Сообщение по математике на тему "Целое число"

Целое число

Целые числа — расширение множества натуральных чисел $\mathbb{N}$ , получаемое добавлением к $\mathbb{N}$ нуля и отрицательных чисел вида . Множество целых чисел обозначается $\mathbb{Z}.$ Необходимость рассмотрения целых чисел продиктована невозможностью, в общем случае, вычесть из одного натурального числа другое — можно вычитать только меньшее число из большего.

Сумма, разность и произведение двух целых чисел дают снова целые числа, то есть целые числа образуют кольцо относительно операций сложения и умножения. Впервые отрицательные числа стали использовать в древнем Китае и в Индии, в Европе их ввели в математический обиход Николя Шюке (1484 год) и Михаэль Штифель (1544).

Алгебраические свойства

$\mathbb{Z}$ не замкнуто относительно деления двух целых чисел (например, 1/2). Следующая таблица иллюстрирует несколько основных свойств сложения и умножения для любых целых a, b и c.

	сложение	умножение
замкнутость:	a + b — целое	a × b — целое
ассоциативность:	a + (b + c) = (a + b) + c	a × (b × c) = (a × b) × c
коммутативность:	a + b = b + a	a × b = b × a
существование нейтрального элемента:	a + 0 = a	a × 1 = a
существование противоположного элемента:	a + (−a) = 0	a ≠ ±1 ⇒ 1/a не является целым
дистрибутивность умножения относительно сложения:	a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

На языке общей алгебры первые пять вышеперечисленных свойств сложения говорят о том, что $\mathbb{Z}$ является абелевой группой относительно бинарной операции сложения, и, следовательно, также циклической группой, так как каждый ненулевой элемент $\mathbb{Z}$ может быть записан в виде конечной суммы 1 + 1 + … 1 или (−1) + (−1) + … + (−1). Фактически, $\mathbb{Z}$ является единственной бесконечной циклической группой по сложению в силу того, что любая бесконечная циклическая группа изоморфна группе $(\mathbb{Z},+)$ .

Первые четыре свойства умножения говорят о том, что $\mathbb{Z}$ — коммутативный моноид по умножению. Однако стоит заметить, что не каждое целое имеет противоположное по умножению, например, нет такого x из $\mathbb{Z}$ , что 2x = 1, так как левая часть уравнения чётна, а правая нечётна. Из этого следует, что $\mathbb{Z}$ не является группой по умножению, а также не является полем. Наименьшее поле, содержащее целые числа, — множество рациональных чисел ( $\mathbb{Q}$ ).

Совокупность всех свойств таблицы означает, что $\mathbb{Z}$ является коммутативным кольцом с единицей относительно сложения и умножения.

Обычное деление не определено на множестве целых чисел, но определено так называемое деление с остатком: для любых целых a и b, $b \not= 0$ , существует единственный набор целых чисел q и r, что a = bq + r и $0 \le r < |b|$ , где |b| — абсолютная величина (модуль) числа b. Здесь a — делимое, b — делитель, q — частное, r — остаток. На этой операции основан алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел.

Теоретико-множественные свойства

$\mathbb{Z}$ — линейно упорядоченное множество без верхней и нижней границ. Порядок в нём задаётся соотношениями:

… < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < …

Целое число называется положительным, если оно больше нуля, отрицательным, если меньше нуля. Нуль не является положительным или отрицательным.

Для целых чисел справедливы следующие соотношения:

если a < b и c < d, тогда a + c < b + d.
если a < b и 0 < c, тогда ac < bc. (Отсюда легко показать, что если c < 0, то ac > bc.)

Целые числа в вычислительной технике

Тип целое число — зачастую один из основных типов данных в языках программирования. Тем не менее, эти «целые числа» — лишь имитация класса $\mathbb{Z}$ в математике, так как это множество бесконечно и всегда найдётся целое число, которое данный компьютер не сможет хранить в своей памяти. Целые типы данных обычно реализуются как фиксированный набор битов, но любые представления, в конце концов, приведут к тому, что свободное место на носителе (жёстком диске) закончится. С другой стороны, теоретические модели цифровых компьютеров имеют потенциально бесконечное (но счётное) пространство.

Скачать материал

Скачать материал "Сообщение по математике на тему "Целое число""

Как учитель может зарабатывать на Инфоуроке?

Краткое описание документа:

Целые числа — расширение множества натуральных чисел, получаемое добавлением к нуля и отрицательных чисел. Необходимость рассмотрения целых чисел продиктована невозможностью, в общем случае, вычесть из одного натурального числа другое — можно вычитать только меньшее число из большего.

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 664 839 материалов в базе

Найти материалы

Скачать материал

Другие материалы

docx

Сообщение по математике на тему "Формализм"

13.06.2015
815
0

pptx

Презентация по математике, игра "Бизнесмат"

13.06.2015
866
4

docx

Урок геометрии на тему «Свойства равнобедренного треугольника» (7 класс)

13.06.2015
823
0

docx

Анализ учебников по математике М.И.Моро и Л.Г. Петерсон

Рейтинг: 5 из 5

13.06.2015
19333
81

docx

Рабочая программа по математике 7 класс

13.06.2015
1070
0

docx

Конспект интегрированного урока по теме: « Спортивно - математические старты». (математика + физкультура урока

13.06.2015
703
0

docx

Урок Линейные неравенства с одной переменной

13.06.2015
2444
11

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Скачать материал
- 13.06.2015 3559
- DOCX 57.8 кбайт
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Уильямс Майк (Отсутствует). Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Автор материала

Уильямс Майк (Отсутствует)
- На сайте: 8 лет и 10 месяцев
- Подписчики: 102
- Всего просмотров: 402518
- Всего материалов: 157