Сильно регулярные графы с собственным значением 3, их расширения и автоморфизмы

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В связи с завершением классификации конечных простых групп возникла задача единого представления конечных простых групп автоморфизмами конечных геометрий. Позднее в этом направлении возникли задачи, не связанные с групповым действием, в частности, такой является задача исследования дистанционно регулярных графов [1].

Система инцидентности, состоящая из точек и прямых, называется -частичной геометрией порядка (s,t), если каждая прямая содержит ровно s + 1 точку, каждая точка лежит ровно на t + 1 прямой (прямые пересекаются не более, чем по одной точке) и для любой точки а, не лежащей на прямой L, найдется точно прямых, проходящих через а и пересекающих L (обозначение pG_a(s, t)). Если = 1, то геометрия называется обобщенным четырехугольником и обозначается GQ(s, t). Точечным графом частичной геометрии называется граф, вершинами которого являются точки геометрии, и две различные вершины смежны, если они лежат на общей прямой (коллинеарны). Легко понять, что точечный граф частичной геометрии pG_a(s,t) сильно регулярен с параметрами: v = (s + 1)(1 + st/), k = s(t +1), = (s — 1) + ( — 1)t, = (t + 1). Сильно регулярный граф с такими параметрами для некоторых натуральных чисел , s,t называется псевдогеометрическим графом для pGa(s,t).

Дж. Кулен предложил задачу изучения дистанционно регулярных графов, в которых окрестности вершин — сильно регулярные графы со вторым собственным значением, не большим t для данного натурального числа t. Заметим, что сильно регулярный граф с нецелым собственным значением является графом в половинном случае, а вполне регулярный граф, в котором окрестности вершин — сильно регулярные графы в половинном случае, либо имеет диаметр 2, либо является графом Тэйлора. Таким образом, задача Кулена может быть решена пошагово для t = 1, 2,....

Задача Кулена решена для t =1 Кардановой М.Л. и Махневым А.А. в [2] и независимо Куленом. Случай t = 2 изучался более 10 лет и завершен в статье И.Н. Белоусова, А.А. Махнева и М.С. Нировой [3]. Рассмотрение случая t = 3 начато в статье А.А. Махнева [4] (теорема редукции) и А.А. Махнева и Д.В. Падучих [5] (список параметров исключительных графов).

В данной работе рассмотрены некоторые сильно регулярные графы со вторым собственным значением 3 и найдены их автоморфизмы. Кроме того, найдены массивы пересечений дистанционно регулярных графов, в которых окрестности вершин — подходящие сильно регулярные графы со вторым собственным значением 3. Определены возможные порядки и подграфы неподвижных точек автоморфизмов, полученных дистанционно регулярных графов.

Граф Г диаметра d называется дистанционно транзитивным, если для любого

i {0,..., d} и для любых вершин u, v, x, y, таких что d(u, v) = d(x, y) = i, существует автоморфизм g графа Г такой, что (u,v) = (x,y). Дистанционно транзитивные графы диаметра 2 (графы ранга 3) сыграли важную роль в классификации конечных простых групп. Более половины спорадических групп могут быть представлены как группы автоморфизмов графов ранга 3 [6].

Если вершины u,w находятся на расстоянии i в Г, то через (u,w) (через (u,w)) обозначим число вершин в пересечении Г_i+1(u) (в пересечении (u)) с [w]. Дистанционно регулярным графом с массивом пересечений {, ,…., ; c₁,...,называется граф диаметра d, в котором параметры = (u,w) и c_i = (u,w) не зависят от вершин u, w, а зависят только от расстояния, на котором эти вершины находятся в графе Г для .

Цель работы. Изучить локально GQ(4,11)-графы, найти автоморфизмы сильно регулярного графов с параметрами (96,45,24,18) и (320,99,18,36), перечислить массивы пересечений дистанционно регулярных графов, в которых окрестности вершин сильно регулярные графы со вторым собственным значением 3 и параметрами (v',k', 5,') и найти автоморфизмы возникших графов.

Методы исследований. Основными методами исследования являются теоретико-графовые методы и методы теории конечных групп, в частности метод Г. Хигмена (см. [7]) приложения теории характеров к выяснению порядков автоморфизмов дистанционно регулярных графов.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми:

• доказано что сильно регулярный граф с параметрами (96,45,24,18) не является ре- берно симметричным,

• найдены автоморфизмы сильно регулярного графа с параметрами (320,99,18,36),

• получено описание вполне регулярных локально GQ(4,11)-графов,

• найдены массивы пересечений дистанционно регулярных графов, в которых окрестности вершин сильно регулярные графы со вторым собственным значением 3 и параметрами (v', к', 5 ,',

• найдены автоморфизмы дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {169,126,1;1,42,169}.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в геометрии и теории графов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на алгебраическом семинаре отдела алгебры и топологии ИММ УрО РАН, а также были представлены на следующих конференциях: Теория групп и ее приложения, IX Международная школа-конференция по теории групп, Владикавказ 2012 г., Международная конференция по теории групп, посвященная 70-летию В.Д. Мазурова, Новосибирск 2013 г., ., Международная конференция «Группы и графы, алгоритмы и автоматы», посвященная 80-летию В.А.Белоногова и 70-летию В.А.Баранского, Екатеринбург, 2015г.

Публикации. По теме диссертации имеется 8 публикаций [18-25] (четыре статьи опубликованы в журналах из списка ВАК). Из пяти статей две написаны без соавторов, одна - тремя авторами (Кагазежева А.М., Журтов А.Х., Махнев А.А.), две в соавторстве с Махневым А.А. Все совместные работы написаны в нераздельном соавторстве.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав и списка литературы, содержащего 36 наименований. Общий объем диссертации составляет 87 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении даны основные определения и обозначения, используемые в диссертации, обсуждается общая мотивировка решаемых задач, сформулированы основные результаты. В главе 1 получено описание вполне регулярных локально GQ(4,11)-графов. В главе 2 найдены автоморфизмы сильно регулярного графов с параметрами (96,45,24,18) и (320,99,18,36). В главе 3 перечислены массивы пересечений дистанционно регулярных графов, в которых окрестности вершин сильно регулярные графы со вторым собственным значением 3 и параметрами (v',k', 5, '). В главе 4 найдены автоморфизмы дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {169,126,1; 1,42,169}.

Мы рассматриваем неориентированные графы без петель и кратных ребер. Если а, b — вершины графа Г, то через d(a,b) обозначается расстояние между а и b, а через (a) — подграф графа Г, индуцированный множеством вершин, которые находятся в Г на расстоянии i от вершины а. Подграф Г₁(a) называется окрестностью вершины а и обозначается через [a]. Через обозначается подграф, являющийся шаром радиуса 1 с центром а.

Регулярным графом степени к называется граф Г, такой что для любой вершины u Г выполняется равенство |Г(u) | = к. Реберно регулярным графом с параметрами (v, к, ) называется регулярный граф степени k на v вершинах, любое ребро которого лежит точно в треугольниках. Вполне регулярным графом с параметрами (v,k,) называется реберно регулярный граф с параметрами (v, k, ), в котором любые две вершины u, w Г на расстоянии 2 имеют ровно общих соседей. Сильно регулярным графом с параметрами

(v, k, ) называется вполне регулярный граф диаметра 2.

Заметим, что сильно регулярный граф с > 0 является дистанционно регулярным графом диаметра 2, а дистанционно регулярный граф с d 2 — вполне регулярным графом с k = b₀, = k — b₁ — 1 и = c₂.

Пусть задан класс графов . Мы скажем, что граф Г является локально -графом, если для любой вершины а Г имеем Г(a) . Можно поставить задачу описания локально

-графов. Если граф Г вершинно симметричен, то окрестности всех его вершин изоморфны, и граф Г является локально -графом, где состоит из графов, изоморфных некоторому графу . В этом случае назовем Г локально -графом. В более общем случае может быть классом графов, удовлетворяющих некоторым условиям. Например, класс связных, реберно регулярных графов — это в точности класс связных, локально регулярных графов.

Определим несколько сильно регулярных графов, которые будут фигурировать в диссертации, а также являются примерами локально -графов.

Через ,..., обозначим полный n-дольный граф, с долями порядков m₁, ...,m_n. Если m₁ = ... = m_n = m, то соответствующий граф обозначается через К_пхт (и является локально К(_п-1)_хm-графом). Граф К_1т называется m-лапой. Графом Тэйлора называется дистанционно регулярный граф с массивом пересечений {k,1; 1,, k}.

Пусть M и N—конечные множества порядков m и n, соответственно. Два элемента из M N будем считать смежными, если они различаются точно в одной координате. Полученный граф называется m n-решеткой, при m = n он сильно регулярен с параметрами (n², 2(n — 1), n — 2, 2).

Треугольным графом T(n) называется граф 2-подмножеств множества порядка n, в котором две вершины смежны тогда и только тогда, когда они пересекаются в точности по одной точке. Граф T(n) сильно регулярен и имеет параметры (n(n — 1)/2, 2(n — 2),n — 2, 4). Окрестность каждой вершины в T(n) изоморфна 2 (n — 2)-решетке, т.е. T(n) — локально 2 (n — 2)-решетка. Верно и обратное: связный локально 2 (n — 2)-граф изоморфен T(n).

Изучение автоморфизмов дистанционно регулярных графов опирается на метод Хиг- мена приложения теории характеров конечных групп, представленный в третьей главе монографии Камерона [7]. При этом граф Г рассматривается как симметричная схема отношений (X, R) с d классами, где X — множество вершин графа, R₀ — отношение равенства на X и для i 1 класс R_i состоит из пар (u, w) таких, что d(u, w) = i. Для u Г положим k_i = |(u)|, v = |Г|. Классу R_i отвечает граф на множестве вершин X, в котором вершины u,w смежны, если (u,w) R_i. Пусть A_i — матрица смежности графа для i > 0 и A₀ = I — единичная матрица. Тогда A_iAj = для подходящих неотрицательных целых , называемых числами пересечений графа Г.

Пусть P_i — матрица, в которой на месте (j, l) стоит . Тогда собственные значения (0), ...,p₁(d) матрицы P₁ являются собственными значениями графа Г кратностей m₀ = 1, ...,m_d. Матрицы P и Q, у которых на месте (i,j) стоят (i) и (i) = m_jp_i(j)/k_i соответственно, называются первой и второй матрицей собственных значений схемы и связаны равенством PQ = QP = |X|I.

Пусть и — левый и правый собственные векторы матрицы P1 , отвечающие собственному значению p₁(j) и имеющие первую координату 1. Тогда кратность mj собственного значения p₁(j) равна v/(uj,wj) ( — скалярное произведение в евклидовом пространстве C^d+1). Фактически, являются столбцами матрицы P и являются строками матрицы Q.

Подстановочное представление группы G = AUT (Г) на вершинах графа Г обычным образом дает матричное представление группы G в GL(n, C). Пространство C^v является ортогональной прямой суммой собственных G-инвариантных подпространств W₀,..., матрицы смежности A = A₁ графа Г. Для любого G матрица перестановочна с A, поэтому подпространство W_i является -инвариантным. Пусть x_i — характер представления Тогда для G получим

.

где — число точек x из X таких, что (x,) Rj. Заметим, что значения характеров являются целыми алгебраическими числами, и если правая часть выражения для _i()— число рациональное, то _i() — целое число.

Обобщенные четырехугольники GQ(4, t) имеют допустимые параметры при t {1, 2, 4, 6, 8,11,12,16}. Существование GQ(4,t) известно при t {1, 2, 4, 6, 8,16}. Единственность GQ(4,16) доказана в [8]. При t {11,12} неизвестно существование даже псевдогеометрических графов для GQ(4,t). Хорошо известно следующее предположение:

Гипотеза. Если GQ(s,t) существуют, то число s +t четно.

В случае GQ(3, t) единственное допустимое четное значение t равно 6. Однако GQ(3, 6) (и даже псевдогеометрический граф для GQ(3,6)) не существует [9] (см. [10]).

Таким образом, GQ(4,11) — наименьший обобщенный четырехугольник, который может стать контрпримером к этой гипотезе.

Подмножество обобщенного четырехугольника называется гиперовалом, если любая прямая пересекает по 0 или 2 точкам. То есть, гиперовал в GQ(s,t) — это регулярный подграф без треугольников степени t + 1, имеющий четное число вершин. Известно (см. [11]), что -подграфы в локально GQ(s,t) -графах являются гиперовалами. Для гиперовала обобщенного четырехугольника прямую L назовем секущей, касательной и внешней прямой, если L содержит две, одну и ноль вершин соответственно; точку, смежную с ребром , назовем реберной.

Теорема 1 [18]. Пусть Г является связным вполне регулярным локально GQ(4,11)- графом с параметрами (v, k, , . Тогда диаметр Г равен 3 и {48, 50, 60, 66, 72}, причем в случае = 72 для любой вершины u подграф Г₃(u) является кокликой, содержащей не более 20 вершин.

Ключевую роль в доказательстве теоремы 1 имеет следующий результат, полученный с помощью компьютерных вычислений.

Предложение 1 [18]. Пусть является гиперовалом в GQ(4,11) на вершинах, X_i — множество вершин вне , смежных точно с i вершинами из , x_i = |X_i|. Тогда выполняются следующие утверждения:

1. если > 66, то X₀ является кокликой;

2. если r = — 66, z X_r и L — прямая, проходящая через z, то X₀ [z] и либо

1. L является секущей для и содержит две точки из X₂₄, либо

2. L — внешняя прямая для , и если L пересекает X₀, то L содержит 3 точки из .

Следствие 1 [18]. Локально GQ(4,11)-граф не является дистанционно регулярным.

В главе 2 изучены автоморфизмы сильно регулярных графов с параметрами (96,45,24,18) и (320,99,18,36) (имеющих второе собственное значение 3).

Бехбахани и Лам [11] нашли параметры неизвестных сильно регулярных графов с числом вершин, не большим 100.

Предложение 2. Пусть Г — неизвестный сильно регулярный граф с числом вершин, не большим 100, имеющий неединичный автоморфизм, и G = АUT(Г). Тогда выполняется одно из следующих утверждений:

1. 1. Г имеет параметры (85, 30,11,10) и (G) = {2, 3, 5,17};

   2. Г имеет параметры (85, 54, 33, 36) и {3, 5,17} (G) {2, 3, 5,17};

   3. Г имеет параметры (88, 27, 6, 9) и {2, 3,11} (G) {2, 3, 5,11};

   4. Г имеет параметры (88, 60, 41,40) и (G) = {2, 3, 5,11};

   5. Г имеет параметры (96, 45, 24,18) и (G) = {2, 3, 5};

   6. Г имеет параметры (96, 50, 22, 30) и (G) = {2, 3, 5};

   7. Г имеет параметры (96, 60, 38, 36) и (G) = {2, 3, 5};

   8. Г имеет параметры (99, 42, 21,15) и {2, 3, 7,11} (G) {2, 3, 5, 7,11};

   9. Г имеет параметры (99, 56, 28, 36) и {2, 3, 7, 11} (G) {2, 3, 5, 7,11};

   10. Г имеет параметры (100, 33, 8,12) и (G) = {2, 3, 5,11};

   11. Г имеет параметры (100, 66, 44, 42) и (G) = {2, 3, 5,11}.

А.А. Махнев и М.С. Нирова предложили программу изучения реберно симметричных графов с параметрами из заключения предложения 2. Следующий результат является вкладом в эту программу

Теорема 2 ([19]). Пусть Г — сильно регулярный граф с параметрами (96, 45, 24,18), — элемент простого порядка p из AUT(Г) и = Fix(g). Тогда выполняется одно из следующих утверждений:

(1) — пустой граф, либо p = 3 и ₁ () {0, 36, 72}, либо p = 2 и ₁() {0, 24, 48, 72, 96};

(2) является -кликой, либо

(i) p =2, четно, 4 16 и 3 + ₁() делится на 24, либо

(ii) p = 5, =1 и ₁() = 45 или = 6 и на Г — имеем восемьнадцать кликовых ()-орбит, или =11 и на Г — имеем тринадцать кликовых и четыре пятиугольных ()-орбит, или =16 и на Г —имеем по восемь кликовых и пятиугольных ()-орбит;

3. является -кокликой, p = 3 и либо = 3, ₁() {27, 63}, либо = 6, ₁() {18,54,90};

4. p = 3, либо || {6, 9,12} и 3|| + ₁() делится на 36, либо || = 24 и ₁() = 72;

5. p = 2, либо 4 | | 40 и 3|| + ₁() делится на 24, либо | | = 48, любая вершина из смежна с вершиной из Г — и ₁() = 48.

Следствие 2. Сильно регулярные графы с параметрами (96,45, 24,18) и (96,50, 22, 30) не являются реберно симметричными.

Несуществование псевдогеометрического графа для pG₂(5, 32) доказано в [12]. Псевдогеометрический граф для pG₂(5, 32) имеет сильно регулярные подграфы — окрестность вершины (псевдогеометрический граф для GQ(4,8)) и вторую окрестность вершины (граф с параметрами (320,99,18, 36)). В следующей теореме найдены возможные порядки и подграфы неподвижных точек автоморфизмов сильно регулярного графа с параметрами (320,99,18,36). Этот результат завершает описание автоморфизмов локальных подграфов в изорегулярном графе Izo(3) (псевдогеометрическом графе для pG₃(6, 80)), см. [13].

Теорема 3 ([20]). Пусть Г является сильно регулярным графом с параметрами (320, 99,18, 36), G = Aut(G), — элемент простого порядка p из G, = Fix(). Тогда (G) {2, 3, 5, 7,11} и выполняется одно из следующих утверждений:

1. — пустой граф, p = 5 и ₁() {0,120} или p = 2 и ₁() {0, 48,96,144,192, 240, 288};

2. является одновершинным графом, p =11 и ₁() = 66;

3. является m-кокликой, p = 3, m = 3t + 2, 3 t 14 и₁() — 9m — 6 делится на

72;

4. — объединение изолированных ребер, 2 29 p =2 и ₁() — 6 делится на

48;

5. p = 11 и либо

   1. || = 67 и ₁() = 33, либо

   2. || = 78 и ₁() = 66, либо

   3. || =89 и ₁() = 99;

6. p = 7 и либо

(i) = и ₁() {84, 252}, либо

(ii) || = 7s + 5, 2 s 10, ₁() = 21r и s — r + 3 делится на 8, либо

(iii)|| =96 и ₁() = 0;

7. p = 5 и либо

(i)|| = 90, ₁() = 90, на Г — имеются 36 пятиугольных ()-орбит и 10 кокли- ковых;

(ii)|| = 85, ₁() = 15, на Г — имеются 6 пятиугольных ()-орбит и 41 кокликовая;

(iii)|| = 80, ₁() {0,120}, на Г — имеются 48 пятиугольных ()-орбит или 48 кокликовых;

(i)|| = 5s, 3 s 15, ₁() = 120r + 15s, r {—2, —1, 0,1, 2};

(8)p = 3, || = 3t + 2, не содержит вершин степени || — 2 и либо

(i) является объединением двух изолированных вершин и подграфа, ₁() делится на 72, либо

(ii)|| = 80 или || = 140 и ₁() = 0, либо

(iii)|| = 3t + 2, 3 t 25, ₁() = 72s + 9t + 54 и s { — 3, —2,..., 4};

(9) p = 2 и либо

(i) — куб и ₁() /24 — нечетное натуральное число, либо

(ii) ₁() = 0, || = 16s, s {1, 2,..., 9}, либо

(iii) ₁() = 0, || = 2t, 5 t 70 и ₁() = 48r + 6t.

В [5] найдены параметры исключительных сильно регулярных графов с неглавным собственным значением 3.

Предложение 3. Пусть Г — исключительный сильно регулярный граф с неглавным собственным значением 3. Если А = 5, то Г имеет параметры (21,10, 5, 4), (111, 30, 5, 9) или (169, 42, 5,12).

В третьей главе диссертации изучены вполне регулярные графы, в которых окрестности вершин сильно регулярны с параметрами (111, 30,5, 9) или (169, 42, 5,12). Существование графов с параметрами (111, 30, 5, 9) и (169, 42, 5,12) неизвестно.

Теорема 4 [21]. Пусть Г — вполне регулярный граф, в котором окрестности вершин

8. сильно регулярные графы с параметрами (111, 30, 5, 9), u — вершина графа Г и k_i = ||. Тогда d(Г) = 3, k₃ четно и выполняется одно из утверждений:

(1) = 30, 2 k3 18;

(2) = 40, 2 k₃ 6 и Г₃ является объединением изолированных вершин и ребер.

Теорема 5 [21]. Пусть Г — вполне регулярный граф, в котором окрестности вершин-

сильно регулярные графы с параметрами (169, 42, 5,12), u — вершина графа Г и k_i = ||. Тогда d(Г) = 3 и выполняется одно из утверждений:

(1)

(2)

(3) = 63, k₃ четно, 2 k₃ 12 и Г₃ является объединением изолированных вершин и ребер.

Следствие 3. Пусть Г — дистанционно регулярный граф, в котором окрестности вершин — сильно регулярные графы с собственным значением 3 и параметрами (v', k', 5, ). Тогда окрестности вершин либо изоморфны треугольному графу T(7) и Г — половинный

граф 7-куба, либо сильно регулярны с параметрами (169, 42, 5,12) и Г имеет массив пересечений {169,126,1; 1,42,169}.

В главе 4 изучаются автоморфизмы дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {169,126,1; 1, 42,169}. В этой главе существенно используются результаты из [14-17].

Теорема 6 [22]. Пусть Г — дистанционно регулярный граф, имеющий массив пересечений {169,126,1; 1, 42,169}, G = Аut(Г), — элемент из G простого порядка p и = Fix() содержит по s вершин в t антиподальных классах. Тогда (G) {2, 3,5, 7,11,13,17, 19} и выполняется одно из следующих утверждений:

(1) — пустой граф и либо

(i) p = 17, ₁() = 16 17, ₁() = 24 17, либо

(ii) p = 5, ₁() = 5(26m + 8) и ₁() = 5(128 — 26m), либо

3. p =2, ₃() = 4, ₁() = 170 + 26m + 12 и ₂()= 510 — 26m — 16;

(2) p = 19, либо — дистанционно регулярный граф с массивом пересечений {17,12,1;

1,4,17}, либо t = 37;

(3) p =13, либо — антиподальный класс, либо — дистанционно регулярный граф с массивом пересечений {13, 9,1; 1, 3,13}, либо t = 27, 40;

(4) p =11 и — дистанционно регулярный граф с массивом пересечений {37, 27,1; 1, 9, 37};

(5) p = 7 и t = 2, 9,16, 23, 30, 37;

(6) p = 5, либо — дистанционно регулярный граф с массивом пересечений {9, 6,1; 1, 2, 9}, либо t = 15, 20, 25, 30, 35, 40;

(7) p =3, либо s = 4 и t = 2,5,8,..., 41, либо s =1, является t-кликой и

t=2,5,8,11,14;

(8) , t четно и либо s = 4, t 42, либо s = 2 и t 86.

Теорема 7. Пусть Г — дистанционно регулярный граф, имеющий массив пересечений {169,126,1; 1, 42,169}, в котором окрестности вершин сильно регулярны с параметрами (169,42,5,12), G = Аut(Г), — элемент из G простого порядка p > 2 и = Fix() — непустой граф, содержащий по s вершин в t антиподальных классах. Тогда (G) {2, 3, 5, 7,13,17} и выполняется одно из следующих утверждений:

(1) некоторая ()-орбита на Г — содержит геодезический 2-путь, либоp =7 и t = 2, либо p = 5 и — дистанционно регулярный граф с массивом пересечений {9, 6,1; 1, 2, 9};

(2) некоторая ()-орбита на Г — является кликой, p =3 и либо s = 4, t = 2, 5 и является объединением четырех изолированных t-клик, либо s = 1 и является 2-кликой;

3. 3. каждая ()-орбита на Г — является кокликой и либо p =13, — антиподальный класс, либо p = 5 и t = 40, либо p =3, s = 4 и t =14.

Следствие 4. Пусть Г — дистанционно регулярный граф с массивом пересечений {169,126,1; 1, 42,169}, в котором окрестности вершин сильно регулярны с параметрами (169, 42, 5,12). Если G = Аut(Г) — неразрешимая группа, действующая транзитивно на множестве вершин графа Г, то S = S(G) является элементарной абелевой 2-группой, факторгруппа = изоморфна Sp₄(4), для вершины Г имеем G_a = 2⁶ : (Z₃ xA₅), S

содержит нормальную в G подгруппу K порядка 4, регулярную на каждом антиподальном классе, |S : S{_F}| = 2 для антиподального класса F, S/K является неприводимым F₂Sp₄(4)-модулем порядка 2⁸, 2¹⁶ или 2³² и C_s(f) = К для элемента f порядка 17 из G.

ЛИТЕРАТУРА

1. Brouwer A.E., Cohen A.M., Neumaier A. Distance-regular graphs // Berlin etc: Springer- Verlag - 1989.

2. Карданова М.Л., Махнев А.А. О графах, в которых окрестности вершин являются графами, дополнительными к графу Зейделя // Доклады академии наук 2010. Т. 434, N 4. С. 447-449.

3. Белоусов И.Н., Махнев А.А., Нирова М.С. Дистанционно регулярные графы, в которых окрестности вершин сильно регулярны с собственным значением 2 // Доклады академии наук 2012. Т. 447, N 5. С. 475-478.

4. Махнев А.А. О сильно регулярных графах с собственным значением 3 и их расширениях // Доклады академии наук 2013. Т. 451, N 5. С. 475-478.

5. Махнев А.А., Падучих Д.В. Исключительные сильно регулярные графы с собственным значением 3 // Труды Института математики и механики 2013. Т. 19, N 4. С. 167-174.

6. Prager C.E., Soicher L.H. Low rank representations and graphs for sporadic groups. Lecture series 8. Cambridge, University press, 1997.

7. Cameron P.J. Permutation Groups. London Math. Soc. Student Texts №45. Cambridge: Cambridge Univ. Press. 1999.

8. Махнев А.А. Обобщенный четырехугольник GQ(4,16) и его расширения, Доклады академии наук 2013, т. 451, N 4, 378-380.

9. ZaraКагазежева А.М. О локально GQ(4,11)-графах // Математический форум (Итоги науки. Юг России), т. 6. Группы и графы, Владикавказ 2012, 28-39.

10. Махнев А.А. О псевдогеометрических графах некоторых частичных геометрий, Вопросы алгебры, Гомель: Изд-во Гомельского ун-та, 1997, т.11, 8 стр.

11. Cameron P., Hughes D. R., Pasini A. Extended generalized quadrangles // Geom. Dedic. 1990, v. 35. 193-228.

12. Махнев А.А. О несуществовании сильно регулярных графов с параметрами (486,165, 36,66), Украинский матем. журнал. 2002. Том. 54, N 7, 941-949.

13. Махнев А.А., Нирова М.С. Об автоморфизмах сильно регулярного графа с параметрами (640,243,66,108), Доклады академии наук 2011, т. 440, № 6, 743-746.

14. Godsil C.D., Henzel A.D. Distance-regular covers of the complete graphs, J. Comb. Theory, ser. B 1992. V. 56. P. 205-238.

15. Кондратьев А.С. Граф Грюнберга-Кегеля конечной группы и его приложения // Алгебра и линейная оптимизация. Труды межд. семинара. Екатеринбург 2002, 141-158.

16. Zavarnitsine A.V. Finite simple groups with narrow prime spectrum, Sibirean electr. Math. Reports 2009. V. 6. P. 1-12.

17. Brouwer A.E., Haemers W.H. Spectra of graphs (course notes), http://www. win.tue.nl/ aeb/

Работы автора по теме диссертации

18. Журтов А.Х., Кагазежева А.М., Махнев А.А. Об автоморфизмах сильно регулярного графа с параметрами (96,45,24,18) // Доклады академии наук 2012, т. 446, № 1, 10-14.

19. Кагазежева А.М. О локально GQ(4,11)-графах // Математический форум (Итоги науки. Юг России), т. 6. Группы и графы, Владикавказ 2012, 28-39.

20. Кагазежева А.М., Махнев А.А. Об автоморфизмах сильно регулярного графа с параметрами (320,99,18,36) // Владикавказский математический журнал 2013, т. 15, N 2, 61-71.

21. Кагазежева А.М., Махнев А.А. О графах, в которых окрестности вершин сильно регулярны с параметрами (111,30,5,9) или (169,42,5,12) // Доклады академии наук 2014, т. 456, № 2, 135-139.

22. Кагазежева А.М. Автоморфизмы дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {169,126,1; 1,42,169} // Сибир. электрон. матем. известия 2015, т. 12, 318-327.

23. Журтов А.Х., Кагазежева А.М., Махнев А.А. Об автоморфизмах сильно регулярного графа с параметрами (96,45,24,18) // Теория групп и ее приложения. Тез.докл. Межд. школы-конф. Владикавказ 2012, 58-59.

24. Kagazezheva A.M., Makhnev A.A. On graphs whose vertex neighborhoods are strongly regular with parameters (111,30,5,9) or (169,42,5,12) // The International Conference on Group Theory in Honor of the 70th Birthday of Professor Victor D. Mazurov. Abstracts, Novosibirsk 2013, 81.

25. Kagazezheva A.M. Automorphisms of graph with intersection array {169,126,1; 1, 42,169} // "Groups and Graphs, Algorithms and Automata". Abstracts, Ekaterinburg 2015, 43.

10