Статья по математике: различные способы решения задач на сплавы

Различные способы решения задач

             на смеси и  сплавы

Автор: учитель математики

МБОУ гимназия №11

Перекалина Вера Петровна       

                                         Елец, 2017г.

         Различные способы решения задач на смеси и сплавы.

        Задачи  на смеси и сплавы вызывают психологические трудности, связанные с нечетким пониманием химических процессов, возможно происходящих при смешении. Надо иметь в виду, что в задачах такого рода, никаких химических процессов, влияющих на количественные соотношения задачи, не происходит.

        Рассмотрим примеры задач, в условиях которых идёт речь о составлении сплавов, растворов или смесей двух или нескольких веществ. Основные допущения, которые принимаются в задачах подобного рода, состоят в следующем:

        а) все полученные сплавы или смеси однородны;

        б) при слиянии двух растворов, имеющих объёмы V₁ и V₂ , получается смесь, объём которой равен V₁ + V₂.

        Предлагаю на примере одной задачи проследить три способа  её решения.

        Задача.

        Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько стали того и другого сорта необходимо взять, чтобы после переплавки получить 140т стали с содержанием никеля 30%.

         Решение.

         Способ 1.

         Пусть стали первого сорта нужно х тонн. Тогда стали второго сорта понадобится (140 – х) тонн. Никеля в первом сплаве содержится 0,05х тонн, а во втором – 0,4(140 –х) тонн. По условию задачи известно, что в 140 тоннах стали никель составляет 0,3 * 140 тонн. На основании вышеизложенного, составляем уравнение:

                                       0,05х + 0,4(140 – х) = 0,3 * 140; 

          Решая последнее уравнении, находим х = 40.

          Следовательно, стали первого сорта требуется 40 тонн, а стали второго сорта 100 тонн.

          Ответ: 40 тонн, 100 тонн.

          Способ 2

          Проследим за содержанием никеля в сплавах. Возьмём для смешивания х тонн 5%  - ой стали и у тонн 40% - ой стали. Так как в 140 тоннах стали содержится 30% никеля, то легко вычислить массу никеля в сплаве. Получим следующее уравнение:

                                      0,05х + 0,4у = 42;

 Очевидно, что х + у = 140. Таким образом, приходим к следующей системе уравнений:

                  

Из этой системы находим, что х = 40, а у = 100.

          Ответ: 40 тонн, 100 тонн.

           Решение задач методом составления уравнений и их систем является традиционным.

           В условиях, когда приходится решать много подобных задач, необходимо учитывать и старинный метод решения подобных задач. Рассмотрим его на примере вышеприведённой задачи на содержание никеля в сплаве.          

           Друг под другом запишем содержание никеля в стали одного и другого сорта. Слева  или справа - содержание никеля в полученной стали. Соединив написанные числа черточками, получим такую схему:

                                                               5

                                         30

                                                               40 

            Рассмотрим пары 30 и 5; 30 и 40. В каждой паре из большего числа вычитаем меньшее и результат запишем в конце соответствующей черточки. Получится такая схема:

                                                               5                 10

                                          30

                                                              40                  25

            Из неё делается заключение, что стали с 5% - ым содержанием никеля следует взять 10 частей, а с 40% - ым содержанием никеля – 25 частей, то есть для получения 140 тонн стали нужно взять 40 тонн стали первого сорта и 100 тонн стали второго сорта.

            Ответ: 40 тонн, 100 тонн.

             Такой способ решения задач на смешивание (сплавление) двух веществ всегда позволяет получить правильный ответ.

             Данный метод можно применять и при решении задач на сплавление трёх веществ.

             Задача

             Имеется серебро 12 –й, 11 –й и 5 – й пробы. Сколько каждого серебра надо взять для получения одного килограмма серебра 9 – ой пробы?

             Решение

             Необходимо вышеизложенный метод применить два раза: первый раз, взяв серебро с наименьшей и наибольшей пробой, а во второй раз – с наименьшей и средней пробой. Получим следующую схему:

              5                3                     3+2 =5

9                                                               4

              12             4                                4

               5              2                                13

9           

              11              4

             При этом найденные доли, в которых нужно сплавлять серебро наибольшей и средней пробы (4 и 4). Сложив затем доли серебра наименьшей пробы, найденные в первый и во второй раз ( 3+2=5), получим долю серебра наименьшей пробы в общем сплаве.

             Таким образом, надо взять  кг серебра 5 – й пробы и  кг серебра 12- й пробы и  кг серебра 11 – й пробы.

              Ясно, что  задачи на смешивание трех веществ могут иметь не единственное решение. Действительно в задаче серебро 9 – й пробы  можно получить, сплавляя серебро 5 –й  и 12 – й пробы в отношении 3:4 ( 1 сплав) или серебро 5 –й и 11 –й пробы в отношении 2:4 ( 2 сплав). Соединяя 1 и 2 сплавы в любой пропорции, мы будем получать различные сплавы серебра 9 –й пробы.

               Полученные в задаче числа являются одним из ответов. В самом деле, если возьмём  кг серебра 5 – й пробы  и по  кг серебра  11 – й  и 12 – й пробы, то получим 1 кг серебра 9 –й пробы:

                                   *5 + *11 +  * 12 = 9;

               Таким способом можно решать  задачи на смешивание (сплавление) любого числа веществ.

               Предложенный способ позволяет легче запомнить последовательность действий при решении задач на смешивание и добиться автоматизма при выполнении самих действий.