Сложение гармонических колебаний

• 1 слайд

  Лекция 33. СЛОЖЕНИЕ
  ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
  

• 2 слайд

  1. ВЕКТОРНАЯ
  ДИАГРАММА (I)
  Сложение гармонических колебаний одного направления облегчается и
  становится наглядным, если изображать колебания графически в виде
  векторов на плоскости. Такой способ называется векторной диаграммой.
  Из точки 0, взятой на оси x отложим вектор
  длины А, образующий с осью угол
  Если привести этот вектор во вращение с
  угловой скоростью то координата
  конца вектора будет изменяться по закону
  
  
  Следовательно, проекция
  конца вектора на ось x будет
  совершать гармонические
  колебания с амплитудой, равной
  длине вектора циклической
  частотой и начальной фазой
  равной углу, образуемому
  вектором с осью x в начальный момент времени.
  

• 3 слайд

  2. ВЕКТОРНАЯ
  ДИАГРАММА (II)
  Рассмотрим сложение двух
  гармонических колебаний
  одинакового направления и
  одинаковой частоты.
  Смещение колеблющегося
  тела будет суммой смещений
  исходных колебаний
  Представим оба колебания с
  помощью векторов и Построим по правилам сложения векторов
  результирующий вектор Проекция этого вектора на ось равна
  сумме проекций слагаемых векторов и
  Вектор задает результирующее колебание с той же частотой и
  амплитудой которую определим по теореме косинусов:
  
  
  Из рисунка понятно, что
  

• 4 слайд

  3. БИЕНИЯ (I)
  Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одного направления
  с близкими частотами.
  Пусть – циклическая частота первого колебания, тогда – час-
  тота второго колебания, причем (близкие частоты).
  Для простоты будем полагать, что амплитуды колебаний одинаковы, а
  начальные фазы равны нулю. Тогда уравнения колебаний имеют вид:
  Складывая эти выражения и применяя тригонометрическую формулу для
  суммы косинусов, получаем
  

• 5 слайд

  4. БИЕНИЯ (II)
  Первый множитель в формуле
  изменяется значительно медленнее, чем второе, так как Это
  позволяет рассматривать результи-рующее колебание как гармоничес-кое с высокой частотой амплитуда которого пульсирует с низкой частотой
  Такое колебание называется биениями.
  
  Амплитуда биений определяется модулем выражения, стоящего перед гармонической функцией высокой частоты
  Амплитуда колеблется с частотой – частотой биений.
  

• 6 слайд

  5. СЛОЖЕНИЕ ВЗАИМНО
  ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ
  Пусть частица участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных
  колебаниях одной частоты. Пусть колебания вдоль оси происходят с
  нулевой начальной фазой, а вдоль оси со сдвигом по фазе на
  Тогда уравнения колебаний примут вид:
  Чтобы получить уравнение траектории в явном виде исключим время
  Из первого уравнения следует, что
  Подставляя синус и косинус в формулу
  для получим:
  Уединяя иррациональность и возводя в квадрат, придем к уравнению
  которое представляет собой
  уравнение эллипса. Полуоси
  этого эллипса в общем случае
  не совпадают с осями координат.
  

• 7 слайд

  6. ДВИЖЕНИЕ ПО ПРЯМОЙ
  Определим форму траектории результирующего колебания для
  некоторых частных случаев.
  Пусть В этом случае общее уравнение траектории
  
  принимает вид
  Движение
  является гармоническим
  колебанием вдоль прямой
  с амплитудой
  2. Пусть В этом случае
  Траектория является прямой, лежа-
  щей во 2-м и 4-м квадрантах.
  

• 8 слайд

  7. ДВИЖЕНИЕ
  ПО ЭЛЛИПСУ
  При общее
  уравнение траектории
  принимает вид
  Это уравнение эллипса, приведенного
  к координатным осям, причем полуоси
  эллипса равны соответствующим
  амплитудам колебаний.
  
  При
  движение против
  часовой стрелки.
  При
  движение по
  часовой стрелке
  

• 9 слайд

  8. ДВИЖЕНИЕ ПО ОКРУЖНОСТИ
  Если
  то уравнение траектории
  Знак «+» в выражении для
  соответствует движению против часовой стрелки, знак «-» – движению по часовой стрелке.
  принимает вид
  При равенстве амплитуд
  эллипс вырождается
  в окружность.
  Это означает что равномерное
  движение по окружности
  радиуса с угловой
  скоростью может быть
  представлена как сумма двух
  взаимно перпендикулярных
  колебаний
  

• 10 слайд

  9. ФИГУРЫ ЛИССАЖУ
  Если частоты взаимно пер-
  пендикулярных колебаний
  неодинаковы, то траектория
  результирующего движения
  имеет вид довольно сложных
  кривых, называемых
  фигурами Лиссажу.
  Наиболее простой вид имеют
  фигуры Лиссажу для случая,
  если отношение частот – это
  простая рациональная дробь.
  Пусть, частоту колебаний вдоль оси можно представить в виде
  а вдоль оси – где и – натуральные
  числа. За то время, пока вдоль оси точка успевает переместится из
  одного крайнего положения в другое раз, вдоль оси она совершит
  таких перемещений.
  Чем ближе к единице рациональная дробь, выражающая отношение
  частот колебаний, тем сложнее оказывается фигура Лиссажу.