Статья МЕТРИКАЛЫҚ КЕҢІСТІКТЕРДЕГІ ЖИНАҚТЫЛЫҚ

С.К. АБИШЕВА

 ЖӘНЕ  МЕТРИКАЛЫҚ КЕҢІСТІКТЕРДЕГІ ЖИНАҚТЫЛЫҚ.

(г.Алматы)

Аннотация

Тақырыбы: "  және    метрикалық кеңістіктердегі жинақтылық"

Бұл мақалада кеңістігіндегі нүктелер тізбегінің метрика бойынша жинақтылығының, кеңістігіндегі функциялар тізбегінің метрика бойынша жинақтылығының анықтамалары келтірілген. Сонымен қатар, Х жиынында анықталған функциялар тізбегінің нүктелі жинақталуының, бірқалыпты жинақталуының анықтамалары беріліп және функциялық тізбектің бірқалыпты жинақталуының критерийі қарастырылған.

Осы   және    метрикалық кеңістіктердегі тізбектер қарастырылып, олардың шектік элементтері табылған.

Аннотация

Тема: "Сходимость в метрических пространствах   и   "

В данной статье приведены определения сходимости по метрике последовательности точек в метрических пространствах  и  . 

Наряду с этим приведены определения поточечной сходимости  и равномерной сходимости последовательности функций, заданных на множестве Х, а также рассмотрен критерий равномерной сходимости последовательности функций.

В этих метрических пространствах  и  рассмотрены последовательности и найдены их предельные элементы.

Annatation

Theme:

1.   кеңістігіндегі нүктелер тізбегінің жинақтылығы

            Барлық реттелген  нақты сандар  жүйелерінің жиыны  өлшемді нақты кеңістік деп аталады және  арқылы белгіленеді.

            Сандар жүйесін  деп белгілейді де, оны  кеңістігінің нүктесі  немесе векторы деп, ал  сандарын  нүктесінің (векторының) координаттары немесе компоненттері деп  атайды.

            Анықтама.  кеңістігінде жатқан  нүктесі мен  оң саны берілсін.

                                                                 

теңсіздігін қанағаттандыратын барлық  нүктелерінен құрылған жиын а нүктенің  маңайы деп аталады,  символымен белгіленеді.

            Анықтама. Егер әрбір  оң бүтін санына белгілі бір  заңы не тәртібі бойынша    элементі сәйкес қойылса, онда осы сәйкестік -дегі тізбек деп аталады.

            Анықтама.-дегі  тізбегі берілсін. Егер белгілі бір  мен кез келген  оң саны арқылы барлық  үшін   теңсіздігін қанағаттандыратындай  саны табылса, онда а саны   тізбегінің шегі деп аталады және былай жазылады:

                                                немесе                                   (1)

 Теорема. -дегі  тізбегі берілсін.  тізбегінің шегі бар және ол  элементіне тең болуы үшін   координаталық тізбектерінің әрқайсысының шегі бар және   теңдіктері орындалуы қажетті де жеткілікті .

            Шектер туралы  теоремалар. Егер  ,  ,  болса, онда :

            1)   

2)   

            3)    теңдіктері  орындалады.

Есеп1.   нүктелер тізбегінің шегін табу керек.

Шешуі: координаталық тізбектерінің шегін табамыз.

 ;       ;      

  ;      

Онда

.

Нүктелер тізбегінің шегі кеңістігіндегі нүкте .

Есеп2.  нүктелер тізбегінің шегін табу керек.

Шешуі: координаталық тізбектерінің шегін табамыз.

;        

;       

Онда

Нүктелер тізбегінің шегі кеңістігіндегі нүкте .

2.  кеңістігіндегі функциялар тізбегінің жинақтылығы

            Анықтама. Егер әр  оң бүтін санына  жиынында берілген   функциясы сәйкес қойылса, онда осы сәйкестік  жиынында анықталған функциялық тізбек деп аталады.

            Функциялық тізбектер сандық тізбектер белгілеулеріне ұқсас , не қысқаша белгілеулері қолданылады.

             болсын. Бұл жиынның нүктелері ретінде  аралығында анықталған барлық үзіліссіз нақты мәнді функцияларды алады.

            Егер  ,  болса, онда метриканы

                                                                                               (1)

өрнегімен анықтауға болады. Сегментте үзіліссіз функция үшін ең үлкен мәні бар, яғни (1) өрнек анықталған. Және (1) өрнектен , егер  болғанда ғана , сол сияқты  орындалатыны анық . Бізге енді үшбұрыштар аксиомасын тексеру ғана қалды.

            Кез келген  үшін

                                                   

                                      .

Онда

                                                    .

            Сонымен, үшбұрыш теңсіздігі де орынды. метрикалық кеңістік.  кесіндісінде осындай метрикамен берілген барлық үзіліссіз функциялар жиыны үзіліссіз функциялар кеңістігі деп аталады да,  деп белгіленеді.

             жиынында  функциялық тізбегі берілсін. Әр  үшін  мәндері бойынша  сандық тізбектігі анықталады.

            Егерде әр  үшін оған сәйкес  сандық тізбегінің нақты мәнді шегі бар болса,онда  функциялық тізбегі  жиынында нүктелі жинақталады дейді. Нүктелі жинақталатын тізбек  жиынында  сәйкестігі бойынша жаңа функция анықтайды. Сол функцияны шектік функция  не нүктелі шек деп атайды.

            Бірқалыпты жинақтылықтың анықтамасы. жиынында  функциялық тізбегі мен  функциясы берілсін. Егер әр  оң саны бойынша барлық  және барлық  үшін

                                                                                                                       (2)

теңсіздігі орындалатындай  оң саны табылса, онда  функциялық тізбегі  жиынында  функциясына бірқалыпты жинақталады деп аталады, белгіленуі : .

            Функциялық тізбектің бірқалыпты жинақталуының критерийі:  жиынында анықталған  функциялық тізбегісол жиында  функциясына нүктелі жинақталып,  болсын.Онда  тізбегі  жиынында бірқалыпты жинақталуы үшін    болуы қажетті де жеткілікті.

              метрикасы  (1) өрнекпен берілген, метрикалық кеңістігіндегі жинақтылық үзіліссіз функциялар тізбегінің бірқалыпты жинақтылық екенін көрсетейік.

 функциялар тізбегі берілсін.  функциясы шектік функция болсын, яғни

                                                , .

            Онда  үшін  нөмірі табылып, барлық  үшін  болады. Немесе барлық  және барлық   үшін . Бұл  тізбегінің  функциясына бірқалыпты жинақтылығы. Егер  тізбегі  функциясына бірқалыпты жинақты болса, онда жоғарыда айтылғанды керісінше қарастырып,  болатынын көреміз.

            Есеп1. ;  кеңістігінде    функциясына метрика бойынша жинақталатынын дәлелдеу керек.

Дәлелдеуі: Алдымен, ,  үшін

                  

 шегі бар болатынын дәлелдейміз.

             функцияларының  сегментінде кризистік нүктелерін табамыз. Ол үшін берілген функцияның туындысын аламыз.

                           

Алынған туындыны нольге теңестіреміз, онда  болады. Бұдан

                                       

мына теңдіктер шығады.

                                                   

Сонымен,  аралығында

                                                         және          

болса, онда

                                                                   ;

                                                                 

орындалады. Сонымен,

                                                         ,

берілген функцияның  кеңістігінде метрика бойынша нольдік функциясына жинақталатынын дәлелдедік.

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ

1.                  Досымов Т.Б., « Функционалдық анализ негіздері » Алматы, «Мектеп»,

2.                  Колмогоров А.Н., Фомин С.В. «Элементы теории функций и функционального анализа». М., «Наука», 1977г.

3.                  Петров В. Виленкин Н. Граев М. «Элементы функционального анализа в задачах».-М.:Просвещение,1978.

4.                  Темірғалиев Н. «Математикалық анализ. Екінші бөлім». –Алматы: «Мектеп», 1987. 288б.