают с полученными ранее вручную.

6. Найдем теперь среднюю ошибку аппроксимации для оценки погрешности модели. Для этого нам потребуется вычислить еще ряд промежуточных величин:

Номер региона	x	y	Ý	y-Ý	y-Ý y
1	2	28	19,76	8,24	0,29
2	2,4	21,3	22,75	-1,45	0,07
3	2,1	21	20,51	0,49	0,02
4	2,6	23,3	24,25	-0,95	0,04
5	1,7	15,8	17,52	-1,72	0,11
6	2,5	21,9	23,50	-1,60	0,07
7	2,4	20	22,75	-2,75	0,14
8	2,6	22	24,25	-2,25	0,10
9	2,8	23,9	25,74	-1,84	0,08
10	2,6	26	24,25	1,75	0,07
11	2,6	24,6	24,25	0,35	0,01
12	2,5	21	23,50	-2,50	0,12
13	2,9	27	26,49	0,51	0,02
14	2,6	21	24,25	-3,25	0,15
15	2,2	24	21,26	2,74	0,11
16	2,6	24	24,25	-0,25	0,01
17	3,3	31,9	29,48	2,42	0,08
18	3,9	33	33,96	-0,97	0,03
19	4	35,4	34,71	0,69	0,02
20	3,7	34	32,47	1,53	0,05
21	3,4	31	30,23	0,77	0,02

Просуммируем теперь элементы последнего столбца и разделим полученную сумму на 21 – общее количество исходных данных:

0.29+0.07+0.02 =0.0771

21

Итак, средняя ошибка аппроксимации  A=0.0771*100%=7.71% Величина ошибки оказалась около 8%, что говорит о небольшой погрешности построенной модели. Данную модель, с учетом неплохих характеристик ее качества, вполне можно использовать для прогноза – одной из основных целей эконометрического анализа.

7. Рассчитаем значение фактора, построить прогноз. Для этого необходимо вычислить выборочное среднее значение по формуле:

.Для нашей задачи среднее значение среднедушевого месячного дохода:

Рассчитаем теперь значение.

Подставим теперь полученное значение фактора x=3.003b уравнение регрессии и найдем прогнозируемое значение:

.

+Таким образом, если среднедушевой месячный доход в некотором регионе составит 3 003 руб., количество продаваемых телевизоров составит в среднем 27 450 шт. в месяц.