Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Свойство биссектрисы угла треугольника

Свойство биссектрисы угла треугольника

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

22




СОДЕРЖАНИЕ



Введение……………………………………………………………………. 2

  1. Свойство биссектрисы треугольника и способы

доказательства …………………………………………………………4



  1. Нахождение длины биссектрисы (формулы) ………………………7



  1. Соотношения, связанные с биссектрисой………………………..…...13

4.Задачи…………………………………………………………………….16

5. Выводы…………………………………………………………………..20

6. Список литературы…………………………………………………….21







ВВЕДЕНИЕ

Цель работы:

Показать многообразие способов доказательства свойства биссектрисы треугольника.

Задачи:

  1. Ознакомиться с литературой по данной теме, повторить ряд геометрических фактов, необходимых для проекта

  2. Систематизировать теоретический материал, используемый для доказательства теоремы

  3. Выяснить практическое применение формул для вычисления биссектрисы треугольника

  4. Создание презентации к работе

Что мы знаем о биссектрисе угла треугольника? Наверное не так уж и много – определение биссектрисы; факт, что точка пересечения биссектрис является центром вписанной в треугольник окружности и свойство деления стороны биссектрисой на отрезки пропорциональные прилежащим сторонам.

В своей работе я постаралась систематизировать сведения и найти дополнительную информацию, которая углубляет знания об этом понятии в теории треугольников. С помощью научной литературы по теме и работы с научным руководителем, мы привели несколько способов доказательства свойства биссектрисы треугольника. При этом использовали следующие теоремы и понятия:

1.Теорему Фалеса о пропорциональных отрезках

2. Подобие треугольников

3. Применение формул площадей треугольника

4. Теорема синусов

Доказательство теоремы разными способами позволят повторить широкий спектр геометрических фактов, совершенствовать навыки применения разных методов и приемов решения задач, способствует более глубокому и прочному пониманию и запоминанию материала.

В работе значительно расширены сведения о биссектрисах треугольника:

  • приводятся 4 вида формул для вычисления биссектрисы треугольника, эти формулы имеют практическое применение;

  • выводятся формулы радиуса окружности, вписанной в треугольник;

  • формулируются свойства точки пересечения продолжения биссектрисы треугольника с описанной окружностью;

  • устанавливается взаимное расположение высоты, медианы и биссектрисы треугольника, проведенных из одной вершины ( 3 способа).

.







РАЗДЕЛ 1

Свойство биссектрисы треугольника и способы его доказательства.



Теорема.

Биссектриса делит сторону треугольника на отрезки пропорциональные двум другим сторонам hello_html_32b5d8ae.gif.

Дано: ∆ АВС, BD – его биссектриса.

Доказать: hello_html_32b5d8ae.gif

hello_html_m2450353c.pngРис. 1.1

1. Применим к доказательству теорему Фалеса

Проведем прямую CK||BD и продолжим сторону AB до пересечения с этой прямой. hello_html_m61436be3.gif2 =hello_html_m61436be3.gif 3 как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BD и KC и секущей BC. hello_html_50782432.gif1 = hello_html_m61436be3.gif4 как соответственные углы при CK||BD и секущей BC.

BCK – равнобедренный. hello_html_180f0ee8.gif

Тогда по теореме Фалеса: hello_html_m82d58d8.gif

Т.е hello_html_32b5d8ae.gif, что и требовалось доказать



  1. Применим подобие треугольников (рис. 1.2)

hello_html_47739fc9.pngПроведем перпендикуляры из вершин А и С на биссектрису и ее продолжение, тогда имеем:





Рис. 1.2



AND ~ ∆ CMD (по двум углам). Из определения подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

hello_html_m33691994.gif, hello_html_m2fcf3821.gif (*)

ABN~ ∆ CBM, тогда hello_html_m2785aab8.gif; hello_html_m963966f.gif (**)

В равенствах (*) и (**) равны правые части, а значит: hello_html_32b5d8ae.gif

  1. hello_html_69acd009.pngПрименим формулы площади треугольника (рис. 1.3)

hello_html_m3b7dba62.gif

hello_html_6aa1b1ec.gif

Точка D лежит на биссектрисе угла ABC, значит она равноудалена от его сторон, то есть hello_html_mdab2493.gif

Тогда: hello_html_57a76252.gif

Получили, что hello_html_32b5d8ae.gif

4. Применим теорему синусов

hello_html_54bea60.png Рис. 1.4



Из ∆ ABD по теореме синусов: hello_html_3b157eb2.gif, или упростив, имеем: hello_html_48e01246.gif (*)

Из ∆ BDС по теореме синусов: hello_html_m4e5a9e3.gif (**)

Разделим равенство (*) на (**), получим hello_html_32b5d8ae.gif

. 5. Докажем теорему, используя формулы площади треугольника (рис. 1.4) hello_html_512c11d2.gif

hello_html_2526154e.gif

Получили hello_html_32b5d8ae.gif



РАЗДЕЛ 2

Формулы для вычисления длины биссектрисы



В разделе выводятся четыре формулы для вычисления длины биссектрисы треугольника [3].

2.1. Длина биссектрисы через пропорциональные стороны и отрезки

hello_html_475faae3.gif





hello_html_3028179c.png

















Рис. 2.1.1.



2.1.1.Доказательство. I способ - через вписанные углы (рис. 2.1.1).

Опишем вокруг ∆ABC окружность и продолжим биссектрису CD =l до

пересечения с окружностью, F – точка пересечения. Пусть DF= x.

Вписанные углы BFC и CAB равны, так как опираются на одну и ту же дугу BC. Тогда ∆FCB ~ ∆ACD по двум углам. У подобных треугольников соответствующие стороны пропорциональны:

hello_html_m49cd873d.gifили hello_html_m2e34fead.gif

Тогда hello_html_25451a02.gif (1).



По свойству пересекающихся хорд hello_html_m77865405.gif

или hello_html_m6ee0de6e.gif .

hello_html_475faae3.gifПодставим последнее равенств в формулу (1), получим





2.1.2.Доказательство. II способ – через теорему косинусов (рис.2.1.2)



hello_html_6f2a0f5d.pngРис 2.1.2









Из пропорции hello_html_32b5d8ae.gif следует, что hello_html_6e39e5e1.gif , hello_html_m57615bec.gif (2).

Из ∆ BCD hello_html_m4385e6f4.gif из теоремы косинусов.

Из ∆ DCA hello_html_m675d3a3d.gif .
Получим равенство hello_html_479ead9c.gif .

После умножения на 2abl получим:

hello_html_51b87d13.gifПерегруппировка слагаемых

hello_html_m7b3a9eb0.gif. Подставим формулы (2) в равенство вместо m и n hello_html_m938b11b.gif

hello_html_2a81e673.gif

hello_html_m735b8d63.gif

hello_html_475faae3.gif

В случае, если hello_html_m337795fe.gif делим на (ba) и получаем

2.2. Длина биссектрисы через две стороны и угол между ними (рис. 2.2)

hello_html_7e48ee2.gif

hello_html_690e1a31.png









Рис. 2.2





Доказательство через площадь треугольника.

hello_html_m2b065d71.gif



hello_html_m5e73938.gif

.

Равенство hello_html_mf149565.gif умножим на 2, а hello_html_3d22754e.gif заменим по формулам двойного угла hello_html_m2b2e4522.gif

Так как hello_html_m2b2bd182.gif разделим на него и найдём l. hello_html_20f2c3f.gif;

hello_html_4a825a9a.gif

Следствие. В прямоугольном треугольнике угол hello_html_mb069b66.gif , поэтому биссектриса опущенная на гипотенузу равна hello_html_m49f65e27.gif, где a и b – катеты.





    1. Длина биссектрисы через стороны треугольника (рис. 2.3)

hello_html_212492ed.gif



hello_html_m1a31364f.pngРис. 2.3

Выразим отрезки m и n через стороны треугольника, решив систему.

hello_html_263a90be.gif ; hello_html_612a5efd.gif ; hello_html_4d81c3aa.gif hello_html_m49dee1.gif ; hello_html_m37d12c40.gif=c ; hello_html_69f99242.gif .

Аналогично hello_html_m54778359.gif .

Подставим найденные выражения в формулу биссектрисы

hello_html_183b09f3.gif



Тогда hello_html_42150b0c.gif .



    1. Угол между высотой и биссектрисой треугольника , проведенными

из одной вершины [1]

hello_html_m11d67a93.gif

hello_html_m5a5bcc95.pngРис. 2.4



Пусть CM= h – высота, а CD= l биссектриса треугольника, проведенная из той же вершины. Найдем угол MCD между высотой и биссектрисой треугольника.

Изhello_html_m35713566.gif

Из ∆BCM (hello_html_3152d57c.gif)hello_html_29e34341.gif BCM =

hello_html_50782432.gif MCD=hello_html_50782432.gif BCD - hello_html_50782432.gif BCM = hello_html_m28bdabcb.gif .



2.5.Длина биссектрисы через высоту hello_html_402e9a53.gif (рис. 2.4)

Из ∆CMD (hello_html_3152d57c.gif)hello_html_m322ff0c6.gif .







РАЗДЕЛ 3



Соотношения, связанные с биссектрисой



В разделе будет получено отношение, в котором биссектрисы треугольника делятся точкой пересечения; найден угол, образованный при пересечении биссектрис; установлена связь между сторонами треугольника и отрезками касательных ко вписанной в треугольник окружности.

3.1. Отношение , в котором биссектрисы треугольника делятся точкой пересечения (рис. 3.1)

Известно, что медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Найдём, в каком отношении делятся биссектрисы точкой пересечении.

hello_html_587c9b7e.png

Рис. 3.1

Дано: биссектрисы CD и AM АВС пересекаются в точке I (инцентр)

Пусть CI = x, а ID = y. Найдём отношение hello_html_7c039076.gif .

Из ∆ CDB по свойству биссектрис hello_html_1dc5d0c2.gif. Учитывая что hello_html_4194c376.gif, находим hello_html_4bca7331.gif .

Получили соотношение hello_html_m706f05c6.gif



    1. Угол , образованный при пересечении биссектрис, hello_html_17bbdb1a.gif

(рис. 3.2)

hello_html_m4dc11864.png

Рис. 3.2

Из hello_html_51e5fb87.gif: hello_html_m27cea37e.gif

3.3 . Связь между сторонами треугольника и отрезками касательных к вписанной в треугольник окружности (рис. 3.3)



hello_html_1f4d6562.png

Рис. 3.3

В АВС вписана окружность. Пусть М,К, N – точки касания окружности сторон треугольника. По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки, AM=AK=x, CM=CN=y, NB=KB=z . Тогда

hello_html_m11a5cbcf.gif .

Сложив уравнения системы, получим

hello_html_1e712ee1.gif , где р – полупериметр.

Вычитая из последнего равенства уравнения системы, получим

hello_html_2be405fd.gif

Формулы, выражающие отрезки касательных через стороны треугольника.

Привожу без доказательства утверждения о свойстве точки пересечения продолжения биссектрисы треугольника с описанной около него окружностью, о расположении биссектрисы треугольника. Эта часть работы будет продолжена.

1. Точка пересечения продолжения биссектрисы треугольника с описанной около него окружностью, равноудалена от двух других вершин и инцентра

hello_html_m50fe1e0c.png















2. В неравнобедренном треугольнике биссектриса всегда расположена между высотой и медианой, проведенными из одной вершины.

hello_html_2060e79f.png



Задачи



1. Дан треугольник ABC, в котором угол В = 30°, АВ = 4, ВС = 6. Биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке D. Определите площадь треугольника ABD (рис. 1).

hello_html_m5e6cd0d2.png

Рис. 1


Решение. По свойству биссектрисы AD/DC = AB/BC = 4/6 = 2/3.

Пусть AD = 2х; DC = Зх.

hello_html_100d0231.png

Ответ: 12/5.

Задача.

Стороны треугольника равны 10 см, 11 см и 12 см. Найти отрезки, на которые делит биссектриса треугольника среднюю сторону.

Дано: AC=10 см, BC=11 см, AB=12 см, AP = биссектриса.

Найти: CP и BP.

Решение:

По свойству биссектрисы треугольника:

    hello_html_m1421eed9.png

    hello_html_m3d7e8d92.png

Пусть CP=x см, тогда BP=11-x см:

    hello_html_m570c804b.png

откуда по основному свойству пропорции

    hello_html_m22ff7915.png

    hello_html_m6be18077.png

    hello_html_511955b1.png

CP=5 см, BP=6 см.

Ответ: 5 см, 6 см.

Найти биссектрису угла B треугольника ABC и определить, в каком отношении центр вписанной в треугольник окружности делит эту биссектрису, если AB = 4, BC = 5 и AC = 6.

Решение

hello_html_m1ec911f7.jpg 

      Пусть BD и AK – биссектрисы углов B и A треугольника ABC и O – центр вписанной окружности. 
      Так как AB = 4 и BC = 5, то по теореме о биссектрисе AD = 4t и CD = 5t, поэтому AC = 6 = 4t + 5t, т.е. hello_html_m7af0be64.png, и тогда hello_html_m2585ca45.png.

     

 hello_html_7c6062ce.pngи

hello_html_474fc20e.png, т.е. hello_html_m703f036f.png.

      И, наконец, определим по теореме о биссектрисе из треугольника BAD, в каком отношении точка O делит отрезок BD:

hello_html_47734f4f.png.

Ответ: hello_html_m18804d62.png и hello_html_380189ed.png.

Найти биссектрисы острых углов в прямоугольном треугольнике, катеты которого равны 6 и 8 см.

Решение

 

hello_html_1ba3d85b.jpg

      Пусть ABC – прямоугольный треугольник, у которого AB = 6, BC = 8, B = 90 °, P и H – основания биссектрис углов C и A соответственно. Тогда по теореме Пифагора hello_html_m2e0e5f7c.png. 
По теореме о биссектрисе BP = 8t и Pa = 10t , откуда AB = AB = 6 = 8t + 10t и hello_html_5c5c75db.png. 
      Поэтому hello_html_f376dd2.png, и по теореме Пифагора hello_html_m6ca24ada.png. Аналогично находим hello_html_m1e6b6470.png. 

Ответ: hello_html_m36bdce56.png см, hello_html_m4642f3e9.png см.























ВЫВОДЫ



В этой работе мы показали разнообразие способов доказательства свойства биссектрисы треугольника. Выведена формула для вычисления длины биссектрисы, рассмотрен ряд задач, которые были в заданиях на ЕГЭ разных лет. Доказано положение биссектрисы в неравнобедренном треугольнике. Показано отношение , в котором биссектрисы треугольника делятся точкой пересечения; определен угол , образованный при пересечении биссектрис. Для многих свойств приводится несколько способов доказательства.

Работая над проектом и находя различные способы доказательств, приобретаются логические навыки, умение анализировать и сопоставлять, сравнивать. С помощью доказанных свойств многие задачи решаются легче и доступней.

Данная работа может служить справочным материалом при подготовке к ЕГЭ, как в теоретическом, так и в практическом плане.

















СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ



  1. Шарыгин И.Ф. Учимся решать задачи по геометрии //Математика в школе.-1989.-№2. –С. 87-89.

  2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Геометрия .8 класс: Учебник. Харьков: Гимназия,2008.- С.83-84.

  3. Биссектриса треугольника.- [Электронный ресурс] .-режим доступа: ru.wikipedia.org/

  4. Апостолова Г.В. Геометрия .8 класс: Учебник. Киев: Генеза, 2008.-С.36-37.



Краткое описание документа:

                 Что мы знаем  о биссектрисе угла треугольника? Наверное не так уж и много – определение биссектрисы; факт, что точка пересечения биссектрис является центром вписанной в треугольник окружности и свойство деления стороны биссектрисой на отрезки пропорциональные прилежащим сторонам.

        В своей  работе я постаралась систематизировать сведения  и найти дополнительную информацию, которая углубляет знания об этом понятии в теории треугольников. С помощью научной литературы по теме и работы с научным руководителем, мы привели несколько способов доказательства свойства биссектрисы треугольника. При этом использовали следующие теоремы и понятия:

1.Теорему Фалеса о пропорциональных отрезках

2. Подобие треугольников

3. Применение формул площадей треугольника

4. Теорема синусов

Общая информация

Номер материала: 159256

Похожие материалы