Справочник для подготовки к егэ

Справочник

«ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ГЕОМЕТРИИ»

Содержание:

1.     Теоремы базового уровня……………………………………….3 – 11 стр.

1.1.                 Теорема Фалеса Милетского……………………………..……3 стр. 1.2. Теорема Пифагора…………...…………………………………3 стр. 1.3. Теорема синусов………………………………………………..4 стр. 1.4. Теорема косинусов……………………………………………..4 стр.

1.5.          Теорема биссектрис…………………………………………….5 стр.

1.6.          Теорема о пересечении медиан треугольника……………..…5 стр. 1.7. Теорема о высотах треугольника…………………...…………5 стр. 1.8. Площади треугольников……………………………….………6 стр.

1.9.             Вписанный и центральный углы………………………...…….7 стр.

1.10.        Вписанная окружность треугольника………………………..8 стр.

1.11.        Описанная окружность треугольника……………………..…8 стр.

1.12.        Вневписанная окружность треугольника…………...………..8 стр. 1.13.  Площади четырехугольников……….……………………..….9 стр.

1.14.        Вписанный четырехугольник………………..………………10 стр.

1.15.        Описанный четырехугольник…………..……………………10 стр.

1.16.        Теорема о двух секущих……..………………………………11 стр. 1.17. Теорема о касательной и секущей…...………………………11 стр.

1.18. Теорема о двух хордах………………………………………..11 стр.

2.     Теоремы профильного уровня……...…………………………12 – 13  стр.

2.1.                 Теорема Менелая…………………...…………………………12 стр. 2.2. Теорема Чевы…………………………...……………………..12 стр.

2.3.          Теорема Ван – Обеля………………………………………….12 стр.

2.4.          Теорема Стюарта……………………...………………………13 стр.

2.5.          Теорема Птолемея…………………………………………….13 стр.

2.6.          Теорема Аполлония…………………………………………...13 стр.

Теорема Фалеса Милетского «Несколько параллельных прямых a║b║c║d и т.д., отсекающие на одной из сторон угла равные отрезки, и на другой стороне угла также отсекающие на одной из сторон угла равные отрезки, и на другой стороне угла также отсекают равные отрезки»

 

Теорема Пифагора

1.     Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.

2.     Если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то треугольник – прямоугольный.

 

 

Теорема синусов

Пусть a, b, c – стороны треугольника; α, β, γ – противолежащие им углы; R – радиус описанной окружности. Тогда: 

 

Теорема косинусов

Пусть a, b, c – стороны треугольника; α –  угол, противолежащий стороне a. Тогда: 

α

Теорема биссектрис

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на два отрезка, длины которых относятся так же, как длины соответствующих сторон.

Теорема о пересечении медиан треугольника

В треугольнике три медианы пересекаются в одной точке. Точка пересечения делит каждую медиану в отношении 2:1, если считать от вершины, из которой проведена медиана. 

 

Теорема о высотах треугольника

В треугольнике высоты пересекаются в одной точке.

Площади треугольников

 

 ;

;

;

 

(формула Герона)

 где:

•             a,b,c – стороны треугольника

•             h_a – высота треугольника

•             p – полупериметр треугольника

•             r – радиус вписанной окружности

•             R – радиус описанной окружности

•             β – угол между сторонами 

Вписанный и центральный углы

Угол называется вписанным в окружность, если его вершина лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.

На рисунке вписанным углом является ABC.  

Центральным называется угол вершиной в центре окружности. На рисунке центральным углом является угол AOC.

 

Вписанная окружность треугольника

В любой треугольник можно вписать единственную окружность. Центр окружности, вписанной в треугольник, совпадает с точной пересечения его биссектрис. 

Описанная окружность треугольника

Около любого треугольника можно описать единственную окружность. Центр окружности, описанной около треугольника, совпадает с точкой пресечения серединных перпендикуляров к его сторонам

  

Вневписанная окружность треугольника

В любом треугольнике биссектрисы двух внешних углов и биссектриса внутреннего угла, не смежного с ними, пересекаются в одной точке.

Площади четырехуголников

- площадь любого четырехугольника, где

•      d₁ – первая диагональ

•      d2 – вторая диагональ

•      α – угол между диагоналями

    -     площадь     четырехугольника,

вписанного в окружность (формула Герона), где

•      p – полупериметр четырехугольника

•      a, b, c и d – стороны четырехугольника

S = ah_a – площадь паралелограмма, где

•      a – основание паралелограмма

•      h_a – высота, проведенная к основанию

S = ab sinβ – площадь параллелограмма, где

•      a и b – стороны паралелограмма

•      β – угол между смежными сторонами

S = ab – площадь прямоугольника, где

 a и b – стороны квадрата

S =  – площадь квадрата, где

 a – сторона квадрата

S = ah_a – площадь ромба, где

•      a – сторона ромба

•      h_a – высота, проведенная к стороне

S =   – площадь ромба, где

•      a – сторона ромба

•      β – угол между сторонами ромба

Вписанный четырехугольник

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны 180.

 

                                                                     

Описанный четырехугольник

Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

 

DC    + AB = DA + BC

Теорема о двух секущих

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на ее внешнюю часть равно произведению другой секущей на ее внешнюю часть: 

 

MAMB = MC  MD 

Теорема о касательной и секущей

Если из точки, лежащей вне окружности проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть

                                                                     MC² = MA  MB

M

                                                 B                                

Теорема о двух хордах Если две хорды окружности AB и CD пересекаются в точке S, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. AS  SD = CS  SB                 

                                                           D                                 

AS  SD = CS  SB

A

Теорема Менелая

 

Теорема Чевы

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне или ее продолжении, называется  чевианой.

 

Теорема Ван-Обеля

 

Теорема Стюарта

 

py

                                               a                                                                                                

Теорема Птолемея

Если четырехугольник вписан в окружность, то

                                    AB+ AD = AC  

Теорема Аполлония

                                                             A              Если AD – медиана треугольника ABC, то

Желаем вам успехов!