Ма́трица —
математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов
кольца или поля (например, целых или комплексных чисел), которая представляет
собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её
элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы. Хотя
исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время
говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются
наиболее удобными и общими.
Впервые
матрицы упоминались ещё в древнем Китае, называясь тогда «волшебным квадратом».
Основным применением матриц было решение линейных уравнений. Так же, волшебные
квадраты были известны чуть позднее у арабских математиков, примерно тогда
появился принцип сложения матриц. После развития теории определителей в конце
17-го века, Габриэль Крамер начал разрабатывать свою теорию в 18-ом столетии и
опубликовал «правило Крамера» в 1751 году. Примерно в этом же промежутке
времени появился «метод Гаусса». Теория матриц начала своё существование в
середине XIX века в работах Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Фундаментальные
результаты в теории матриц принадлежат Вейерштрассу, Жордану, Фробениусу.
Термин «матрица» ввел Джеймс Сильвестр в 1850 г.
Матрицы
широко применяются в математике для компактной записи систем линейных
алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае, количество строк
матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству
неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к
операциям над матрицами.
Матрицы
допускают следующие алгебраические операции:
·
сложение матриц, имеющих один и тот же размер;
·
умножение матриц подходящего размера (матрицу, имеющую
nстолбцов, можно умножить справа на матрицу, имеющую nстрок);
·
умножение матрицы на элемент основного кольца или поля
(т. е. скаляр).
Матрица
– множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m – строк
и n – столбцов. Для обозначения матрицы используется надпись:
А=,
аij,
где i – номер строки, j – номер столбца
Далее
рассмотрим виды матриц.
Пример
1. Сумма матриц
Дано:
Матрицы A и B.
,
Найти:
Сумму матриц A + B =
C.
C- ?
Решение:
Для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить
элементы матрицы B, стоящие на тех же местах.
Таким образом, суммой двух матриц A и B является матрица:
Ответ:
Пример
2. Умножение матрицы на число
Дано:
Матрица
Число k=2.
Найти:
Произведение матрицы на число: A × k = B
B — ?
Решение:
Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить
на это число.
Таким образом, произведение матрицы A на число k есть новая матрица:
Ответ:
Пример
3. Умножение матриц
Дано:
Матрица ;
Матрица .
Найти:
Произведение матриц: A × B = C
C — ?
Решение:
Каждый элемент матрицы С = A × B, расположенный в i-й строке
и j-м
столбце, равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на
соответствующие элементы j-го столбца матрицыB. Строки матрицы А умножаем
на столбцы матрицы В и получаем:
Ответ:
Пример
4. Транспонирование матрицы
Дано:
Матрица .
Найти:
Найти матрицу транспонированную данной.
AT — ?
Решение:
Транспонирование матрицы А заключается в замене строк этой матрицы
ее столбцами с сохранением их номеров. Полученная матрица обозначается
через AT
Ответ:
Пример
5. Обратная матрица
Дано:
Матрица .
Найти:
Найти обратную матрицу для матрицы A.
A-1 — ?
Решение:
Находим det A и
проверяем det A ≠
0:
. det A = 5
≠ 0.
Составляем вспомогательную матрицу AV из алгебраических
дополнений Aij: .
Транспонируем матрицу AV:
.
Каждый элемент, полученной матрицы, делим на на det A:
Ответ:
Пример
6. Ранг матрицы
Дано:
Матрица .
Найти:
Ранг матрицы A.
r(A) — ?
Решение:
Ранг матрицы A —
это число, равное максимальному порядку отличных от нуля миноров Mk этой матрицы. Ранг
матрицы Aвычисляется
методом окаймляющих миноров или методом элементарных преобразований.
Вычислим ранг матрицы, применив метод окаймляющих миноров.
M32≠0;
.
Ответ: r(A) = 2
Пример
7. Определитель квадратной матрицы
Дано:
Матрица .
Найти:
Определитель |A|
матрицы A.
|A|
— ?
Решение:
Каждой квадратной матрице А можно поставить в соответствие число,
которое называется ее определителем и обозначаетсяdet А или |А|. Определитель матрицы третьего порядка
вычисляется через ее элементы, по следующей формуле:
Тогда, для данной в примере матрицы A, определитель |A| будет равен:
Ответ: |A| = 16.
Пример
8. Минор и алгебраическое дополнение
Дано:
Матрица .
Найти:
Минор и алгебраическое дополнение элемента a21определителя |A|
матрицы A.
Δ21 — ? A21 — ?
Решение:
Запишем определитель матрицы A: .
Минор элемента a21 определителя |A|- это
определитель, который получится из данного вычеркиванием 2-й строки и 1-го
столбца. Для минора используют обозначение Δ21.
Алгебраическое дополнение A21 элемента a21 в определителе — это число,
которое вычисляется по правилу: Aij = (-1)i+j · Δij, гдеΔij — соответствующий минор.
Тогда, подставив данные в формулу, получим:
A21 =
(-1)2+1 ·
(-6) = 6.
Ответ: Δ21 = -6; A21 = 6.
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Виды матриц.
·
Матрица A размера m×n — это прямоугольная таблица чисел,
расположенных в m строках
и n столбцах
где aij (i =1, …, m; j =1, …, n)
— это элементы матрицы A. Первый индекс i — это номер строки, второй индекс j — это номер
столбца, на пересечении которых расположен элемент aij.
Сокращённое обозначение матрицы A=(aij)m×n.
·
Порядок матрицы —
это число ее строк или столбцов.
·
Главная диагональ
квадратной матрицы — это диагональ, идущая из левого верхнего
в правый нижний угол.
·
Прямоугольная матрица —
это матрица, у которой число строк не равно числу столбцов.
·
Квадратная матрица —
это матрица у которой число строк равно числу столбцов:
·
Матрица-столбец —
это матрица, у которой всего один столбец:
·
Матрица-строка —
это матрица, у которой всего одна строка:
·
Диагональная матрица —
это квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на
главной диагонали, равны нулю.
·
Единичная матрица —
это диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице:
·
Матрица квадратная
диагональная:
·
Треугольная матрица —
это квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные по одну сторону
главной диагонали, равны нулю.
·
Матрица верхняя
треугольная:
·
Матрица нижняя
треугольная:
·
Нулевая матрица —
это матрица, все элементы которой равны 0:
Операции над матрицами.
·
Равенство матриц.
Две матрицы A (aij), B (bij) совпадают |A=B|, если совпадают их размеры и соответствующие
элементы равны,
то есть при всех i, j aij=bij.
·
Сложение матриц.
Суммой двух матриц A=(aij)m×n и B=(bij) m×n одинаковых размеров называется
матрица C=(cij)m×n=A+B тех же размеров, элементы которой
определяются равенствамиcij=aij+bij. Пример 1.
·
Умножение матрицы на
число.
Произведением матрицы A=(aij)m×n на число λ ∈ R называется матрица B=(bij)m×n=λA, элементы которой определяются
равенствами bij=λaij. Пример 2.
·
Умножение матриц.
Произведением матрицы A=(aij)m×k на матрицу B=(bij)k×nназывается матрица C=(cij)m×n=A· B размера m×n, элементы которой cij определяются равенством
cij=ai1b1j+ai2b2j+ … aikbkj.
Таким образом, элемент матрицы C=A·B, расположенный в i-й строке и j-м столбце, равен
сумме произведений элементовi-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца
матрицы B. Пример 3.
·
Транспонированные
матрицы.
Транспонированием матрицы А называется замена строк этой матрицы ее
столбцами с сохранением их номеров.
Полученная матрица обозначается через A' или AT. Пример 4.
Квадратная матрица называется симметричной, если A=A', то есть для
элементов выполнены равенства aij=aji.
·
Обратная матрица.
Квадратная матрица n–го порядка называется вырожденной, если определитель
этой матрицы равен нулю, |A| = 0, и невырожденной, если |A| ≠ 0.
Матрица А-1 называется
обратной матрицей для некоторой квадратной матрицы А, если выполняется
соотношение:
Если матрица А-1 не
вырождена, то существует, и притом единственная, обратная матрица А-1,
равная , где АV = Aij — присоединенная матрица
(матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы,
стоящих на тех же местах).
1)
2)
3)
4)
·
Алгоритм нахождения А-1 заключается
в следующих пунктах:
1) Находим det A,
проверяем det A ≠
0.
2) Находим Mij — все
миноры матрицы A.
3) Определяем
4) Строим матрицу алгебраических дополнений и
транспонируем:
5) Делим каждый элемент матрицы на det A: Пример 5.
·
Элементарные
преобразования строк (столбцов) матрицы:
1) перестановка строк (столбцов);
2) умножение строки (столбца) на число α ≠ 0;
3) прибавление к элементам строки (столбца) матрицы элементов другой строки
(столбца), умноженных на некоторое число.
·
Решение матричных
уравнений.
Матричное уравнение —
это уравнение, содержащее неизвестную матрицу X и известные матрицы A, B, …, .
Простейшие типы матричных уравнений:
1) . Матрица A – квадратная
и невырожденная,
|A| ≠ 0,
следовательно, существует обратная матрица A-1.
Умножим уравнение на A-1 слева:
2) . Матрица A –
квадратная, |A|
≠ 0.
Умножим уравнение на A-1 справа: .
3) . Матрицы A и B –
квадратные, |A|
≠ 0, |B| ≠
0.
Умножим уравнение на A-1 слева:
Умножим уравнение на B-1 справа: .
·
Ранг матрицы.
Ранг матрицы A —
это число, равное максимальному порядку отличных от нуля миноров.
Mk этой
матрицы:
Матрицы называются эквивалентными, что обозначается
A ∼ B, если .
Ранг матрицы A вычисляется
методом окаймляющих миноров или методом элементарных преобразований.
·
Метод окаймляющих миноров.
Пусть в матрице A элемент aij ≠ 0,
тогда M1 ≠ 0
и r(A) ≥
1. Окаймляем этот элемент элементами соседнего столбца и соседней строки
(например, (j+1)–го
столбца и (i+1)–й
строки), получаем минор 2-го порядка: .
Если M2, то
присоединяем другие строки и столбцы, перебирая все возможные миноры 2-го
порядка.
Если все миноры второго порядка равны нулю, то r(A) = 1; если же существует
хотя бы один минор 2-го порядка, отличный от нуля, то r(A) ≥ 1.
Выбираем отличный от нуля минор 2-го порядка M2 и окаймляем его элементами
соседних строк и столбцов до минора 3-го порядка и так до тех пор, пока не
будет выполнено условие: Mr ≠ 0, но все Mr+1 =
0. Пример 6.
·
Метод элементарных
преобразований.
Элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга.
К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие: транспонирование;
перестановка строк (столбцов); умножение строки (столбца) на число α ≠ 0;
прибавление к элементам строки (столбца) матрицы элементов другой строки,
умноженных на некоторое число; отбрасывание нулевой строки (столбца) матрицы.
Для определения ранга матрицы A методом элементарных преобразований следует:
1) Переставить строки и столбцы так, чтобы в верхнем левом углу матрицы был
ненулевой элемент.
2) Все элементы первого столбца, кроме a11, обратить в ноль с помощью
элементарных преобразований строк:
3) Переставить строки со 2–й по m и столбцы со 2–го по n так,
чтобы a22 ≠ 0.
Повторить операцию (2) со вторым столбцом: во втором столбце все элементы,
кроме a12 и a22, обратить в
ноль.
Окончательно после многократного применения указанной процедуры и отбрасывания
нулевых строк преобразованная матрица будет иметь вид:
Тогда ранг матрицы A равен: rang A = rang Ã.
Определитель матрицы.
·
Определитель квадратной
матрицы.
Определитель первого порядка представляет собой число.
Определитель квадратной матрицы порядка n A=(aij)m×nобозначается символами:
Определитель квадратной матрицы A второго порядка — это число, равное:
Определитель квадратной матрицы А третьего порядка — это число, равное:
.Пример 7.
·
Правило треугольников (правило
Саррюса):
Знаки (+) и (–) соответствуют знакам определенных слагаемых, входящих в
определитель, элементы определителя изображаются кружками, а соответствующие
произведения — отрезками или треугольниками.
·
Алгебраическое
дополнение A=(aij) элемента aij — это определитель n-1 порядка,
полученный из |A|
вычеркиванием i-й
строки и j-го
столбца, на пересечении которых стоит элемент aij, взятый со знаком (-1)i+j.
Свойства определителей.
1.
Определитель квадратной матрицы А не меняется при
транспонировании: |AT|=|A|.
2.
При перестановке местами любых двух строк (столбцов) определитель
|A| меняет
знак:
3.
Определитель, содержащий две одинаковые строки (столбца), равен
нулю.
4.
Умножение всех элементов некоторой строки (столбца) определителя
|A| на
число k равносильно
умножению определителя на это число:
5.
Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя |A| равны нулю, то и
сам определитель равен нулю (вытекает из предыдущего свойства при (k = 0):
6.
Если все элементы двух строк (столбцов) определителя |A| пропорциональны,
то определитель равен нулю.
7.
Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя
представляет собой сумму двух слагаемых, то такой определитель можно
представить в виде суммы двух определителей:
8.
Если к элементам какой-нибудь строки (столбца) определителя |A| прибавить
соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольный
множитель k,
то величина определителя не изменится:
9.
Определитель |A| численно равен сумме произведений элементов любой
его строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения:
10.
Определитель произведения матриц А и В равен
произведению их определителей:
.
Определители n–го
порядка.
·
Минор Мij или Δij элемента аij (
иначе – дополнительный минор элемента аij) определителя n-го порядка — это
определитель (n–1)
порядка, полученный из исходного вычеркиванием i–й строки и j–го столбца, на
пересечении которых стоит элемент aij.
·
Алгебраическое
дополнение Аij элемента аij — это
его минор со знаком (-1)i+j, где i – номер строки, а j – номер
столбца, на пересечении которых стоит элемент aij,
·
Аij=(-1)i+jMij или Аij=(-1)i+jΔij. Пример 8.
Для определителей n-го порядка имеют место все перечисленные выше свойства
определителей.
·
Правило выбора знака перед минором в алгебраическом
дополнении:
·
Определитель n-го
порядка |A|
численно равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на
соответствующие алгебраические дополнения.
·
Метод сведения к
треугольному виду.
Используя свойства (1–9), определитель преобразуют к виду, когда элементы,
лежащие по одну сторону от главной диагонали, становятся равными нулю.
Преобразованный таким образом определитель равен произведению элементов,
лежащих на главной диагонали.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.